第四章 研究二 數學領域能力指標系統重組的適切性 評估研究
第一節 研究二的研究程序
本研究主要將教育部(民 91)九年一貫數學領域暫行綱要之「數與量」和「代 數」的主題軸進行分析，同時對照教育部（民 92）九年一貫數學領域綱要修訂 草案，再參酌 NCTM（2000）、伊利諾州、佛州、加州等州和英國（2002）、日 本（1989）數學課程指標系統以及 NAEP（2004）、TIMSS（2003）等數學評量 指標系統，同時依據Bloom et. al. (1956)、Anderson & Krathwohl(2001)、Marzarno
（2001）、Gronlund(2000)和黃政傑等（民 85）等教育目標相關理論，並加以重 新組織和整理，然後進行專家學者的模糊得懷術分析，來評估研究者所重組的指 標內容的適切性。以下將過程區分三階段進行說明：
壹、準備階段
主要為本研究進行前準備工作的描述，包括指標系統重組的主要依據和原 則、專家的邀集以及相關文件資料等部分，文件資料主要描述指標系統重組的資 料處理，包括質的資料和量的資料。
貳、重組指標適切性評估階段
主要描述本研究評估的實施過程和資料處理的結果，本研究採用模糊得懁術 的技術邀請專家評估研究者所重組的指標適切性，總共進行兩回合。資料的處理 包括第一次問卷資料分析的結果和第二次問卷修正的過程、回饋資料的呈現以及 資料分析的結果。
參、後續階段
本階段主要呈現本研究評估的資料處理和分析結果，並整理相關資料提供專家 結果的回饋，和提出具體結論和建議作為未來研究的參考。
第二節 能力指標系統重組的準備階段
壹、能力指標重組的原則
一、指標系統重組敘寫的參考依據
（一） 依據能力指標敘寫的原則（黃政傑等，民85）以操作型定義的陳述惟 主，並考量到統整性、可測性、和可行性的原則。
（二） 統整Gronlund（2000）的目標敘寫原則，和現行評鑑機構所提出的指 標評鑑規準（包括 AFT,1994；Fordham,1998；Kendall,2001）整理出 的檢核表為本研究指標重組敘寫的規準。
二、指標系統重組的主要架構
（一） 在本重組指標系統中，將特定學習內容分別組織歸類成內容標準，如
「N-S-1 學生能理解數的表徵、數的系統和數的關係」。內容標準乃是 將指標內涵進行組織的分類方式，幫助運用者較有系統的掌握在特定 領域中學生所能展現的學習表現，並非將學習內容進行片斷分割。並 將指標系統相關階層和名詞位階予以釐清：
領域（domain）：指內容或科目，在本研究中以九年一貫課程的七大領域為 主要分類。例如：數學、語文和社會等。
主題軸（strand）：指學習內容的類別，以一個字彙或詞彙來表示。例如：
數與量、代數等。
內容標準（content standards）：指學習結果的一般性陳述，也就是內容主 題的次要類別。主要是將該領域在特定主題的內容進行有系統的組織，
並提供摘要式的陳述，讓運用者能對指標內涵有整體性的掌握。例如：
學生能理解數的表徵、數的系統和數的關係。
表現標準（performance standards）：指學生在4 個階段層次上的預期表現，
也就是在該階段學生應該知道和能夠展現的技能。在本重組指標中主要 以在每一個學習標準下所展現的知識或技能為主，並不再細部或具體化 教學程序或相關教學法，提供老師在知識和技能的教學和評量上比較大 的彈性空間。
關於階層架構於下表舉例說明：
領域＝數學
內容主題＝數與量
次內容主題7＝數與計算
內容標準＝N-1-1 學生能理解數的表徵、數的系統和數的關係 指標內容＝N-1-1.1 描述正整數。
表現標準＝能描述2000 以內的數（第一階段）。
7數與量的主題軸涵蓋「數與計算」和「量與實測」兩部分次要主題。
（二） 本研究之重組指標系統，所呈現的內容標準主要以「事實概念的理 解」、「心智技能的操作」和「情境脈絡下的策略應用或學習遷移」三 大項目為主。例如：「學生能理解數的表徵、數的系統和數的關係」
屬於數與量內容領域的事實概念的理解、「學生能利用數的性質和關 係進行計算」屬於數與量內容領域的心智技能的操作、「學生能選擇 適當的方法或工具進行解題」屬於數與量內容領域的學習策略的應用 和遷移部分。而在「量和實測」主題中的心智技能操作主要在情境脈 絡中展現，因此僅區分為兩類。
（三） 考量到指標的中立特質和表現標準的內容並未進行適切性評估，因此 在本研究中擬將指標內容和基本表現標準區分開來，例如 N-1-1.1 描 述正整數。為指標的內容，基本表現標準另外以能力序階方式展現，
例如：第一階段為描述 2000 以內的數，第二階段的基本表現標準則 為描述 100000 以內的數。
三、指標系統重組的內容參考依據
（一） 參考佛州、加州、NCTM、英國、日本的指標系統陳述方式。以內容 標準如：「N-1-1 學生能理解及表徵數和數的系統」「N-1-2 學生能利用 數的性質和關係進行計算」「N-1-3 學生能選擇適當的方法或工具進行 解題」等，將「數與量」和「代數」內容主題的指標細項進行歸類和 重組。讓指標系統有更清楚的架構和組織，而非只是將學習內容羅列。
（二） 參考英國成就層級的描述、NAEP 表現水準的描述，將基本表現標準 和指標內容區分，以不同階段能力序階的方式來陳述基本表現標準，
讓指標系統的陳述維持中立和儘量跳脫特定表現的敘述。例如N-1-1.1 描述正整數。為指標的內容，基本表現的表現標準以能力序階方式展 現，例如：第一階段的表現標準為描述 2000 以內的數。第二階段的 基本表現的表現標準則為描述 100000 以內的數。
貳、研究方法
本研究所採行的方法有二：
一、問卷法
本研究以模糊得懷術的方式邀請專家學者評估由研究者所重組數學領域能 力指標暫行綱要之「數與量」和「代數」主題軸的適切性，主要以問卷形式進行。
二、訪談法
為能進一步了解目前能力指標在實施上所面臨的困境，和更深入了解本研究 所邀集之專家學者對研究者所重組指標的建議，因此在進行第一次專家評估問卷 時，先邀請專家進行半結構性的深入訪談。
參、研究工具
本研究的研究工具為「數學領域能力指標重組專家評定問卷」，總共實施二 次。第一次問卷分為三部份，第一部份以訪談方式進行，主要了解專家對於研究 者所重組的數學領域指標系統在架構或內容方面的看法；第二部分為針對現行的 九年一貫數學領域能力指標系統，包括九年一貫課程數學領域暫行綱要（以下稱 91 年版本）和九年一貫數學領域綱要修訂草案8（以下稱92 年版本）進行檢核；
第三部份則是逐項評定由研究者所重組的數學領域能力指標「數與量」和「代數」
主題軸的適切性，問卷內容以及附件資料詳見附錄二、三。
第二次問卷則依據前一次調查結果與意見回饋修訂而成，包括前一次問卷的 回饋資料。第二次問卷的內容主要以第一次問卷所得到的結果，建立新的指標系 統，然後由專家對研究者重新建構的數學領域能力指標系統的項目之合宜程度進 行評估，問卷內容以及附件資料詳見附錄五
