2-2 多 項 式 的 運 算

2-2 多 項 式 的 運 算

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 設 f x ( )  2 x

⁴

 3 x

³

 3 x

²

 7 x  ﹐若 ( ) 2 f x 除以 ( ) g x 得商式為 x

²

 ﹐餘式為 2 4

x  ﹐試求 ( ) g x ﹒

解：

^{f x( )g x x( )( 2   ﹐2) x 4}

f x( )(x4)(x²2) ( )g x ﹐

2x⁴3x³3x²6x 2 (x²2) ( )g x ﹐ 長除法得

4 2

2 2

2 3 6 2

( ) 2 3 1

2

x x x

g x x x

x

  

   

 ﹒

2. 設 f x ( )  4 x

⁴

 5 x

²

 3 x  ﹐試求 ( ) 1 f x 除以 2 x  1 的商式與餘式﹒

解：

^{由綜合除法：}

4 0 5 3 1

2 1 3 3

4 2 6 6 , 4

2 1 3 3

   

   

   

  

得商式為2x³x²3x ﹐餘式為 4﹒ 3

3. 設 f x ( )  3 x

³

 5 x

²

 6 x  ﹐試求： 2

(1) f x ( )  a x (  1)

³

 b x (  1)

²

 c x (   時﹐a﹐b﹐c﹐d 的值﹒ 1) d (2) f (1.1) 的值﹒

解：

^{綜合除法連續除以x 得： 1}

(1) f x( )3(x1)³4(x1)²5(x  ﹐1) 6 得a ﹐3 b ﹐4 c ﹐5 d  ﹒ 6

(2) f(1.1) 3 (0.1)³ 4 (0.1)² 5 (0.1) 6 6.543﹒

2

1 2

4. 設 g x ( )  357 x

⁵

 699 x

⁴

 35 x

³

 9 x

²

 37 x  65 ﹐試求：

(1) g x 除以 ( ) x  2 的餘式﹒ (2) (2) g ﹒ 解：

(1)

357 699 35 9 37 65 2

714 30 10 2 70

357 15 5 1 35 5

    

    

   

g x 除以( ) x 的餘式為 5﹒ 2

(2) (2)g  ﹒ 5

5. 設 f x ( )  2 x

⁴

 x

³

 6 x

²

 2 x  ﹐下列何者是 ( ) 3 f x 的因式？

(1) 2 x  1 (2) 2 x  1 (3) 2 x  3 (4) 2 x  3 ﹒ 解：

^因 ( )^{1 3}

2 4

f  ﹐ 1 5

( ) 2 2

f   ﹐ 3

( ) 0

f 2  ﹐ 3 3

( )

2 4

f    ﹐

故選(3)﹒

6. 多項函數 ( ) f x 的圖形通過 (1, 0) ﹐(2,3) ﹐(3,10) 且次數為最少﹐試求函數 ( ) f x ﹒

解：

^{由插值多項式：}

^{( ) 0 ( 2)( 3) 3 ( 1)( 3) 10 ( 1)( 2)}

(1 2)(1 3) (2 1)(2 3) (3 1)(3 2)

x x x x x x

f x            

     

 0 3(x²4x 3) 5(x²3x2)

