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習作 第 3 章 綜合演練 二年_____班 座號：____ 姓名：
一、單選題：
1.袋中有 5 白球、3 紅球，由袋中一次取出 2 球，則至少有一紅球之機率為下列何者？
(A) 3
5 (B) 2
5 (C) 5
14 (D) 9
14 (E) 13 14 解：一次取 2 球，共有C28個樣本點
至少取出一紅球之機率相當於 1－(未取出紅球的機率)，也就是 1－(取出 2 白球的機率)，即
5 2 8 2
5 9
1 1
14 14 C
−C = − = 故選(D)
2.已知樣本空間有 A、B 兩事件，A 事件發生的機率為 0.4，B 事件發生的機率為 0.6，A 發生或 B 發生的機率為 0.8，
則 A 與 B 都發生的機率為下列何者？
(A) 0.2 (B) 0.24 (C) 0.32 (D) 0.48 (E) 1 解：由已知 P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，P(A∪B)＝0.8
則 P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.8＝0.2 故選(A)
二、多選題
3.設 A、B 為獨立事件，且 P(A)＝2
3，P(B)＝1
2，試選出正確的選項。
(A) A、B 為互斥事件 (B) P(A∩B)＝1
3 (C)P(A∩B')＝1
3 (D)P(A'∩B)＝1
6 (E)P(A'∩B')＝1 6 解：(A) ×：A、B 為獨立事件，P(A∩B)＝P(A)P(B)＝2 1 1
3× = ≠2 3 0，故 A、B 非互斥事件 (B)○：A、B 為獨立事件，所以 P(A∩B)＝P(A)P(B)＝2 1 1
3× =2 3
(C)○：A、B 為獨立事件，則 A、B'也是獨立事件，所以 P(A∩B')＝P(A)P(B')＝2 1 1 3× =2 3 (D)○：A、B 為獨立事件，則 A'、B 也是獨立事件，所以 P(A'∩B)＝P(A')P(B)＝1 1 1
3× =2 6 (E)○：A、B 為獨立事件，則 A'、B'也是獨立事件，所以 P(A'∩B')＝P(A')P(B')＝1 1 1
3× =2 6 故選(B)(C)(D)(E)
4.設 A、B 為獨立事件，若 P(A)＝1
3、P(B)＝1
2，試選出正確的選項。
(A) P(A)＝P(AB) (B) P(AB)＝P(BA) (C) P(AB)＝1
6 (D) P(A'B)＝2
3 (E) P(BA')＝1 2 解：(A)○：由獨立的定義可知，B 事件發生與否，不影響 A 發生的機率
(B) ×： ( )
( )
( ) P A B P A B
= P BI
， ( )
( )
( ) P A B P B A
= P AI
，但 P(A) ≠ P(B)，故 P(AB) ≠ P(BA)
(C) ×：P(AB)＝P(A)＝1 3
(D)○：A、B 為獨立事件，則 A'、B 也是獨立事件，所以 P(A'B)＝P(A')＝2 3 (E)○：A、B 為獨立事件，則 A'、B 也是獨立事件，所以 P(BA')＝P(B)＝1
2 故選(A)(D)(E)
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三、填充題：
5.慶祝校慶，話劇社動員了 16 名演員演出一齣舞臺劇。已知這 16 人當中，有 10 名高二社員，6 名高一社員。高二社員 中有 6 名女生、4 名男生，高一社員中則有 3 名女生、3 名男生。今任選一名社員向觀眾介紹這一齣舞臺劇，試求：
(1)已知是高二社員的情況下，是女生的機率為 (2)已知是男生的情況下，是高二社員的機率為 解：依條件作表格如右
(1) 6 3
10 =5，(2)4 7
6.甲，乙，丙三人參加校內桌球比賽，根據平常練習與經驗判斷，甲、乙、丙進入決賽的機率依序為3 4、2
3、1
2，且三人 能否進入決賽是獨立事件，則：
(1)三人中至少有一人進入決賽的機率為 (2)三人中恰有兩人進入決賽的機率為
解：設 A、B、C 分別代表甲、乙、丙進入決賽的事件，
則甲、乙、丙進入決賽的機率分別為 P(A)＝3
4、P(B)＝2
3、P(C)＝1 2
(1)三人中至少有一人進入決賽的機率為 1－P(A'∩B'∩C')＝1－P(A')P(B')P(C')＝ 1 1 1 23 1− × × =4 3 2 24 (2)三人中恰有兩人進入決賽的機率為 P(A∩B∩C')＋P(A∩B'∩C)＋P(A'∩B∩C)
3 2 1 3 1 1 1 2 1 11 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24
= × × + × × + × × =
