直線方程式 1

直線方程式 1

Ø 距離與分點公式 Ø 直線之斜率 Ø 直線方程式

Ø

兩直線交角

Ø 點與直線之關係 Ø 重點回顧

Ø

歷屆試題

主題一 距離與分點公式 1. 距離公式：

平面上兩點 P ₁ ( x ₁ , y ₁ ) ， P ₂ ( x ₂ , y ₂ ) 間之距離為 

2  1 p 

p  = ( x ₁ - x ₂ ) ² + ( y ₁ - y ₂ ) ² 

2. 分點公式：

平面上三點 P ₁ ( x ₁ , y ₁ ) ， P ₂ ( x ₂ , y ₂ ) ， p (  y x ,  ) ，且 

n  m  pp 

p  p = 

2  1 

(1)若 P ₁ - P - P ₂ ，則 

n  m 

ny  y  my 

n  m 

nx  x mx 

+

= + +

=  ² + ¹ ,  ^{2  1} 

(2)若 P ₁ - P ₂ - P ，則 

n  m 

ny  y  my 

n  m 

nx  x mx 

-

= - -

=  ² - ¹ ,  ^{2  1} 

3. 中點公式：

平面上相異兩點 P ₁ ( x ₁ , y ₁ ) ，　P _２ ( x _２ , y _２ ) 之中點坐標 ú û

ù ê ë

é +  + ,  2  2 

2  1  2 

1  x  y  y 

m  x 

4. 重心公式： 

)  (  ),  (  ), 

( x _1 , y ₁  x _2 , y ₂  x _3 , y ₃  ABC三項點之坐標分別為

D ,則此三角型

之重心坐標為

ú û ù ê ë

é +  + + + ,  3 

3 

3  2  1  3  2 

1  x  x  y  y  y 

G  x 

5. 面積公式： 

)  ,  (  ),  ,  (  ),  , 

( x ₁  y ₁  B x ₂  y ₂  C x ₃  y ₃  A 

ABC中

D ,則其面積為 

1  3  2  1 

1  3  2  1 

2  1 

y  y  y  y 

x  x  x  x

教師解析

試求 A ( - 1 , 6 ), B ( 4 , - 6 ) 兩點之間的距 離。

解：

自我挑戰

1. 試求 A ( 7 , 3 ), B ( 5 , 7 ) 兩點之 間的距離。

2. 以 A - ( 1 , 4 ), B ( 2 , 1 ), C ( 3 , 2 ) 為 項點之 

ABC

D 之形狀為何？周長為 何？

設 A  , , B C 為平面上共線上之三 點，且C介於  B A,  之間，已知 

)  4  ,  9  (  ),  3  ,  2  (  B 

A - 且

點的座標 試求

，  G  4 

3 AC = BC  。

解：

3. 設 A  , , B C 為平面上共線上 之三點 ， 且 A - B - C ，已知 

)  7  ,  1  (  ),  1  ,  5  (  B 

A - 且 AC  3 = BC 試 求Ｃ點的坐標。

4. 設 A - (  2 , 1 ), B ( 3 , 2 ) 為-二定 點，Ｐ為AB 上ㄧ點，且 

PB  G 

AP  ,

3 

= 2 試求 P 點的坐標。

平行四邊形 ABCD中，已知 

)  1  ,  1  (- 

A  ， B (- 8 , 2 ) ， C ( 0 , 2 ) ，試求Ｄ 點的坐標。

解：

5. 平行四邊形 ABCD中，已知 

)  2  ,  3  ( 

A  ， B (- 1 , 5 ) ， C (- 3 , 7 ) ，試求Ｄ 點的坐標。

6. 已知ㄧ平行四邊形之三點 坐標為 ( - 3 , 2 ) ， ( 5 - , 4 ) ， ( ) 4 , 1 ，試 求第四點之坐標。

設 D ABC 中， A ( - 4 , 2 ) ， AB 之中點 為 M ( 2 , 3 ) ，已知 D ABC 之重心為 

)  1  ,  0  ( - 

G  ，試求Ｂ點與Ｃ點之坐 標。

解：

7. 設 A ( 4 , 6 ) ， M (- 3 , 5 ) ，若Ｍ為 

AB之中點，試求Ｂ點之坐標。

8.設 A ( 0 , 0 ) ， B ( 7 , 2 ) ， C ( 11 , 10 ) ， 試求 D ABC 之重心坐標。

設 D ABC 的三項點為 A ( 1 , 1 ) ，  ) 

