2.3 多項式方程式 一年____班 座號：____ 姓名：
重點1：i 的定義
1.緣由：滿足 f (x)＝0 的 x 值稱為方程式 f (x)＝0 的解或根，但是如 f (x)＝x2＋1＝0 時，則無實數解 2.定義：規定 i＝ 1，則i ＝－1，2 i ＝－i，3 i ＝1 4
則i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i，i4n＝1，即每 4 個一循環 3.性質：(1)若a 為正實數，則 ＝ a i a
(2)設a，b 為實數，則 a b＝
其他 且 當
,
0 0
, ab
b a
ab
例1.1：(1)化簡 8 (2)試求 i‧i‧i‧i
例1.2：試化簡下列各式：
(1) i 17 (2) 1＋i＋i 2＋i 3＋…＋i 20
重點2：複數(complex number)
1.定義：設a，b 為實數，i＝ 1，則可表為a＋bi 形式的數稱為複數，以符號 z＝a＋bi 或 ＝a＋bi 表示 其中a 稱為此複數的實部，b 稱為此複數的虛部
2.性質：設複數 z＝a＋bi，則
(1)若b≠0，則稱此複數 z 為虛數
(2)若a＝0，b≠0，則稱此複數 z＝bi 為純虛數 (3)若b＝0 時，複數 z＝a 是一個實數
3.複數的相等：若兩複數相等，則實部相等，且虛部相等
若a，b，c，d 為實數，設z1＝a＋bi，z2＝c＋di 為兩複數，若z1＝z2，則實部a＝c，虛部 b＝d 4.共軛複數(complex conjugate)
(1)設a，b 為實數，若複數 z＝a＋bi，則 a－bi 稱為複數 z 的共軛複數，並以 z ＝a bi ＝a－bi 表示 (2)複數z 的共軛再共軛，則為自己，即
z ＝z例2.1：設x，y 為實數，若 x＋1－4i＝y＋yi－2i，求 x，y 之值。
例2.2：試求下列複數的共軛複數：
(1) 2＋5i (2) 3i
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重點3：複數的四則運算(加減法運算)
1.設z1＝a＋bi，z2＝c＋di 為兩複數，a，b，c，d 為實數，則：
加法：z1＋z2＝(a＋bi )＋(c＋di )＝(a＋c)＋(b＋d )i 減法：z1－z2＝(a＋bi )－(c＋di )＝(a－c)＋(b－d )i 註：複數作加減法時，實部與虛部分開計算
2.共軛複數的加減法運算
設複數z ＝a＋bi，其共軛複數 z ＝a－bi，則：
加法：z ＋ z ＝2a 為實數 減法：z － z ＝2bi 為純虛數
例3.1：已知複數 z1＝2－i，z2＝3＋4i，求下列各式的值：
(1) z1＋z2 (2) z1－z2
例3.2：設a，b 為實數。若複數(a＋7i )＋(3－i )＝2－bi，試求 a，b 之值。
重點4：複數的四則運算(乘法運算)
1.設z1＝a＋bi，z2＝c＋di 為兩複數，a，b，c，d 為實數，則：
乘法：z1×z2＝(a＋bi )×(c＋di )＝(ac－bd )＋(ad＋bc )i 2.共軛複數的乘法運算
設複數z ＝a＋bi，其共軛複數 z ＝a－bi，則 z × z ＝(a＋bi )( a－bi )＝a2＋b2為實數 3.複數的四則運算性質：設z1，z2，z3為三複數，則：
(1)交換律：z1＋z2＝z2＋z1 z1 z2＝z2 z1
(2)結合律：z1＋(z2＋z3)＝(z1＋z2)＋z3 z1 (z2 z3)＝(z1 z2 ) z3
(3)分配律：z1 (z2＋z3)＝z1 z2＋z1 z3
(4)消去律：若z1＋z3＝z2＋z3，則z1＝z2
若z1 z3＝z2 z3，z3≠0，則z1＝z2
例4.1：計算下列複數：
(1) (4＋3i )(2－i ) (2) (2＋3i )(2－3i ) (3)(1＋i )4
重點5：複數的四則運算(除法運算)
1.意義：複數的除法運算原則，是將分子分母同乘上分母的共軛複數，使得分母成為正實數 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di 為兩複數，a，b，c，d 為實數，則：
