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∫∫ 提要 13 :解一階 ODE 的第六個方法 -- 非正合微分方程式的解法

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Academic year: 2021

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(1)

提要 13:解一階 ODE 的第六個方法--非正合微分方程式的解法

解題方向是想辦法將非正合微分方程改寫為正合微分方程式,那麼提要12 的解法

就可以繼續使用了,以下說明改寫方法。若:

( )

x,y dx+Q

( )

x,y dy=0

P (1) 非正合微分方程式,則可乘以一個函數F ,

( )

x y ,使得

=0 + FQdy

FPdx (2) 變成正合微分方程式,其中F ,

( )

x y 稱為積分因子(Integrating Factor)。以下介紹積分因子

( )

x y

F , 的推算方法。

1. 考慮F =F

( )

x

因為FPdx+ FQdy=0為正合微分方程式,所以

( ) ( )

x FQ y

FP

= ∂

∂ (3)

微分後:

x F Q dx QdF y F P

∂ + ∂

∂ =

整理後可得:

dx QdF x

Q y

F P =

 

−∂

dx dF F Q

x Q y P

= 1

−∂

(3’)

因為等號右邊是與 F 相關之運算,且 F 是 x 的函數,所以等號左邊應該也是 x 的函數 才對!若等號左邊出現變數y,則原微分方程式P

( )

x,y dx+Q

( )

x,y dy=0並不存在F

( )

x 的 積分因子。若積分因子存在,則可以對(3’)式作 x 變數的積分:

−∂

= dx

Q x Q y P dx dx

dF F 1

(2)

Q dx x Q y P

F

−∂

= ln

故積分因子F

( )

x 可表為:









−∂

=

Q xdx

Q y P x

F( ) exp (4)

同學們千萬不要嘗試去記上面的公式,只要記住式(3)即可,亦即只要記得

x N y M

= ∂

∂ 即

可。

2. 考慮F =F

( )

y

因為FPdx+ FQdy=0為正合微分方程式,所以

( ) ( )

x FQ y

FP

= ∂

∂ (3’)

上式與式(3)完全相同,但是其中之 F 是 y 的函數,而不是 x 的函數,所以式(3’)微分後 可表為:

x F Q y F P dy PdF

= ∂

∂ + ∂

dy PdF y

P x

F Q =

 

−∂

P y P x Q

dy dF F

−∂

∂ 1 =

(5)

上式中,因為等號左邊為與y 相關之函數 F 的運算,所以等號左邊僅與 y 有關,因此等

號右邊應該也僅與y 有關才合理。若等號右邊出現 x 變數在其中,則原微分方程式並不

存在單獨與 y 變數相關之積分因子F

( )

y ,亦即假設F =F

( )

y 是錯誤的。若假設正確,

即式(5)恆成立,則可對式(5)作 y 變數之積分,如以下所示:

(3)

−∂

= dy

p y P x Q dy dy

dF F

1

−∂

= dy

P y P x Q F

ln

故積分因子F

( )

y 可表為:

( )









−∂

=

P y dy

P x Q y

F exp (6)

同理,千萬不要想去背誦式(6),只要記得它是由(3)來的,亦即只要記得它是由

x N y M

= ∂

來的即可。

3. 考慮F =F

( )

x,y

在此情況下,並無法整理出類似式(4)或(6)之公式,此種類型的積分因子得靠敏銳 的觀察力才能曉得,而觀察力是靠經驗的累積,只有多算題目才能獲得。通常出題目的 老師並不會出這種問題來為難考生,若有考出此一類型的問題,一定有其他更容易的解 法可以拿來用。讀者須多作各種解析方法的練習,才能應付各種可能發生的情況。好比 知名廚師拿手的私房菜一定有好幾道,才能應付各種場合的需要。

(4)

範例一

試求

(

3x2 y2

)

dy2xydx=0之解。

【解答】

由題意知,可令:

