提要 13:解一階 ODE 的第六個方法--非正合微分方程式的解法
解題方向是想辦法將非正合微分方程改寫為正合微分方程式,那麼提要12 的解法
就可以繼續使用了,以下說明改寫方法。若:
( )
x,y dx+Q( )
x,y dy=0P (1) 非正合微分方程式,則可乘以一個函數F ,
( )
x y ,使得=0 + FQdy
FPdx (2) 變成正合微分方程式,其中F ,
( )
x y 稱為積分因子(Integrating Factor)。以下介紹積分因子( )
x yF , 的推算方法。
1. 考慮F =F
( )
x因為FPdx+ FQdy=0為正合微分方程式,所以
( ) ( )
x FQ y
FP
∂
= ∂
∂
∂ (3)
微分後:
x F Q dx QdF y F P
∂ + ∂
∂ =
∂
整理後可得:
dx QdF x
Q y
F P =
∂
−∂
∂
∂
dx dF F Q
x Q y P
= 1
∂
−∂
∂
∂
(3’)
因為等號右邊是與 F 相關之運算,且 F 是 x 的函數,所以等號左邊應該也是 x 的函數 才對!若等號左邊出現變數y,則原微分方程式P
( )
x,y dx+Q( )
x,y dy=0並不存在F( )
x 的 積分因子。若積分因子存在,則可以對(3’)式作 x 變數的積分:∫
∫
∂−∂
∂
∂
= dx
Q x Q y P dx dx
dF F 1
Q dx x Q y P
F
∫
∂−∂
∂
∂
= ln
故積分因子F
( )
x 可表為:
∂
−∂
∂
∂
=
∫
Q xdxQ y P x
F( ) exp (4)
同學們千萬不要嘗試去記上面的公式,只要記住式(3)即可,亦即只要記得
x N y M
∂
= ∂
∂
∂ 即
可。
2. 考慮F =F
( )
y因為FPdx+ FQdy=0為正合微分方程式,所以
( ) ( )
x FQ y
FP
∂
= ∂
∂
∂ (3’)
上式與式(3)完全相同,但是其中之 F 是 y 的函數,而不是 x 的函數,所以式(3’)微分後 可表為:
x F Q y F P dy PdF
∂
= ∂
∂ + ∂
dy PdF y
P x
F Q =
∂
−∂
∂
∂
P y P x Q
dy dF F
∂
−∂
∂
∂ 1 =
(5)
上式中,因為等號左邊為與y 相關之函數 F 的運算,所以等號左邊僅與 y 有關,因此等
號右邊應該也僅與y 有關才合理。若等號右邊出現 x 變數在其中,則原微分方程式並不
存在單獨與 y 變數相關之積分因子F
( )
y ,亦即假設F =F( )
y 是錯誤的。若假設正確,即式(5)恆成立,則可對式(5)作 y 變數之積分,如以下所示:
∫
∫
∂−∂
∂
∂
= dy
p y P x Q dy dy
dF F
1
∫
∂−∂
∂
∂
= dy
P y P x Q F
ln
故積分因子F
( )
y 可表為:( )
∂
−∂
∂
∂
=
∫
P y dyP x Q y
F exp (6)
同理,千萬不要想去背誦式(6),只要記得它是由(3)來的,亦即只要記得它是由
x N y M
∂
= ∂
∂
∂
來的即可。
3. 考慮F =F
( )
x,y在此情況下,並無法整理出類似式(4)或(6)之公式,此種類型的積分因子得靠敏銳 的觀察力才能曉得,而觀察力是靠經驗的累積,只有多算題目才能獲得。通常出題目的 老師並不會出這種問題來為難考生,若有考出此一類型的問題,一定有其他更容易的解 法可以拿來用。讀者須多作各種解析方法的練習,才能應付各種可能發生的情況。好比 知名廚師拿手的私房菜一定有好幾道,才能應付各種場合的需要。
範例一
試求
(
3x2 −y2)
dy−2xydx=0之解。【解答】
由題意知,可令:
( )
x y xyM , =−2 ,N
( )
x,y =3x2 −y2 因為( ) ( )
x y x y
xy
∂
−
≠ ∂
∂
−
∂ 2 3 2 2
亦即 x
N y M
∂
≠ ∂
∂
∂ ,所以此微分方程式並非正合微分方程式。但可試著乘以積分因子 F,
使新的微分方程式
(
3x2 − y2)
dy−2xyFdx=0F (1) 為正合微分方程式。
1. 首先考慮F =F
( )
x因為式(1)係考慮為正合微分方程式,所以
( ) [ ( ) ]
x y x F y
xyF
∂
−
= ∂
∂
−
∂ 2 3 2 2
故
( )
xFdx y dF x
xF 3 6
2 = 2 − 2 +
−
( )
dx y dF x xF 3 2 2
8 = −
−
2
3 2
8 1
y x
x dx
dF
F =− −
