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第柒章 結論與建議
本章乃是在於依據本研究中實驗活動的發現以及分析討論的結果，針對 本研究所提出的研究問題，歸納出最後的結論，並檢討本研究可能的疏漏或 不足之處，以及對於本研究在數學教育的現況又及未來的研究上，提供個人 的一些建議，因此將區分為兩個部份加以陳述，分別是第一節的結論部分，
以及第二節的建議部分。
第一節 結論
本研究分為兩個實驗活動。第一個實驗活動以數學系的大學生為樣本，
研究目的在比較受測者對於動畫觀察、實物操作、語意描述的三種不同媒介 工具的型式，其形成心臟線參數式的歷程中，心像建構與連結符號表徵的情 形。第二個實驗活動是依不同動態表徵型式理論設計出不同的媒介環境，選 擇利用 GSP 軟體及書面為數學概念的呈現方式，並同樣以數學系的大學生 為樣本，研究目的在於比較受測者在不同特質的動態幾何環境及靜態圖形表 徵下，其形成心臟線參數式的歷程中，心像建構與連結符號表徵的情形。
一、 第一個實驗活動的研究結論
(一) 動畫組受測者其心像建構及連結符號表徵情形
動畫組的受測者在心像表徵型式及操作方式上，可以激發出半數以上的 人注意到整體連續的性質；在點軌跡的心像呈現方式上，受測者幾乎有正確 且連續的軌跡圖形；在圖形結構與符號的參照上，大部分的人可以掌握住圖 形結構並進而以符號表示特殊情形的點座標；圖形結構與符號的變換上，大 部分受測者可以掌握住表達參數式的關鍵因素：A 點自轉角為 2θ，並有效 利用此關鍵因素，進而順利表達參數式。
(二) 實物組受測者其心像建構及連結符號表徵情形
實物組的受測者在心像表徵型式及操作方式上，半數以上的人只注意到 局部離散的性質；在點軌跡的心像呈現方式上，有 65%的受測者可以產生 正確且連續的軌跡圖形；在圖形結構與符號的參照上，大部分的人可以掌握
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住圖形結構並進而以符號表示特殊情形的點座標；圖形結構與符號的變換上
，70%的受測者可以掌握住表達參數式的關鍵因素：A 點自轉角為 2θ，但 其中1/5 的受測者可能受到錯誤的點軌跡的心像呈現影響，不能有效利用關 鍵因素，進而順利表達參數式。
(三) 實物組受測者其心像建構及連結符號表徵情形
語意組的受測者在心像表徵型式及操作方式上，半數以上的人只注意到 局部離散的性質；在點軌跡的心像呈現方式上，有 40%的受測者可以產生 正確且連續的軌跡圖形；在圖形結構與符號的參照上，約 60%的人可以掌 握住圖形結構及以符號表示特殊情形的點座標；圖形結構與符號的變換上，
60%的受測者不能掌握住表達參數式的關鍵因素，因此只有約 1/3 的人可以 順利表達參數式。
二、 第二個實驗活動的研究結論
(一) T-P 組受測者其心像建構及連結符號表徵情形
T-P 組的受測者在心像表徵型式上，容易激發出受測者注意到軌跡圖形 的性質，且為動點的整體軌跡圖形結構；在點軌跡的心像呈現方式上，受測 者幾乎有正確且連續的軌跡圖形；在圖形結構與符號的參照上，85%以上的 人可以掌握住圖形結構並進而以符號表示特殊情形的點座標；圖形結構與符 號的變換上，86%的受測者可以注意到公轉角與動點圖形的關係進而以公轉 角代表參數，有 55%的受測者可以有效掌握住表達參數式的關鍵因素：A 點的有向角變化或 A 點座標分解的情形，發展出有效的連結策略，進而順 利表達出參數式。
(二)T-I 組受測者其心像建構及連結符號表徵情形
T-I 組的受測者在心像表徵型式上，容易激發出受測者注意到軌跡圖形 的性質，且為動點的整體軌跡圖形結構；在點軌跡的心像呈現方式上，受測 者100%有正確且連續的軌跡圖形；在圖形結構與符號的參照上，約 40%的 人不容易掌握住圖形結構，因此不容易順利以符號表示特殊情形的點座標；
圖形結構與符號的變換上，87% 的受測者可以注意到公轉角與動點圖形的