肆、能力指標系統重組評估專家的邀集
本研究主要以模糊得懷術的方式進行。「得懷術」是以學者、專家作為調查 對象，依據本研究的研究目的，邀請教育及數學相關領域的學者專家8 人參與研 究的樣本，組成「得懷術小組」。此小組成員涵蓋理論和實務等不同層面，但對 指標系統、數學教學等方面均學有專精，同時熟悉數學領域的能力指標，專家小 組中並同時考量曾參與91 和 92 年兩版本指標編擬工作，但並非負責主要撰述的 成員，力求評估結果的專業性和客觀性。得懷術專家的相關描述如表4-1所示。
表4- 1 得懷術小組成員一覽表 得懷術
專家
現職 相關經歷
E1 教育相關領域副教授 九年一貫課程數學領域綱要修訂小組 成員、認知心理學、數學教材教法 E2 教育相關領域副教授 中小學基本學力指標之綜合規劃、課
程發展、學校本位課程、國中小九年 一貫課程教學輔導
E3 教育相關領域助理教授 教育政策、教育評鑑、教育指標系統 發展
E4 教育相關領域助理教授 教育行政、課程設計、國小九年一貫 課程數學領域召集人
E5 教育研究院數學組助理研究員 九年一貫課程教學輔導、數學領域教 科書編輯委員
E6 國小教師 九年一貫課程數學領域召集人、資深
8 本研究進行時，數學領域課程綱要尚未正式公佈
數學教師、數學科輔導團輔導員、數 學領域教科書編輯委員
E7 國小教師 九年一貫課程數學領域能力指標規 劃、九年一貫課程國小教學實務經驗 E8 國中教師 九年一貫課程國中教學實務經驗
伍、資料分析與統計方法：
本研究的得懷術問卷的資料分析與統計方法分為質的部分和量的部份兩大 類。
一、質的分析
本研究的第一次專家問卷的第一部份以訪談方式進行專家意見收集。透過半 結構方式的問題與受訪者進行訪談，以了解受訪者在相關問題中的理念及想法。
（一） 訪談內容的轉譯和段落化
將訪談的錄音資料轉譯成逐字稿，並校對內容上的錯誤，並且將訪問的問題 還原為受訪者的敘述，力求對研究現場的情境脈絡有詳實的紀錄。將受訪者的陳 述，按照內容主題、觀點或事件再斷開為一個小段落，每一個訪談主題則再區分 為數個小段落，每個小段落則包含數個以上的句子不等。在進行段落切割的同 時，研究者不斷地核對文本的上下文，保持原有的脈絡結構，盡量避免因為有忽 略敘述脈絡而造成斷章取義的情況。例如：
E70101：當學生如果說遇到他生活上有關數學的部分，他應該要能夠去處理，去 處理解決問題，比如說：對低年級的學生來說的話，應該是基本的加減啦！
或者是說測量啊，然後或者是估算啊什麼的，總括來說就是應該要會作一些 解決問題。
E70101：表示E7在提到第一個主題（01）的第一部分段落（01）。
（二） 資料分析的嚴謹度檢核
在訪談稿整理的過程，邀請教授數學教材教法，具有學習理論相關背景並曾 進行質性資料相關研究的協同研究者1 名，並隨機抽取訪談專家原案一份，與研 究者資料分析情形進行評分者一致性的比對，所得到的編碼一致性係數為.847。
初稿分析完畢之後，請受訪者針對初稿進行審閱，了解是否有需要增刪或加 以補充的部分，並詢問初稿與受訪者的原意符合程度，並且針對受訪者所提供的 建議進行修正作為資料可信賴度和徵信度的依據 。
（三） 資料的分析與詮釋
在本研究中訪談部分主要以內容分析法進行，研究者在資料分析時先以訪談 大綱的架構為主，將資料歸類在一起，然後再將相同主題的內容重複閱讀和彙 整，理解受訪者談話內容的整體概念，並同時進行撰寫和反思，並將相同主題的
內容再綜合成更整體的觀點。
二、量的統計
本研究中量的統計方面，主要以三角模糊數的運算來呈現問卷中專家對指標 細項的評估，然後依據每個指標的三角模糊數去模糊化後的重心值來代表整合決 策群體對各指標評定尺度之共識，再依門檻值來篩選指標。
門檻值的大小的決定將影響篩選出來的指標數量，至於門檻值的大小則依據 決策者主觀認定。吳政達（民88）的研究中訂定 0.7 為篩選合宜指標的門檻值。
在本研究中以0-10 作為模糊語意量尺的評定範圍，若將傳統 Likert 五點量尺「大 致同意」的評定轉換成模糊語意量尺約在6-8 的區間，因此訂定 7.5 為本研究的 門檻值。
MA ≥ 7.5，接受 A 指標為合宜指標。
MA ＜7.5，修改 A 指標。
以上資料處理的計算採用EXCEL2000 進行。
第三節 重組指標適切性評估階段
本階段主要進行能力指標系統重組適切性的評估，主要進行兩回合。以下針 對實施過程中的相關事宜進行說明：
壹、能力指標系統重組的第一次評估 一、研究工具
本研究的第一次評估主要透過「數學領域能力指標重組專家第一次評定問卷」
進行，第一次問卷包括三部份：
（一） 訪談部分
第一部份以訪談方式進行，主要了解專家對於研究者所重組的數學領域指標 系統在架構或內容方面的看法，研究者僅在事先擬定幾個特定的問題方向，在進 行訪談時採開放的角度，從受訪者的回答中，再深入探問相關問題，並無特定的 順序。主要問題如下：
1.學生的數學能力具體表現為何？
2.能力指標陳述方面：
2-1 對指標架構的看法。
2-2 對研究者重組架構內容的看法。
3.對現行能力指標系統（數學領域）實施的看法或困難。
（二） 數學領域能力指標重組第一次專家評定問卷
此部份則是邀請專家逐項評定由研究者所重組的數學領域能力指標系統「數 與量」和「代數」主題軸內容的適切性。由於本研究採用模糊得懷術進行，因此 在正式評估之前先由研究者向專家說明相關概念，同時了解專家的模糊語意評定 尺度。
關於指標敘述的體例，首先將特定的學習內容組織歸類成內容標準，幫助運 用者能更有系統的掌握特定領域中學生所能展現的學習表現，並以「事實概念的 理解」、「心智技能的操作」和「情境脈絡下的策略應用或學習遷移」三大項目為 主。例如：「學生能理解數的表徵、數的系統和數的關係」屬於數與量內容領域 的事實概念的理解、「學生能利用數的性質和關係進行計算」屬於數與量內容領 域的心智技能的操作、「學生能選擇適當的方法或工具進行解題」屬於數與量內 容領域的學習策略的應用和遷移部分。而在「量和實測」主題中的心智技能操作 主要在情境脈絡中展現，因此僅區分為兩類。
在陳述上主要把指標中的學習內容和學生的表現標準區隔，另外，將原指標 系統內容中所指陳的形容詞或副詞例如：簡單、初步、延伸、嘗試理解等較無法 具體陳述學生行為表現的描述，或是容易與教學歷程或教學法混淆的動詞，例 如：經驗、察覺等加以修改，並同時考量以呈現認知歷程的動詞為主，例如：流 暢的進行...運算。最後彙整成第一次評估問卷，第一次評估問卷的指標數量如表 4-2所示：
表4- 2 第一次評估問卷指標數量統計
第一階段 第二階段 第三階段 第四階段 總計
數與計算 10 14 11 1 36
量與實測 4 7 8 0 19
代數 1 4 6 10 21