除法：
2 1
z
z ＝a bi c di
＝
a bi c di c di c di
＝
2 2
ac bd bc ad i c d
＝ac bd2 2 c d
＋bc ad2 2 c d
i
2.設a，b 為實數，b 0，則 b a ＝
其他 且 當
,
0 0
,
b a
b b a
a
例5.1：規定 1＝i，計算下列各式：
(1) 3
2
(2) 3 2
例5.2：計算下列複數：
(1) 1
2 i (2) 1 2 4
i i
例5.3：已知 a，b 是實數，且1＋2i
a＋bi＝3－i，求 a，b 的值。
重點6：共軛複數的運算性質 運算性質：設 z，w 為複數，則
(1)z w z w (2)z w z w (3)z w z w (4) z z
w w
，w≠0 (5)
zn
z n，其中n 為正整數註：共軛複數的運算：先做四則運算再取共軛，與先取共軛再做四則運算的結果相同
例6.1：已知複數 z 的實部為 2，複數 z
1的虛部為1
4，求 z． z 的值。
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重點7：一元二次方程式的解
1.公式解：設一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0，a，b，c 為實數，且 a≠0，則 x＝
2 4
2
b b ac
a
2.兩根的性質：設 ax2＋bx＋c＝0 的判別式為 D＝b2－4ac，則：
(1)若有兩相異實根，則 D＝b2－4ac＞0 (2)若有兩相等實根(重根)，則 D＝b2－4ac＝0 (3)若有兩共軛虛根，則 D＝b2－4ac＜0
3.一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0 根的性質與 x 軸相交情形：
根的性質 開口
D＝b2－4ac＞0
（兩相異實根）
D＝b2－4ac＝0
（兩相等實根）
D＝b2－4ac＜0
（兩共軛虛根）
a＞0 向上
a＜0 向下
例7.1：試解下列一元二次方程式：
(1) x2＋4x＋13＝0 (2) x2＋x＋1＝0
例7.2：設 k 為實數，方程式 x2＋x－k＝0，試求方程式的兩根為下列特性質時 k 的範圍：
(1)兩相異實根 (2)兩相等實根 (3)兩共軛虛根
重點8：一元二次方程式的根與係數關係
1.意義：設一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0，其兩根為 α，β，
則：兩根和α＋β＝－b
a，兩根乘積αβ＝c a
2.造方程式：以 α，β 為兩根，則一元二次方程式為(x－α)( x－β)＝x2－(α＋β)x＋αβ
例8.1：設 α，β 為 x2＋2x－4＝0 的兩根，試求下列各式的值：
(1) α＋β (2)2＋2 (3)3＋3
例8.2：設二次方程式 x ＋2x＋4＝0 的兩根是 α 與 β，求下列各式的值：
(1) α2＋β2 (2) 1 α＋
1
β (3) ( ＋ )2
例8.3：已知 α＝3＋ 2是實係數一元二次方程式x2－4x＋k＝0 的一個根，試求：
(1)此方程式的另一根 (2) k 值
例8.4：試求以 α＝1＋2i，β＝1－2i 為二根，且領導係數為 1 的二次方程式。
重點9：代數基本定理
定理：任一個次數大於0 的多項式方程式，至少存在有一個複數根，即 n 次方程式有 n 個根 若n 為一正整數，則 n 次方程式，恰有 n 個複數根
註：德國的數學家高斯 (Carl Friedrich Gauss，1777~1855)在博士論文中證明了代數基本定理
例9.1：試求出 x3－1＝0 的三個根
Ex9.1：試求出 x4－1＝0 的四個根
重點 10：整係數多項式方程式的一次因式檢驗法(有理根檢驗法)(牛頓定理) 定理：設 f (x)＝anxn＋an1xn1＋…＋a1x＋a 是一個整係數 n 次多項式，0 a ≠ 0， n
