zi =+ 23 zi =− 23

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.11.03 範

圍 2-3 多項方程式 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 ( 每題 10 分 )

1. 設複數z₁= +2 3 i﹐z₂ = −2 3 i, 求下列各式：

(1)

z

₁

+ =_______________ z

₂ (2)

z

₁

− z

₂

=_______________

(3)

z z

₁

⋅

₂

=_______________

(4)z₁²

=_______________

解答 (1)4;(2)

2 3i

;(3)7;(4)

1 4 3i +

解析 (1)^z1+z2=

(

^{2+ 3i}

) (

^{+ 2− 3i}

)

⁼

⁽

²⁺²

⁾

⁺

(

^{3− 3}

)

^{i= ﹒ 4}

(2)^{z1−z2 =}

(

^{2+ 3i}

) (

^{− 2− 3i}

)

⁼

⁽

²⁻²

⁾

⁺

(

^{3− −}

( )

³

)

^{i=2 3i ﹒}

(3)^{z z1⋅ 2=}

(

^{2+ 3i}

)(

^{2− 3i}

)

⁼²²⁻

( )

^{3i 2= − − =4}

^{( )}

^{3 7﹒}

(4)^{z12 =}

(

^{2+ 3i}

)

^{2 = +4 4 3i+}

( )

^{3i 2=}

⁽

^{4 3− +}

⁾

^{4 3i= +1 4 3i ﹒}

2. 將下列複數表示成 a+bi 的形式﹐其中 a, b 是實數.

(1) 1

i+i

=_______________

(2)

1 3 1 3 i i +

− =_______________

. 解答 (1)

0 0i +

;(2) 1 3

2 2 i

− + 解析 (1) 2

( )

1 i 0 0 0

i i i i i

i i

+ = + = + − = = + ﹒

(2)

( )

( ) ^{( ) ( )}

2

2

1 2 3 3 1 3 2 3

1 3 1 3 1 3

1 3

1 3 1 3 1 3 1 3

i i i

i i i

i i i i

+ + − +

+ + +

= ⋅ = =

− − + − − −

2 2 3 1 3 1 3

4 2 2 2

i i

− + − + i

= = = − + ﹒

3. 化簡(3 16) ( 1 25)

2 9

− − − + −

+ −

． 為標準式得____________﹒

解答 7 − i

解析 (3 16) ( 1 25)

2 9

− − − + −

+ −

． =(3 4 )( 1 5 ) 2 3

i i

i

− − + +

=( 3 20) (4 15) 2 3

i i

− + + +

+ =17 19

2 3 i i +

+ =(17 19 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 )

i i

i i

+ −

+ − =(34 57) (38 51) 4 9 + + − i

+ =91 13

13

− i

= 7 − i

4. 化簡

5 3

9

5 4 1

8 5 3

i i

i i

+ + =

− − ____________﹒

解答 3

− i

解析 原式 5 4 1 1 (1 )( 3 3 ) 8 5 3 3 3 ( 3 3 )( 3 3 )

i i i i i

i i i i i

− + + + − −

= = =

− − − + − + − −

2 2

3 3 3 3 6

9 (9 ) 18 3

i i i i i

i

− − − − −

= = = −

−

5.

i = − 1

﹐求下列各值：(1)i⁵⁰

=____________，

(2)i+ + + +i² i³  i⁵⁰

=_______________

. 解答 (1)−1;(2)

− + 1 i

解析 (1)^{i50=i48⋅ =i2}

( )

^{i4 12⋅ = − ﹒ i2 1}

(2)i+ + + +i² i³  i⁵⁰ = + − + − + + + − + − + +^[i

( ) ( )

^{1 i 1] [i}

( ) ( )

^{1 i 1]} + + −ⁱ

( )

¹

( )