總計 15 25 25 11 76
（三） 數學領域能力指標評鑑部分
此部分為針對現行的九年一貫數學領域能力指標系統，包括教育部(民 91) 九年一貫數學領域暫行綱要（以下稱91 年版本）和教育部（民 92）九年一貫數 學領域綱要修訂草案（以下稱92 年版本）兩套版本的陳述體例，邀請專家進行 審核。
此部份由研究整理相關的指標評鑑論述，和現行評鑑機構所提出的指標評鑑 規準（包括AFT,1994；Fordham,1998；Gronlund,2000；Kendall,2001）而成的檢 核表，包括指標陳述的清晰性、指標內容的適切性和指標陳述所應具備的獨特特 性三個向度，共有17 題。
二、實施情形
本研究的第一次問卷評估時間於91 年 7 月開始，由研究者親自拜訪各專家 面對面說明研究目的，以及溝通問卷編擬的相關背景和想法，並同時進行訪談，
然後商請專家於事後針對研究者所重組的指標細項進行逐題審核，因為該問卷相 當費時耗力，因此填答問卷的進程尊重專家的時間考量，問卷的回收方式由研究 者親自收取或是委託專家郵寄，至最後問卷收回的時間約在91 年 8 月，總共實 施的時間約為2 個月。
本研究所邀請的得懷術專家小組共有8 位成員，其中有一位專家婉拒填答重 組適切性的評估，因此總共回收7 份問卷，流失 1 位專家的第三部分適切性評估 資料，回收率為87.5﹪。
貳、指標系統重組的第二次評估
在本研究中第一次問卷評估結果中僅有2 項指標通過門檻值，表示專家認為 重組指標的陳述有再行斟酌和修改的必要，因此研究者重新參考各相關文獻，以 及彙整專家訪談的資料，並私下向部分專家請益。本階段主要參考專家在第一次 評估結果的建議加以修改，進行指標系統重組適切性的第二次評估，以下針對實 施過程中的相關事宜進行說明：
一、能力指標系統重組的原則調整
（一） 關於指標的敘述方式，主要依照知識和技能形式表現來建構，在本研
究中，第一次問卷主要陳述的方式是將基本表現的標準和學習內容區 隔，由於大多數專家認為如此陳述太過抽象，建議將學習內容的表現 標準融入指標中，在考量與學生基本能力表現標準不衝突的情況下，
本研究的第二次問卷中，決定參酌專家的建議。
（二） 陳述方面，參考專家們的建議以及伊利諾州（Illinois）學習標準的陳 述方式，將指標分不同階段以表列方式呈現。
（三） 指標系統重組的相關動詞表現敘述的進一步界定
本重組指標系統在學習表現的敘述部分，以學生能掌握「數與量」和
「代數」的學習內容為主。並統整Bloom et. al.(1956)、Anderson et.
al.(2001)、Marzarno（2001）等相關理論，在特定學習內容的展現上，
以記憶和理解兩大類別的認知表現層次為主；另一部份則著重在特定 學習策略遷移和應用層次上。本指標系統在敘述部分，主要考量動詞 和名詞兩者的關係來判別表現的層次，並且以能描述學生在特定行為 的表現性動詞為主，例如知道、運用。
屬於「記憶」類別的表現敘述，主要以學生能進行相關知識或技能的模仿 或再認為主，例如：知道、描述…意義、進行換算。
屬於「理解」類別的表現敘述，以學生能將學習內容重新組織和詮釋，內 化到自己的知識架構之中，例如：運用…不同型式進行描述、
推斷、比較、辨識、用不同的型式說明、流暢的進行運算、運 用…檢驗、發展…運算策略。
屬於「應用」類別的表現敘述，主要呈現情境的脈絡，讓學生展現知識技 能的應用或相關策略：選擇…適當的方法、發展…適當的工具、
運用….解決問題、運用…歸納。
另外，將原指標系統內容中所指陳的形容詞或副詞例如：簡單、初步、
延伸、嘗試理解等較無法具體陳述學生行為表現的描述，或是容易與 教學歷程或教學法混淆的動詞，例如：經驗、察覺等加以修改。
（四） 至於對數學領域中的專有名詞，也在第二次問卷進行中加以界定，包 括一些錯置和誤用的更正，並且再將重組指標的定位和限制於結果彙 整中補充說明，避免造成專家的誤解。
（五） 研究者更進一步比對分析相關指標系統在「數與量」和「代數」部分 的內容敘述如NCTM（2000）、佛州、加州、伊利諾州、英國和日本，
進行內容陳述方面的修改。
二、研究工具
本研究的第二次評估主要透過「數學領域能力指標重組專家第二次評定問卷」
進行，第二次問卷的內容主要以第一次問卷所得到的結果，建立新的指標系統，
然後由專家對研究者重新建構的數學領域指標系統的項目之合宜程度進行評 估。除了第二次評定問卷外，同時附上第一次問卷實施結果的回饋資料，提供專
家進行評估的參考。
第二次的評估問卷將修改依據和修改前後的差異，以及專家的評估分左右兩 頁對照呈現，方便專家進行審閱，另增加「修改建議欄」，期能更廣泛的瞭解專 家們對重組指標的相關意見。第二次評估問卷的指標數量改變結果如表4-3所示：
表4- 3 第二次評估問卷指標增刪數量統計
第一階段 第二階段 第三階段 第四階段 總計 數與計算 10→15* 14→18 11→14 1→1 36→48 量與實測 4→5 7→7 8→7 0→0 19→19 代數 1→1 4→4 6→7 10→9 21→21 總計 15→21 25→29 25→28 11→10 76→88
*註：→ 表示指標數量改變的結果，例如 10→15 表示第一次問卷原有 10 個指標，第二次問卷 則變為15 個指標。
三、實施情形
本研究的第二次問卷評估時間於91 年 10 月底開始，由研究者親自拜訪各專 家說明回饋結果和修改方向，以及溝通問卷編擬的相關背景和想法，然後商請專 家於事後針對研究者所修改的指標細項再進行逐題審核，因為問卷同樣費時耗 力，再加上正逢學期之中，填答問卷的進程仍尊重專家的時間考量，問卷的回收 方式仍維持研究者親自收取或是委託專家郵寄，至最後問卷全部收回的時間約在 91 年 12 月底，總共實施的時間約為 2 個月。
本研究所邀請的得懷術專家小組總共 8 位成員，第一次共回收 7 份問卷，
第二次總共回收6 份問卷，又再流失一份專家資料，回收率為 75﹪。
第四節 能力指標系統重組適切性的評估結果
本研究透過實徵方式，邀請教育及數學相關領域學有專精的專家學者組成得 懷術小組，為研究者所重新整合的九年一貫能力指標暫行綱要數學領域之「數與 量」和「代數」的內容進行適切性評估，透過訪談法和問卷評估兩種方式進行，
結果詳述如下：
壹、專家訪談部分
本研究的第一次專家評估中，研究者同時邀請專家進行訪談，以更深入瞭解 專家的想法，並面對面溝通和澄清其中的相關概念，作為修正指標系統的參考。
以下針對訪談大綱中所呈現的三個主要問題進行分析：
一、數學能力的具體表現
專家所認為學生的數學能力表現方式或是對數學能力的描繪，同時也回答了 他們希望透過數學教育所能達成的目標，也就是他們對數學領域能力指標最後所 能達成的終點行為的期待。
（一） 數學能力是在解題歷程中展現的