( )

x y xy

M , =−2 ,N

( )

x,y =3x2y2 因為

( ) ( )

x y x y

xy

≠ ∂

∂ 2 3 2 2

亦即 x

N y M

≠ ∂

∂ ,所以此微分方程式並非正合微分方程式。但可試著乘以積分因子 F,

使新的微分方程式

(

3x2 y2

)

dy2xyFdx=0

F (1) 為正合微分方程式。

1. 首先考慮F =F

( )

x

因為式(1)係考慮為正合微分方程式,所以

( ) [ ( ) ]

x y x F y

xyF

= ∂

∂ 2 3 2 2

( )

xF

dx y dF x

xF 3 6

2 = 22 +

( )

dx y dF x xF 3 2 2

8 = −

2

3 2

8 1

y x

x dx

dF

F =− −

上式中等號左邊為與 x 變數相關之函數 F 的運算,但等號右邊卻出現變數 y,所以

( )

x F

F = 的假設不對,即FF

( )

x 。 2. 再考慮F =F

( )

y

同理,因為式(1)係考慮為正合微分方程式,所以

( ) [ ( ) ]

x y x F y

xyF

= ∂

∂ 2 3 2 2

dF xF xy

xF 2 6

2 − =

(5)

dy xF xydF 8

2 =

dy F ydF =4

y dy dF F

4 1 =−

ydy dy dy

dF

F1 =

4

y F 4ln ln =− 即

4

= y F

因為 y4

(

3x2 y2

)

dyy4

( )

2xy dx=0

為正合微分方程式,所以可以採用提要12 所示正合微分方程式的解法推求其解,其解

題過程如下。因為:

2 3

= xy

MN =3x2y4y2

x M

u =

∂ , N

yu =

其中u 為此微分方程式之通解u

( )

x,y =C中與x、y 相關的部分,所以





∂ =

∂ =

2 4 2

3

3 2

y y y x

u x xy u

再分別對變數x、y 作積分:

( ) ( )

( ) ( )





+

∂ =

+

∂ =

∫ ∫

∫ ∫

x l dy y y x y dy

u

y k dx xy xdx

u

2 4 2

3

3 2

( ) ( )

( ) ( )





+ +

=

+

=

x l y y x y x u

y k y x y x u

1 3 2

3 2

, ,

比較以上兩式可知,所選擇的k

( )

yl

( )

x 應分別為:

( )

y = y1

kl

( )

x =0 故u ,

( )

x y 可表為:

(6)

( )

x,y =x2y3 +y1

u

而通解應表為有包含積分常數C 之型式如下:

C y y

x + =

2 3 1

(7)

習題

1. Solve the following differential equation x

(

3ydx+2xdy

)

+y2

(

2ydx+4xdy

)

=0.【92 成 大土研所結構組】

2. Find the solution of 4xdy ydx x dy− = 2 .【94 台大土研所 10%】

3. Solve xy′ −4x y2 +2 lny y=0 by letting v=lny.【94 交大電機所聯招 18%】

4. Solve dy x y x3

( )

2 x y1

dx

= − + .【94 高科光電所 10%】

5. Solve the general solution of xy′ +2x3+2xy2 − =y 0.【94 大同機械所 10%】

6. Solve

(

1 xy y

) (

1 xy x

)

dy 0

+ + − dx = .【93 北科自動化所 20%】

7. Solve the following differential equation x

(

lnylnx dy

)

=

(

ylny y lnx x dx

)

.【94 台

大電機所10%】

8. Solve

(

3xey+2y dx

)

+

(

x e2 y+x dy

)

=0.【94 雲科光電所 10%】

9. Solve

(

2 cosy+4x dx x2

)

= sinydy.【93 中興化工所 10%】

10. Find the general solution of the following differential equation:

(

xysinx+2 cosy x dx

)

+

(

2 cosx x dy

)

=0.【93 中山電機所 15%】

11. Solve the general solution of

(

y2 9xy dx

)

+

(

3xy6x dy2

)

=0.【94 台科電機所 10%】

12. Solve xdyy xy+ 3

(

1 ln+ x dx

)

=0, y

( )

1 =1.【93 北科車輛所 15%】

13. Sove e dxx +

(

excoty+2 cscy y dy

)

=0.【92 中山電機所 15%】

14. Solve

(

3coshy+4

)

dx x+ sinhy dy=0.【92 北科高分子所 10%】

15. Solve y3+

(

x2 2xy y′2

)

=0.【92 北科高分子所 10%】

16. Solve the general solution y′ = −

(

3x y2 +6xy+0.5y2

) (

3x2 +y

)

.【92 北科自動化所 20%】

17. Solve sin 2 cos

x x

dy e y

dx = y e y

− ,

( )

0 3

y =2π.【90 台科高分子所 20%】

(8)

18. Solve 3 sin 22 2 2 cos 2 dy x y y dx x x y

= −

− .【90 清大材料所 10%】

19. Solve

(

x2y+3

)

dx+

(

2x4y3

)

dy=0.【93 北科冷凍所 10%】

20. Solve the differential equation

(

y26xy dx

)