上式中等號左邊為與 x 變數相關之函數 F 的運算,但等號右邊卻出現變數 y,所以
( )
x FF = 的假設不對,即F ≠F
( )
x 。 2. 再考慮F =F( )
y同理,因為式(1)係考慮為正合微分方程式,所以
( ) [ ( ) ]
x y x F y
xyF
∂
−
= ∂
∂
−
∂ 2 3 2 2
故
dF xF xy
xF 2 6
2 − =
−
dy xF xydF 8
2 =
−
dy F ydF =4
−
y dy dF F
4 1 =−
ydy dy dy
dF
∫
F1 =−∫
4y F 4ln ln =− 即
−4
= y F
因為 y−4
(
3x2 −y2)
dy−y−4( )
2xy dx=0為正合微分方程式,所以可以採用提要12 所示正合微分方程式的解法推求其解,其解
題過程如下。因為:
2 −3
−
= xy
M ,N =3x2y−4 −y−2 且
x M
∂u =
∂ , N
yu =
∂
∂
其中u 為此微分方程式之通解u
( )
x,y =C中與x、y 相關的部分,所以
−
∂ =
∂
−
∂ =
∂
−
−
−
2 4 2
3
3 2
y y y x
u x xy u
再分別對變數x、y 作積分:
( ) ( )
( ) ( )
+
−
∂ =
∂
+
−
∂ =
∂
∫ ∫
∫ ∫
−
−
−
x l dy y y x y dy
u
y k dx xy xdx
u
2 4 2
3
3 2
( ) ( )
( ) ( )
+ +
−
=
+
−
=
−
−
−
x l y y x y x u
y k y x y x u
1 3 2
3 2
, ,
比較以上兩式可知,所選擇的k
( )
y 與l( )
x 應分別為:( )
y = y−1k ,l
( )
x =0 故u ,( )
x y 可表為:( )
x,y =−x2y−3 +y−1u
而通解應表為有包含積分常數C 之型式如下:
C y y
x + =
− 2 −3 −1
習題
1. Solve the following differential equation x
(
3ydx+2xdy)
+y2(
2ydx+4xdy)
=0.【92 成 大土研所結構組】2. Find the solution of 4xdy ydx x dy− = 2 .【94 台大土研所 10%】
3. Solve xy′ −4x y2 +2 lny y=0 by letting v=lny.【94 交大電機所聯招 18%】
4. Solve dy x y x3
( )
2 x y1dx
= − + − .【94 高科光電所 10%】
5. Solve the general solution of xy′ +2x3+2xy2 − =y 0.【94 大同機械所 10%】
6. Solve
(
1 xy y) (
1 xy x)
dy 0+ + − dx = .【93 北科自動化所 20%】
7. Solve the following differential equation x
(
lny−lnx dy)
=(
ylny y− lnx x dx−)
.【94 台大電機所10%】
8. Solve
(
3xey+2y dx)
+(
x e2 y+x dy)
=0.【94 雲科光電所 10%】9. Solve
(
2 cosy+4x dx x2)
= sinydy.【93 中興化工所 10%】10. Find the general solution of the following differential equation:
(
−xysinx+2 cosy x dx)
+(
2 cosx x dy)
=0.【93 中山電機所 15%】11. Solve the general solution of
(
y2 −9xy dx)
+(
3xy−6x dy2)
=0.【94 台科電機所 10%】12. Solve xdy−y xy+ 3
(
1 ln+ x dx)
=0, y( )
1 =1.【93 北科車輛所 15%】13. Sove e dxx +
(
excoty+2 cscy y dy)
=0.【92 中山電機所 15%】14. Solve
(
3coshy+4)
dx x+ sinhy dy=0.【92 北科高分子所 10%】15. Solve y3+
(
x2 −2xy y′2)
=0.【92 北科高分子所 10%】16. Solve the general solution y′ = −
(
3x y2 +6xy+0.5y2) (
3x2 +y)