0 12

0 0 0 i 1 1 i

×

= + + + + + − = − + ﹒

6. x﹐y ∈ R﹐若1 3i x yi

+

+ = 1 + i﹐則數對(x﹐y) = ____________﹒

解答 (2﹐1) 解析 ∵ 1 3i

x yi +

+ = 1 + i ∴ x + yi =1 3 1

i i +

+ =(1 3 )(1 ) (1 )(1 )

i i

i i

+ −

+ − =4 2 2 + i

= 2 + i

∵ x﹐y ∈ R ∴ x = 2﹐y = 1

7. 複數( − 2 + 3 i)⁴的(1)實部為____________﹒ (2)虛部為____________﹒

解答 (1)− 47;(2)− 8 3

解析 ( − 2 + 3 i)⁴ =[( 2− + 3 ) ]i ^{2 2} = (4 − 4 3 i − 3)² = 1 − 8 3 i − 48 = − 47 − 8 3 i

實部為 − 47﹐虛部為 − 8 3

8. 已知複數z的實部為 2, 而1

z ^的虛部為

1

4^{, 求}z

=_______________

﹒ 解答 2 2i−

解析 設z= +2 yi, （y為實數），則

1 1 2

₂

2

_{2 2}

( ) ( )

2 4 4 4

yi y

z yi y y y i

− −

= = = +

+ + + +

^,

虛部 ₂

1

^{2 2}

4 4, 4 4 0

4 4

y y y y y

y

− = ⇒ − = + + + =

+

^{, 得y= −2,故}

z = − 2 2 i

.

9. 設 z =1 2

+i﹐則 1 + z⁸⁸ + 2 z¹⁹⁹⁹ = ____________﹒

解答 3 − i

解析 ∵ z² = (1 2 +i

)² =1 2 ² 2

i i + − = i

∴ z⁸⁸ = (z²) ⁴⁴ = 1

z¹⁹⁹⁹ = z¹⁹⁹⁸．z = (z²)⁹⁹⁹．z = (i)⁹⁹⁹．z = i⁹⁹⁶．i³．z = (i⁴)²⁴⁹．(− i)z = − iz 故 1 + z⁸⁸ + 2 z¹⁹⁹⁹ = 1 + 1 + 2 (− i)．1

2

+ = 2 − i(1 + i) = 2 − i + 1 = 3 − i i

10. 設 a, b 是實數﹐若2 (4+ −a i) =(b− +3) bi﹐分別求 a, b 的值

=_______________

. 解答 a= −1,b=5

解析 由 2 3,

4 ,

b

a b

 = −

 − =

 得a= − ﹐1 b= ﹒ 5

11. 設 x ﹐ y 是實數﹐若 (1+i x)( +2 )y − −(3 2 )(i x−y)= + ﹐求 8 3i (1) x =____________﹒(2) y = ____________﹒

解答 (1)x= ;(2)1 y= 2

解析 左式= +x 2y+ +xi 2yi−(3x−3y−2xi+2 )yi = − +( 2x 5 )y +(3 )x i= + 8 3i

∴ 2 5 8 1

3 3 2

x y x

x y

− + = =

 

 = ⇒  =

 

12. 設 a﹐b ∈ R 且[(a + 1) − 4i] + [5 + (b − 2)i] = 2 + 5i﹐則 a bi+ =____________﹒

解答 − 4 − 11i

解析 [(a + 1) − 4i] + [5 + (b − 2)i] = 2 + 5i ⇒ (a + 1 + 5) + (− 4 + b − 2)i = 2 + 5i

⇒ (a + 6) + (b − 6) i = 2 + 5i ⇒ 6 2 6 5 a b

 + =

 − =

 ∴ 4

11 a b

 = −

 =

,

∴ a bi+ = 4 11i− + = − 4 − 11i

13. 解下列各方程式：

(1) x

2

+ 2 x − = 4 0. x =________

.

