复变函数简介复变函数简介

(1)

绪论

December 19, 2021 December 19, 2021

函数论是数学研究中的一个十分重要的领域 . 其中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为自变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）；

另一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数） , 我们这门课就是介绍一下复变函数论 .

复变函数简介复变函数简介

(2)

绪论

复变函数的产生和发展简史：

1545 年，意大利数学家怪杰卡丹诺在《大术》（ Ars Magna ）中，

介绍了解三次方程的方法，首先研究了虚数，并进行了一些计算 .

1572

年，意大利数学家邦贝利在《代数》（ L’Algebra ）一书中探究了这类新数的运算法则，并进行了实际意义上的运算 .

解方程

卡丹诺公式：

2 3 2 3

3 3

2 2 3 2 2 3

n n m n n m

x

                     

       

3

.

x  mx n 

(3)

绪论

1637

年，法国数学家笛卡尔正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词 .

同一时期，德国数学家莱布尼茨和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数

、三角函数之间的关系，除了解方程外，

还把它用于微积分等方面进行应用研究，

得到很多有价值的结果 .

(4)

绪论

1777

年，瑞士数学家欧拉系统地建立了复数理论 .

在几何方面： 1797 年，挪威数学家维塞尔最先提出复数的几何解释 .

实轴虚轴

O

a + bi



r

= r (cos

 + i sin )

(5)

绪论

1831

年 , 德国数学家高斯在《哥庭根学报》上详细说明了复数 a+bi 表示成平面上的一个点 (a

， ^b⁾ ，

从而明确了复平面的概念 , 他又将表示平面点的直角坐标与极坐标加以综合 , 统一于表示同一复数的二种表示形式

—复数的代数形式及三角形式之中 . 此外，高斯还给出了”复数”

这个名称 , 由于高斯的卓越贡献

,

后人常称复数平面为高斯平面 .

实轴虚轴

O

a + bi



r

= r (cos

 + i sin )

(6)

绪论

复变函数的引入：

1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：

1777 年，在他的著作《微分公式》中，首次使用

i

来表示虚数 . 他创立了复变函数论，并把它们应用到水力学、地图制图学上 .

cos sin

e

ix

 x i  x

(7)

绪论

欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱 .

1777

年 3 月，欧拉向彼得堡科学院提交了一篇论文，论文中考虑了复变函数的积分：

( ) , ( ) ( , ) ( , ) f z dz f z



u x y



iv x y

 ^{其中满足方程}

u v , u v

x y y x

   

  

   

其实比欧拉更早，法国数学家达朗贝尔在 1752 年关于流体力学论文中已经得到这两个方程，故有的教科书称这两个方程为达朗贝尔 - 欧拉方程

.

到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时

，作了更详细的研究，所以这两个

方程也被叫做“柯西 - 黎曼方程”。

(8)

绪论

十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且 深刻地渗入到数学学科的许多分支 . 例如，著名的代数学基本定理

：

1

0 ⁿ 1 ⁿ _n 1 _n

0 (

0

0)

a z a z 

^

   a z a

_

  a 

（其中系数都是复数），在复数域内恒有 n 个解

.

一元 n 次方程

柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论的奠基者 .

(9)

绪论

现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用 . 比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一 .

在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，

对他们的发展有很大的影响 .

复变函数的应用

(10)

绪论

积分变换简介积分变换简介

何为积分变换？

).

( )

,

( t  f t dt F 

b

k

a

记为





所谓积分变换，实际上就是通过积分，把一个函数变成另一个函数的一种变换 .

：变量，具体形式可写为这类积分一般要含有参

原像函数；

是要变换的函数，

这里

f (t)

 

像函数；

是变换后的函数，  

)

(



F

. )

,

(t 

是一个二元函数，   积分变换核

k

(11)

绪论

积分变换的产生

数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为

比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解 .

原问题

原问题的解直接求解困难

变换较简单问题

变换后问题的解求

解

逆变换

(12)

绪论

如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积

、商运算化为较简单的和、差运算；

再如，高等数学中的代数变换，解析几何中

的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况 .

基于这种思想，便产生了积分变换 . 其主要体现在：

数学上：求解方程的重要工具（微积分向代数运算转化）；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化 .