.【92 北科自動化所 20%】17. Solve sin 2 cos
x x
dy e y
dx = y e y
− ,
( )
0 3y =2π.【90 台科高分子所 20%】
18. Solve 3 sin 22 2 2 cos 2 dy x y y dx x x y
= −
− .【90 清大材料所 10%】
19. Solve
(
x−2y+3)
dx+(
2x−4y−3)
dy=0.【93 北科冷凍所 10%】20. Solve the differential equation
(
y2−6xy dx)
+(
3xy−6x dy2)
=0, y( )
1 = −2.【94 雲科電機所10%,93 淡江電機所 15%】
21. 求下列微分方程式的通解
(
x3 3xy2)
dy y3 3x y y2 dydx dx
− = − − 。【93 中央環工所 20%】
22. (a) Is the differential equation xydx+
(
2x2+3y2 −20)
dy=0 exact? (b) Follow the above problem, if it is exact, please find the integrating factor first to make it exact. Then solve the corresponding differential equation.【92 台大電機所 15%】23. Solve
2 2
dy y y
dx = − x + x , y
( )
1 =4.【93 台科電機所 10%】24. Solve
(
2y xy dx+)
+2xdy=0.【93 東華電機所 20%】25. Solve
(
y xy dx− 2)
− +(
x x y dy2)
=0.【94 輔仁電子所 8%】26. Solve
(
x y dx y− 2)
+(
1+x dy)
=0.【91 師大電機所 10%】27. Solve 6xy+2y+ +8 xy′= .【90 雲科電機所 10%】 0 28. Solve dx+
(
3x e− −2y)
dy=0.【95 交大機械所 10%】29. Solve cosxdx+
(
sinx+cosy−siny dy)
=0.【95 清大電機所 5%】30. Solve 3
2 y
dy y dx = x y e
+ .【94 中興材料所 8%】
31. Solve
(
2x3−y3−3x dx)
+3xy dy2 =0.【88 北科高分子所 8%】32. Solve
(
x2 +3y dx2)
−2xydy=0.【88 北科高分子所 8%】33. Solve
(
3xey+2y) (
+ x e2 y+x y′)
=0.【90 海洋商船所 10%】34. Solve
(
2xy e4 y +2xy3+y dx)
+(
x y e2 4 y−x y2 2−3x dy)
=0.【87 屏科研究所 10%】35. Solve
( )
22 2
ln ln 2 xy y y
y x
′ = +
− , y
( )
1 =2e.【91 北科光電所 7%】36. Solve y=
(
y4+3x y′)
.【86 中原化工所 10%】37. Solve
ln ln xy y y
y x
′ − =
− .【成大機械所 12%】
38. Solve
ln ln
dy y
x y
dx− = y x
− , y
( )
2 =2.【92 北科機電所 10%,93 交大電信所 5%】39. Solve
(
y x dx xdy+ 2)
− =0.【87 台大造船所 15%】40. Solve
(
x2 +y2+x dx xydy)
+ =0.【86 交大機械所 7%】41. Solve 1+x y2 2 + +y xy′=0.【86 交大電信所 10%】
42. Solve
(
4xy+6y dx2)
+(
2x2 +6xy dy)
=0.【89 北科環境所 15%】43. Solve
(
y2 +2xy dx x dy)
+ 2 =0.【91 北科通訊所 10%】44. Solve
(
1−xy x y dx+ 2 2)
+(
x y x dy3 − 2)
=0.【89 北科土木所 10%】45. 求解2xyy′ −y2+x2 =0。【91 彰師機電所 10%】
46. Solve
(
2coshy+3x dx x)
+ sinhy dy=0.【89 清大電機所 6%】47. Find the general solution of the given differential equation.
