2 1 =a  bi，其中 a，b 實數，i  1，則數對(a，b

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臺灣警察專科學校專科警員班三十二期（正期學生組）新生入學考試甲組數學科試題

壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1 題至第 30 題，每題二分，計六十分。

（二）未作答者不給分，答錯者不倒扣。

（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。

1.







5 

1

) 1 2 (

k

k

(A)20 (B)25 (C) 27 (D) 29 。

2. 若

3

log₁₀ x 1，則log₁₀(1000x)

(A) 3

1000 (B)1 (C) 3

4 (D) 3

10 。 3. 若多項式 2x³ 5x² 8x6(2x3)(x² kx2)，則實數 k 之值為

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 。

4. 多項式x¹⁰²⁵19除以 x + 1 的餘式為

(A)18 (B) 20 (C) 23 (D) 24 。

5. 若複數 i i



 2

1 =a  bi，其中 a，b 實數，i  1，則數對(a，b) 

(A) ( 3

1，1) (B) (1，

3

1) (C) (

5 1，

5

3) (D) (

5 3，

5

1) 。

6. 設 A、B 為樣本空間 S 中之二獨立事件，已知 P(A)=

2

1，P(A∪B)=

3

2，則 P(B)=

(A) 3

1 (B)

2

1 (C)

3

2 (D)

4 3 。

7 若二階行列式_^ a b _^

c d ＝10，則







 3a＋5b a＋2b 3c＋5d c＋2d ＝

(A) 10 (B)－10 (C) 20 (D)－20 。

8. 若直線x－3

1 ＝y－1 2 ＝ z

－1 和平面 x＋y＋z＝6 相交於點 ( a , b , c )，則 a＋b＋c 之值等於

(A) 6 (B) 7 (C)8 (D) 9。

9. 若一數列a_n 的前 n 項和

1

 n

S_n n ，則此數列的第 10 項 a₁₀之值為

(A) 11

10 (B)

10

1 (C)

110

1 (D)

100 11 。 10. 設 k 為實數，若二次函數 f (x)  x²  6x  k，在 0  x  4 時，有最大值 102，則 k 之值為

(A) 101 (B) 102 (C) 110 (D) 111 。

11. 若二階方陣 



 







 





3 2

1 , 1

2 1

3 B

A k , 滿足 AB = BA, 則實數 k＝

(A)1 (B)3 (C)5 (D)7 。

第 2 頁，共 4 頁 12. 設 n  11¹⁵，則 n 除以 100 的餘數為

(A) 1 (B) 11 (C)26 (D) 51 。

13. 以O(3,4)為圓心，且與y軸相切之圓方程式為

(A) (x3)² (y4)² 9 (B) (x3)² (y4)² 16 (C) (x3)² (y4)² 9 (D) (x3)² (y4)² 16 。 14. 坐標平面上二直線 L₁：x + 3y  1，L₂： 2x  y  4 的銳夾角度數為

(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60 。

15. 已知 x，y 均為正實數，若 x 1 

y

1 1，則 x  4y 的最小值為

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 。

16. 設 G 是三角形 ABC 的重心，若 ^\

_

\ ___

\ ____

____

AC q AB p

GC   ，則數對( p , q )=

(A) )

3 , 2 3

(1  (B) )

3 , 2 3

(1 (C) )

4 , 3 4

(1  (D) )

4 , 3 4

(1 。

17.

1

limx 8 3 1

2  

 x

x =

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 。 18. limn _{n n}

n n

5 4

5

3 ¹



 ^

=

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 。 19. 若 0  x  2 ，則方程式 sinx  cosx 的實根個數為

(A)0 個 (B)1 個 (C)2 個 (D) 3 個 。

20. 投擲一顆公正的骰子三次，令x 表示第 i 次所擲出的點數，則_i x₁ x₂  x₃的機率為 (A) 9

5 (B)

27

7 (C)

36

17 (D)

54 5 。

21. 投擲三個均勻的硬幣一次，若出現三個正面得 8 元，二個正面得 3 元，一個正面得 1 元，為使賭局公平，

出現三個反面應賠多少元？

(A) 12 元 (B) 14 元 (C) 18 元 (D) 20 元 。

22. 若拋物線的頂點在原點，對稱軸為 y 軸，焦點在直線 4x  y  2 上，則拋物線之方程式為 (A) x²  8 y (B) x²  8 y (C) y  8x² (D) y  8x² 。 23. 若函數 f(x)ax³ bx² cx的圖形如下圖所示，則下列哪一個選項是正確的？

(A) a0,b0,c0 (B) a0,b0,c0 (C) a0,b0,c0 (D) a0,b0,c0 。 24. 空間中三向量 a ＝(－2 , 0 , 0 )， b ＝(－1 , 0 , 2 )， c ＝(－1 , 3 , 2 ) 所展成之平行六面體的體積為

(A)3 (B) 6 (C) 12 (D) 18 。

25. 設 x 為實數，向量 ^\

____

a  (5，4)，^____b^\ (cosx，3sinx)，則^____a^\^____b^\ 之最大值為 (A) 3

10 (B)

7

22 (C) 13 (D) 20 。

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A

B C

D

26. 設 n 為自然數，等比數列 a 的首項_n a₁ 2，前 n 項和為S 。 若 _n

8 7

3 6  S

S ，則此數列第 6 項 a₆ 

(A) 16

1 (B)

