第二章质点动力学第二章质点动力学

第二章 质点动力学

Isaac Newton(1642-1727)

牛顿在1687年 发表了具有里程碑意义的《自然哲学的数学原理》

一书.牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群（环境）对 该考察物体的作用归结为力，而该物体则在力的作用下按一定的 规律运动。即

环 境 力 物 体

力的定律

运动 运动定律

由此可见，动力学的根本任务就是回答在周围其他物体的 作用下，所考察的物体如何运动。

在牛顿以后，拉格朗日（J.L.Lagrange）和哈密顿（W.Hamilton）

等人以能量和作用量为基础，从另一途径建立了解决动力学问题 的方法，这就是分析力学。分析力学和牛顿力学是等效的。

§2.1 牛顿定律与惯性参考系

任何物体都保持静止状态或 匀速直线运动状态，直到其它 物体的作用迫使它改变这种状态 为止。

现代语言：自由粒子永远保 持静止或匀速直线运动状态。

第一定律是大量观察与实验事实的抽象与概括，不能用实验直接 验证。

该定律最初是伽利略（近代科学之父）提出的，他设计了一个理 想实验。

1、牛顿第一定律（惯性定律）

几点说明：

不可能不受其他物体作用。

③若将后一斜面放平，球要永远滚下去。

当球沿斜面的顶端向下滚后，即沿对面的斜面向上滚，达到与原 来差不多的高度。他推论：

①若无摩擦力，减少后一斜面的斜率，球仍达到同一高度，但这 时球要滚得远些；

②斜率愈小，球滚得愈远；

伽利略斜面对 接理想实验

第一定律定性提出了“力”和“惯性”两个重要概念。

任何物体都有惯性即保持原有状态不变的特性（一种基本属 性）；

力是一个物体对另一物体的相互作用。力是改变物体运动状态 的原因，而不是维持运动状态的原因。

爱因斯坦说：“伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人 类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端”

第一定律定义了一类重要的参考系——惯性系。

“运动”描述需要参照系，牛顿第一定律并不适用于任何参考系。

惯性系：牛顿第一定律定律成立的参考系为惯性参考系。

常用的惯性参考系：

基准参考系(FK₄系):是以相对于选定的1536颗恒星的平均静止位形作为 基准的参考系。

地面参考系：又称实验室参考系，或实验室坐标系。由于地球的自转 造成的的加速度为3.4x10^-2m/s² ，在精度不太高时，自转的加速度效应 可以忽略，因此可将地球参考系可以看作惯性参考系

 太阳系：即太阳 ─ 恒星参考系，以太阳中心为原点，坐标轴指向其 它恒星的惯性参考系。太阳对银河系中心的转动加速度为10^-10m/s²， 常在在研究行星等天体运动时采用；

实验证明:凡是对惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系。

 地心参考系：即地球 ─ 恒星参考系，以地心为原点，坐标轴指向 恒星的惯性参考系。地球公转造成的加速度为5.9x10^-3m/s²，常在发 射人造地球卫星时采用；

牛顿表述：在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外 力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力的矢量和 的方向相同。

确切的表述应为：动量的变化率与（动）力成正比。

即

2、牛顿第二定律

若物体的质量不随时间变化：

m m m m

km

a a/k

F F

质量及其度量

( )

d mv dv dm

F m v

dt dt dt

  

F m dv ma

 dt 

1 1 1 2

2 1

2 2

: 1

:

F m a a m

a m a m

F m a

     

 

一般地：

1

2 1

2

= a m m

 a ，

如果取m₁的质量为标准质量，a₁和a₂可以测量，于是m₂的质量便 可以确定。

m大者较难改变运动状态或速度，m小者则较易， 所以m应是物体 惯性的反映，即惯性的大小。量度惯性的质量m称惯性质量, 简称 质量。

质量的单位：千克

•4^oC时1L纯水的质量规定为1千克；

•千克原器：取巴黎国际计量局中铂铱合金国际千克原器为标准物 体，规定其质量为 m₀=1kg(千克)；

•原子质量：一个原子质量单位(u)为碳的同位素¹²C原子质量的1/12

kg 10

66 . 1 kg

10 565

660 .