3  ,  2  ( 

B  ， C ( 4 , 5 ) ，試求 D ABC 之 坐標。

解：

9. 設 D ABC 的三項點為  ) 

2  ,  5  ( 

A  ， B (- 1 , 1 ) ，  C (- 3 , 6 ) ，試 求 D ABC 之面積。

10. 設 A ( 3 , 1 ) ， B (- 2 , 4 ) ， C (  k 1 ,  ) ， 為一三角形之三項點，若此三角 形之面積為 23，試求ｋ之值。

作業研究

1.兩點 P ( 1 , 3 ) ， Q ( - 4 , 1 ) 間之距離為○ Ａ  29 ○ Ｂ  5 ○ Ｃ２５○ Ｄ５。

2. ( 0 , 4 ) 與

þ ý ü î í

ì 

2  sin 7  2  2 ,  cos 7 

2 p p

兩點之間的距離為○ Ａ  7 ○ Ｂ ² 7 

○ Ｃ ³ 7 ○ Ｄ ⁴ 7 ○ E ６。

3.設點 P (  y x ,  ) 與三點 ( 0 , 0 ) ， ( 0 , 2 ) ， ( 1 , 0 ) 等距離，則點 P (  y x ,  ) 為

○ Ａ ( 1 , 1 ) ○ Ｂ þ ý ü î í ì 

2  , 1 1  ○ Ｃ

þ ý ü î í ì  ,1 

2  1  ○ Ｄ

þ ý ü î í ì 

2  ,1 2 

1  。

4.點 (- 4 , 3 ) 分兩點 ( - 1 , 2 ) 與 (- 6 , 5 ) 之連線段所成比為○ Ａ 3 : 2 ○ Ｂ 5 : 2 

○ Ｃ 2 : 5 ○ Ｄ 2 : 3 。

5.設 A ( 2 , 1 ) ， B ( 7 , 3 ) ， C ( - 6 , 13 ) ，在 D ABC 內部ㄧ點Ｐ，此點與三頂 點之連線段分 D ABC 為三個等面積三角形，則Ｐ之坐標為

○ Ａ ( 5 , 2 ) ○ Ｂ ( 5 , 3 ) ○ Ｃ ( - 5 , 2 ) ○ Ｄ ( - 5 ,  3 ) 。

6. 設 A ( 2 , 3 ) ， B (- 3 , 1 ) ，AB交ｙ軸於Ｃ， AC : BC  ○ Ａ 1 : 2 ○ Ｂ 2 : 3 

○ Ｃ 3 : 4 ○ Ｄ 2 : 5 。

～解答～

自我挑戰 1. ² 26 

2.直角三角形； ⁴ 2 + ² 5  3. ( 4 , 10 ) 

4.

þ ý ü î í ì 

5  , 7 0 

5. ( 1 , 4 ) 

6. ( - 2 , - 3 ) ， ( 12 , - 5 ) ， (- 4 , 7 )  7. (- 10 , 4 ) 