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關係進而以公轉角代表參數，但只有 13%的受測者可以有效掌握住表達參 數式的關鍵因素，發展出有效的連結策略，進而順利表達參數式。
(三) T-S 組受測者其心像建構及連結符號表徵情形
T-S 組的受測者在心像表徵型式上，較容易激發出受測者注意到靜態圖 形；在點軌跡的心像呈現方式上，受測者約有 50%的人數有正確且連續的 軌跡圖形；在圖形結構與符號的參照上，80%的人可以容易掌握住第一種情 形的圖形結構，並可與符號順利參照，也可以掌握住第二種情形的圖形結構
，但不容易與符號順利參照；圖形結構與符號的變換上，約 50%的受測者 可以注意到公轉角與動點圖形的關係進而以公轉角代表參數，但只有5%的 受測者可以有效掌握住表達參數式的關鍵因素，發展出有效的連結策略，進 而順利表達參數式。
(四) STATIC 組受測者其心像建構及連結符號表徵情形
STATIC 組的受測者在心像表徵型式上，可能會激發出受測者注意靜態 圖形、圖形操作、軌跡圖形等，呈現出比較多元的心像表徵型式；在點軌跡 的心像呈現方式上，受測者約有 95%的人數有正確且連續的軌跡圖形；在 圖形結構與符號的參照上，100%的人可以掌握住第一種情形的圖形結構，
並可與符號順利參照，有 68%的人可以掌握住第二種情形的圖形結構，且 大部分的人可與符號順利參照；圖形結構與符號的變換上，約 80%的受測 者可以注意到公轉角與動點圖形的關係進而以公轉角代表參數，有約 35%
的受測者可以有效掌握住表達參數式的關鍵因素，發展出有效的連結策略，
進而順利表達參數式，但這些受測者不容易注意到「A 點自轉角為 2θ」的 性質。
第二節 建議
研究者依據研究結果，對以媒介方式教學及未來相關研究提出建議。
一、對於媒介方式教學的建議
在動機中所提及的實習老師的教學片段，利用 Powerpoint 所做的橢圓參
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數式教學中，教師只強調動點座標的局部關係，其實類似本研究中T-S 的動 態表徵型式，而在本研究中，T-S 組的受測者容易受物件性質的影響而無法 建構出參數的概念，雖能掌握住動點圖形的局部結構，但不能掌握住動點座 標與角度的連結關係，以致對於參數式與軌跡圖形間的轉換就顯得比較模糊
，所以動機中的媒介工具教學可能會引導學生只注意到圖形的靜態結構，而 忽略角度的連續性變化與圖形結構的關係。利用媒介工具教學可以帶給學生 不同的認知情形，媒介物可以幫助學生亦可能帶給學生困擾，利如本研究中 實物操作及T-S 動畫呈現的情形，都會受測者因點軌跡心像的不正確或一開 始注意到圖形的靜態結構的影響，而無法順利將圖形與符號做變換。所以在 教學上要使用媒介物教學的話，要注意教學內容的性質及教學目的，再設計 出適當的媒介方式做教學。
電腦環境教學是一種很好的幾何教學方式，可以快速幫助學習者建立出 圖形心像，但不同的呈現方式會影響學生心像的建構及圖形與符號之間的連 結。從四種不同動態表徵形式的結果來看，T-P 組的受測者在參數表達的情 形中，答對率最佳，而 STATIC 組具是次之，T-I 組與 T-S 組最差，顯示出 並非所有的動畫就一定會產生好的心像建構或連結符號的關鍵因素，也要看 動畫內容的設計。
二、對未來相關研究的建議
以下提出未來研究方向的建議，以提供後續研究者研究的參考。
(一) 將動態表徵型式理論應用至非角度為參數的動態幾何圖形上
本研究所採的數學參數式都是以角度為參數，那如果這個參數式是像直 線參數式之類的非角度為參數的參數式，那媒介物的設計又該如何克服，對 受測者認知情形的影響是否與本研究相似。
(二) 研究發現及推論的補強
本研究都採受測者在問卷上的文字或圖形做研究發現及詮釋性的分析
，但如果要讓自己的推論更準確，就必須再找受測者訪談，整理並提鍊訪談 內容，以對自己推論做對照修正；或是擴大研究樣本，以得到一般化的研究 推論。