數學能力是一個結構複雜的心理構成物，包含多種多樣心理方面的、許多特 性的獨特的綜合，它是一個完整的心理品質，並且是在數學活動的過程中形成的
（克魯切茨基，民82）。能力唯有透過活動才能展現。一般而言，數學能力表現 在解決所遭遇的數學問題情境。
E70101：當學生遇到他生活上有關數學的部分，他應該要能夠去處理和去解決問題，比如說：對…
低年級的學生或者是…低年級的學生來說的話，應該是基本的加減啦！或者是說測量啊，
然後或者是…嗯…估算啊什麼的，那總括來說就是應該要會作一些解決問題。
E50101：獨立解題也是一種能力，因為除了經由老師講解之後，經由複製動作的模仿後，學會解 題，這還稱不上解題，最根本的還是經由思考，組合經驗下獨立解題。
（二） 從模仿學習到創造性行為的產生
從例行性問題的模仿到抽象特質的一般化，數學能力有不同層次的展現。在 知識向度中已經從特定內容慢慢跳脫到一般化原則或是生活中的應用。在認知的 向度也從低層次的知識獲取、理解、應用解題，到經過綜合分析抽取一般性抽象 元素之後的高層次認知活動，如形成問題或是數學模式化。
E60101：大部分都是透過老師的引導嘛！然後他會表…等於是說他進行表徵嘛!一般的學生如果 老師在教學過程中有在做操作，那他也會跟著老師做操作，如果老師的方式是用講述的，
那他也是用講述的，或是在黑板上發表，他的進行表現就是這樣或是老師出題學生解題給 你看…（後略）。
E10101：在國外有關數學能力結構的研究裡，認為有一種形成與解決數學問題的能力，也就是只 是後者的難度太高似乎problem posing 跟problem solving，更高層次的是數學建模，
mathematic modeling，不是中小學課程可以處理的。
（三） 從認知的模仿到數學素養的內化
學生數學能力的培養，除了讓學生學會數學內容知識和獨立解題外，通常還 會期待他們在生活中能融入數學的觀點，這涉及到學習的情意部分，如同 Krathwohl et. al.(1964)將認知和情意目標比喻為兩把並列的梯子，換句話說在學 習歷程中認知和情意兩個部分是相依共存的，當高層次的認知行為展現時，情意 層面的內蘊也就相伴而生，甚至是內化成為價值或人格的體系，也就是所謂的數 學素養。
E80104：最基本期待就是能在考試成績上有所表現，但最好互動方式…就我希望看到他們真的很 喜歡數學，就從學生平常找我問一些其實跟課本無關的數學，但他們會有心想要更高一點 的內容。…（略）比較期待他們是透過數學這個媒介能至主動學習…然後落實在生活中。
E10104：另外，國外的學者認為還有一種數學能力是數學思維，mathematical thinking，也就是他 能夠用一個數學眼光看生活事件，這樣的能力我最近幾年比較能體會，我常常問我們心輔 系的學生，你學了一段時間的心理學之後，是不是會覺得生活中到處有心理學的問題，也 會問出許多有心理學意義的問題。具有mathematical thinking的人，會覺得生活裡有很多與 數學相關的現象，就像戴著一副數學的眼鏡一般，一個學數學學得很成熟的人他會有那樣 的觀點。雖然不一定可以具體擬出數學問題，那個跟problem posing不太一樣，也就是說 problem posing是擬出一個很具體的數學問題出來，但是數學思維是給你一個觀點，你會覺 得這東西跟數學有關。
能力從問題情境中表現出來，所以在解題過程中，同時也表現出個人的數學 能力。數學學習的內容主要是數量形的概念和關係，但是在數學能力的一般表現 中，通常已經跳脫數學的特定學習內容，展現的是更高層次的抽象性以及邏輯性 思考，高層次的認知行為產生相伴著情意學習的發展，願意主動學習、欣賞和喜 歡數學，甚至是形成正向的態度和價值體系，是數學能力的最終表現。
二、能力指標系統執行的困境
專家反應出的指標系統執行困難，其實也透露出數學領域能力指標系統未來 可以整合或改進的方向。
（一） 倉促上路的情形下，能力指標系統的規劃和發展的基礎並不完備 九年一貫課程最大的變革是能力導向，相較於台灣以往的課程本位導向，這 樣的改革是值得肯定的。
E20302：…（前略）回歸到教育，教育要真的是要教給孩子們，怎麼樣的實質應被面對，他以後 的世界也好，或是現有的世界也好，我覺得這（九年一貫課程）是非常好的做法，跟過去 以來我們所看到的教育的訴求是滿不一樣的，這是一個特點，
我國一直缺乏有系統的去建構教育指標，長期以來也沒有一套完整的教育指 標可以運用（張鈿富，民90），因此在面對九年一貫課程的重大改革，就發展或 應用層面來說，相關的理論基礎或了解可能還不夠充足。
E30301：就發展來說，如果就學生學習能力指標，部裡的那套，其實是有的，但是背後的理論基 礎，或者可信度，我覺得其實都不大足夠；在發展的過程，也不是那麼完整，所以我覺得 它的運用，說實的就等於零啊！因為很難去應用它。
九年一貫課程從高遠的理想性課程到教師在班級中的實際運作，必須經過一 連串轉化的歷程。在整體環境和規劃還未到達成熟的準備度下就倉促實施的結 果，如何從理想、抽象的目標層次落實到具體特定的教學活動，其中的轉化和各 層次之間的連結仍處於摸索階段。
E20305：這（能力指標）是過去所沒有的，所以我們現在看到理想面時，不要說老師，就如同 你剛剛說的可能連課程專家未必都知道怎麼去轉化（能力指標），…（略）所以我們也看到 這次很多參與九年一貫的許多學者，對於要怎麼銜接他們的沒有一個很清楚的做法或是提 出做法，甚至可能也沒什麼去想能不能做的出來吧！學校老師也更不清楚要怎麼轉化，所 以實際面我就看到，各校就是（停頓）…各自用自己的方式在轉換，而所謂的能力指標轉 換出來對不對不知道，還有怎麼轉換，大家都自己在摸索，這是我看到的。實施狀況就我 的看法來說，就是每個學校抱怨連連，沒人教導他們，摸索的結果，勉強把每個教學科目 的單元對應到七大領域，每個教學科目的單元最好都能去對應到十大領域，對應的越多越 好，可是對應的很奇怪，對不起來也要對，因為沒人告訴他們怎麼做才最好。
教育是百年大計，我們卻急驚風地啟動教改巨輪。九年一貫課程在實驗一年 之後，於90 學年就倉促推動，由於授課時數和教材規劃的不同，造成四、七年 級銜接上的問題。
E10301：有個狀況是我們很倉促實施的結果會使銜接出問題，那我們實際上碰到的去試教四年級 學生的單元是他們曾經在三年級學過的幾乎一模一樣的單元，那是因為他們就是三升四年 級換了另外一班的關係，那如果從一年級慢慢上來就不會有這種狀況，這是一個很現實的 問題。
（二） 在能力指標系統各自表述下，執行者對能力指標的掌握上是有困難的 在發展指標系統的同時，就應該針對指標的呈現和敘寫方式做一明確的界定 和整合。就目前所公佈的能力指標系統而言，各學習領域甚至學習領域間的呈現 形式並沒有清楚的界定或一致的整合，各行其事的結果使得運用者很難掌握能力 指標所要傳達的藍圖。