8. ( 6 , 4 )  9.１６ 10. - 7 或 

5  57 

作業研究：1.○ Ｄ 2.○ Ｅ 3.○ Ｃ 4.○ Ｂ 5.○ Ｄ 6.○ Ｂ

主題二 直線之斜率 1. 斜角：

直線與 x 軸正向所成之正角稱為斜角 a，且0 £ a < p

2. 斜率：

(1)直線之斜率為a， m  tan = a  (2)直線過 ( x ₁ , y ₁ ) 與 ( x ₂ , y ₂ ) 兩點， 

2  1 

2  1 

x  x 

y  m y 

-

= -

(3)直線方程式為 ax + by + c = 0， 

b  m - = a 

(4)直線Ｌ與ｘ軸平行，則 a = 0 ， m = 0 (5)直線Ｌ與ｘ軸垂直，則 

2

= p

a  ，無斜率 3. 平行直線：

(1)二直線 L ₁ 與 L ₂ 為不與 x 軸垂直之相異二直線，則 

2 

2  1 

1 // L  m _L  m _L 

L Û =

(2)凡與 ax + by + c = 0 平行之直線皆可寫成 ax + by + c ^' = 0 之形 式，其中 c = ^'  c 

4. 垂直直線：

(1) 二直線 L ₁ 與 L ₂ 為不與 x 軸垂直之相異二直線，則 

2  1 

2  1 

1 ^ L  Û m _L  ´ m _L  = - L 

(2) 凡與 ax + by + c = 0 垂直之直線皆可寫成 bx - ay + c ^' = 0 之 形式 

L:右上左下 

0<a < 

2 p 

m>0 

L:左上右下

p p a

<

< 

M < 0 

L:鉛錘線 

2 a = p

M 不存在 

L:水平線 

0 a =

M=0

5. 截距：

直線 L　: ax + by + c = 0 之 x 截距為 

b  y  c 

a 

c -

- ,  之截距為 

(1)直線 L 之 x 截距為 a ，表示Ｌ經過點 (a , 0 )  (2)直線 L 之 y 截距為 b ，表示Ｌ經過點 (  b0 ,  ) 

教師解析

試求 A ( - 3 , 4 ), B ( 2 , - 1 ) 為平面上 兩點，試求直線AB的斜角與斜 率。

解：

自我挑戰

1. 若ㄧ直線通過 (  a 2 ,  ) 與 ( 1 - a , 3 )  且其斜率為２，試求a之值。

2. 若ㄧ直線通過 ( 1 ,  3 - 4 ) 與  ) 

3  3  ,  3  ,  1 

( - 兩點，試求此直線的 斜角與斜率。

求 y＝1－3x 之斜率？

解：

3. 2x+3y－4＝0 之斜率為？

4.求 2x－3y+4＝0 之斜率？

已知直線 3 x + ay + k = 0 之斜率 為 2 

1 ，且通過（4,1），試求ａ，

ｋ之值。

解：

5.設a、b為實數，且 ab ¹ 0 ，試 求直線 

1

= + b 

y  a 

x  之斜率。

6.若直線 x + ay + b = 0 的斜率為 1，y 截距

為-2，試求ａ、ｂ之值。

設 A ( 5 , 4 ) ， B (a , 1 ) ， C ( - 3 , - 2 ) 三 點共線，

試求a之值。

解：

7..設 A ( 5 , 2 ) ， B (a , 7 ) ， C ( - 0 ,  2 ) 三 點共線，

試求a之值。

8..設 A ( - 3 , 2 ) ， B (- 3 , 4 ) ， C ( - a ,  1 ) 三 點共線，試求a之值。

試求直線 2 x +  y 3  - 6 = 0 之ｘ截 距與ｙ截距。

解：

9.試求直線 3 x -  y 4  + 12 = 0 之ｘ 截距與ｙ截距。

10.試求直線 x +  y 3 - 11 = 0 之ｘ 截距與ｙ截距。

設 A ( 3 , 2 ) ， B (  a 7 ,  ) ， C (- 1 , 8 ) ，  ) 

2  ,  ( - b 

D  ，已知Ａ、Ｂ、Ｃ，三 點共線，且 BD ^ AC ，試求a、 ｂ之值。

解：

11.設 A ( 3 , 2 ) ， B (  a 7 ,  ) ， C (- 1 , 8 ) ，  ) 

2  ,  ( - b 

D  ，已知Ａ、Ｂ、Ｃ，三點 共線，且 AB ^ CD ，試求a、ｂ 之值。

12.設 A ( 3 , 2 ) ， B (  a 7 ,  ) ， C ( - 1 , 8 ) ，  ) 

