國立台東大學教育學系所 碩士論文
指導教授：何俊青 先生
台東縣國小高年級漢、原學童 數字感差異之研究
研 究 生： 吳昭毅 撰
中 華 民 國 九 十 五 年 七 月
國立台東大學教育學系所 碩士論文
台東縣國小高年級漢、原學童
數字感差異之研究
誌 謝 辭
這篇論文能順利完成，過程中有許多我要感謝的朋友，首先感謝指 導教授何博士俊青的諄諄教誨與建議，在我每次面對困難時給我靈感和 啟發；感謝口試委員熊教授同鑫與涂教授金堂予以論文的釜正與指教，
使論文更加完善；感謝國中時期陳進春老師對我在數字概念的啟蒙與影 響，讓我在數學科的教學上持續充滿著熱情與理想，也是選擇這篇論文 題目的主要原因與與動力。
在研究進行中感謝許校長清陽授權改編數字感測驗的使用，讓我在 研究工具上獲得重要的支持；在學童數字感施測過程中，要感謝各校協 助學生上網施測及訪談的導師以及網管老師的幫忙，在你們身上讓我深 深感受到教育人員的愛與對教育的熱枕；感謝學弟宏佑的資訊支援和于 斌兄的協助，由於你們的幫忙讓研究順利完成。
在論文寫作的這段期間，感謝摯友永娥悉心陪伴與支持，感謝吾師 順成校長、麗吉校長、鴻祥校長、能發校長、德光校長、正維校長等教 育前輩的勉勵。感謝東山兄、文祥兄及台東好友們的精神鼓舞；感謝主 任班同窗好友文佳、清文、及宏、啟榮、邇翰在儲訓期間的專業對談；
感謝韶瀛兄在研究上的提點與協助，讓我獲益匪淺，在此致上最高的謝 意。
最後，謹將這篇論文獻給我最敬愛的雙親，由於你們的栽培與鼓勵 讓我有機會在教育這塊樂土上能盡情揮舞，繼續發光發熱。
吳昭毅 謹誌於
國立台東大學教育研究所
2006 年 7 月 28 日
第一章 緒論
第一節 研究動機
「數字」在數學的領域中具有貫穿始末的重要性：在九年一貫課程數學領域綱要
（民 92）中明白揭示「數與量」在國民教育的數學課程中具有最重要的位置，其主 要概念的形成以及演算能力的培養均奠於國小階段；整數計算是一切數學學習的基 礎，在教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則 與策略。流暢的計算能力，有如語文學習中，基本的文字駕馭能力，不僅可以內化學 童的數字感，並且是日後（國、高中）學習抽象運算及形式推導的基礎，這樣的能力 固然是學習科學所必須，也是能夠有效處理日常生活的基本能力之一。
翁秉仁（民 92）在談九年一貫課程數學時針對有理數的問題認為：在國小數系 的課程中，學童首先接觸的是直覺性最強的自然數，進而學習自然數的四則運算，然 後再擴展到數的概念，如小數、分數、等分、測量、單位換算、比率等，而其他部分 的學習，如計算面積、體積、時間、重量都和數字有直接的關係；在學習自然數的階 段中，學童對於直覺性的具體情境必須要熟悉，所以花費的時間也較長，要教導學童 學習有理數，是要讓學生理解與掌握自然數四則運算的直覺基礎，確定他們能將具體 的直覺理解與運算的法則連結起來（合成、分解、連加與等分），缺乏這一層次理解 的學童，在學習有理數運算時，由於不理解這些只是自然數的直覺延伸時，就只能從 形式上著手，進而會犯下一些莫名的錯誤。
在九年一貫課程綱要數學學習領域（民 92）的五大主題說明中提到：有理數是 小學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的教學主題。有理數教學的 困難主要在於它牽涉兩種非常不同的表現形式─分數與小數；它的應用課題很廣─平 分、測量、比例、比率、比值、部分/全體；學生較缺乏有理數的前置經驗，日常生 活中的有理數情境也比整數少；分數的形式是學生首次碰到兩整數並置的約定，一方
義的學習數學，瞭解數字感的內涵與如何培養學生的數字感，可以提供數學科教學者 一個值得參考的方向。
數字感可以解釋為個人對數字的認知、與理解數字和運算之一般特性；包括了有 能力以彈性的方法對數學作判斷以及發展策略來處理數字和運算之關連（楊德清，民 86）。例如：24這個數字可能表示一天24小時，可能代表兩打鉛筆，或是是24個人；
