圍貓遊戲…心理學家的遊戲
運籌於帷幄之中，以空間換取時間，決勝於千里之外。
玩電腦上的遊戲到底利多還是弊多？我教過一位女大學生，高中時因愛玩
電玩遊戲「楓之谷」，高一、高二多是資優班倒數，高三才發憤圖強，順利考上 公費生；讀博士班時，我的室友每天都玩電腦上的遊戲，沉溺到連指導教授都 經常來關切；最近，樓下的鄰居說：「他兒子最近被電玩遊戲迷住了，連補習都 不想去上。」諸如此類的情形，在中學或大學應該是很普遍的現象。我孩子就 讀的小學，有一間超過百坪大的教室，裡面擺滿兩三百種益智小遊戲，坊間看 得到的都在裡面，而且每位小朋友每學期都要上六次「數學探索」的課程，其 實就是在探索那些益智遊戲。我當了一學年的數探志工，覺得這課程還不錯。
究竟沉溺於電玩遊戲跟玩益智小遊戲要如何區別呢？我們可以慎選出具有啟發 或啟蒙意義，又不會讓小孩沉溺於其中的遊戲嗎？
最近，心理學家發現，休閒放鬆類的簡單小遊戲才能提高快樂感，達到減 壓效果。據美國媒體報導，美國俄亥俄州立大學傳播和心理學教授布拉德‧布 希曼等人招募了一些志願者玩不同種類的遊戲，研究人員清楚地發現，那些玩 休閒小遊戲的人自我感覺更舒服、更快樂，能體驗到較多的正面情緒；而玩暴 力遊戲的人則攻擊性和侵略性增強。此外，玩了一會兒休閒小遊戲，比如和小 動物互動之後，人們會變得更親切，更願意主動幫助他人。希望本章所要介紹 的遊戲，也是心理學家們發明的「圍貓遊戲」可以達到這個效果，甚至超過這 個功能，達到啟蒙的意義。
圍貓遊戲是心理學家所設計出來的一道數學遊戲，遊戲背景是平面上放置 許多排列整齊的圓圈，一隻貓位於正中央的圓圈上，而有少許的圓圈是黑色。
這是一場圍貓者與貓的鬥智遊戲，圍貓者每次可以點選一個圓圈讓它變成黑色，
而貓每次必須移動到鄰近還尚未變成黑色的圓圈上。當貓被黑色圓圈圍住時，
貓就被捉擒了，但若貓跑出所有的圓圈外，則圍貓失敗。
這遊戲是心理學家發明的，心理學家把貓視為需要接受輔導的對象（如叛 逆的學生），而圍貓的人是輔導人員（如學校的導師），而黑色圓圈是貓的朋友，
輔導人員或學校導師必須透過這些朋友的幫忙，將貓咪圍起來才算輔導成功。
日本 Game Design 團體將圍貓遊戲數位化，寫成 Flash 的版本，讓圍貓遊 戲成為線上遊戲的一種，各位可以在網路上用「圍貓遊戲」四個字搜尋，就能 在線上玩圍貓遊戲了。這遊戲除了好玩之外，還可以測試玩者的決策能力。在 布滿圓形的長方形棋盤上，每個圓形都與六個圓形相連，一隻貓立於棋盤中央 的圓形內，玩者每次點選一個圓形塗黑來圍堵貓，但貓可以往尚未被塗色的隔 壁圓形移動。究竟鹿死誰手，就要看 Game Design 的設計功力與圍貓者的技巧 誰強了，下圖是貓被圍住的一種情形：
用堵貓的方法進行圍貓遊戲，經常沒辦法成功，主要是因為貓有六個方向 可以逃竄，圍堵方法很難奏效。那麼圍貓遊戲是一種純靠運氣的遊戲嗎？應該 也不是，我們可以往數學層面來思考。在進入更深入的討論之前，回想一下國 中時「任一三角形 ABC 的內角和剛好等於180」是如何證明的。讓小朋友站在 A 點、朝向 B 點、往 B 點走去，當走到 B 點時、原地旋轉、轉到臉朝 C 點的方 向、接著往 C 點走去，又當走到 A 點時、並原地旋轉、轉到臉朝 B 點的方向，
停了下來。此時，小朋友回到出發前的 A 點，且臉部朝向的方向相同（都朝向 B 點），這告訴我們「小朋友一共轉了完整的一圈，即 360的意思。」另外我們
因為 A,B 及 C 每點都是由一對內角及一對外角構成，所以三角形的內角和 就是
3 360 2 360
180 . 2
證明三角形內角和等於180的概念真的對圍貓遊戲有所幫忙或者啟發嗎？
且讓我們深入一點來探討圍貓遊戲吧！圍貓棋盤上，貓有六個方向可以逃竄，
用堵貓的方式圍貓肯定很難奏效，貓移動速度過快，無法圍住。所以利用空間 爭取時間是個不錯的圍法，但究竟要離貓多遠的地方開始圍起呢？這可能要根 據貓有多少朋友，這些黑色圓圈如何分布來決定了。又以何種形狀來圍住貓呢？
是圓形、三角形、長方形或者還有其他各種不同的形狀呢？因為貓有六個方位 可以逃，所以用六邊形來圍貓是個不錯的想法。舉例來說，在下圖中，貓僅有 三位朋友，照理說圍住貓很難，但是可以先想辦法幫貓製造比較多的朋友。
在下圖中，幫貓找到了三位朋友，讓六位朋友位於凸六邊形的六個頂點上，
但我們也要付出讓貓移動三步的代價，還好此時貓還沒跑出六邊形外，代表還 有機會圍貓成功。
從上圖可以洞悉，貓想要往北邊逃竄，當務之急當然是把北邊守住，然後 牽引貓順著六邊形的邊移動，在碰到頂點時，帶著貓轉彎，如下圖所示：
繼續牽引貓順著六邊形的邊移動，在碰到頂點時，帶著貓轉彎，在經歷六 個轉彎之後，貓就會發現「牠已被困在六邊形內了」。