1 u

1  

 

•质量具有可加性：两个物体组合成大物体的质量等于两个物体质 量的和。

质量的基本性质

mA m_B m^AB  m^A m^B

•质量是绝对量：物体质量的度量值与物体的运动状态无关，在不 同的参考系中质量m的度量值相同。

目前所测宇宙：

银河系：

太阳：

地球：

月球：

细菌：

红血球：

流感病毒：

氧分子：

中子、质子：

电子：

53kg 10

41kg 10

30kg 10

25kg 10

22kg 10

11kg 10^

13kg 10^

19kg 10^

25kg 10^

27kg 10^

30kg 10^

物质世界的质量尺度

宇宙中物体的质量量级跨跃了约80个数量级!

力的单位：牛顿

在国际单位之中，力是导出量。力的单位是牛顿(N)，1N的力使质量为 1kg 的物体产生 1m·s^-2 的加速度。

关于第二定律的几点说明

•公式 是矢量式，不能用其直接求解，应将其写成代数式

自然坐标系：

直角坐标系

：

F  ma

•第二定律是瞬时关系式：当有力作用时，物体即产生加速度。

一旦力消失，加速度也随之消失，二者是同步的。

•笫二定律适用的参考系是惯性系；

, ,

x x y y z z

F  ma  mx F  ma  my F  ma  mz d 2

d , ^{n n}

v v

F ma m F ma m

 ^  ^ t ^{ }



平面极坐标系： ₍ ²_{), ( 2 )}

r r

F  ma  m r r







•定律中的外力是合外力 ^{    }



= i

i

i F

F F

F F

1 2

1



 







3、牛顿第三定律

说明：

①作用力和反作用力总是成对地产生，并且同时存在、同时消失。

物体间作用力总是成对出现的,如果质点A对质点B的作用力为 ， 那么，质点B对质点A也有作用力 ，而且两个力的大小相等，

方向相反，并位于两质点的连线上，即

A B

F _

B A

F _

A B B A

F _  F _ 数学表达：

②作用力和反作用力是具有相同性质的力。

③有别于一对平衡力，作用力和反作用力分别作用于两个物体上，不能 抵消。

④笫三定律是关于力的性质的定律,不要求参考系是惯性系。

1

2

v

静止

t  t t

f

f

12 21

f   f

相互作用的传递速度一般较大（例如引力和电磁力都以光速传 递），而牛顿力学中物体运动速度远低于光速，可忽略延迟效应，

因此在牛顿力学中，作用力等于和反作用力。

⑤作用力与反作用力相等而反向是以力的传递不需要时间即传递速 度无穷大为前提的。如果力以有限的速度传递，作用力和反作用力 就不一定相等了。

§2.2 常见的力

1. 弹性力:物体发生弹性变形后，内部产生欲恢复形变的力。

常见的有：弹簧的弹力、绳索间的张力、压力、支持力等

。

x k F  





这里k叫做弹性系数，由弹簧本身性 质决定。负号表示弹性力与形变方 向相反。

F

F 弹簧被拉伸或压缩时的弹力遵守

胡克定律

物体与物体相互接触时，沿接触面两物体相互施以阻止相对滑 动的作用力。

静摩擦力：

滑动摩擦力：

0  f_s  _sN

k k

f   N

方向：与物体相对滑动趋势的方向相反。

方向：与物体相对运动的方向相反。

2.摩擦力

分子力是产生摩擦的根本原因。

_s^{为静摩擦因数}

_k^{为动摩擦系数}

3. 粘滞力:固体与液体或者气体接触面发生相对运动时产生的阻力。

2

, , f bv f cv

  

  

 速度较大 低速

4. 万有引力:

自然界任何两物体之间都存在着相互吸引力，叫做万有引力。两质 点间万有引力大小与两质点的质量乘积成正比，与两质点间的距离 平方成反比，力的方向沿着两质点的连线

2 2

11

N m kg

10

6.67 

 



G ^{称为万有引力常数。}

引力质量，它是物体与其他物体相互吸引性质的量度。

公式中的质量称为

虽然引力质量和惯性质量代表了物体的两种不同的属性, 然而精确 的实验研究和理论分析表明, 对于任一物体来说, 这两个质量都是 相等的。这一重要结论正是爱因斯坦创立广义相对论的实验基础。

5. 重力：地球对表面物体的万有引力。

m

M

h

地球

R

r

重力可表示成

2 2

Mm Mm

W G G mg

r （R h）

2

9.8 / 2

g G M m s R

重力加速度近似为

h  ， R

可见，重力加速度与物体离地面的高度有关。

重力加速度 g：

( )2

g G M

R h

6. 库仑力：

查尔斯·库仑 （1736-1806）

2

19

9 2 2 2

8.987 10 / ( / )

1

1.60218

=

92 10 ( . )

kc N m C

A s

e ^

   



 

牛顿 米 库仑 库仑(C) 1安

一个电子所带负电荷量 培 秒

库仑

7. 洛伦兹力

带电质点在电磁场中所受力由洛伦兹公式给出：

F  qv B 

F

v B

分子力即分子间的相互作用，可用半经 验公式表示

8.分子力 ^F

0 r

 

s t

F s t

r r

 

  

力 相对强度 作用范围 重要性

强相互作用 1 10^-15m 使原子核保持在一起 电磁力 10^-2 无限远 摩擦力，张力等 弱相互作用 10^-5 10^-15m 原子核衰变

万有引力 10^-39 无限远 组织宇宙

力的分类

在目前的宇宙中，存在着四类基本的相互作用，所有的运动现象 的原因都逃不出这四类基本的力,各式各样的力只不过是这四类 基本力在不同情况下的不同表现。

§2.3 牛顿运动定律的应用

1. 质点动力学的三类问题：

2. 求解质点动力学问题的基本步骤：

①隔离物体，确定研究对象：如果所讨论的问题多于一个质点，

可以把几个物体分别隔离出来，对每个物体分别加以讨论；

F



第一类，已知力求运动；

第二类，已知加速度或运动求力；

第三类，已知某些力和运动条件求另一些力及运动。

②分析受力（画受力图）；

⑤方程求解、讨论。

③分析运动状态（分析所认定的物体的运动状态，包括它的轨迹、

速度和加速度。问题涉及几个物体时，还要找出它们的运动之 间的联系，即它们的速度或加速度之间的关系。）；

④选择适当的坐标系，写出动力学方程 的分量形式；

例题1：英国剑桥大学物理教师阿特伍德(George Atwood,1746—

1807)，善于设计机巧的演示实验，他为验证牛顿第二定律而设计 的滑轮装置，称作“阿特伍德机”，该机是最早出现验证牛顿定 律的最好设备，于1784年发表于“关于物体的直线运动和转动”

一文中(下页如图所示）.物理学进行研究需要建立理想模型.在理 论模型中，重物M 和m 可视作质点；滑轮是“理想的”，即绳和 滑轮的质量不计，轴承摩擦不计，绳不伸长.求重物释放后物体加 速度及物体对绳的拉力。

解：选地球为惯性参考系。把右 物块 M 与小物块m 看成一个物 体，设绳中张力为 T，画出左右 两物块的受力分析左图所示，取 向上为正的竖直坐标，可列出下 列方程：

y

O

1, (1) T  Mg  Ma

( ) ( )

, (2)









考虑约束关系

1 2

y y πR l

    

对时间求两次导数，得

2 2

1 2

1 d y2 d x2 2, (3)

a a

dt dt

    

