3-1 線性方程組與矩陣
●高斯消去法
●矩 陣
●用高斯消去法來判斷三元一次方程組的解
從以往的經驗發現﹐我們在求聯立方程式的解時﹐其實只要把係數紀錄下來﹐就可以完成爾 後的操作。矩陣的符號一開始就是由此誕生的。矩陣還能用來描述自然科學或社會經濟現 象﹐例如電腦網路﹑飛機航線規劃﹑機率問題的應用﹐以及平面上基本的線性變換等﹐是近 代數學中不可或缺的工具。
※ 線性方程組與矩陣
線性方程式：一次方程式（二元一次，三元一次，…）都稱為線性方程式。
線性方程組：其聯立方程式就稱為線性方程組。
高斯消去法：解線性方程組，為了簡化運算過程，引進了矩陣 ( Matrix ) 的概念。
每一步驟都是下列三種操作之一：
(1) 將某兩個方程式對調。
(2) 將某個方程式乘上一個不為 0 的常數。
(3) 將某個方程式乘上一個不為 0 的常數後﹐再加到另一個方程式。
一般而言﹐高斯消去法的步驟是：
1 利用第一個方程式的 x﹐把第二和第三個方程式的 x 都消掉。
2 再利用第二個方程式的 y﹐把第三個方程式的 y 消掉。
3 從第三﹐第二﹐第一個方程式逐步地解出 z﹐y﹐x 的值。
因為高斯消去法的三個操作都是可逆的﹐所以都不會改變線性方程組的解。
例題
3 ---
利用高斯消去法解方程組---
將○×2＋○﹐○×（－1）＋○﹐得 ○×（－3）＋○﹐得由第○式得 z＝1﹐代入○﹐得 y＝2﹐
再將 y＝2﹐z＝1 代入○﹐得 x＝1。
故方程組的解為 x＝1﹐y＝2﹐z＝1。
高斯消去法是一個“系統化操作”的方法（在電腦科學中稱為演算法）。
隨堂練習--- 利用高斯消去法解方程組：
(1) 。 (2)
---
矩陣：當未知數的順序固定時﹐將各項係數及常數項數字排成 m 個橫排﹐n 個直排的矩形 陣列稱為一個大小為 m×n 的矩陣。
高斯消去法的計算過程﹐事實上只是係數間的計算。將係數分離出來﹐寫成矩形的陣列。
橫排稱為列﹐由上而下分別為第一列﹐第二列。
直排稱為行﹐由左至右分別為第一行﹐第二行。
矩陣的列運算 (1) 將某兩列對調。
(2) 將某一列乘上一個不為 0 的常數。
(3) 將某一列乘上一個不為 0 的常數後﹐再加到另一列。
例題
2---
利用高斯消去法與矩陣列運算解線性方程組 。---
我們以左﹑右對照的方式呈現如下：將式與式對調﹐得 將第一列與第二列對調﹐得
○×（－2）＋○﹐○×（－3）＋○﹐得 第一列×（－2）加到第二列﹐第一列×（－3）加到第三列﹐得
○×（－2）＋○﹐得 第二列×（－2）加到第三列﹐得
因為右邊的矩陣對應的方程組為左邊的方程組﹐
由第○式得 z＝3﹐代入○﹐得 y＝1﹐
再將 y＝1﹐z＝3 代入○﹐得 x＝2。
故方程組的解為 x＝2﹐y＝1﹐z＝3。
隨堂練習--- 利用高斯消去法與矩陣列運算解線性方程組：
(1) 。 (2)
---
例題
3---
利用矩陣列運算方式解方程組--- 解 利用矩陣的列運算如下：
即原方程組與 此時﹐令 z＝t﹐t 為任意實數﹐推得
y＝－ t
﹐x＝ t。可知方程組有無限多組解﹐其解為 ﹐t 為任意實數。隨堂練習--- 利用矩陣列運算方式解方程組
---
例題
4---
利用矩陣列運算方式解方程組。---
解 利用矩陣的列運算如下：現在方程組為
顯然第三個方程式無解﹐
因此方程組無解。
隨堂練習--- 利用矩陣列運算方式解方程組