2  ,  ( - b 

D  ，已知Ａ、Ｂ、Ｃ，三點 共線，且 BD ^ AC ，試求a、ｂ 之值。

0  E 

D  C 

B  A(1,0)  (－1,0) 

如圖四條直線 L¹、L²、L³、L⁴ 斜率分別為 m¹、m²、m³、m⁴，試 判斷其大小順序。

解：

13. 如圖以0 A＝1 為半徑的半 圓上包含0 A、0 B、0C、0 D、 

0 E之直線斜率分別為 m¹ 、m² 、m³、 m⁴、m⁵試比較大小。

A(－2,－3)、B(2,－1)、C(－

1,5)，則△ABC 為何種三角 形？

14. A(－2,－2)、B(1,1)、C(3,

－1)，則△ABC 為何種△？

15. A(－3,0)、B(－1,1)、C(1,

－1)，則△ABC 為何種三角形？

作業研究

1.設 A (  k 5 ,  ) ， B (k , 3 ) ，若AB之斜角為  4

p ，則ｋ之值為○ Ａ１○ Ｂ２○ Ｃ ３○ Ｄ４。

2.若 A (a , 5 ) ， B ( 1 , 3 ) ， C (- 2 , 1 ) 三點共線，則ａ之值為○ Ａ１○ Ｂ２○ Ｃ３

○ Ｄ４。

3.直線 4 x +  y 2  - 5 = 0 之斜率為○ Ａ  2 

5 ○ Ｂ２○ Ｃ  5 

4 ○ Ｄ - 2 。

4.設 A( 3 - 9 ) , 　B ( - 2 , 6 ) ,則下列何點與AB共線？○ Ａ ( 2 , 4 ) ○ Ｂ (- 1 , 5 ) ○ Ｃ  ) 

7  ,  6 

( - ○ Ｄ (- 1 , 3 ) 。

5.方程式 3 x +  y 2  + 6 = 0 之斜率為○ Ａ  2  3 ○ Ｂ 

3  2 ○ Ｃ 

2  - 3 ○ Ｄ 

3  - 2 。

6. x log 2 +  y log 8 = log 24 為直線方程式，則其斜率為○ Ａ  4  1 ○ Ｂ 

4  - 1 ○ Ｃ 

3  1 ○ Ｄ 

3  - 1 。

7.設 A (  k 3 ,  ) ， B ( - k ,  2 ) ， C ( 5 , 3 ) ， D ( 2 , 1 ) ，若AB與CD平行，則ｋ之 值為○ Ａ0 ○ Ｂ-1

○ Ｃ -2 ○ Ｄ -3

8.下列何點與 ( 2 , 13 ) 、 ( - 0 , 5 ) 共線？○ Ａ ( 7 , 14 ) ○ Ｂ ( 3 , 6 ) ○ Ｃ ( 1 , 4 ) ○ Ｄ ( 0 , 5 ) 。 9.已知兩直線 L ₁ : 3 x + 2 y + 4 = 0 與 L ₂ : ax + 2 y + 1 = 0 互相垂直，則ａ 之值為○ Ａ 

3  - 1 ○ Ｂ 

3  - 2 ○ Ｃ 

3 

- 4 ○ Ｄ - 1 。

10.以之ㄧ直線之斜率為 -3 且平行於直線 2 x + my - 1 = 0 ，則ｍ之 值為○ Ａ 

3  1 ○ Ｂ 

3 

2 ○ Ｃ1○ Ｄ  2  3 。

～解答～

自我挑戰 1.  - 5

2. = - ,  = 150 ° 3 

3  a  m 

3.m=-  3  2 

4. m= 

3  2 

5.  a  - b

6. a = -1 , b = -2 7.  4 

= 45 a  8. 2

9.  x 截距為 ­ 4 ， y 截距為 3 

10.  3 

11 ， 截距為 11 

截距為  y 

x 

11. a = - 4 , b = -16 12. a = 22 , b = 127 13. m  ＜ ₄  m  ＜ ₅  m  ＜ ₁  m  ＜ ₂  m ₃  14.直角三角形

15.鈍角三角形

作業研究：1.○ D 2. ○ D 3. ○ D 4. ○ D 5. ○ C 6. ○ D 7. ○ A 8. ○ C 9.