E50301：能力指標無法讓人整體的掌握，不知所指為何，必須要經由一些註解。除非說如果整個 能力指標都有註解，老師們或業者他們要編教科書的話，才不會用揣測的做法，會去想說…
就是如果我本身…（略）要不然就是能力指標很清楚呈現，不然如果不能清楚呈現就是要 註解非常清楚，讓人有辦法掌握…
E80304：模糊，就是不清楚他們要我們檢核到什麼程度。
（三） 能力指標的解讀和詮釋間產生落差
由於無法清楚掌握指標系統的整體圖像，對於能力指標的解讀和詮釋就相對 困難。即使是同樣的內容材料，每個人在理解後所形成的詮釋就已經會有相當程 度的差異性存在，更何況是不同樣貌，不同體例的表述，在使用者的解讀和轉化 上就更加紛亂。
E60301：我們對於這次能力指標最大的困難點就是對能力指標的解讀，因為數學科能力指標他寫 得事實上就是有的非常廣泛，有的非常含糊，那曾經寫能力指標的教授去請教過他們，他 們有時候也很難解釋他的範疇在什麼地方…（略）在能力指標，在這個編書者的解讀之下，
寫出來的課本，再由老師對課本的解讀，都幾乎已經變質了。
E20309：那這就是我剛說的問題，轉化是什麼，不知道，那基本面（老師所要掌握的學生基本表 現）在哪？抓不到，那就各自解讀哦，你說各自解讀就很分歧了更不要說校內啦！校內每 個老師看法也不一樣。好，假設這基本能力已經達成了，有些老師也會覺得，能力指標所 敘述的某些字面意義他們也會有些意見，所以這就是轉化的困難點，就是浪費老師時間，
文字定義不清。
（四） 教師的相關知能培訓不足
造成能力指標系統運作執行的困境，整體環境的準備度除了綱要發展和本身 所呈現的問題外，執行者的專業知能也顯得不足。
E30303：我覺得第一個是老師本身對能力指標的概念不是很清楚，因為指標的概念涉及到一些比 如說：測量、量化，或著是一些數理統計的概念，一般老師其實在這一方面的訓練是不足 的，包括以前有關測驗評量或評鑑的學習時很少。
E20311：過去師資培育裡頭是不是完全提供這樣的思考，這樣互相討論的機會，就把它（如何執 行能力指標）丟在學校，好像你從來沒游過泳，今天我們老師要來教游泳一樣，你一定要 會游才能教人家，那就一團亂。
三、對重組指標架構的看法
專家對重組指標架構的看法大致抱持肯定的態度，但是站在各自不同的專業 立場，提出一些意見和看法，做為研究者進行第一次問卷評估結果修訂的重要參 考依據。
（一） 重組指標架構是對能力指標陳述的不同分類方式
重組指標架構把能力指標所陳述的學習內容，再以內容標準來予以組織和歸 類，內容標準的陳述主要以學生所習得的能力為主，如此的結構能清楚傳達所期 待學生習得的能力為何，而非以教材內容為主導。
E32-201：我覺得這是兩種分類方式，一種是說從學生到底要具備哪些能力去分，然後搭配教材 內容；一種是從內容來分析到底有哪些能力指標。
E32-202：我個人較贊同從學習的能力觀點去看，特別是九年一貫課程下，標榜十大能力，在十 大基本能力下，應該引導所需的教材，應該這樣做會較適合統整，而不是一個分類。…（略）
整體而言，我們要先從學生應該在數學領域得到一些能力，然後再搭配教材。這樣比較好。
（二） 讓執行者能有比較整體的了解
指標系統的的功能除了提供課程和評量的準則外，還要能溝通和傳達教學的 想法（Gronlund,2000）。因此敘寫要能讓運用者理解，但必須同時兼顧教學上的 彈性，目前指標系統的陳述大多在內容主題之後，就條列式的呈現學生的表現標 準，解讀上容易迷失在細項的描述，產生見樹不見林的情況，研究者除了將指標 敘寫的標準和內容作清楚的界定外，同時以內容標準將細項在進行組織和分類，
提供解讀上整體性的架構。
E72-201：我覺得這樣好像比較清楚跟以前的…我們指引上看到的學習，學習目標來說，好像是 比較清楚的作一些分類啦！…對。就是把一些描述的啦、或者是進行計算的解題的、因為 基本上以前的學習目標好像就包含的三類，只是它沒有很明確的說，可能需要怎麼樣去…
做實際的運用，沒有說出來。
E52-201：先讓老師們很清楚我到底要教些什麼樣數學知識，讓他先掌握住後，至於採用什麼方 法，透過什麼方式可能就要更整體性的呈現，比如：在低中高不同階段，在低年級階段，
我需要什麼樣的方式，來進行這個階段的教學，先讓老師就是說不要見樹不見林，就是先 大致了解低年級階段應透過什麼樣的方式，中年級怎樣，高年級怎樣，先讓他們心裡有數。
另外，我要教哪些數學知識、運算技能或怎麼去應用，先把他很清楚的讓老師知道：低年 級教哪些數學知識哪些運算技能哪些應用方面的東西，你很清楚的把他羅列出之後，再問 一、二年級應採用什麼樣方法，透過具體物啦，或是透過什麼樣的操作，應該先不要逐條 談，因為會變成老師還必須解讀你告訴的內容，變成自己他自己心裡沒有底，通常老師自 己經驗也有，那透過怎麼樣先讓他了解：我現在面對的是低年級的學生，所以我應該採用 什麼方式較合適。
（三） 重組指標架構的分類較為靜態與一般化
本研究的重組指標主要依據認知心理學中知識的類型，和教育目標的分類架 構進行重組，不過基本上仍比較偏重認知能力的部分，且沒有包含連結和解題的 歷程，對整體的數學能力來看，還僅是某些靜態的成分。
E12-201：（研究者問到將數學能力分成陳述性知識、程序性知識和策略或應用這三部分）從認知 心理學來說，我當然同意剛剛基本的歸類，可是我同時在想數學教育裡面他會怎樣去分析 數學能力，我剛簡單說過我對數學能力概念的分析，就有些東西我覺得拿來對照的話，會 有點覺得你那樣一個分法是比較靜態的分法。
因為並不具備數學特有的認知特性，感覺上僅一般認知歷程的重述。
E12-202：你剛用的意思事實上不同認知階段的用語…像他們在講這些東西實際上不是在一個解 題歷程裡頭一個階段，他是在講一個現象，比方說我解決某一種數學問題時例如跟幾何會
有很多推理，可能是演繹，或初級的幾何概念跟歸納有關，看多平行四邊形特性，我就會 抽其特性主要特性不變性在哪理，所以這兩個東西我也不知如何在一起…我覺得是兩個不 太一樣的東西。
（四） 重組指標的內容周延性和細步化的加強
重組指標的內容是不是涵蓋所有在該指標內容主題的相關概念，例如「數與 量」的內容是不是已經周延，是應該再進一步確認的。
E52-204：到底要學生學到什麼樣的概念，比如說你定了哪幾項，你說你要「數與計算」、「量與 實測」，「圖形與空間」或什麼什麼等等，接著要問你這幾項是不是可以把所有的概念都涵 蓋進去，例如乘數和積之間的關係，如果只列以上這幾項，你會把它列在「數與計算」裡，
可是那是屬於「數量關係」，不是「數與計算」，那不一樣…
若將表現標準從指標內容中獨立出來，整體敘述顯得太過抽象和一般化，沒 有辦法清楚指出該階段真正要習得的內容。
E12-204：我是想當你抽離到這個程度時，這已經是非常的抽象了。那這個抽象的程度會跟common sense的區隔在哪裡，我們當然知道小學要學會正整數，然後學會分數及小數的大小關係，