+

(

3xy6x dy2

)

=0, y

( )

1 = −2.【94 雲科電

機所10%,93 淡江電機所 15%】

21. 求下列微分方程式的通解

(

x3 3xy2

)

dy y3 3x y y2 dy

dx dx

− = − − 。【93 中央環工所 20%】

22. (a) Is the differential equation xydx+

(

2x2+3y2 20

)

dy=0 exact? (b) Follow the above problem, if it is exact, please find the integrating factor first to make it exact. Then solve the corresponding differential equation.【92 台大電機所 15%】

23. Solve

2 2

dy y y

dx = − x + x , y

( )

1 =4.【93 台科電機所 10%】

24. Solve

(

2y xy dx+

)

+2xdy=0.【93 東華電機所 20%】

25. Solve

(

y xy dx 2

)

− +

(

x x y dy2

)

=0.【94 輔仁電子所 8%】

26. Solve

(

x y dx y 2

)

+

(

1+x dy

)

=0.【91 師大電機所 10%】

27. Solve 6xy+2y+ +8 xy′= .【90 雲科電機所 10%】 0 28. Solve dx+

(

3x e 2y

)

dy=0.【95 交大機械所 10%】

29. Solve cosxdx+

(

sinx+cosysiny dy

)

=0.【95 清大電機所 5%】

30. Solve 3

2 y

dy y dx = x y e

+ .【94 中興材料所 8%】

31. Solve

(

2x3y33x dx

)

+3xy dy2 =0.【88 北科高分子所 8%】

32. Solve

(

x2 +3y dx2

)

2xydy=0.【88 北科高分子所 8%】

33. Solve

(

3xey+2y

) (

+ x e2 y+x y′

)

=0.【90 海洋商船所 10%】

34. Solve

(

2xy e4 y +2xy3+y dx

)

+

(

x y e2 4 yx y2 23x dy

)

=0.【87 屏科研究所 10%】

(9)

35. Solve

( )

2

2 2

ln ln 2 xy y y

y x

′ = +

− , y

( )

1 =2e.【91 北科光電所 7%】

36. Solve y=

(

y4+3x y′

)

.【86 中原化工所 10%】

37. Solve

ln ln xy y y

y x

′ − =

− .【成大機械所 12%】

38. Solve

ln ln

dy y

x y

dx− = y x

− , y

( )

2 =2.【92 北科機電所 10%,93 交大電信所 5%】

39. Solve

(

y x dx xdy+ 2

)

=0.【87 台大造船所 15%】

40. Solve

(

x2 +y2+x dx xydy

)

+ =0.【86 交大機械所 7%】

41. Solve 1+x y2 2 + +y xy′=0.【86 交大電信所 10%】

42. Solve

(

4xy+6y dx2

)

+

(

2x2 +6xy dy

)

=0.【89 北科環境所 15%】

43. Solve

(

y2 +2xy dx x dy

)

+ 2 =0.【91 北科通訊所 10%】

44. Solve

(

1xy x y dx+ 2 2

)

+

(

x y x dy3 2

)

=0.【89 北科土木所 10%】

45. 求解2xyy′ −y2+x2 =0。【91 彰師機電所 10%】

46. Solve

(

2coshy+3x dx x

)

+ sinhy dy=0.【89 清大電機所 6%】

47. Find the general solution of the given differential equation.

(

y2+1

)

dx=ysec2 x dy.【91 成大電機所 10%】

48. Solve cosy dx2

(

x y

)

siny dycosy dy=0.【88 中山電機所 15%】

49. Solve y 12

(

x y

)

2

′ = x + .【90 海洋光電所 10%】

50. The integrating factor of the equation

(

xy2+4x y2

) (

+ 3x y2 +4x y′3

)

=0 is

(a) xy3+2x y2 2 (b) xy3+3x y3 (c) 2xy2+x y2 (d) x y3 +2x y2 2

(e) 2xy+3x y2 【90 台大物理所 10%】

(10)

51. Solve

(

cos 2x y

)

′ =2

(

ysin 2x+cos 2x

)

.【90 北科自動化所 20%】

52. Solve 6xydx+

(

4y+9x dy2

)

=0.【91 中山電機所 15%】

53. Solve

(

y x y dx+ 2 4

)