○ C 10. ○ B

主題三 直線方程式 ㄧ. 直線方程式

1.ㄧ般式： ax + by + c = 0

2.點斜式：過點 ( x ₁ , y ₁ ) 且斜率為ｍ之直線方程式為  ) 

(  ₁ 

1  m x  x 

y 

y - = -

3.兩點式：過已知兩點 ( x ₁ , y ₁ ) 、 B ( x ₂ , y ₂ ) 之

(1) 當 x ¹ ₁  x ₂ 時直線方程式  (  ₁ ) 

2  1 

2  1 

1  x  x 

x  x 

y  y  y 

y -

-

= - -

(2) 當 x = ₁  x ₂ 時直線方程式 x - x ₁ = 0 

4.截距式：x截距為a，ｙ截距為ｂ之直線方程式為  +  = 1 b 

y  a  x 

5.斜截式：斜率為ｍ，ｙ截距為ｂ之直線方程式為 y = mx + b  6.參數式：

(1)  P ( x ₁ , y ₁ ) 為直線 L : ax + by + c = 0 上一點，則Ｌ之參數是 為 

R  at  t  y  y 

bt  x 

x Î

î í ì

-

= +

= 

1  1 

(2) 過相異兩點 ( x₁ , y ₁ ) , 　( x ₂ , y ₂ ) 之直線Ｌ之參數式為  R 

t  t  y  y  y  y 

t  x  x  x 

x Î

î í ì

- +

=

- +

= 

)  ( 

)  ( 

1  2  1 

1  2  1 

二. 直線系

1.設直線 L : ax + by + c = 0 ( a ² + b ² ¹ 0 ) 

(1) 平行Ｌ之直線方程式設為 ax + by + k = 0 (2) 垂直Ｌ之直線方程式設為 bx - ay + k = 0

2.過兩直線 L ₁ : a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0 與 L ₂ : a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0 之交點 的直線方程式為 