不用說我也知道小學要教什麼，但是幾年小朋友要學到什麼程度，這邊完全都不講。
四、整體社會文化價值和九年一貫課程理念的關係
九年一貫課程強調培養學生帶著走的基本能力，因此在規劃上以基本面為主 要考量。長期以來我們的社會中以競爭和升學來主導學習的進展，兩者並不完全 相容，這同時也成了能力指標系統在實施上的阻力。
E30306：我覺得整個評量文化是要建立的，只有考試文化而沒有評量文化。評量文化必須要深入 在老師的心中，家長心中，或學校來自於行政人員心中，認為這評量到底是為了要發現問 題，幫助學生學習，開發潛能，站在這樣的觀點去建立評量文化才有可能的，但是，如果 只要把考試和升學結合在一起，我覺得是無濟於事。
能力指標系統的落實和操作攸關九年一貫的課程改革的成敗。能力指標系統 的發展在理想面固然是值得肯定的，但是在從能力指標系統本身讓人無法完整掌 握和解讀，到執行者操作或是基本知能的訓練的不足，從規劃層面或是執行層 面，甚至整體文化價值的接受情形等整體準備度尚未完備的情況下，就倉促的實 施，造成執行和應用層面的混亂和困境。
貳、專家評估數學領域能力指標的重組適切性的結果
本研究透過模糊得懷術，來瞭解專家群體對於研究者所重組之數學領域能力 指標適切性的評估意見。首先邀請各專家訂定個人語意變數的偏好尺度，如表 4-4 所示。
表4- 4 各專家所評定語意變數偏好尺度一覽表 評定尺度語言值
專家代碼
完全不同意 不太同意 有些同意 大致同意 完全同意 E1 （0,1,2） （2,3,4） （4,5,6） （6,7,8） （8,9,10）
E2 （0,1,2） （2.1, 3,4） （4.1,5,6） （6.1,7,8） （8.1,9.9,10）
E3 （0,1,2） （2,3,4） （4,5,6） （6,7,8） （8,9,10）
E4 （0,0,1） （1,3,3） （3,5,5） （5,8,8） （8,10,10）
E5 （0,0,1） （2,3,4） （5,6,7） （7,8,9） （10,10,10）
E6 （0,0.3,0.5） （0.6,2.5,3） （3,5,7.4） （7.5,8,9.4） （9.5,9.8,10）
E7 （0,1,2） （2,3,4） （4,5,6） （6,7,8） （8,9,10）
E8 （0,1,2） （2,3,4） （4,5,6） （6,7,8） （8,9,10）
另外，本研究以每個指標的三角模糊數去模糊化之後的重心值代表整合決策 群體對各指標細項評估的共識，並訂定7.5 作為通過模糊得懷術評估的門檻值。
結果發現，在第一次評估問卷中研究者重組的76 項指標，除「A-2-1.2 用中 文簡記式表示常用的公式」和「A-2-1.3 描述數量樣式及特性」兩指標評估通過 門檻值外，其餘 74 項指標均未通過 7.5 的門檻值，表示專家認為有再行修改和 斟酌的必要。因此由研究者重新修改和整理相關資料，並私下向部分專家請益，
進行第二回合專家評估。
在本研究的專家第二次評估結果中，總共呈現 88 題指標細項，而通過 7.5 門檻值的總共有46 項，還有 42 項指標未達 7.5 的門檻值，各階段指標的初步統 計的結果如表4-5 所示，詳細的評估結果和專家的修改建議則詳見附錄七。
表4- 5 第二次專家評估結果通過指標數量統計表
第一階段 第二階段 第三階段 第四階段 總計
數與計算 4(15)* 4(18) 9(14) 1(1) 18(48) 量與實測 2(5) 1(7) 6(7) 0(0) 9(19)
代數 1(1) 4(4) 7(7) 7(9) 19(21) 總計 7(21) 9(29) 22(8) 8(10) 46(88)
*註:( )中所呈現的是重組指標原有的數量。
由於指標系統的重組需要相當的專業背景知識和必須耗費的資源相當龐 大，研究者考量個人有限的專業知識和資源，因此只進行兩回合的適切性評估。
茲將指標系統重組適切性評估結果整理如下：
一、「代數」內容部分
若從各內容主題來分析，「代數」部分僅2 個指標細項未通過 7.5 的門檻值，
分別是「A-4-3.1 運用代數形式或方程式解決脈絡性問題」、「A-4-3.3 描述和運用
商高定理」。研究者彙整專家在第二次評估問卷的修改意見和私下向部分專家請 教的結果，A-4-3.1 可能由於陳述的範圍太過廣泛，應該再具體一些; A-4-3.3 卻 又只是針對商高定理進行陳述，範圍又顯得太特定。
二、「量與實測」內容部分
在「量與實測」的內容中總共有 19 個指標細項，通過 7.5 門檻值的僅有 9 個，在第三階段 7 個指標細項中僅有「N-3-4.1 知道長度、容量、重量、面積、
體積等大的測量單位（例如：千公斤(公噸)、千公升(公秉)、百平方米(公畝)、萬 平方米(公頃) ）」未通過門檻值，不過其重心值為 7.42，已經非常接近 7.5。在第 二階段中僅有「N-2-4.3 知道日、時和分的關係，能用 24 時制來描述時間」通過 門檻值，不過同樣為時間內容的指標敘述(例如 N-1-4.3、N-2-4.2、N-3-4.2)，在 其他階段也均通過門檻值，表示專家大致能接受在時間部分研究者所重組的指標 陳述。
在第二階段僅有一個指標通過門檻值，即N-2-4.3，其中 N-2-4.1 和 N-2-4.3 以及N-2-5.3 的評估值為 6.77、6.35 和 6.49，雖未通過門檻值，評估結果還差強 人意，專家的建議比較屬於細節上的修改，例如N-2-4.3 把物體的運動「狀態」
改成運動「速率」等的描述。其餘的三個指標細項評估未達到6.0 的評估值，分 別是 N-2-5.1(5.17)、N-2-5.2(5.97)和 N-2-5.4(5.55)，在這三項指標敘述中，專家 普遍認為「發展」的用詞太過抽象和廣泛，值得再行斟酌。
在「量與實測」內容的第一階段總共有2 項指標通過門檻值，即 N-1-4.3 和 N-1-5.1，其餘三項指標雖未通過 7.5 的門檻，但也都在 6.0 以上，經研究者進一 步分析結果發現，在指標陳述中的用詞例如「N-1-4.2 用直接比對或複製的方式 比較物體的測量特徵（長度、重量等）」中的「直接比對」以及「N-1-5.2 選擇日 常生活中的測量參考架構來估測長度、重量或質量或時間」中的「測量參考架 構」，因未有進一步的例證或說明，顯得不夠具體。
三、「數與計算」內容部分
「數與計算」內容部分乃是所有指標中涵蓋最廣，數量最多的，由於涉及到 學生數學學習發展，和學習內容的編排架構，因此研究者在呈現時，將涉及發展 並且為類似的學習內容相關指標表列在相同區塊中，讓運用者能有完整且清楚的 概覽。同時也幫助專家和研究者進行評估和資料整理。
在第四階段中僅包含一個指標細項，N-4-1.1 評估值為 8.3 通過門檻值，表 示專家認可本指標的修改。而第三階段的指標中，總共有9 個指標通過門檻值，