(2)2 x

2

− 2 x + = 5 0

x =________

. 解答 (1)

x = − + 1 5

或 x= − −1 5;(2) 1 3

2

x= + i 1 3

2

− i 或

解析 (1)利用公式解

2 4

2

b b ac

x a

− ± −

= ﹐得

( )

2 4 16 2 20

2 2

x=− ± − − =− ± 2 2 5

1 5 2

=− ± = − ± ﹐故x= − +1 5或x= − −1 5﹒

(2) 2 4 40

x ± 4−

= 2 36

4

= ± − 2 6

4

± i

= 1 3

2

± i

= ﹐ 故 1 3

2

x= + i或 1 3

2 x= − i﹒

14. 解(x²+2 )x ²−3(x²+2x+ − = ﹐則 x =____________﹒ 1) 1 0 解答 1− ± 5或 1−

解析 設x²+2x= ⇒ 原式為A A²−3(A+ − = 1) 1 0 ⇒ A= 或 14 −

⇒ x²+2x= 或4 x²+2x= − ⇒ 1 x= − ±1 5或 1−

15. 設x²−2x− = ﹐無實數解﹐試求 k 範圍____________﹒ k 0 解答 k< − 1

解析 D< ⇒ 0 2²+4k< ⇒ 0 k< − 1

16.設 a 為實數﹐若方程式 x² − (a + i)x + 2 + 2i = 0 有一實根﹐試求 a 的值為____________﹒

解答 3

解析 設實根為

k

﹐則

k

²

− + ( a i k ) + + = 2 2 i 0

⇒ (k² − ak + 2) + (− k + 2)i = 0 解

2 2 0

2 0

k ak

k

 − + =

− + =

 ﹐得 3

2 a k

 =

 =

17.設 i = − ﹐若 1 − i 為 x1 ²− cx + 1 = 0 之一根﹐則複數 c = ____________﹒（以 a + bi 的形式表示）

解答 3 2

−i

解析 ∵ 1 − i 為 x²− cx + 1 = 0 之一根代入 ∴ (1 − i) ²− c(1 − i)+ 1 = 0

⇒ 1 − 2i + i² − c(1 − i)+ 1 = 0 ⇒ c(1 − i) = 1 − 2i

⇒ c =1 2 1

i i

−

− =(1 2 )(1 ) (1 )(1 )

i i

i i

− +

− + =1 2₂ 2 ² 1

i i i

i + − −

− =1 2

1 1

− +i + =3

2

−i

18.設 a ∈ R﹐若二次方程式 x² − ax − a + 8 = 0 有相等實根﹐則 a 為____________﹒

解答 4 或 − 8

解析 a ∈ R﹐x² − ax − a + 8 = 0 有相等實根﹐

則 D = ( − a) ² − 4(− a + 8) = 0 ⇒a² + 4a − 32 = 0⇒(a − 4)(a + 8) = 0 ⇒a = 4 或 − 8

19. 已知

α β

, 為方程式5x² − x7 +4=0的兩根﹐求下列各值﹕

(1)

α +

²

β

²

=________

. (2)

β α

1 + =________ 1

. (3)

α

³

+ β

³

=________

(4) (5 α

²

+ 3 α + 3)(5 β

²

+ 3 β + = _________________. 3)

解答 (1) 9

25^{; (2)} 7

4

; (3)

⁷⁷

−125

; (4) 65

解析 由根與係數的關係﹐得

7 7

5 5, 4.