0  )  ( _{2  2  2} 

1  1 

1 x + b y + c  + k a x + b y + c  = a

教師解析

試求過點 (- 1 , 2 ) 且斜角為  6 p 之 直線方程式。

解：

自我挑戰

1. 試求過點 ( - 2 , - 3 ) 且斜角為 

3  2p

之直線方程式。

2. 試求過點 ( - 2 ,  1 ) 且與ｘ軸成

° 

150 之直線方程式。

試求過 ( - 1 , 3 ) 與 (- 1 , 3 ) 兩點之直 線方程式。

解：

3. 試求過 (- 3 , 5 ) 與 ( - 2 , 1 ) 兩點之 直線方程式。

4. 試求過 (- 3 , 6 ) 與 ( 1 , 2 ) 兩點之直 線方程式。

試求斜率為 - 3 ， y截距為5之 直線方程式。

解：

5.試求斜角為 150 ° ， y截距為  1

- 之直線方程式。

6. .試求斜角為 150 ° ，y截距為 ２之直線方程式。

試求x  截距為２， y  截距為 -3 之直線方程式。

解：

7. 試求x截距為 -1， y  截距 為 -2 之直線方程式。

8. 試求過 ( 2 , -5 ) 且其兩 軸截距相等均不為 0 之直線方 程式。

試求過點 (- 3 , 1 ) ，且與直線  0 

1  3 + = -  y 

x  垂直之直線方程

式。

9.試求過點 ( 3 , 5 ) ，且與直線  0 

1  3 

2 x +  y - = 垂直之直線方程 式。

10.試求過點 ( 3 , 1 ) ，且與直線  0 

6  5 

4 x +  y - = 垂直之直線方程 式。

試求過點 (- 3 , 1 ) ，且與直線  0 

1  3 + = -  y 

x  平行之直線方程

式。

解：

11.試求過點 ( 3 , 5 ) ，且與直線  0 

1  3 

2 x +  y - = 平行之直線方程 式。

12.試求過點 ( 3 , 1 ) ，且與直線  0 

6  5 

4 x +  y - = 平行之直線方程 式。

試求直線 L：x－3y＝4 在兩軸 上的截距及與兩軸所圍成的三 角形面積？

解：

13. 直線 3x－8y－24＝0 與兩 軸所成之三角形面積為？

14. 直線斜率 2，且與二軸所成 三角形面積 9，求直線？

設 A(－1,5)、B(3,－7)、

C(4,5)試求 (1)直線AB 

(2)AB之垂直平分線 (3)△ABC 中，BC邊上的 高方程式

解：

15. △ABC，A(4,2)、B(－2,4)、

C(－6,－4)，則BC所在之中線 方程式為何？

16. P(2,－1)、Q(1,3)，求PQ  之垂直平分線？

作業研究

1.過點(-1,2)且與 2x+3y+7=0 平形的直線方程式為○ Ａ  0 

4  3  2 x +  y - =

○ Ｂ 3 x -  y 2  + 7 = 0 ○ Ｃ  3 x +  y 2  + 7 = 0 ○ Ｄ 2 x +  y 9  + 4 = 0 。

2.已知 A( 3 , 3 )，B( -3 , 5 )，則過點( -3 , 2 )且與 AB  平行的

直線方程式為○ Ａ 4 x -  y 3  + 18 = 0 ○ Ｂ 2 x +  y 3  - 18 = 0 ○ Ｃ  0 

18  3 

2 x -  y + = ○ Ｄ 2 x -  y 3  - 19 = 0 。

3.直線 L : x +  y 2  + 6 = 0 ，另ㄧ直線 L' 與 L 垂直且過點 ( 1 , -2 )，若 

' 

L  之方程式為  ax + by + c = 0 ，則 a + b + c = ○ Ａ -3 ○ Ｂ 5

○ Ｃ 3

○ Ｄ -6 。

4.設 A( 2 , 1 )，B( -1 , 4 )，C( 1 , -2 )，則過Ｃ點且與  AB垂

直之直線方程式為○ Ａ x + y + 1 = 0 ○ Ｂ  x - y - 3 = 0 ○ Ｃ  0 

1 

2 x + y - = ○ Ｄ 2 x - y + 4 = 0 。

5.設AB的兩端點為 A( -1 ,3 )與 B( 1 ,7 )，若直線 x + ay + b = 0 為 AB的垂直平分線，則 a + b 之值為○ Ａ 7 ○ Ｂ -7 ○ Ｃ 8 ○ Ｄ -8 。

6.已知三直線 

0  27  7  2  :  ,  0  9  2 

:  ,  0  23  6 

:  _{2  3} 

1 x - y - = L  x + y - = L  x - y + =

L  ，則過 

2 

1  L 

L  與 的交點，且與 L ₃ 垂直的直線方程式為 ○ Ａ 

0  30 

­  2  7 x +  y  =

○ Ｂ ­ 7 x -  y 2  - 3 0 = 0  ○ Ｃ ­ 7 x ­ 2 y + 1 5 = 0  ○ Ｄ 7 x +  y 2  + 15 = 0 。 7. .已知直線 L 之 x 截距為 6，ｙ截距為３，則下列何者正確？

