勾股定理證明-G193

勾股定理證明-G193

【作輔助圖】

1. 以 BC 為邊長向內作正方形 CBDE .

2. AB 上取一點 P 使得 AP AC，作正方形 APFG .

3. AB 上取一點 M 使得 MB AC，作正方形 BMNO ，連 MF . 4. AC 上取一點 L 使得 ELAB，作正方形 ELHK .

5. 過 C 點作垂直 AB 的直線，與直線 HK 交於W 點，連WK . 6. HK 上取一點U 使得UW  AB.

7. 過U 點作垂直 AC 的直線，交 AC 於 R 點。

8. 過W 點作垂直直線 RE 的直線，交直線 RE 於 S 點，連WS , SE . 9. 過 S 點作垂直WC 的直線，交WC 於T 點。

10. 過U 點作垂直WC 的直線，交WC 於V 點。

11. WC 上取一點 X 使得TX BC.

12. 過 X 點作垂直WC 的直線，交WS 於Y 點。

13. 直線 BO 與 CE 交於 Q 點，連 BQ .

14. 過 R 點作垂直直線WC 的直線，交直線WC 於 Z 點，連 RZ , ZC .

A B C

D H

K

L M

N O

P Q

R

S T

W

X

U V

G F

E Y

Z

【求證過程】

證明四邊形UWSR 為面積為c 的正方形，再證明正方形UWSR 所切割出的所有區塊² 面積總和等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 BMNO 的面積，最後推出勾股定理的關 係式。

1. 證明四邊形UWSR 是正方形且面積為c ： ²

四邊形UWSR 中，因為WUR URS  RSW 90^，所以 四邊形UWSR四個內角都是直角，

又UW  ABc, URHL ABc，因此 UWSR c2

四邊形 是面積為 的正方形。

2. 證明三角形WST 全等於三角形 ABC 進而推得TS CB： 設 CAB x^, CBA y^，且已知x^ y^ 90^。因為

90

TCS ZCB ^ CBA ZCB

        ，所以 TCS  CBA y^，又

90

WST TSC ^ TCS TSC

        ，可推得 WST  TCS  y^。因為

WST y^ CBA

    , WTS 90^  ACB, WS c AB，所以 WST ABC

   (AAS).

故

TS CB. 3. 利用 2.證明三角形 STC 全等於三角形 BCQ ：

因為CQB QBC90^  CBA QBC，所以 CQB  CBA y^。因為 TCS y^ CQB

    , TS CB, STC90^  QCB，所以 STC BCQ

   (AAS 全等).

4. 證明四邊形 XYST 全等於四邊形 EQBD ：

四邊形 XYST 與四邊形 EQBD 中，因為YXT 90^  QED, XTS 90^  EDB, YST y^ QBD

    ，所以

XYST EQBD

四邊形 與四邊形 的四個內角都相等，

又TX BC DE, TS CBDB，故

. XYST  EQBD

四邊形 四邊形

5. 證明三角形UWV 全等於三角形 MFN ：

因為 WST  ABC，所以 SWT  CABx^，可推得 90

UWV ^ x^ y^ CBA

      。因為 UWV  CBA, WVU 90^  ACB,

UW  AB，所以

UWV ABC

   (AAS 全等).

因為 PMF  CBA y^，所以FMN90^ y^ x^  CAB，又 90

MNF ^ ACB

    , MN  AG AC，可推得 MFN ABC

   (ASA 全等).

故

. UWV MFN

  

6. 證明四邊形UVZR 全等於四邊形 MBOF ：

四邊形UVZR 與四邊形 MBOF 中，因為UVZ 90^  MBO, VZR90^  BOF, 90

VUR ^ WUV y^ BMF

       ，所以

四邊形UVZR 與四邊形 MBOF 的四個內角都相等，

又UV BCMB, UR ABMF，故

. UVZR MBOF

四邊形 四邊形

7. 證明三角形YWX 全等於三角形 CRZ ：

因為 WST  ABC，所以 YWX  CAB x^，又因為四邊形UVZR四邊形

MBOF ，所以 RZ FO b a。因為WX WTXT  ACBC  b a RZ, YWX x^ CRZ

    , YXW 90^ CZR，所以 YWX CRZ

   (ASA 全等).

8. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

UWSR STC XYST YWX

UWV UVCR

BCQ EQBD CRZ

MFN UVCR

    

  

    

  

正方形 面積 面積 面積 面積

面積 面積

面積 面積 面積

四邊形

四邊形

四邊形

四

面積 面積

邊形 (

( )

(

BCQ EQBD

CRZ UVCR MFN

BCQ EQBD

UVZR MFN

  

    

  

  

面積 面積)

面積 面積 面積 面積 面積)

四邊形

四邊形

四邊形

四

邊形 面積 面

積

CBDE MBOF MFN

CBDE BMNO

   

 

正方形 四邊形 正方形 正方形

面積 面積 面積

面積 面積，

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 3 月 18 日想到的。

2. 心得：此證明畫的輔助圖比較複雜，證明過程也比較繁瑣，主要在證明正方

形UWSR 的面積等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 BMNO 的面積。必須有 耐心地一一證明圖形的全等關係，才能推導出三個正方形的面積關係，進而 得到勾股定理的關係式。

3. 評量：

國中 高中 教學 欣賞 美學

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4. 補充：此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：