由上一節中 closed set 的定義, 我們知道對 open sets 的了解就等同於對於 closed sets 的了解. 因此我們也可利用 closed set 的 inverse image 來判定一個函數是否為 continuous.
Proposition 1.3.2. 假設 X, Y 為 topological spaces 且 f : X → Y 為一 function. 則 f 是 continuous 若且唯若對於 Y 上任意的 closed set C 皆有 f−1(C) 為 X 上的 closed set.
Proof. 假設 f 為 continuous, 任取 Y 中的 closed set C, 我們要說明 f−1(C) 會是 X 的 closed set, 也就是說 X\ f−1(C) 是 open. 然而 X\ f−1(C) = f−1(Y\ C) 且 Y \ C 是 open, 故 由 f 是 continuous 得證 f−1(Y \ C), 亦即 X \ f−1(C) 是 open.
反之, 假設對於 Y 上任意的 closed set C 皆有 f−1(C) 為 X 上的 closed set. 任取 Y 上 的 open set U, 我們有 Y\ U 為 closed. 此時依假設知 f−1(Y \ U) = X \ f−1(U) 為 X 上的 closed set, 故得 f−1(U) 為 open. 得證 f 為 continuous.
依定義, 要證明 f : X→ Y 為 continuous, 必須驗證所有 Y 的 open sets U 皆滿足 f−1(U) 為 X 的 open set. 然而考慮 Y 上所有的 open sets 有時會有點繁雜, 此時 basis 的概念便可 幫我們降低一些複雜度. 下一個定理便是告訴我們, 若能找到 Y 的一組 basis, 我們只要檢驗 此 basis 的 inverse image 即可.
Proposition 1.3.3. 假設 X, Y 為 topological space, 其中 B 為 Y 的 topology 的一組 basis.
則 f : X→ Y 為 continuous 若且唯若對於任意 U ∈ B, f−1(U) 皆為 X 的 open set.
Proof. 若 f 為 continuous, 則因任意 U∈ B 皆為 Y 的 open set, 故知 f−1(U) 為 X 的 open set.
反之, 若對於任意 U∈ B, f−1(U) 皆為 X 的 open set. 任取 Y 的 open set U, 由於B 是 basis, 存在 index I 以及 Si ∈ B, ∀ i ∈ I 使得 U =∪
i∈ISi. 故由 f−1(U) = ∪
i∈I f−1(Si) 以及 f−1(Si) 為 open 知 f−1(U) 為 open, 得證 f 為 continuous.
當 X, Y, Z 是 topological spaces, f : X → Y, g : Y → Z 為 functions 我們便可將 f, g 合 成得 g◦ f : X → Z. 若要了解 g ◦ f 是否為 continuous, 我們必須知道 g ◦ f 的 inverse image 和 f, g 的 inverse image 的關係. 任取 Z 的一個 subset S , g−1(S ) 會是 Y 的 subset, 故 f−1(g−1(S )) 會是 X 的 subset. 另一方面 (g◦ f )−1(S ) 也會是 X 的 subset, 所以我們自 然會問 f−1(g−1(S )) 和 (g◦ f )−1(S ) 是否相等? 若 x ∈ f−1(g−1(S )), 表示 f (x)∈ g−1(S ). 又 由 f (x)∈ g−1(S ) 得 g◦ f (x) = g( f (x)) ∈ S , 故知 x ∈ (g ◦ f )−1(S ). 反之, 若 x∈ (g ◦ f )−1(S ), 表示 g( f (x)) = g◦ f (x) ∈ S , 故得 f (x) ∈ g−1(S ), 即 x∈ f−1(g−1(S )). 我們證明了對於任意 S ⊆ Z, 皆有 f−1(g−1(S )) = (g◦ f )−1(S ). 有了這個性質, 我們便可以推得兩個連續函數的合 成亦為連續函數.
Proposition 1.3.4. 假 設 X, Y, Z 是 topological spaces. 若 f : X → Y, g : Y → Z 為 continuous functions, 則 g◦ f : X → Z 亦為 continuous function.