16

 1 (C)

32

1 (D)

32

 1 。

27. 長方形 ABCD 中，對角線AC與 BD 相交於 E 點，若 AB 6，cosAEB  25

7 ，則AD 

(A)7 (B) 8 (C) 14 (D) 25 。

28. 設 P(cos，sin )，Q(cos，sin )為坐標平面上的二點，若    4

3，則 P 與 Q 之距離為

(A) 2 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 3 2 。

29. 設

sin3 cos3 

 i ，請問下列哪一個選項是正確的﹖

(A) ) 0

sin6 (cos6  

  

 i (B) ) 0

sin 3 (cos3  

  

 i

(C) ) 0

sin 2 (cos2  

  

 i (D) ) 0

3 sin2 3

(cos2  

  

 i 。

30. 已知 log2  0.3010，log3  0.4771，則滿足不等式 ) 10000 2

(3 ⁿ  的最小正整數 n 之值為

(A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23 。

貳、多重選擇題：（一）共十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。

（二）每題五個選項各自獨立其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣，五個選項全部 答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。

（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。

31. 設 x，y 為實數，若 x＞y，則下列哪些選項一定正確？

(A) x²＞y² (B) x³＞y³ (C) x＞x＋y

2 ＞y (D) 2^x＞2^y (E) sinx＞siny。

32. 設a,b,c,d,e均為實數，若三次方程式x³ax²bx100的三根分別為c2i，1di，e，其中 i  1，

，則下列哪些選項是正確的？

(A) a=0 (B) b= 2 (C) c=1 (D) d= 2 (E) e= 2 。 33. 若 ABCD 為平行四邊形，則下列哪些選項恆成立﹖

(A) | | | ^\ |

\ ____

____

CD

AB  (B) ^\

_

\ ___

\ ____

____

AC AD

AB  (C) ^\

\ ____

\ ____

____

 0

CD AB (D) ^\ 0

\ ____

____BD

AC (E) ^\

\ ____

_

\ ___

\ ____

\ ____

____

 0





BC CD DA

AB 。

34. 已知坐標空間三點 A(2 , 0 , 2)，B(1 , 3 , 1)，C(1 , 2 , 3) ，請問下列哪些選項是正確的？

(A)

____\

AB =(3 , 3 , 1) (B) AC^____\ =2 (C) ^____AB ．^\

_\ ___

AC ＝8 (D) ^\

____

AB^___AC ＝(5 , 4 , 3) ^_\ (E) △ABC 面積＝

2 2 5 。

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35. 已知空間坐標中兩點 A (1 ,－1 , 1) ，B (2 , 1 ,－1)，若直線 AB 與平面 E 垂直，B 為其垂足，則下列哪些選 項是正確的？

(A) 點(6 ,0 , 0)在 E 上 (B) 點(0 ,0 , 0)在直線 AB 上 (C) 向量(－1 ,－2 ,2 )為 E 上的一個方向向量

(D) 原點到 E 的距離為 2 (E) 平面 2x＋z＝0 與 E 垂直。

36. 如右下圖所示，坐標平面上，P (－4 , 3 )為標準位置角θ之終邊上一點，90°＜θ＜180°，請問下列哪些選 項是正確的？

(A) sinθ＝

5

3 (B) cosθ＝

5

 4 (C) tan (180°＋θ)＝

4

 3

(D) sin2θ＝

25

12 (E) cos 2

 ＝ 10

 1 。

37. 有 5 個數據資料x₁,x₂,x₃,x₄,x₅，若 50, 625

5

1 2 5

1









k x

x ，則下列哪些選項是正確的？

(A) x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的算術平均數為 10 (B) x₁,x₂,x₃,x₄,x₅的標準差為 6

(C) 3x₁1,3x₂ 1,3x₃1, 3x₄ 1, 3x₅1的算術平均數為 25 (D) 3x₁1, 3x₂ 1,3x₃1,3x₄ 1, 3x₅ 1的標準差為 15 (E) x₁,x₂,x₃,x₄,x₅中，若x =12，則₁ x 的標準化數據為₁

5 2 。

[標準差公式S 

n x x

n

i







1

)2

(

，其中 x 為算術平均數]

38. 下列哪些不等式的解為－2< x < 3？

(A) x²－5x－6<0 (B) (x－3)² (x+2)<0 (C) x² (x－3)( x+2)<0 (D) (x²+1) (x－3)(x+2)<0 (E) 0

3 2 



 x

x 。

39. 已知雙曲線 1

9 : 4

2

2  

 x y

，則下列哪些選項是正確的？

(A) 3x2y0為的兩條漸近線3x2y 0 (B) (2,0)、(2,0)為的兩個頂點

(C) 1

4 9

2

2  y 

x 為的共軛雙曲線 (D) 過點(0,0)可做 2 條的切線 (E) 過點(2,3)可做 1 條的切線 。

40. 已知五個二階方陣 P＝ 



 



 4 3

2

1 ，Q＝ 



 



 1 0

0

1 ，R＝ 



 



 0 1

1

0 ，S＝ 



 





4 1 0

1 ，T＝1

5 



 





3 4

4

3 ，請問坐標平面上

給定一三角形，它的面積在下列哪些方陣的變換下保持不變？

(A)P (B) Q (C) R (D) S (E) T。