而N-3-1.1、N-3-1.2、N-3-2.3、N-3-2.6、 N-3-1.4 五個指標雖未通過門檻值，但 評估值仍在6.0 以上，不過統整專家的建議包括「型式」的用詞並不統一，以及 增加具體示例來說明不同的表現形式為何。
第二階段所涵蓋的指標細項最多，但是在18 個項目中僅有 4 個通過門檻值，
分別是「N-2-1.2 運用具體物、圖示和數學符號描述和比較假分數及帶分數的大
小」、「N-2-1.3 辨識和推演出不同等值型式的分數，（例如2/8＝1/4。）」、「N-2-2.2 運用直式算則型式進行加減運算」和「N-2-3.1 選擇和應用適當的方法或工具進 行運算，如電算器、電腦」。而除了「N-2-1.1 運用具體物、圖示和數學符號描述 100000 以內的數」和「N-2-2.10 應用併式的規則簡化運算」，在 6.0 以下的評估 值外，其餘 12 個指標評估值雖未通過門檻，但也介於 6.28 到 7.29 之間。至於 N-2-1.1 有專家認為應有具體示例說明，同時覺得可能用具體物或圖示來表徵 100000 的數字並不合適；而 N-2-2.10 專家除了覺得陳述範圍太過廣泛模糊外，
可能研究者必須再斟酌併式的「規則」或「約定」之類的相關用詞。
第一階段總共有15 個指標，通過門檻的指標同樣也是 4 個，分別是「N-1-2.2 發展三位數加減法運算的流暢性」、「N-1-2.6 知道加減法的逆運算關係」、「N-1-2.9 流暢的進行同分母真分數(分母在 20 以內)的加減運算」和「N-1-3.1 選擇和應用 適當的工具檢驗運算的結果，如電算器」。同樣的僅有「N-1-2.1 知道加、減、乘、
除運算法的特性，並運用數學的方式呈現」，評估值為 5.13 外，其餘 10 項指標 的評估值介於6.0 到 7.42 之間。N-1-2.1 專家的建議和看法同樣認為「數學的方 式」用語太過廣泛不夠具體，應該有一些具體的示例加以說明。
參、數學領域能力指標評鑑部分
此部份乃是邀請專家們針對數學領域能力指標暫行綱要（教育部，91 年版）
以及數學能力指標的修訂版本（92 年版）兩套系統，進行簡單的審核。審核的 專家總共有8 位，檢核表形式為「完全不同意」到「完全同意」的五點量表，結 果以三個分量表和總量表的得分代表，得分越高，表示專家對於該版本指標系統 符合指標陳述規準的程度越高。兩版本指標系統的平均得分如表4-6所示。
表4- 6 數學領域能力指標評鑑結果統計表 91 年版本 92 年版本
指標陳述的清晰性 16.86 21.57 指標內容的適切性 21.00 19.86 指標陳述的獨特性 18.57 24.49 總量表得分 56.43 65.71 結果發現：
一、兩個指標系統評定結果在「指標陳述的清晰性」和「內容的適切性」兩個 向度得分接近
雖然兩指標系統在上述兩個向度中的得分互有高低，但是彼此的差異並不 大，不過92 年版本在清晰性上明顯的進行修正，例如指標合併的規則、敘寫格 式的一致性等；不過在內容的適切度上面，因為彼此在指標發展上均有個別的哲 學信念，以及教育理念，所以彼此得分更為接近。
二、「92 年版本」在「指標陳述的獨特性」得分稍高
在「指標陳述的獨特性」向度中，「92 年版本」平均總分為 24.49，「91 年版 本」為 18.57，相差 5.92 分，而「92 年版本」比「91 年版本」得分較高，主要 可能是陳述上92 年版本較 91 年精簡，比較容易理解，並且也較 91 年版本考量 到學生學習結果的陳述。
三、「92 年版本」在總分上較「91 年版本」高
在評鑑量表的平均總分，「92 年版本」為 65.71，「91 年版本」為 56.43，相 差9.28 分，顯示 8 位評定專家認為 92 年版本的整體陳述體例較佳。因為本評鑑 表主要以指標陳述為考量，在呈現上92 年版本因為有 91 年版本發展的基礎，所 以更容易掌握敘寫的形式。
不過因為進行審核的專家只有8 位，因此評分的結果僅供未來指標系統評鑑 發展或審核修訂的參考，並不具推論意義。
第五節 結論與建議
本研究透過實徵的方式，邀請數學和教育相關領域專家學者，針對研究者所 重組之數學領域「數與量」和「代數」兩內容主題的適切性進行評估。結果以重 組指標評估結果、實施程序等兩方面進行討論，最後提出具體建議作為未來進行 相關研究的參考。
壹、重組指標評估結果
一、半數的指標細項未達門檻值
在本研究中，訂定7.5 為接受該重組指標細項適切度的門檻值，在專家評估 的結果中，通過7.5 門檻值的指標細項共有 46 項，未通過的共有 42 項，佔全部 的52.3%。在未通過的 42 項指標中，僅有 7 項指標的評估值在 6.0 以下，換句話 說，有35 項指標介於 6.0-7.5 之間，結果雖未若預期理想，但在研究者有限的專 業背景和資源的情況下，以及僅能重組數學領域能力指標系統的一部分，可能和 專家們的預期有落差，所以尚屬差強人意。
二、提供指標陳述的架構和共通性語言
就目前九年一貫課程所公布的能力指標而言，陳述體例大多是各自表述，有 的精細程度接近教學目標，有些則和教學策略相互混淆。指標敘寫是專業
（Kendall，2001），但是這項專業目前並未受到應得的重視，在本研究中，除了 分析國際間現有的指標系統外，並參考相關評鑑機構所設定的規準，重組指標陳 述的階層關係和架構，提供共通性的語言，促進指標系統的溝通和運用。
三、指標陳述面臨周延和精簡的兩難困境
指標內容陳述的周延和精簡如同天平的兩端，二者如何取得平衡始終是指標 系統發展的難題（Thompson, 1999），在本研究中雖然是依據已經發展的現有版 本進行重組，但同樣面臨陳述內容的周延性和精簡的兩難困境，陳述太過詳盡則 顯得冗贅，相對的若太過精簡則容易造成誤解。
四、重組指標以91 年版本的內容為主要依據，僅提供陳述形式的參考 本研究主要依據91 年所公布的能力指標暫行綱要的內容，由於研究者個人 有限的專業背景和學經歷，僅能提供指標陳述型式的建議，在指標系統的邏輯和 內容的推論性，仍尊重原版本的架構。
五、重組指標並不涵蓋數學能力的全貌
本研究針對的數學領域「數與量」和「代數」兩主題軸的指標進行重組，僅 是數學領域能力指標的部分，性質上比較屬於學習內容的陳述，而非指標系統中 的歷程部分，因此以靜態的認知學習為主，未能涵蓋解題或是創造性行為等高層
次的能力表現，也同樣的無法窺視數學能力的全貌。
貳、重組指標評估結果的相關建議 一、指標的相關概念需要進一步澄清和界定
在研究者進行指標內涵分析時發現，我們並未先清楚的界定能力指標系統的 相關概念，例如相關名詞的上下位階層關係或是專有名詞的定義，尤其是「標準」
和「指標」以及「課程標準」和「內容標準」在界定上的混淆，也因此指標的內 涵和敘寫方式包羅萬象，包含教師的教學策略、學生表現能力的標準等，同時造 成解讀和執行上的困難。