(
y2+1)
dx=ysec2 x dy.【91 成大電機所 10%】48. Solve cosy dx−2
(
x y−)
siny dy−cosy dy=0.【88 中山電機所 15%】49. Solve y 12
(
x y)
2′ = x + .【90 海洋光電所 10%】
50. The integrating factor of the equation
(
xy2+4x y2) (
+ 3x y2 +4x y′3)
=0 is(a) xy3+2x y2 2 (b) xy3+3x y3 (c) 2xy2+x y2 (d) x y3 +2x y2 2
(e) 2xy+3x y2 【90 台大物理所 10%】
51. Solve
(
cos 2x y)
′ =2(
ysin 2x+cos 2x)
.【90 北科自動化所 20%】52. Solve 6xydx+
(
4y+9x dy2)
=0.【91 中山電機所 15%】53. Solve
(
y x y dx+ 2 4)
+3xdy=0.【90 中山電機所 15%】54. Solve
(
xy y+ 2+1)
dx+(
xy x+ 2+1)
dy=0.【91 北科通訊所 10%,台大材料所】55. Solve
3 y
x x
xy y e
′ − = y .【91 北科通訊所 10%】
56. Find the general solution of xdy−y xy+ 3
(
1 ln+ x dx)
=0.【90 北科車輛所 20%】57. (a) 試證
( ) ( )
1 1
xy f xy −g xy 為y f xy dx x g xy
( )
+( )
=0之積分因子。(b) Solve y x y
(
2 2+2)
dx x+(
2 2− x y dy2 2)
=0. 【88 北科高分子所 10%】58. For what value of k is the function
(
y x+)
k an integrating factor for the differential equation(
y x) (
ln y x)
y dy y 0 + + + dx+ =
and find the general solution.【89 台科高分 子所10%】
59. Solve
(
2y e+ +y 6x y2)
′+ +4 12xy=0.【87 成大航太所 5%】60. Solve
(
2)
33 1
y y y y
′ x
+ + = .【87 台科電子所 10%】
61. Solve
(
2x−10y y3)
′+ =y 0.【90 彰師機械所 10%】62. Solve 2xyy′ + −
(
x 1)
y2 =x e2 x.【90 南台機械所 10%】63. Solve y
(
lnx−lny dx)
=(
xlnx x− lny y dy−)
.【90 元智工工所 10%】64. Solve 3 3
1 x y y 1
y x
− + ′+ = −
.【90 元智工工所 10%】
65. Solve
(
2xex−y dx2)
+2ydy=0.【91 台大生物環境所 5%】66. Solve y′ =
(
ey−x)
−1.【90 台科控制所 10%】67. Solve
(
x3−y dx xy x2)
+(
+1)
dy=0.【90 崑山電機所 10%】68. Solve y′ =
(
6ey−2x)
−1.【89 中央電機所 5%】69. Solve cosy′ y+2 sinx y=2x.【86 中興化工所 6%】
70. Solve
(
ey+x y′)
=1.【88 清大電機所 5%】71. Solve 1+
(
3x e− −2y)
y′=0.【87 台科高分子所 12%】72. Solve y′ + =1 4e−ysinx.【86 雲科電機所 10%】
73. Solve y′ =k xe
(
−y+ −1)
e−y.【88 台科營建所 17%】74. Solve y′ − =1 e−ysinx.【89 成大資源所 7%】
75. Solve
(
ysiny−3xy y)
′= y.【89 清大電機所 8%】76. Solve the following ordinary differential equation sinydxdy =cosx
(
2cosy−2sin2x)
.【90中興化工所15%】
77. Find the general solution for the following differential equation:
6xy+2y+ +8 xy′= .【90 雲科電機所 10%】 0 78. (a) Is the equation dx+
(
3x e− 2y)
dy=0 exact? Explain!(b) Find an integrating factor I y
( )
.(c) Find the solution of this equation. 【91 交大土木所 15%】
79. Consider the first order differential equation
( ) ( )
0p x y q x dx dy
− + =
(a) Prove that u x
( )
=e∫p x dx( ) is an integrating factor.(b) Find the general solution.【90 北科光電所 15%】
80. Consider 0y xy′− = .
(a) Show that the ODE is not exact.
(b) Find an integrating factor µ
( )
x .(c) Find an integrating factor ν
( )
y .(d) In the integrating factor is η =x ya b, ab≠0, find all such integrating factor.【88 北 科低溫冷凍所20%】
81. Solve
(
3x+2y dx xdy)
+ =0.【87 雲科化工所 7%】82. 試解
(
y−3)
dx− + −(
x y 1)
dy=0。【92 台科營建所 7%】83. Solve
(
2x y dy+)
=(
x+2y dx)
.【88 台大土木所】84. In both µ1
( )
x y, =xy and µ2( )
x y, =(
x2+y2)
−1 are integrating factors for the differential equation y′ = f x y( )
, , then what is f x y( )
, ?【92 台科電機所 10%】85. Solve 1 sin tan dt
dr = t r t
− .【94 暨南通訊所 10%】
86. Solve
(
siny y)
′ =cosx(
2cosy−sin2 x)
.【93 高科光電所 5%】87. Solve the following differential equation
2
4
2
2 4
dy y y
dx y xy x
= +
+ + .【92 台大電機所 10%】