若f (x)有一次因式 ax－b，其中 a，b 為互質的整數，則 a 是a 的因數且 b 是n a 的因數 0 註：一次因式檢驗法(牛頓定理)的逆定理不一定成立
註：若用一次因式檢驗法找不到因式，表示f (x)沒有一次因式。但是 f (x)仍然可能可以因式分解，只是分解出來的因式 都超過一次。
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例10.1：(1)用一次因式檢驗法分解 f (x)＝x3＋3x2＋4x＋4 (2)解方程式 x3＋3x2＋4x＋4＝0
例10.2：設a，b 皆為整數，f (x)＝3x4＋5x3＋ax2＋bx－6，則下列何者一定不為 f (x)的因式？
(1) 3x＋1 (2) 3x－2 (3) 2x＋1 (4) x＋2 (5) x－3
例10.3：用一次因式檢驗法分解f (x)＝x4＋3x3＋3x－1
重點 11：實係數多項式方程式虛根成雙定理
定理：設f (x)＝anxn＋an1xn1＋…＋a1x＋a 是一個實係數 n 次多項式，0 a ≠ 0， n 若已知z＝a＋bi 是 f (x)＝0 的一虛根，a，b 是實數且 b ≠ 0，
則z ＝a－bi 也是 f (x)＝0 的一虛根
例11.1：設a，b 為實數，且多項式方程式 x3＋ax2＋bx＋10＝0 有一根為 1＋2i，試求 a，b 之值。
例11.2：設f (x)＝x4－5x3＋x2＋ax＋b 為實係數多項式，且知 f (i)＝0 (其中i ＝－1)，請問下列哪些選項是多項式 2 方程式f (x)＝0 的根？(101 學測)
(1)－i (2) 0 (3) 1 (4)－5 (5)
例11.3：設f (x)＝5x－21x ＋30x －8x＋8，試求 f (2＋i)。
例11.4：設f (x)為滿足下列條件的最低次實係數多項式：f (x)最高次項的係數為 1，且 3－2i、i、5 皆為方程式 f (x)＝0 的 解(其中i ＝－1)。則 f (x)之常數項為_____ (99 學測) 2
重點12：奇數次實係數多項式方程式實數根存在定理
1.定理：若f (x)＝0 為奇數次的實係數多項式方程式，則 f (x)＝0 至少存在有一個實根 2.性質：利用虛根成雙定理、除法原理，可求得函數f (x)的值
例12.1：解方程式 x3＋x2－5x－2＝0。
重點13：勘根定理
定理：設f (x)＝0 是一個實係數多項式方程式，若 a 與 b 是兩個相異實數，且 f (a) f (b)＜0，
則方程式f (x)＝0 在 a 與 b 之間至少存在有一個實根。
即設f (x)是一實係數多項式，a，b 是實數，a＜b，若f (a)．f (b)＜0，則存在 c 介於 a，b 之間，使 f (c)＝0
註：勘根定理乃是尋找f (x)＝0 的實根的近似位置之方法
註：f (a)．f (b)＜0，表示 a，b 之間可能有 1，3，5，7，…等奇數個根，保證至少存在 1 根
若f (a)．f (b)＞0，表示 a，b 之間可能有 0，2，4，6，…等偶數個根，無法保證至少存在 1 根 註：二、三、四次多項式方程式皆有公式解，天才數學家阿貝爾(Niels Henrik Abel，1802~1829)
證明了五次或五次以上的方程式沒有公式解 a x
b y＝f (x)
c
y＝f (x) a x
c b
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例13.1：設f (x)＝x3－3x－1，試判斷 f (x)＝0 在哪些連續整數之間有實根？
例13.2：試證明x3＝2 恰好只有一個正根。
重點14：分式方程式 定義：可化為型如
) (
) (
x g
x
f ＝0 的方程式，其中f (x)，g(x)皆為多項式，稱為分式方程式。
而 ( ) ) (
x g
x
f ＝0 的解為從f (x)＝0 的解中剔除掉使分母 g(x)＝0 的解
例14.1：解方程式 1 x
x － 2 2 x ＝