○ Ａ 直線 L 之斜率大於零 ○ Ｂ直線 L 之方程式為 x + 2y = 12

○ Ｃ 直線 L 之方程式為 2x+ y =12 ○ Ｄ直線 L 之方程式為 x + 2y

= 6。

8.設一直線與直線 3x - 2y + 7 = 0 垂直，且它的二截距何為 ８，則

此直線方程式為○ Ａ 15 x + 10 y ­ 48 = 0 ○ Ｂ 5 x +  y 3  - 16 = 0 ○ Ｃ  16 

5  3 x +  y =

○ Ｄ 10 x + 15 y - 48 = 0 。

9. 3x – y + 3 = 0 與兩軸所圍三角形面積為○ Ａ  2 

1 ○ Ｂ1○ Ｃ  2  3  ○ Ｄ  2。

10. xy 平面上( -1 , 4 ) 與 ( 2 , 3 )兩點連線的垂直平分線 程式為

○ Ａ 3 x - y - 2 = 0 ○ Ｂ 3 x - y + 2 = 0 ○ Ｃ 3 x + y + 2 = 0  ○ Ｄ  0 

2  3 x + y - = 。

～解答～

自我挑戰

1.  3 x + y + ² 3 + 3 = 0  2.  x +  3 y - 2 + 3 = 0  3.  6 x +  y 5  - 7 = 0  4.  x + y - 3 = 0 

5.  1 

3  3 - -

=  x 

y 

6.  2 

3  3 + -

=  x 

y 

7.  2 x + y + 2 = 0  8.  x + y + 3 = 0  9.  3 x -  y 2  + 1 = 0  10.  5 x -  y 4  - 11 = 0  11.  2 x +  y 3  - 21 = 0  12.  4 x +  y 5  - 17 = 0  13. 12 平方單位

14.  2 x - y + 6 = 0 ， 2 x - y - 6 = 0  15.  x - y - 2 = 0 

16.  2 x -  y 4  + 5 = 0 

作業研究：1. ○ Ａ 2. ○ Ａ 3. ○ Ａ 4. ○ Ｂ 5. ○ Ｄ 6. ○ Ａ 7. ○ Ｄ 8.

○ Ｄ 9. ○ C 10. ○ B

主題四 兩直線交角 1. 兩直線之交角

(1)設兩直線 

) 

­  ( 

,  , 

,  _{2  1  2} 

1 L  之斜率分別為 m  m  其交角為 q ， 另ㄧ交角為 p q

L  ，則 

2  2  1 

tan  1 

m  m 

m  m

+

± - q =

(2)設兩直線 L ₁ : a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0 ， L ₂ : a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0 ， 則 

2  1  2  1 

1  2  2 

tan  1 

b  b  a  a 

b  a  b  a

+

± - q =

2. 兩直線之關係

兩直線 L ₁ : a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0 ， L ₂ : a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0  (1) 

2  1  2  1  2  1  2  1 // 

c  c  b  b  a  L  a 

L Û = ¹

(2) 

2  1  2  1  2  1  2 

1  c 

c  b  b  a  L  a 

L = Û = =

(3)  L ₁ ^ L ₂ Û a ₁ a ₂ + b ₁ b ₂ = 0  3. 三線共點

(1)兩兩聯立求得

(2)若三直線 

1 1 1  1 1 1 

2 2 2 2 2 2 

3 3 3 

3 3 3 

a x b y c 0  a b c  a x b y c 0 a b c  a b c  a x b y c 0 

＝

＝ 共點，則

＝ + + ì ï

+ + í

ï + + î

＝0

教師解析

求兩直線 x +  y 4 - 13 = 0 與  0 

11  5  3 x-  y + = 相交之夾角。

解：

自我挑戰

1. 求兩直線  3 x +  y = 3 與  0 

1  3 x - y + = 相交之夾角。

2. 求兩直線 4 x +  y 3  - 7 = 0 與  0 

2  7 x-y + = 相交之夾角。

已知兩直線之斜率分別為  4  7 

3 與 試求此兩直線之交角。

解：

3. 已知兩直線之斜率分別為 

3  3 - 1 

- 與 試求此兩直線之交 角。

4. 已知兩直線之斜率分別為  3 

2 與 - 試求此兩直線之交角。

兩直線 

4  3  )  2  ( 

:  ² 

1 kx + k  - k + y = k -

L  與 

2 

2  2 

)  1  ( 

)  4  3  (  )  1  (  :