5 α β αβ

 + = −− =

  

 =



(1)^{α2+β2 =}

(

^{α β+}

)

^{2−2αβ 7 2 2 4}

5 5

   

=   − ⋅  

49 8 9 25 5 25

= − = ﹒

(2)1 1 β α α β αβ

+ = + 7 5

= ⋅ 5 4 7

= ﹒ 4

(3) α

³

+ β

³= (α + β)³ − 3αβ (α + β) = 7 ³ 4 7 77 ( ) 3 ( )

5 − ⋅5 5 = −125

(4)

(5 α

²

+ 3 α + 3)(5 β

²

+ 3 β + = 3) [(5 α

²

− 7 α + + 4) 10 α − 1][(5 β

²

− 7 β + + 4) 10 β − 1]

[0 10 1][0 10 1]

4 7

100 10( ) 1 100 10 1 65

5 5

= + − + −

= − + + = × − × + =

α β

αβ α β

20.設α﹐β為 2x² − 3x + 4 = 0 的兩根﹐則 (1)β

α ⁺ α

β =____________﹒ (2)以β α ^﹐

α

β 為二根的方程式為___________________﹒

解答 (1) −7

8; (2) 8x²+7x+ =1 0

解析 由根與係數的關係﹐得

3 3 2 2, 4 2.

2 α β αβ

 + = −− =

  

 = =



(1)

^α2+β2=

(

^{α β+}

)

^{2−2αβ 3 2 2 2 7}

2 4

=    − ⋅ = − ﹒

2 2

7 4 7

2 8

β α β α α β αβ

+ −

+ = = = −

(2)

以β α ^﹐

α

β ^{為二根的方程式為}

2

( ) ( ) 0

x α β x α β

β α β α

− + + ⋅ =

⇒

x² +7

8x + 1 = 0, 即8x²+7x+ =1 0

21.x﹐y 為實數且 x + y + 10 = (4 − xy)i﹐則( x+ y )² = ____________﹒

解答 − 14

解析 ∵ x﹐y∈R﹐∴ x + y + 10∈R 且 4 − xy∈R

⇒ 10 0

4 0

x y

xy + + =

 − =

 ∴ 10

4

x y

xy + = −

 =

 ⇒ x < 0 且 y < 0

⇒ ( x+ y)² = (x + y) − 2 xy = − 10 − 2 × 4 = − 14

22.設 z² = 5 − 12i﹐則(1) z = ____________﹒(2) z² − 5z +13

z = ____________﹒

解答 (1) ± (3 − 2i);(2) 17 − 24i 或− 7

解析 (1)設 z² = (x + yi)² = 5 − 12i﹐x﹐y∈R

2 2 2

2 5 12

x + xyi + y i = − i

⇒ x² − y² = 5……﹐

2xy = − 12……

∴ x² + y² = 13……﹐

2

  ⇒x+ ² = 9 ， x = ± 3﹐代入

∴ y = 2 ⇒ z = x + yi = 3 − 2i 或

− + 3 2i

2

2 2 2 2 2

2 2

. .

| ( ) | | 5 12 |

( ) 5 ( 12)

13 P S

x yi i

x y

x y

+ = −

⇒ + = + −

⇒ + =

(2)z² − 5z +13 z = z² +

5z2 13 z

− +

=

(5 − 12i) + 5(5 12 ) 13 (3 2 )

i i

− − +

± −

=

(5 − 12i) ( 12 60 )(3 2 ) (3 2 )(3 2 )

i i

i i

− + +

± − +

=

(5 − 12i) ( 36 120)₂ (180₂ 24) 3 2

− − + − i

± +

=

(5 − 12i) 156 156 13

− + i

±

=

(5 − 12i) ( 12 12 )± − + i

= − 7 或 17 − 24i

23.設 k 為給定之有理數﹐且對任一有理數 m﹐恆使方程式 x² − 3(m −1)x + 2m² + 3k = 0 之根為有理數﹐

則 k = ____________﹒

解答 − 6 解析

根為有理數則判別式為完全平方式

⇒[− 3(m −1)] ² − 4．1．(2m² + 3k) = 9(m −1) ² − 4(2m² + 3k) = m² − 18m + (9 − 12k)為完全平方式

∴

D = ⇒ − 0 ( 18)

²

− ⋅ ⋅ − 4 1 (9 12 ) k = ⇒ 81 0

− (9 − 12k) = 0﹐則 k = − 6