Proof. 任取 U 為 Z 的 open set, 考慮 (g◦ f )−1(U) = f−1(g−1(U)). 由於 g : Y → Z 是 continuous, 我們有 g−1(U) 為 Y 的 open set. 又由於 f : X → Y 是 continuous, 我們得 f−1(g−1(U)) 是 X 的 open set. 得證 g◦ f : X → Z 為 continuous function. 在數學上, 當有兩個集合雖然是不同集合, 但是當它們在某些我們關注的特定性質來看 時是相同時, 我們會希望能有一個方法描繪出這種情形. 由於它們是不同的集合, 所以唯 一把它們擺放在一起的方法就是藉由 function, 而且這些 function 必須和我們探討的性質 相關. 例如在代數裡, 兩個 group 我們就會談論他們之間的 group homomorphism. 而若兩 個 group 之間有一對一且映成的 group homomorphism (即 isomorphism), 我們便稱這兩 個 group 為 isomorphic. 對於 topological spaces, 我們要如何認定兩個 topological spaces 它們的拓樸是相同的呢? 當然這兩個 spaces 應該有一對一且映成的函數對應關係, 不過這 個函數必需保持拓樸的關係, 我們很自然地認為應該是 continuous function 吧! 不過這仍 然有問題. 例如設 X 是一個非空的集合. 考慮 identity map idX : X → X, 其中定義域使 用 discrete topology, 而對應域使用 indiscrete topology. 在這樣的 topology 之下, idX 是一 個 continuous function, 不過若 X 含有多於一個元素, 我們絕不會認為這兩種 topologies 會 相同. 事實上在一般情形, 若 X, Y 是 topological spaces 而 f : X → Y 是一對一且映成的 continuous function. 對於 Y 上的 open set U, 由於 f 是 continuous, 我們有 f−1(U) 在 X 是 open. 現若有另一個不同的 Y 上的 open set U′, 由於 f 是 onto, 我們會得到 f−1(U) 和 f−1(U′) 是相異的 (why?). 換句話說在這個條件下我們僅有一個一對一的對應方式將 Y 的 open sets 送到 X 的 open sets; 但不能保證所有 X 的 open sets 都被對應到. 所以感覺上 X 的 open sets 有可能比 Y 的 open sets 多 (這種情形在數學上會稱 X 有 stronger topology), 也因此我們不能依此認定 X, Y 有相同的拓樸性質. 然而如果對於任意 X 的 open set S , f (S ) 皆為 Y 的 open set, 此時由於 f 是一對一的, 我們便有一個一對一的方式將 X 的 open sets 送到 Y 的 open sets (why?). 因此在此情況之下認定 X, Y 有相同的拓樸性質是頗合理的. 一 般來說當一個函數 f : X→ Y 滿足對任意 X 的 open set S 皆會使得 f (S ) 是 Y 的 open set (不需 one-to-one and onto 以及 continuous 的假設), 我們便稱 f 為一個 open map.
Question 1.19. 假 設 X, Y 為 topological spaces 且 f : X → Y 是 onto 的 continuous function 而 g : X→ Y 是 one-to-one 的 open map.
(1) 試證明若 U1, U2為 Y 中相異的 open sets, 則 f−1(U1), f−1(U2)為 X 中相異的 open sets.
(2) 試證明若 S1, S2為 X 中相異的 open sets, 則 g(S1), g(S2)為 Y 中相異的 open sets.
基於上述的理由, 假設 X, Y 為 topological spaces 且 T , T′ 分別為 X, Y 的 topology. 如 果 f : X→ Y 為一對一且映成的 continuous function 且為 open map, 我們便可以利用 f 得 到一個T 到 T′ (即所有 X 上的 open sets 所成的集合到所有 Y 上的 open sets 所成的集合) 的一個一對一且映成的對應關係. 亦即將 X 上的 open set S 對應到 Y 上的 open set f (U).
也就是說令 F :T → T′ 其定義為將 S ∈ T 映射到 f (S ) (即 F(S ) = f (S )). 由於 f 是 open map, 我們有 f (S ) ∈ T′ 故知 F 是 well-defined. 又因 f 是一對一, 故由 Question 1.19 (2)
知 F 是一對一. 另一方面對任意 U∈ T′ 由於 f 是 continuous, 我們有 f−1(U)∈ T . 此時令 S = f−1(U) 利用 f 是 onto (即 f (X) = Y) 可得 S ∈ T 滿足
F(S ) = f (S ) = f ( f−1(U)) = U∩ f (X) = U ∩ Y = U.
得證 F 是 onto. 既然此時 X 的拓樸和 Y 的拓樸之間有著一對一且映成的對應關係, 我們很 自然地會依此認定 X 與 Y 有相同的拓樸結構, 因此有以下的定義.