總結我們的作法是「利用空間換取時間，先選妥適當大小的凸六邊形，最
後，貓就被困在凸六邊形內，大功告成。」手癢的讀者可以在線上試玩看看。
圍貓遊戲是一道老少咸宜，不分男女，都很喜歡玩的遊戲，也是心理學家闡述
「何謂輔導」的遊戲。
把圍貓遊戲視為一道數學問題，我們從混沌的實際操作過程裡得到圍貓的 精髓，這整個過程就是數學孕育與思考的過程。數學家亨利‧龐加萊在《數學 的創造》中，將自己對數學的思考分為三個階段─準備、孕育與驗證。首先，
所謂的準備階段就是對問題下很大功夫，又深陷混亂的階段；在這個階段，人 們都會採取觀察、實作、分析、學習與內化等有意識的策略。其次，孕育階段 就是停止有意識的思考，讓潛意識發酵，當腦袋裡的小燈泡忽然被點亮，那個
「恍然大悟」的時刻就會到來。最後，驗證階段也是收割階段，這一階段只是 寫下所有的事情、檢查細節、進行組織並發表。龐加萊特別強調孕育階段的潛 意識角色，這是最難懂也是至為關鍵的階段。
談到潛意識就讓我們聯想到作夢，而談到作夢又讓我們想到佛洛伊德在 1900 年出版的《夢的解析》這本書。在佛洛伊德出版《夢的解析》之前，人類 常把所作的夢當成神諭或預告未來即將發生的事件看待。上個世紀初期，當印 度數學家拉馬奴姜在英國留學時，他的老師哈代就常常好奇的問說：「你每天早 上一起床，就寫下這麼多的恆等式，到底是如何發生的？」拉馬奴姜總是說「那 些是昨晚神明託夢給我的。」例如：
3 5 32 5 27 5 1 5 3 5 9
5 5 25 25 25;
3
3 3 3 3 3 9 2
cos 40 cos80 cos 20 ;
2
3sec 40 3sec80 3sec 20 36 39 1 .
拉馬奴姜顯然是個等式達人，也是將龐加萊孕育階段中的潛意識發揮到淋 漓盡致的人。
最後，把圍貓遊戲當成小孩子數學思考的學習單，觀察不同孩子經歷準備、
孕育與驗證階段的發展過程是個不錯的主題。當然，小孩迷失方向時，老師應 該適時介入給予該有的幫忙，但切忌將答案傳遞給他。
試試題(一)第二題就是證明拉馬奴姜的恆等式
3
3 3 3 3 3 9 2
cos 40 cos80 cos 20 .
2
在五十位考生中只有一位作對，而且是位高二的女生，以下是羅啟心這位 女學生的作法：
設
3cos40 3cos80 3cos20 3cos40 3cos80 3cos160 ,
S
則
3
3 3 3 3 3 3
3 3 3
cos 40 cos80 cos160
3 cos 40 cos80 cos80 cos160 cos 40 cos160 3 cos 40 cos80 cos160 .
S
S
利用三倍角公式可知 cos40 ,cos80 ,cos160 為
3 1
4 3 x x 2 的三個根，再由根與係數的關係知道
cos40 cos80 cos160 0;
cos 40 cos80 cos80 cos160 cos 40 cos160 3;
4
cos 40 cos80 cos160 1.
8
由第一及第二式知
3 3 3 3 3 3 3 3
3 cos40 cos80 cos80 cos160 cos40 cos160 .
S S 2
現在令
3cos40 3cos80 3cos80 3cos160 3cos40 3cos160 ,
T
則
3 3
3 .
S TS2 又
3
2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2
3 3 3
2
cos 40 cos80 cos80 cos160 cos 40 cos160
3 cos 40 cos80 cos160 cos 40 cos 80 cos160 cos 40 cos80 cos 160 3 cos 40 cos 80 cos 160
3 1 1
3 3
4 2 2
3 3
2 2. T
T
T S
TS
綜合兩式，得
3 1 3 3
2 4.
T S
將此式代入 3 3
3 2
S TS ，得
3
3 3 3 3 3 1 3
3 27 ,
2 4 2
S ST S S
展開整理，得
9 6 3 27
9 27 0,
S S S 8 再配方，得
3 3
3 27 27 27 9,8 8
S
解得
3 3
3 3 9 3 9
3 ,
2 2
S 或
3
3 9 2
2 ,
即
3 3
3 3 9 3 9
3, 3
2 2
S 或
3
3 9 2
2 3.
因為 S 為實數，所以S 也是實數，因此3
3
3 3 9
2 3,
S
3 3 3 9
2 3, S
即
3 3 3 3 3 3
cos 40 cos80 cos 20 9 2 ,
2
得證。