工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统

分析的重要工具 .

(13)

绪论

积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具 . 我们只研究最重要的两种积分变换傅里叶变换和拉普拉斯变换 . 其实由于不同应用的需要，

还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林

变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普

拉斯变换转化而来 .

(14)

绪论

由高数傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为傅里叶级数（正弦函数和余弦函数的无穷项线性组合）

，而一个非周期函数可以看成某个周期函数其周期趋向于无穷大转化而来，利用这一思想得到了傅里叶变换和逆变换 . 而拉普拉斯变换可理解为特殊的傅里叶变换，

这两种变换最基本应用就是求解线性微分方程，将复杂卷积运算转化为简单乘积运算 .

　此外，傅里叶变换在物理学、电子类学科、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、

结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——

显示与频率对应的幅值大小，开创了信号频谱分析的先

河） .

(15)

绪论

在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，

都是建立在拉普拉斯变换的基础上的 . 引入拉普拉斯变换的一个主要优点是可采用传递函数（输出函数与输入函数的拉普拉斯变换函数的商）代替微分方程来描述系统的特性 . 这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（信号流程图、动态结构图）

、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、

根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（控制系

统校正方法）提供了可能性 .

(16)

绪论

要想学好这门课，首先复习高数二元函数极限，连续，导数，积分，第二型曲线积分，幂级数，傅里叶级数等内容 .

怎样学好复变函数与积分变换这门课

(17)

绪论

1.

发挥主观能动性，克服意志无力；

3.

练！！

2.

有的放矢

^;

其次在学习过程中，希望大家做到以下几点：

(18)

绪论

傅立叶 -- 法国数学家、物理学家， 1768 年 3 月 21

日生于欧塞尔， 1830 年 5 月 16 日卒于巴黎 . 主要贡献

是在研究热的传播时创立了一套数学理论 .1807 年向巴

黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导

方程（偏微分方程），并在求解该方程时发现解函数可

以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数

都可以展成三角函数的无穷级数

.

傅立叶级数（即三角

级数）、傅立叶分析等理论均由此创始 . 另外，傅立叶

积分变换的基本思想首先由傅立叶提出，所以以其名字

来命名以示纪念 .

(19)

绪论

拉普拉斯 -- 法国数学家、天文学家 .1749 年 3 月

23

复变函数简介 复变函数简介

绪论

函数论是数学研究中的一个十分重要的领域 . 其 中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为 自变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）；

另一是复变函数论（研究以复数为自变量的函数） , 我们这门课就是介绍一下复变函数论 .

复变函数简介 复变函数简介

绪论

复变函数的产生和发展简史：

1545 年， 意大利数学家怪杰卡丹 诺在《大术》（ Ars Magna ）中，

介绍了解三次方程的方法，首先研究 了虚数，并进行了一些计算 .

年， 意大利数学家邦贝 利在《代数》（ L’Algebra ）一书 中探究了这类新数的运算法则，并进 行了实际意义上的运算 .

解方程

2 2 3 2 2 3

                     

       

.

x  mx n 

绪论

年，法国数学家笛卡尔 正式开始使用“实数”、“虚数”这两个 名词 .

同一时期，德国数学家莱布尼茨和法 国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数

、三角函数之间的关系，除了解方程外，

还把它用于微积分等方面进行应用研究，

得到很多有价值的结果 .

绪论

年，瑞士数学家欧拉系统地建 立了复数理论 .

在几何方面： 1797 年，挪威数学家维塞尔最先提出 复数的几何解释 .

实轴 虚轴



= r (cos

绪论

年 , 德国数学家高 斯在《哥庭根学报》上详细说明 了复数 a+bi 表示成平面上的一个 点 (a

从而明确了复平面 的概念 , 他又将表示平面点的直 角坐标与极坐标加以综合 , 统一 于表示同一复数的二种表示形式

—复数的代 数形式及三角形式之 中 . 此外，高斯还给出了”复数”

这个名称 , 由于高斯的卓越贡献

后人常称复数平面为高斯平面 .