Definition 1.3.5. 設 X, Y 為 topological spaces. 如果一個連續函數 f : X → Y 是一對一且 映成的且為 open map, 則稱 f 是 X, Y 之間的 homeomorphism. 如果兩個 topological space X, Y 之間存在著 homeomorphism, 則稱 X, Y 為 homeomorphic topological spaces.
其實一個一對一且映成的連續函數其反函數未必是連續函數 (以後我們會談到這只有在 特殊的拓樸之下才會成立). 但如果 f : X → Y 是 open map 時, 令 g : Y → X 為 f 的反函 數 (為了避免混淆, 這裡我們不用 f−1 表示 f 的反函數). 此時對於任何 X 的 open set S , 由 於 g−1(S ) = f (S ) (why?) 且 f 是 open map, 我們得 g−1(S ) 為 Y 的 open set. 故知 g 為 continuous. 反之如果 f 的反函數 g 是 continuous, 此時對於任意 X 的 open set S , 我們皆 有 f (S ) = g−1(S ) 為 Y 的 open set, 故知 f 為 open map. 我們證得以下結果.
Proposition 1.3.6. 設 X, Y 為 topological spaces, f : X → Y 為 one-to-one and onto. 則 f 是 open map 若且唯若 f 的 inverse function 為 continuous.
Question 1.20. 設 X, Y 為 topological spaces, f : X → Y 為 one-to-one and onto. 試說明 f 為 continuous function 若且唯若 f 的 inverse function 為 open map.
利用 Proposition 1.3.6 我們自然有以下的結果.
Corollary 1.3.7. 設 X, Y 為 topological spaces, f : X → Y 為 X 到 Y 的函數. 則 f 為 homeomorphism 若且唯若 f 是 one-to-one, onto 以及 continuous 而且 f 的 inverse function 亦為 continuous.
Question 1.21. 假設 X, Y 為 topological spaces, 我們用 X ≃ Y 表示 X, Y 為 homeomorphic.
試證明 “≃” 是一個 topological spaces 之間的 equivalent relation.
Homeomorphisms 有許多重要的性質, 以後我們會再詳談.
1.4. Subset Topology and Disjoint Union Topology
在這節中我們介紹兩個創造新的 topological space 的方法. 其中一個是定義 topological space 的子集合上的拓樸, 稱為 subset topology. 另一個是將兩個不相關的 topological spaces 合併成一個 topological space, 稱為 disjoint union topology.
1.4.1. Subset Topology. 給定一個函數 f : X → Y, 若 X′ 是 X 的 subset, 我們很自然有 一個 restriction function f|X′ : X′→ Y. 簡單來說 f |X′ 就是將 f 的定義域限定在 X′, 也就是 說我們僅考慮 X′ 上的元素經由 f 送到集合 Y. 當 f : X → Y 是 continuous 時, 我們當然也 希望 f|X′ : X′ → Y 也是 continuous. 不過 X′ 不是 topological space, 我們要如何定義其上 的函數是否為連續函數呢? 很自然的我們必須定義 X′ 上的 topology, 而且這個拓樸一定和 X 的拓樸相關. 這種方式定義出的 topology 便稱為 X 上的 subspace topology.
