2 2 52 56 2 2 2 2 2 2 2 2 83 834 2

Ch 2.2 根式的運算

重點 1：根式與根式的表示

1.根式：若一個算式中含有根號，如

2

1 、3 7 、 8 －1 等，則稱此算式為根式根式根式根式 2.根式的表示：

(1)帶有根號的數也可以像整數、分數一樣做加、減、乘、除的運算，而且滿足加法、乘法的 交換律、結合律及分配律

(2)若 a ≠ 0，b ≥ 0，則：○¹ a× b 寫成 a b ○² b ÷a 寫成 a

b 或 a 1 b

例 1.1：下列敘述，正確的打「O」，錯誤的打「
」

(1) 5 ＋ 5 ＋ 5 ＋ 5 可寫成 5 5 (2) 4×

8

3

8 4 3

(3) 6 ÷ 5

7可寫成 5

7 6 (4)

2

2

2

Ex1.1：下列敘述，正確的打「O」，錯誤的打「
」

(1)

2

2

2

2

2

1)×

2

2 2

(3) 5 ÷3 可寫成 3

5 (4) 3×

5

2

5 6

例 1.2：計算下列各式的值：

(1) (－2)×2 5 (2)4

2

1 (3)

3 2×

3 3

Ex1.2：計算下列各式的值：

(1) 5

3×5

2

12

5 ×(－16) (3) 4

7 3 ×

9 1

Ex1.21：計算下列各式的值：

(1) (－5) ×(－2 3 ) (2)(－2 13 )×(－4) (3) 4

3

2

6

1 ) (4) (－

5

1)×4 5

重點 2：根式的乘除法運算

1.乘法運算：若a ≥ 0，b ≥ 0，則 a × b ＝ a×b 註：a b ×c d ＝ac bd

2.除法運算：若a ≥ 0，b＞0，則 b a ＝

b

a

b a

註：除以 b ，可以看成乘上其倒數 b 1

例 2.1：計算下列各式的值：

(1)

2

2

2

Ex2.1：計算下列各式的值：

(1) 5 ×

11

2 × 5

5 (4)3 6 ×4 6

Ex2.11：計算下列各式的值：

(1) 4 7 ×

2

3 (2)2 6 ×3

11

2 3

2

9

4 3 (4)6 7 ×2 7

Ex2.12：已知 a＝－3

2

2

6 3

5 ，d＝

2

9 5 ，試求：

(1) a×b (2) b×d (3) a×c (4) b×c

例 2.2：計算下列各式的值：

(1) 35 ÷ 5 (2)(－6 6 ) ÷ (4 3 ) (3)

5 4

15

2

2 6

Ex2.2：計算下列各式的值：

(1) 98 ÷

14

14

21 11

Ex2.21：計算下列各式的值：

(1) 45 ÷ (－ 5 ) (2)(－4

21

6 5 5

4

5 1

10 14

Ex2.22：已知a＝－

24

3 8，c＝

3

6 ，d＝

21

12

(1) a ÷ b (2) b÷ c (3) d ÷ b (4) c ÷ a

重點 3：化為最簡根式與有理化

1.最簡根式：一個數 a b 中，a 為整數、分數或小數，b 為正整數，且 b 的標準分解式中質因數的 次數都是 1，則稱 a b 為最簡根式最簡根式最簡根式最簡根式

註：下列幾種情形都不是最簡根式：

(1)根號內的整數，其標準分解式中有質因數的次數大於 1，例如： 8 ＝ 2 ³ (2)根號內的數為分數或小數，例如：

2

1

(3)分數的分母含有根式，例如：

5 1 ，

3 2

2.根式的化簡：將一個不是最簡根式的數化簡為最簡根式的過程，就稱為根式的化簡根式的化簡根式的化簡 根式的化簡 註：常利用質因數分解做整數整數整數根式整數根式根式的化簡 根式

3.分母有理化：將分母化為不帶有根號的過程，稱為分母有理化分母有理化分母有理化 分母有理化 註：分母有理化必須乘上有理化因子有理化因子有理化因子，如有理化因子

2

2

(1) a 與 a 互為有理化因式

(2) a＋ b 與 a－ b 互為有理化因式 (3) a＋k b 與 a－k b 互為有理化因式 (4) a ＋ b 與 a － b 互為有理化因式

(5) m a ＋n b 與 m a －n b 互為有理化因式

即有理化時，常利用a 或平方差公式(a＋b)(a－b)＝² a －² b²

例 3.1：圈圈看，下列哪些根式是最簡根式？

27 36 －

42

8 15 2 7

11 6

8 12

Ex3.1：圈圈看，下列哪些根式是最簡根式？

35

3

1

5 3

Ex3.11：圈圈看，下列哪些根式是最簡根式？

63 6 3

2

1 15 － 6 9

Ex3.12：圈圈看，下列哪些根式是最簡根式？

3 .