---
用高斯消去法來判斷三元一次方程組的解
例題
5---
試解方程組 ﹐並就 a 值討論之。--- 解 利用矩陣列運算如下：
我們就 a 值討論如下：
(1) 當 a 1 且 a 0 時﹐
可依序解出 z﹐y﹐x﹐得
z＝ ﹐y＝ ﹐x＝。
(2) 當 a＝0 時﹐此時增廣矩陣為 ﹐最末一列為 0＝1﹐故此時無解。
(3) 當 a＝1 時﹐此時增廣矩陣為 ﹐由末兩列解得 z＝0﹐代回第一列得 x＋y＝1﹐令 y＝
t
﹐得 x＝1－t﹐故方程組的解為 （t 為任意實數）﹐有無限多解隨堂練習--- 已知方程組 除了（0，0，0）以外還有其他解﹐試問 a 值為何？
---
例題
6 ---
某電腦公司有甲﹑乙﹑丙三條生產線﹐根據過去的經驗﹐如果要生產 1000 臺電腦﹐由甲﹑乙兩條生產線合開 10 小時可完成﹐由乙﹑丙兩條生產線合開 12 小時可完成﹐由甲﹑丙兩條 生產線合開 15 小時可完成。
(1) 試問如果要生產 1000 臺電腦﹐由甲﹑乙﹑丙三條生產線單獨作業各需幾小時才可完成。
(2) 若現在有 1 萬臺電腦的需求﹐但只能開啟一條生產線﹐試問應開啟哪一條生產線使得所 花費時間最少。此時需要多少小時可完成。
--- 解 (1) 假設要生產 1000 臺電腦﹐甲生產線單獨作業 x 小時可完成﹐
乙生產線單獨作業 y 小時可完成﹐丙生產線單獨作業 z 小時可完
成﹐由題意可得
。令 u＝﹐v＝﹐w＝﹐則有。
因此原題相當於要解這個線性方程組。利用矩陣列運算﹐
增廣矩陣經過列運算後可得
由此解得 u＝ ﹐v＝ ﹐w＝ ﹐故得 x＝24﹐y＝ ﹐z＝40。
因此﹐甲單獨作業 24 小時可完成﹐乙單獨作業 小時可完成﹐ 丙單獨作業 40 小時 可完成。
(2) 由(1)的結果知道乙生產線每小時的產量最大﹐因此選擇乙生產線來生產﹐所需時間 為 ×＝（小時）。
隨堂練習--- 解方程組
--- 習 題 3-1
一﹑基本題
1. 利用高斯消去法解下列線性方程組：
(1) 。 (2) 。 (3)
2. 若矩陣經過一系列的列運算後可以化成﹐試求序組（a，b，c）。
3. 試求空間中兩平面 E1：2x－y＋z＝0﹐E2：x－y－2z＝0 的交線參數式。
4. 若二次函數 f（x）＝ax2＋bx＋c 通過（1，0）﹐（2，1）﹐（－1，10）三點﹐試求此二 次函數。
5. 將向量 ＝（4，－4，10）寫成 ＝（3，2，5）﹐ ＝（1，2，－3）﹐
＝（1，－2，1）的線性組合。
二﹑進階題
6. 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成 ？ (A)(B)(C)(D)(E)
7. 一容量為 100 立方公尺的水池﹐由 A﹐B 兩水管注水﹐而由第三水管 C 放水。在水池全滿 的狀況下﹐若三水管全開﹐則水完全放乾需時 3 小時；若只開 A﹐C 兩水管﹐則需時 1 小 時放乾；若只開 B﹐C 兩水管﹐則只需 45 分鐘放乾﹐問三水管每小時注（放）水量各多 少？
8. 若方程組 有解﹐試求 a 值。
三﹑挑戰題
9. 設 a﹐b﹐c 為實數﹐考慮線性方程組 ﹐試求：
(1) 若此線性方程組恰有一組解﹐則 a﹐b﹐c 的條件為何？
(2) 若此線性方程組無解﹐則 a﹐b﹐c 的條件為何？
(3) 若此線性方程組有無限多組解﹐則 a﹐b﹐c 的條件為何？