另外，即便在美國，指標系統的相關名詞定義和運用仍相當分歧，例如表現 標準（performance standard）和標竿(benchmark)以及指標（indicator）（Kendall，
2001），甚至在不同領域或機構就有不同的指稱和定義，更遑論國內經過轉譯之 後的差異，例如學力指標(academic attainment indicators)、能力指標或是分段能力 指標(competence indicators or benchmarks)等(教育部，民 92a)，因此在指標系統 的運用上，首先應先進一步澄清和界定，甚至是將指標系統的相關概念和名詞統 一。
二、指標敘寫架構的整合，建立共通性語言
指標系統的呈現，概念和學習目標是相通的，其中一個功能是向他人傳達和 溝通，但是就目前能力指標系統各自表述的狀況下，造成運用的困難，往往讓實 務工作者將指標系統束之高閣，所以，指標系統若要真正落實，必先整合呈現的 體例和架構，建立運用上的共通性語言。
三、指標系統發展需要集思廣益，非一己之力可及
指標系統的發展需要投入相當多的人力和物力，乃是項高成本的任務，所涉 及的專業和討論的層面，並非研究者一己之力或是有限的背景知識可以勝任。九 年一貫課程實施至今，大都集中在課程發展或教學討論上，相對的，能力指標所 得到的關注和討論顯得不足，指標內涵影響整個課程的發展方向，所扮演關鍵角 色亟待投入更多的關注，群策群力集思廣益。
四、進行指標系統的適用性評估和修正
指標系統發展之後，或許因為九年一貫課程的實驗階段太過倉促，在大家還 沒有進入狀況就正式實施，因此在指標適用性的評估上並未有真正的落實，目前 指標系統尚在起步階段，適用性的評估和不斷的修正是必要的步驟。
五、發展並精緻化指標評鑑的規準
目前國內指標系統的發展仍處於整合階段，各領域指標系統仍是各自表述，
指標系統的評鑑規準(standard for standards)在相對位階上乃屬於指標發展的後設
階段也就是監控和評鑑的層次，而就目前現狀而言，到具體化且發揮效能仍有一 段距離。在本研究中研究者利用第一次專家評定問卷，邀請專家針對目前兩套數 學領域能力指標系統的陳述進行檢核，評鑑的規準乃研究者參考目前現有的文件 資料以及相關機構所發展的項目整合而成，內容難免粗略，評鑑規準的發展可能 需要更專業背景和相關領域的權威人士集思廣益共同擬定，並非研究者一己之力 所能達成，因此，未來在指標規準的發展上可能需要投注更多的專業和人力。
六、建立明確和具公信力的指標評鑑規準及制度
指標評鑑的規準在指標發展中提供一個準則和規範，不至於讓指標系統的發 展各行其道，雖然規準在指標系統的發展中比較屬於監控的後設部分，但若能在 指標系統發展之初，先建立大致的準則，或許對消弭目前的混亂有助益。而就現 況的亡羊補牢上，標準化的評鑑規準和制度仍需建立，且必須要明確和具公信 力，避免成為另一層面的指標亂象。
七、全面性的重組和進行評估
在本研究中，僅針對「數與量」和「代數」兩內容主題進行，未來可以考量 進行全面性的重組和評估，表現出數學領域能力指標所展現的數學能力全貌。
參、實施程序部分結果
一、應用模糊理論概念進行得懷術問卷，降低因人力物力等因素造成的研究限 制
目前得懷術在教育領域和政策發展上應用相當普遍，如游家政（民83）、劉 舜傑（民 90）等，不過傳統得懷術以中位數和中間 50%資料做為專家意見的範 圍，可能會忽略專家意見的極端值和資料必須反覆數次等缺點。模糊理論是將質 化問題轉換成量化處理，並能將專家意見的表達從二值邏輯轉化成比較符合語意 特性的研究方法，而模糊得懷術可以解決傳統得懷術在資料處理的限制，因此本 研究應用模糊得懷術的方法來進行專家共識意見的整合，降低傳統得懷術的限制 並更能表達人類語意思維的特性。
二、專家樣本受限於專業背景，採取非隨機化的組成
本研究針對數學領域「數與量」和「代數」兩內容主題的適切性進行評估，
需要仰重專家的背景知識和專業，因此在專家的邀請上，除了徵詢專家的意願 外，專業背景和經驗是首要考量，除了非隨機化的組成外，組成的人數也較少。
三、問卷評估過程耗力費時，造成專家相當沈重的負擔
本研究雖僅針對的數學領域「數與量」和「代數」兩內容主題的適切性進行 重組，卻佔了全部數學指標內容的60%以上，指標細項的數量在原來版本就包含 了91 項，經研究者重新組織和整合到第二次評估仍有 88 項，除了需要逐項進行
重組適切性評估外，還需對照先後版本的陳述內容，因此本研究的進行時程相當 漫長，專家評估工作的沈重可想而知。
四、模糊得懷術的實施，需要親自向專家解說
模糊理論的概念對絕大多數的專家而言是陌生的，因此在實施模糊問卷時，
必須要親自向專家解釋相關概念和資料處理的程序，雖然專家們支持和配合研究 者評估問卷的處理方式，但在模糊問卷的填寫和資料的結果上，仍造成些許理解 上的困擾。
肆、實施程序部分的相關建議
一、補強模糊得懷術實施程序的嚴謹度
由於考量到本研究的專家成員有限，以及傳統得懷術運用上的限制，本研究 利用模糊得懷術來進行，雖然在資料處理和程序上力求嚴謹，但仍屬粗略和試探 性質，未來在實施程序上可以修正本研究的缺失，例如葉晉嘉（民 87）比較傳 統問卷以及不同型式的模糊問卷，在實施結果上會產生不同的效益，未來的相關 研究可補強關於問卷的設計以及模糊得懷術實施程序等研究設計的嚴謹度。
二、進行模糊得懷術不同程序效益的比較
本研究採用模糊得懷術來進行專家評估，由於研究的主要目的為了解重組指 標的適切性，未來可考量針對不同程序或資料處理對結果的影響進行進一步研 究，更能掌握評估結果的確切性。
三、增加評估專家的數量，並考量分組進行，減輕專家負荷
由於進行指標重組適切性評估需要的有相當的專業背景和經驗，本研究僅邀 請8 位專家進行，加上得懷術程序的反覆評估，隨著次數的增加，對專家而言恐 不勝其擾，未來的相關研究若能由加入更多類似的具代表性和權威性專家，可考 量運用分組或其他方式進行，除了增加結果的推論效益外，同時可避免因為專家 資料流失或是專家婉拒等因素，降低結果代表性的窘境。
四、增加指標評鑑的專家群體
本研究的第一次專家評估問卷，僅邀請得懷術專家小組進行指標陳述的評 估，主要考量是因為指標評鑑涉及評估者專業背景，若對相關領域沒有一定程度 的瞭解，則會影響結果的可信度，因此目前僅邀請少數專家進行，未來可擴大專 家群體，甚至是更多元的組成，除了增加結果的推論效益外，可同時進行不同群 體的結果分析。
五、召開座談會廣泛且深入的收集相關建議
本研究的進行程式是由研究者個別拜會專家，並利用半結構性的訪談來收集
專家的建議，未來可以讓專家們以召開座談會的方式來進行，並利用焦點團體方 式進行資料分析，同時可以了解專家的意見，並透過面對面的方式，可彼此溝通 看法，並符合經濟效益。