6 28 7

7 2 4

3

1

3

24

Ex3.13：圈圈看，下列哪些根式是最簡根式？

－

2

10 1

12

49 － 0.001 2 26

例 3.2：將下列根式化為最簡根式：

(1)

24

21

Ex3.2：將下列根式化為最簡根式：

(1) 80 (2)

12

Ex3.21：將下列根式化為最簡根式：

(1) 3

45 (2) 500 (3) 540 (4) 48×42 (5) 60×18 (6) 27 × 63

Ex3.21：將下列根式化為最簡根式：

(1) 6×28×24 (2) 8×20×65 (3) 39×26×3 (4) 30×12×75

※分母單根式化簡(有理化)

例 3.3：將下列根式化為最簡根式：

(1) 10

2 (2) 0.8 (3)

3 1

2 1

Ex3.3：將下列根式化為最簡根式：

(1)

7

3

5 1

15 2

Ex3.31：將下列根式化為最簡根式：

(1)－

5

2 1

2 (3) 2.4 (4) 6 2

15 (5)4 0.125 (6)25 0.84

※分母二根式化簡(有理化)

例 3.4：將下列各式的分母有理化：

(1) 3 2 1

− (2)

3 2 2 3

2

+ (3)

5 1

2

−

Ex3.4：將下列各式的分母有理化：

(1) 3 2 1

− (2)

1 5

2

+ (3)

5 2 2 4

3

− (4)

4 3

4 3

− +

Ex3.41：化簡(

3 2

1

+ ＋

3 5

2

+ ＋

5 2 2

3

+ )²之值為何？

※分母三根式化簡(有理化)

例 3.8：將下列各式的分母有理化：

(1) 1 2 3 1

+

+ (2)

7 2 3

1 + +

Ex3.8：將下列各式的分母有理化：

(1) 1 2 3 1

−

+ (2)

7 2 3

1

− +

重點 4：根式的近似值

意義：根式(整數、分數或小數)可以透過化為最簡根式後，再利用查表計算出其近似值 註：利用直式開方法直式開方法直式開方法直式開方法，可以直接計算根式的近似值

例 4.1：利用右表，求出下列各數的近似值(以四捨五入法，求到小數點後第 3 位) (1) 5.5 (2) 220

Ex4.1：利用右表，求出下列各數的近似值(以四捨五入法，求到小數點後第 3 位) (1) 5.7 (2) 21.36 (3) 5800

Ex4.11：利用右表，求出下列各數的近似值(以四捨五入法，求到小數點後第 3 位) (1) 3.3 (2) 10.24 (3) 120

例 4.2：已知

2

2 6

4

− 的近似值(以四捨五入法，求到小數點後第 2 位)

Ex4.2：已知 5≈2.236，試計算 1 5

2

− 的近似值(以四捨五入法，求到小數點後第 2 位)

Ex4.21：已知 3≈1.732051， 6≈2.449490， 790≈28.10694， 850≈29.15476，試求：

(1)

3

1

2

3

重點 5：根式的四則運算

1.同類方根：將兩個或兩個以上的根式化成形如 a b 的最簡根式後，若根號內的數 b 相同時，

則稱它們是同類方根同類方根同類方根 同類方根

2.根式的加減運算：根式中的加減運算是將同類方根合併同類方根合併同類方根合併，不同類則不能合併 同類方根合併

3.根式的四則運算：根式進行四則運算時，與有理數的運算順序一樣，先乘方，後乘除，最後加減 有括號時先計算括號內的式子，且將每個根式當做單項式做運算

例 5.1：化簡下列根式，並判斷哪些是 6 的同類方根，若是的在□內打
：

□

12

24

2 □

2 13 1

Ex5.1：試判斷 18 、－

50 1

9

2

例 5.2：化簡下列根式：

(1)2 3 ＋3 3 (2)4 6 －3 6 (3)5 10 －3 5 －2 10 ＋4 5

Ex5.2：化簡下列根式：

(1)7

11

11

Ex5.21：化簡下列根式：

(1)5 7 －(－ 7 ) (2)3 5 ＋(－2 5 )

(3)4 3 －5 5 ＋2 3 ＋ 5 (4)3 6 ＋8 3 －6 3 －2 6

例 5.3：化簡下列根式：

(1)3

2

16 1 9

36 4 25

(3) 6 2 －

3

2 6 (4)3 3 ＋2 5 ＋(

12

Ex5.3：化簡下列根式：

(1)4 3 －

12

1 ＋ 18 (3)

12

Ex5.31：化簡下列根式：

(1)3 7 － 28 (2) 5

1 － 45 (3) 10 5 －

9

4 10 (4) 63 － 7 2

Ex5.31：計算 4

1 48 － 2 5

3 1

3

2

12

3 5 1

Ex5.32：判斷下列各敘述是否正確？

(1)

16

1 + 9

1

16

9

36 4 + 25

6 5

(3)

4

36 4 25

6 5

例 5.4：化簡下列根式：

(1)

2 1

5 1

6

1

3

1

Ex5.4：化簡下列根式：

(1)(－ 6 )×

3

1

2

3 1 2

10 3

2 1

Ex5.41：化簡下列根式：

(1)(－4 7 )×4

2

1

14

21

1

Ex5.42：計算 12

9 ÷

12 54

6

3

(A)12

3 (B)

6

3 (C) 3

3 (D) 4

3 3

例 5.5：化簡下列根式：

(1)2 3 ×(

12

2

2

2

Ex5.5：化簡下列根式：

(1)

24

12

2

2

Ex5.51：化簡下列根式：

(1)3 8 ( 54 －5

2

12

2

2

Ex5.51：計算 27 10 ×

5 12 ÷

75 4

3

60 的值為何？

例 5.6：利用乘法公式化簡下列各式：

(1)( 3 －2

2

2

2

Ex5.6：利用乘法公式化簡下列各式：

(1) ( 5 ＋2)( 5 －2) (2)(

2

Ex5.61：利用乘法公式化簡下列各式：

(1) ( 5 －2)² (2) (2 5 ＋ 10 )² (3)(4 3 ＋3 5 )(3 5 －4 3 )

Ex5.62：利用乘法公式化簡下列各式：

(1) (3 6 ＋7)²(7－3 6 )² (2)(2＋ 3 )⁴(2－ 3 )⁵