現在我們必須分成兩個步驟處理這個問題, 首先是要找出 X′ 上的 open sets 應該有 哪些, 接著便是說明這些 “可能的” open sets 真的形成 X′ 上的 topology. 首先, 要使得 f|X′ : X′ → Y 是 continuous, 便必須要求對於所有 Y 上的 open set U 都會使得 f |−1X′(U) 是 X′ 上的 open set. 然而 f|−1X′(U) = f−1(U)∩ X′, 這是因為 x∈ f |−1X′(U) 若且唯若 x ∈ X′ 且 f (x)∈ U (注意這裡只要 U 是 Y 的 subset 就可成立, 不需 open 的假設). 然而若 f : X → Y 是 continuous, f−1(U) 會是 X 的 open set. 所以若我們希望對所有的連續函數 f : X → Y, f|X′ : X′ → Y 也是連續函數, 最好的選擇就是要求 X′ 的 open sets 都是 X 上的 open set 與 X′ 的交集. 好了! 我們找到了 X′ 上那些集合應該是 open set 後, 接下來便是要說明 它們應該形成 X′ 的 topology. 也就是說我們要證明, 當 T 是 X 的 topology, 若我們定義 T′ ={S ∩ X′ : S ∈ T }, 則 T′ 會是 X′ 的 topology. 當然了, 依定義 T′ 上的元素都是 X′ 的 subset, 所以我們只要檢查 T′ 是否符合 Definition 1.2.1 上的三個要求即可. 首先因 X, ∅ 皆 在 T , 所以當然 X′ = X∩ X′, ∅ = ∅ ∩ X′ 也在 T′. 所以 (1) 符合. 至於 (2) 呢? 對於一組 index set I, 如果 S′i ∈ T′,∀ i ∈ I, 此時依定義, 存在 Si ∈ T 滿足 S′i = Si∩ X′. 所以
∪
i∈I
S′i =∪
i∈I
(Si∩ X′) = (∪
i∈I
Si)∩ X′. 又由於 T 是 X 的 topology, 所以 ∪
i∈ISi ∈ T , 得證∪
i∈IS′i ∈ T′. 最後若 S′1, S′2 ∈ T′, 表 示存在 S1, S2 ∈ T 使得 S′1 = S1 ∩ X′, S′2 = S2∩ X′, 故由 S′1∩ S′2 = (S1∩ S2)∩ X′, 以及 S1∩ S2 ∈ T 得證 S′1∩ S′2∈ T′, 即 (3) 成立. 由於這個原因, 我們有以下的定義.
Definition 1.4.1. 假設 X 為 topological space 且T 為其 topology. 對於 X 的 subset X′, 考慮以下 X′ 的一些 subsets 所成的集合
T′={S′∈ P(X′) : S′= S ∩ X′, for some S ∈ T }.
T′ 會是 X′ 的 topology, 我們稱此 topology 為 X 的 subspace topology. 當 X′ 是使用 X 的 subspace topology 所得的 topological space 時, 我們便直接說 X′ 為 X 的 subspace.
Question 1.22. 假設 X′ ⊆ X. 試問若 X′ 使用 X 的 indiscrete topology 所得的 subspace topology 為何? 又若 X′ 使用 X 的 discrete topology 所得的 subspace topology 為何?
Question 1.23. 在區間 [−1, 1) 考慮 R 上的 standard topology 的 subspace topology. 試 問此時 [−1, 0) 是否為 open? [0, 1) 是否為 closed?
Question 1.24. 假設 X 為 topological space 且 X′ 為其 subspace. 試證明 C′ 是 X′ 的 closed set 若且唯若存在 X 的 closed set C 使得 C′= C∩ X′.
Excecise 1.7. 假設 X, Y 為 topological space, f : X → Y 為 X 到 Y 的函數. 若對任意 X 上 的 closed set C 皆有 f (C) 為 Y 的 closed set, 則稱 f 為 closed map.
(1) 試找到 topological spaces X, Y 以及 f : X → Y 是 one to one 且 onto 的 continuous function 但不是 open map 的例子.
(2) 試找到 topological spaces X, Y 以及 f : X → Y 是 open map 但不是 closed map 的 例子.
(3) 試證明若 X, Y 為 topological spaces 且 f : X → Y 是 one to one 且 onto 的 open map 則 F : X→ Y 為 closed map.
Excecise 1.8. 假設 X, Y 為 topological spaces 令 CX,Y為所有 X 到 Y 的 continuous functions 所成的集合. 現假設 X, X′, Y 為 topological spaces, 其中 X 和 X′ 為 homeomorphic.
(1) 試證明 CX,Y 和 CX′,Y 之間存在著一對一且映成的對應關係 (即存在著一個 one-to- one and onto function from CX,Y toCX′,Y ).
(2) 試證明 CY,X 和 CY,X′ 之間存在著一對一且映成的對應關係.
Excecise 1.9. 考慮R 上的 standard topology 且對任意開區間 (a, b) 考慮其 topology 為 standard topology 下的 subspace topology.
(1) 設 a, b ∈ R 滿足 a < b. 證明開區間 (0, 1) 和 (a, b) 為 homeomorphic.
(2) 設 a, b, c, d ∈ R 滿足 a < b 且 c < d. 證明開區間 (a, b) 和 (c, d) 為 homeomorphic.
(3) 證明 (0, 1) 和 R 為 homeomorphic.
———————————– 06 October, 2017