7.甲、乙兩人同時解一數學問題，根據過去的經驗，甲每 3 題能解出 2 題，乙每 4 題能解出 3 題，已知兩人解題互不影響，
則：(1)恰有一人解出的機率為 (2)此題被解出的機率為 解：設 A、B 分別代表甲、乙解出此題的事件，則 P(A)＝2
3，P(B)＝3 4 (1)所求為甲解出乙未解出，或甲未解出乙解出，
即 P(A∩B')＋P(A'∩B)＝P(A)P(B')＋P(A')P(B) 2 1 1 3 5 3 4 3 4 12
= × + × =
(2)所求機率為 1－(甲未解出且乙未解出的機率)＝1－P(A'∩B')＝1－P(A')P(B')＝ 1 1 11 1− × =3 4 12
8.桌上有甲，乙，丙三個袋子，甲袋有 3 個白球，乙袋有 2 個紅球、1 個白球，丙袋有 1 個紅球、2 個白球。小偉擲兩枚 均勻的硬幣一次，若出現兩個正面，則從甲袋抽出 1 球；若出現兩個反面，則從乙袋抽出 1 球；出現一正面，一反面，
則從丙袋抽出 1 球。則：
(1)抽出白球的機率為 (2)此白球來自乙袋的機率為 解：設 S 為擲兩枚均勻硬幣的樣本空間，則 n(S)＝22＝4
設事件 A、B、C 分別代表擲出兩正面、兩反面、一正面一反面的事件，則 P(A)＝1
4，P(B)＝1
4，P(C)＝2 4 即選出甲、乙、丙袋的機率為1
4、1 4、2
4
(1)由加法法則，選出白球的機率為1 3 1 1 2 2 3 1 4 8 2 4 3 4 3 4 3 12 12 3
× + × + × = + + = =
(2)由貝氏定理，此白球來自乙袋的機率為 1 12 1
8 8 12
=
高二 高一 小計 女 6 3 9 男 4 3 7 小計 10 6
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9.甲，乙，丙三人同時打靶，每人一發，已知甲、乙、丙的命中率依序為 0.5、0.3、0.4，且三人命中靶面的事件為獨立事 件，試問：
(1)靶面恰中一發的機率為
(2)靶面恰中一發，是由甲命中的機率為
解：設 A、B、C 分別代表甲、乙、丙命中靶面的事件，則 P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(C)＝0.4 (1)所求為 P(A∩B'∩C')＋P(A'∩B∩C')＋P(A'∩B'∩C)
＝P(A)P(B')P(C')＋P(A')P(B)P(C')＋P(A')P(B')P(C)
＝0.5 ×(1－0.3)×(1－0.4)+(1－0.5)× 0.3 ×(1－0.4)+(1－0.5)×(1－0.3)× 0.4
＝0.21＋0.09＋0.14＝0.44 (2)由貝氏定理，所求為0.21 21
0.44 = 44
10.設 A、B 是樣本空間 S 的兩事件，且 P(A)＝1
2，P(A∪B)＝2
3，試依據下列條件求：
(1) A 與 B 是互斥事件，則 P(B)＝
(2) A 與 B 是獨立事件，則 P(B)＝
解：(1) A 與 B 是互斥事件，則 A∩B＝∅，故 P(A∩B)＝0 由 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，得2 1
( ) 0
3 = +2 P B − ，故 P(B)＝1 6 (2) A 與 B 是獨立事件，則 P(A∩B)＝P(A)P(B)
由 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，得 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
故2 1 1
( ) ( )
3= +2 P B −2P B ，即1 1 ( )
2P B =6，故得 P(B)＝1 3
四、計算題
11.袋中有 2 白球 3 黑球，自袋中任取一球，甲、乙看過之後都說是白球。根據經驗，甲說實話的機率是4
7，乙說實話的 機率為2
7，試求此球確實為白球的機率 解：甲、乙看過之後都說是白球有兩種情形：
○1 取出白球且兩人都說實話，機率為2 4 2 16 5× × =7 7 245
○2 取出黑球且兩人都沒說實話，機率為3 3 5 45 5× × =7 7 245 故此球確實為白球的機率為
16 245 16
16 45 61 245 245
= +
12.科學研習社社員的年級與性別分配如右表，如果希望性別與年級獨立，試問應再招收幾名高一女生社員？
解：假設再招收 x 名高一女生社員可以使性別與年級獨立
則任選一社員是女生的機率等於選出高一社員是女生的機率 故14 2
38 10
x x
x x
+ = +
+ + ，解得 x＝4，故應再招收 4 名高一女生
高二 高一 男 16 8 女 12 2 高二 高一 合計
男 16 8 24 女 12 2＋x 14＋x 合計 28 10＋x 38＋x