+3xdy=0.【90 中山電機所 15%】

54. Solve

(

xy y+ 2+1

)

dx+

(

xy x+ 2+1

)

dy=0.【91 北科通訊所 10%,台大材料所】

55. Solve

3 y

x x

xy y e

′ − = y .【91 北科通訊所 10%】

56. Find the general solution of xdyy xy+ 3

(

1 ln+ x dx

)

=0.【90 北科車輛所 20%】

57. (a) 試證

( ) ( )

1 1

xy f xyg xyy f xy dx x g xy

( )

+

( )

=0之積分因子。

(b) Solve y x y

(

2 2+2

)

dx x+

(

2 2 x y dy2 2

)

=0. 【88 北科高分子所 10%】

58. For what value of k is the function

(

y x+

)

k an integrating factor for the differential equation

(

y x

) (

ln y x

)

y dy y 0

 + + + dx+ =

  and find the general solution.【89 台科高分 子所10%】

59. Solve

(

2y e+ +y 6x y2

)

+ +4 12xy=0.【87 成大航太所 5%】

60. Solve

(

2

)

3

3 1

y y y y

x

+ + = .【87 台科電子所 10%】

61. Solve

(

2x10y y3

)

+ =y 0.【90 彰師機械所 10%】

62. Solve 2xyy′ + −

(

x 1

)

y2 =x e2 x.【90 南台機械所 10%】

63. Solve y

(

lnxlny dx

)

=

(

xlnx x lny y dy

)

.【90 元智工工所 10%】

64. Solve 3 3

1 x y y 1

y x

 − +  ′+ = −

 

  .【90 元智工工所 10%】

65. Solve

(

2xexy dx2

)

+2ydy=0.【91 台大生物環境所 5%】

66. Solve y′ =

(

eyx

)

1.【90 台科控制所 10%】

67. Solve

(

x3y dx xy x2

)

+

(

+1

)

dy=0.【90 崑山電機所 10%】

(11)

68. Solve y′ =

(

6ey2x

)

1.【89 中央電機所 5%】

69. Solve cosyy+2 sinx y=2x.【86 中興化工所 6%】

70. Solve

(

ey+x y′

)

=1.【88 清大電機所 5%】

71. Solve 1+

(

3x e 2y

)

y=0.【87 台科高分子所 12%】

72. Solve y′ + =1 4eysinx.【86 雲科電機所 10%】

73. Solve y′ =k xe

(

y+ −1

)

ey.【88 台科營建所 17%】

74. Solve y′ − =1 eysinx.【89 成大資源所 7%】

75. Solve

(

ysiny3xy y

)

= y.【89 清大電機所 8%】

76. Solve the following ordinary differential equation sinydxdy =cosx

(

2cosy2sin2x

)

.【90

中興化工所15%】

77. Find the general solution for the following differential equation:

6xy+2y+ +8 xy′= .【90 雲科電機所 10%】 0 78. (a) Is the equation dx+

(

3x e 2y

)

dy=0 exact? Explain!

(b) Find an integrating factor I y

( )

.

(c) Find the solution of this equation. 【91 交大土木所 15%】

79. Consider the first order differential equation

( ) ( )

0

p x y q x dx dy

 −  + =

 

(a) Prove that u x

( )

=e∫p x dx( ) is an integrating factor.

(b) Find the general solution.【90 北科光電所 15%】

80. Consider 0y xy′− = .

(a) Show that the ODE is not exact.

(b) Find an integrating factor µ

( )

x .

(c) Find an integrating factor ν

( )

y .

(d) In the integrating factor is η =x ya b, ab≠0, find all such integrating factor.【88 北 科低溫冷凍所20%】

81. Solve

(

3x+2y dx xdy

)

+ =0.【87 雲科化工所 7%】

(12)

82. 試解

(

y3

)

dx− + −

(

x y 1

)

dy=0【92 台科營建所 7%】

83. Solve

(

2x y dy+

)

=

(

x+2y dx

)

.【88 台大土木所】

84. In both µ1

( )

x y, =xy and µ2

( )

x y, =

(

x2+y2

)

1 are integrating factors for the differential equation y′ = f x y

( )

, , then what is f x y

( )

, ?【92 台科電機所 10%】

85. Solve 1 sin tan dt

dr = t r t

− .【94 暨南通訊所 10%】

86. Solve

(

siny y

)

′ =cosx

(

2cosysin2 x

)

.【93 高科光電所 5%】

87. Solve the following differential equation

2

4

2

2 4

dy y y

dx y xy x

= +

+ + .【92 台大電機所 10%】

參考文獻

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