联立以上方程（1），（2），（3）可解得：

m g M

a m

 

1

2

m Mg M

m M

m M

Mg m a

g M

T 

 

 





 2

) (

) 2 1 2

( )

( ₁

所以A 点所受的支承力:

m Mg M

m T M

F 

 

 2

) (

2 4

为了求得m与M之间的作用力，把m隔离出来，对它列运动方程:

2 1

N mg  ma  ma 于是

1

2 2

N mg ma Mm g M m

  



例题2(收尾速度)：已知一质点从静止自高空下落，设重力加速度 始终保持一常量，质点所受空气阻力与其速率成正比。求质点速 度并与自由下落相比。

解：建立以开始下落处为坐标原点且铅直向下的坐标系Oy,又选开 始下落时为计时起点。

W



F    v

—

v

质点速度  为常量

动力学方程为：

重力 阻力

( ) m dv W v

dt    

它在Oy 轴的投影为

y

y

dv g v

dt m

  

该式可写作

作不定积分，得

( _y ) ( _y )

m d v g v g dt

m m

 



     

mt

mg vy Ce



 

因 t ＝0，

v

 0

) e

1

(

y

v mg









O t v_y

max

vy

红色直线表示自由下落 蓝色曲线表示有阻力时，

最后可达一极限——终 极速度



max mg / v_y



终极速度 与高度无关

自由落体 v_ymax



例题3：质量为m质点沿半径为R的圆环的内壁运动，整个圆环水 平地固定在光滑的桌面上。已知质点与环壁间的摩擦系数为μ 和 质点开始运动的速率v₀ ，试求:

⑴ 质点在任一时刻的速率；

⑵ 经过多长时间质点速度是原来的一半。

解：以地面为参考系，并选用自然坐标系，

分析受力，列牛顿第二定律方程

o

m v

R N _f

2

(1) N m v

R f m dv

dt

 



 



(2) f  N

综合（1）（2）两式有：

v2 dv R dt



 

：

分离变量进行积分,并注意初值条件,有

0

2 0

t v

v

dt dv

R v



 

0

1

v v

v t R

 



当质点速度是原来的一半时， ，可得

t  R  v

0 2 v  v

例题4：一质量为m的物块拴在穿过小孔的轻绳的一端，在光滑水 平台面上以角速度 作半径为 的圆周运动自t =0时刻起，

手拉着绳子的另一端以匀速v向下运动，使半径逐渐减少，试求：

⑴角速度与时间的关系；

⑵绳中的拉力与时间的关系.



r

r

v



⑴ 根据题意 r

  

，

 

，     v

解：在平面极坐标中，运动方程为

 

 

2 (1)

2 0 (2)

m r r F

m r r



 

  

 

d 2

r v

dt





2

d v

r dt





r   v

vt dt r

v d

 



0

2





 

2 0 0

2 0

( ) r

t

r vt

 

 



0

0 0

0 0 0

2 , ln 2 ln

t

r vt

d v

r vt dt r





 

 

    

  

两边积分

⑵代入方程（1），得

 

   

2 4 2 4

2 0 0 0 0

0 4 3

0 0

r m r

F mr m r vt

r vt r vt

 



   

 

r r

vt

  

0



T

T

B A

例题5：有一轻绳索围绕在圆柱上，绳索绕圆柱的张角

为 θ,绳与圆柱间的静摩擦系数为µ，求绳索处于滑动的

边缘时,绳两端的张力间的关系。

解：如图，选取研究对象，受力分析（如图，设圆柱右边绳子的 力大于左边绳子的力），建立坐标系Oxy

( ) cos cos 0 2 2 ^s

d d

T dT





    

x方向^：

( ) sin sin 0 2 2

d d

T dT





    

y方向^：

s ,

f 



2 2

sin , cos 1 2

d_{ } d



又

fs

d

2 d

T  dT T

Y

X

N

整理以上方程可得：

dT  



2 dTd





0

B

A

T T

dT d

T











略去二阶小量可得 dT d

T  

 

ln ^B

A

T

T 

  