-

=

+ - + -  k 

y  k  k  x  k  L 

，分別求（１） L ₁ // L ₂ （２）

值。

2 時之K 

1  L 

L ^

解：

5 若兩直線 L ₁ : kx +  y 2  - 3 = 0 與  0 

5  3  )  1  ( 

2 : k -  x - y + =

L  互相垂

直，試求ｋ 之值。

6. 若兩直線 

0  2  )  2  (  2 

1 :  x + a - y + =

L  與 

0  4  2  )  1  ( 

2 : a +  x + y + =

L  互相平

行，試求ａ 之值。

已知直線過 3 x +  y 2  + 1 = 0 與  0 

2  3  2 x-  y + =

之交點且過原點，試求此直線 方程式。

解：

7. 試求過兩直線 2 x + y + 1 = 0 與  0 

1  2 + = -  y  x 

之交點，且與直線 4 x -  y 3  - 7 = 0 平 行之直線方程式。

8.不論m為任何實數，直線  0  2  )  2  (  )  1 

( m -  x - + m y - m + = 恆過一 定點，試求此定點之坐標。

若  ¹ 

2 

L 4 x ( 2a 1)y 8 0  L ( a 2 )x 3 y 3 0 

： － － ＝

： ＝

ì +

í + + + î

(1)當 L¹//L²，則 a＝？

(2)當 L¹⊥L²，則 a＝？

(3)當 L¹＝L²，則 a＝？

解：

9. 若 x－ay＝2 與 ax－4y＝4 表兩平行線，則 a＝？

10. L¹ ：ax－6y＝－3、L² ：2x+(a

－7)y＝5，若 L¹⊥L²，求 a？

若三直線 2x－y－3＝0、ax+y

－5＝0、x+ay－4＝0 交於一 點，則 a＝？

解：

11. 三直線 ax+2y+8＝0、x－

y+3＝0、2x+y－6＝0 交於一 點，則 a＝？

12. L¹ ：4x+y＝4、L² ：ax+y＝2、

L³：2x－3ay＝4，若此三直線無 法形成三角形，則 a＝？

作業研究

1.直線 4x + 3y - 7 = 0 與 7x - y + 2 = 0 之夾角為 ○ Ａ 30 ° 150 ,  ° ○ Ｂ

°

° 135 , 

45  ○ Ｃ 60 ° 120 ,  ° ○ Ｄ 15 ° 165 ,  ° 。

2.過點 ( 1 , 3 ) 且與直線 2x - y + 6 = 0 所夾角之度量為 45 ° 之直 線方程式可為○ Ａ x -  y 3 + 8 = 0 ○ Ｂ 7 x - y = 0 ○ Ｃ x - y = 0 ○ Ｄ 

0  3 x - y = 。

3.與 2x + y – 1 = 0 夾角成 45 ° 角之直線斜率為○ Ａ1○ Ｂ3○ Ｃ  3  1 ○ Ｄ  3

- 。

4.已知二直線 2x - 3y - 4 = 0 與 3x + y - 6 = 0 之交角為q ， 則sin q =○ Ａ 

11  3 ○ Ｂ 

130  130 

11  ○ Ｃ 

11  5 ○ Ｄ 

130  130 

12  。

5.不論 k 為任何實數，直線( 3 + 2k )x + ( k - 1 )y - 2( 11 + 9k ) = 0 恆過一定點，則此定點之坐標

為○ Ａ ( 8 , 2 ) ○ Ｂ ( 4 , 3 ) ○ Ｃ ( 2 , 1 ) ○ Ｄ ( - 2 , - 3 ) 。

～解答～

自我挑戰 1. 60 ° 120 ,  ° 2. 45 ° 135 ,  ° 3. 30 ° 150 ,  ° 4. 45 ° 135 ,  ° 5. ３，－２ 6. －２

7.  4 x -  y 3  + 3 = 0  8. _÷

ø ç ö è æ 

3  ,1 3  4 

9. ±2 10.  2 

21 

11. -16 12.  6 

61  5 ±

作業研究：1.○ Ｂ 2.○ Ａ 3.○ Ｂ 4.○ Ｂ 5.○ Ａ