2x²3x ﹒1

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 設多項式 ( ) f x 除以 x

³

 的商式為 3 2 x

²

 4 x  ﹐餘式為 6 3 x

²

 6 x  ﹐試求 ( ) 4 f x 除以 x

²

 2 x  的餘式﹒ 3

解：

^{由除法原理：}

f x( )(x³3)(2x²4x 6) 3x²6x ﹐ 4

^得 f x( )(x²2x 3) 2(x³ 3) 3(x²2x  3) 5 (x²2x3)(2x³   6 3) 5

(x²2x3)(2x³  ﹐ 3) 5

知所求餘式為 5 ﹒

2. 設 f x ( )  x

⁴

 8 x

³

 29 x

²

 52 x  38 ﹐試求：

(1) (2.1) f ﹒ (2) (2 f  3) ﹒

解：

^{以綜合除法連續除以x ﹐得2 f x( )(x2)45(x2)2 ﹐ 2}

(1) f(2.1)(0.1)⁴ 5 (0.1)² 2 2.0501﹒

(2) f(2 3)( 3)⁴5( 3)² 2 26﹒

3. 設 f x ( )  x

⁵⁰

 2 x

⁴⁹

 x

²⁹

 2 x

²⁸

 ﹐試求： 1

(1) (1) f ﹐ ( 2) f  ﹒ (2) ( ) f x 除以 x

²

  的餘式﹒ x 2 解：

(1) (1) 1 2 1 2 1 7f       ﹐

f( 2) 2⁵⁰2⁵⁰2²⁹2²⁹  ﹒ 1 1

(2) ( )f x (x1)(x2) ( )q x ax ﹐ b

f(1)   ﹐ ( 2)a b 7 f   2a  ﹐得b 1 a ﹐2 b ﹐ 5

故 ( )f x 除以x²  的餘式為 2x 2 x ﹒ 5

4. 設多項式 f x ( )  x

³

 kx

²

  x  m （k﹐  ﹐m 為常數）﹐且滿足：

(1) ( ) f x 除以 x

²

  ﹐得餘式為 x 1 5 x  3 ﹒ (2) ( ) f x 除以 x  1 ﹐得餘式為 4  ﹒

試求 k﹐  ﹐m 之值﹒

解：

^設 f x( )(x² x 1)(x t) 5x ﹐ 3

f(1)3(1    ﹐得t) 2 4 t  ﹐ 3

知 f x( )(x² x 1)(x 3) 5x ﹐ 3

f x( )x³2x²3x ﹐得6 k  ﹐2 3﹐m  ﹒ 6

5. 設 ( x  1) ( ) f x 除以 x

²

  的餘式為 x 1 5 x  3 ﹐試求 ( ) f x 除以 x

²

  的餘式﹒ x 1 解：

^設 f x( )(x² x 1) ( )q x ax ﹐ b

(x1) ( )f x (x1)(x² x 1) ( )q x (axb x)(  1) (x1)(x² x 1) ( )q x ax²axbx b

(x² x 1)[(x1) ( )]q x a x( ²  x 1) bx  (b a) (x² x 1)[(x1) ( )q x  a] bx (b a ﹐ )

得b ﹐5 b  ﹐即a 3 a ﹐ 2 故餘式為 2x ﹒ 5

6. 已知三次多項式 f x 滿足 ( ) f (0)  ﹐ (1) 0 2 f  ﹐ (2) 0 f  ﹐ (3) 8 f  ﹐試求 ( ) f x ﹒

解：

由插值多項式：

( ) 2 ^{( 1)( 2)( 3)} 0 ^{( 0)( 2)( 3)} 0 ^{( 0)( 1)( 3)}

(0 1)(0 2)(0 3) (1 0)(1 2)(1 3) (2 0)(2 1)(2 3)

x x x x x x x x x

f x               

        

8 ^{( 0)( 1)( 2)}

(3 0)(3 1)(3 2) x x x

    

¹( 1)( 2)( 3) ⁴ ( 1)( 2)

3 x x x 3x x x

       

(x1)(x2)(x 1)

x³2x²  ﹒x 2

（每題 10 分﹐共 40 分）

1. 小熹以 x  a 除 x

³

 px

²

 qx  23 時﹐將常數項  23 誤看為 23 時﹐誤算所得餘 式為 13﹐試求正確的餘式﹒

解：

x³ px²qx23(xa Q x) ( ) 13 ﹐ x³ px²qx23(xa Q x) ( ) 13 46  (xa Q x) ( ) 33 ﹐ 知正確的餘式為 ﹒ 33

2. 有一張邊長為 24 公分的正方形硬紙板﹐想從四角各截去 大小相等的正方形如右圖﹐以便摺成一個無蓋的長方盒﹐

假設此盒高 x 公分﹐請將其容積以 x 的多項式表示﹒

解：

設高度為 x﹐底面的邊長為 24 2x ﹐

得容積為x(242 )x ² 4x³96x²576x（立方公分）﹒

3. 小熹練習多項式的除法中﹐有四次多項式 f x ﹐而且經計算後得知﹐ ( ) ( ) f x 除

以 ( x  1)

³

得餘式 3﹐ ( ) f x 除以 ( x  ﹐ ( 2) x  分別得餘式 6 及 30﹐試求多項 2)

式 ( ) f x ﹒

解：

^{設 f x( )(x1) (3 ax  ﹐ b) 3} f(2)(2a   ﹐ b) 3 6

f( 2)  ( 27)( 2   a b) 3 30﹐

由 2a  ﹐ 2b 3  a   ﹐得b 1 a ﹐1 b ﹐ 1 f x( )(x1) (³ x  ﹐即1) 3 f x( )x⁴2x³2x ﹒ 2

4. 某製造玩具工廠﹐每次接到訂單都需開模 5 萬元﹐製造每一千個玩具材 料費需 2 萬元﹐由此建立生產的基本成本函數 ( ) 5 2 f x   x ﹐其中 x 以千個 為單位﹒依過去經驗﹐接到訂單數量與報價總值有如下關係：

數量（千個） 報價總值（萬元）

5 37.5 10 70 15 97.5

以此資料建立一個二次函數的報價總值函數 ( ) g x ﹐以及獲利函數 ( ) ( ) ( )

h x  g x  f x ﹒

(1)若接到訂單為 20 千個﹐試問交貨時﹐每千個玩具的基本成本平均是多少 萬元﹒（2 分）

(2)試求報價總值函數 ( ) g x ﹒ （7 分）

(3)根據 h x ﹐試問訂單數量是多少時﹐獲利總值最高？（5 分） ( ) 【98 指考乙】

解：

^{(1) (20)f   5 2 2045﹐}

得每千個玩具的成本為 45 20 2.25  （萬元）﹒

(2)由插值多項式

37.5 70 97.5

( ) ( 10)( 15) ( 5)( 15) ( 5)( 10)

( 5)( 10) 5 ( 5) 10 5

        

    

g x x x x x x x ﹐

整理得 1 ²

( ) 8

g x  10x  x﹒

(3) 1 ² 1 ²

( ) ( ) ( ) 6 5 ( 30) 85

10 10

h x g x  f x   x  x   x  ﹐ 得訂單數量x30（千個）時﹐獲利總值最高﹒