B A

T T e^

 

0.25,



如果 则

讨论

：

= T_A 0.46T_B

 时， 

=2 T_A 0.21T_B

 

=10 T_A 0.00039T_B

 

§2.4 力学相对性原理

对于描述力学规律来说，所有的惯性参考系都是等效 的。或者说：相对某惯性系作匀速直线运动的参考系，

其内部发生的力学过程，不受系统整体的匀速直线运 动的影响。简言之：在任何惯性系中，力学定律具有 相同的形式。

1.力学相对性原理

上述结论，是伽利略在1632年，通过分析一个匀速直线运动的 封闭船舱里发生的力学现象而总结出的，它也称作力学相对性 原理，或伽利略相对性原理。

伽利略在1632年出版的著作

《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》

“ 把你和几个朋友关在一条大船甲板下的主舱里，再让你们带几 只苍蝇、蝴蝶和其它小飞虫。舱内放一只大水碗，里面放几条鱼。

然后挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐儿里。

船停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行，

鱼向各个方向随便游动，水滴滴进下面的罐子中。你把任何东西 扔给你的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向用 更多的力，你双脚齐跳，无论向哪个方向跳过的距离都相等。当 你仔细地观察这些事情后，再使船以任何速度前进。只要运动是 匀速的，也不互左忽右地摆动，你将发现，所有上述现象丝毫没 有变化，你也无法从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是 停着不动。”

一切推理都必须从观察与实验中得来。

舟 行

而 不

觉

设S为静参考系， 为动参考系

'

rO

r

O

, r   r  r

质点在空间运动, 某时刻位于P点 ^r

r

 ut  ut 

, ,

y

 

 

 

, ,

y  y  z  z  t  t 

逆变换

x    x ut

x   x  ut 

于是可得伽利略坐标变换 S

设 S 相对S以速度

u

0

t   时 与 重合 t  O O 

S  S

S   S

O

x

z

y p

O

x

y

z 2.伽利略变换与力学相对性原理

( ) ( ) t t

r t r t ut

 

   



不妨设 _S相对S以速度 沿x方向作匀速直线运动，则有

u

对伽利略坐标变换两边同时求导，可得伽利略速度变换

v   v  u

y y

z z

v v u v v

v v

  

  

  

 继续求导，可得伽利略加速度变换

a  a

y y

z z

a a a a a a

  

  

  



速度是相对的,即同一质点对于不同参考系有不同的位置和速度。

从相对作匀速直线运动的所有参照系观测同一质点的加速度必相同，

因此加速度具有伽利略变换的不变性!或者说加速度是绝对的。

伽利略变换只适用于低速情况,高速情况（u ~ c）必须用洛仑兹 变换。

在牛顿的经典力学中:

m  m

即

F  F

则在惯性系S′中也必然有：

结论：在任何惯性系中，力学定律具有完全相同的形式。即：牛 顿运动定律具有伽利略变换的不变性。这一原理称为力学相对性 原理。

如果在惯性系S中有：

F  ma F   ma 

对于不同的惯性系，力学的基本规律—牛顿方程的形

式相同。或者说：牛顿方程具有伽利略变换协变对称性。

从一个惯性参考系变换到另一个惯性参考系，物理定律如何变化？

物体质量与其运动状态无关,是绝对的， ；

物体间的相互作用(力)只与物体相对位置或相对运动有关，因 此力也与参考系无关，即 。

选对象 分析力 分析运动

列方程 解方程

应用牛顿定律解题的基本方法 1、受力分析是关键

牛顿第一、第三定律为受力分析提供依据 2、第二定律是核心

力与加速度的瞬时关系： ²

2

dv d r

F ma m m

dt dt

  

本章小结

（画受力图）

选坐标系 一般用分量式,用文字

符号列方程式 先用符号求解，后代入

数据计算结果