实轴 虚轴



= r (cos

绪论

复变函数的引入：

1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关 系 ，并写出以下公式：

1777 年，在他的著作《微分公式》中，首次使用

来表示虚数 . 他创立了复变函数论，并把它们 应用到水力学 、地图制图学上 .

cos sin

e

 x i  x

绪论

欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱 .

年 3 月，欧拉向彼得堡科学院提交了 一篇论文，论文中考虑了复变函数的积分：





 其中满足方程

其实比欧拉更早，法国数学家达朗 贝尔在 1752 年关于流体力学论文 中已经得到这两个方程，故有的教 科书称这两个方程为达朗贝尔 - 欧 拉方程

到了十九世纪，上述两个 方程在柯西和黎曼研究流体力学时

，作了更详细的研究，所以这两个

方程也被叫做“柯西 - 黎曼方程”。

绪论

0 (

0)

a z a z 

   a z a

  a 

（其中系数都是复数），在复数域内恒有 n 个解

一元 n 次方程

柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论的奠基者 .

绪论

现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有 着广泛的应用 . 比如，在复变函数理论最先得到成功 应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域 中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种 经典方法之一 .

在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已 经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，

对他们的发展有很大的影响 .

复变函数的应用

绪论

积分变换简介 积分变换简介

何为积分变换？

).

( )

( )

,

( t  f t dt F 

k





复变函数简介复变函数简介

函数论是数学研究中的一个十分重要的领域 . 其中包括两大分支：一是实变函数论（研究以实数作为自变量的函数，高等数学研究的就是这一类函数）；

复变函数简介复变函数简介

1545 年，意大利数学家怪杰卡丹诺在《大术》（ Ars Magna ）中，

介绍了解三次方程的方法，首先研究了虚数，并进行了一些计算 .

年，意大利数学家邦贝利在《代数》（ L’Algebra ）一书中探究了这类新数的运算法则，并进行了实际意义上的运算 .

年，法国数学家笛卡尔正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词 .

同一时期，德国数学家莱布尼茨和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数

年，瑞士数学家欧拉系统地建立了复数理论 .

在几何方面： 1797 年，挪威数学家维塞尔最先提出复数的几何解释 .

实轴虚轴

年 , 德国数学家高斯在《哥庭根学报》上详细说明了复数 a+bi 表示成平面上的一个点 (a

从而明确了复平面的概念 , 他又将表示平面点的直角坐标与极坐标加以综合 , 统一于表示同一复数的二种表示形式

—复数的代数形式及三角形式之中 . 此外，高斯还给出了”复数”

实轴虚轴

1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：

来表示虚数 . 他创立了复变函数论，并把它们应用到水力学、地图制图学上 .

年 3 月，欧拉向彼得堡科学院提交了一篇论文，论文中考虑了复变函数的积分：

 ^{其中满足方程}

其实比欧拉更早，法国数学家达朗贝尔在 1752 年关于流体力学论文中已经得到这两个方程，故有的教科书称这两个方程为达朗贝尔 - 欧拉方程

到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时

现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用 . 比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一 .

在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，

积分变换简介积分变换简介

所谓积分变换，实际上就是通过积分，把一个函数变成另一个函数的一种变换 .

：变量，具体形式可写为这类积分一般要含有参

比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解 .

原问题

原问题的解直接求解困难

变换较简单问题

变换后问题的解求

的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况 .

数学上：求解方程的重要工具（微积分向代数运算转化）；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化 .

积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具 . 我们只研究最重要的两种积分变换傅里叶变换和拉普拉斯变换 . 其实由于不同应用的需要，

由高数傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为傅里叶级数（正弦函数和余弦函数的无穷项线性组合）

，而一个非周期函数可以看成某个周期函数其周期趋向于无穷大转化而来，利用这一思想得到了傅里叶变换和逆变换 . 而拉普拉斯变换可理解为特殊的傅里叶变换，

这两种变换最基本应用就是求解线性微分方程，将复杂卷积运算转化为简单乘积运算 .

　此外，傅里叶变换在物理学、电子类学科、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、

结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——

要想学好这门课，首先复习高数二元函数极限，连续，导数，积分，第二型曲线积分，幂级数，傅里叶级数等内容 .

方程（偏微分方程），并在求解该方程时发现解函数可