在日常生活可能遇到像這樣的問題：從你家到學校大約有多遠？今天的氣溫大約是幾 度？教室大約容納幾個人？所以具有良好數字感的人，對於數字的意義和運算具有靈 敏而強烈的感受，並能做出迅速而準確的反應。
美國數學教師協會（National Council of Teacher of Mathematics [NCTM],1989）在 其所出版的「學校數學課程與評量標準」（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics）中提到具有良好數字感的學童應該具備：1.能夠充分了解數字的基本意 義；2.能夠表達數字之間的多重表徵關係；3.能夠辨認數字的相對大小；4.可以了解 運算對數字的相對影響；5.能夠發展參考點以測量一般的物體以及應用於生活環境 中。近年來許多國家將數字感（Number Sense）視為數學教育重要的課題之一，例如：
NCTM（1989）提到，數字感的教學是中小學數學教育中是不可缺少的主題。
在台灣，原住民族長久以來一直是社會中的弱勢族群，近年來政治、經濟、社會 發展對其整體生活衝擊甚大，造成原住民學童在學習上的困難。原住民家庭背景較不 利，及家庭財務資本、文化資本和社會資本較低等因素對成績均有不利影響（巫有鎰，
民 88，民 94）；原住民高學業成就生家庭經濟較原住民低學業成就生優渥（曹琇玲，
民 89）。可見原住民學童在數學學習上受到先天條件及後天環境的限制。
研究者於台灣東部任教近九年，發現部落之原住民學童在數學科的學習上較為遲 緩，許多中、高年級原住民學童在有理數的基本概念仍然模糊不清，對於較高層次數 學概念的學習感到困難。林軍治(民 84)的研究發現：阿美族和泰雅族兒童在數概念理 解的測驗分數上和平地兒童有顯著差異。紀惠英（民 90）對山地國小數學教室裡的 民族誌研究，以兩年多的時間，在山地國小進行田野研究。研究結果顯示：原住民學 童的數學學習的關鍵因素，在於受到「文化差異」所影響。他們在日常生活中所建立 的自發性概念，與學校所要教導的科學概念之間存在著很大的距離。林宜城(民 84) 的研究發現，布農族學童比平地籍的學童在位值概念、計數知識及數概念的發展上均 有明顯的落差，數數及唱數亦有很大的差異，布農族文化較缺乏數字及數詞，布農族 的學童在生活中也缺乏和數有關的活動和經驗也是造成的原因所在。謝燕惠(民 89)
針對花蓮市近郊國小二年級泰雅族學童數概念之詮釋性研究發現：國小二年級平地在 分類上、在「0」的概念上、在基數概念上、數的表徵能力上優於泰雅族學童。可見 原住民學童的數學表現與平地學童有極大的差異。就教學者的觀點而言，對於原住民 學童數字概念發展與數學思維是教師所亟欲了解的問題，由於學童數字感涵蓋有理數 的概念，兩者有著密不可分的關係，所以了解原住民學童的數字感各組成成分表現的 能力及答題之思維可提供數學科教學者對原住民學童在有理數所缺乏之概念設計補 救教材及相關課程，以作為改進之道。
台東縣是台灣地區具有族群多元、文化多樣等特性的縣市之一，目前台東地區 除漢族之外，原住民部落包含阿美族、排灣族、魯凱族、布農族、卑南族、達悟族 等六大族群，本研究以不同性別、不同年級、不同族別、不同數學學業成就及不同 社經地位觀點探討高年級學童的數字感各組成成份的能力表現，以及了解不同數字 感能力的學童在回答數字感問題的情形，以作為原住民數學教育政策推行及數學科 教學者參考。
第二節 研究目的與待答問題
一、基於上述之研究背景，本研究之主要目的如下：
（一）了解台東縣國小高年級漢族、阿美族、排灣族、魯凱族、布農族、卑南族、
達悟族等各族的學童在數字感組成成分表現能力。
（二）了解漢族及原住民學童在數字感表現的差異：
1.了解不同性別的漢族及原住民學童在數字感表現的差異。
2.了解不同年級的漢族及原住民學童在數字感表現的差異。
3.了解不同數學學業成就的漢族及原住民學童其數字感表現的差異。
4.了解不同社經地位漢族及原住民學童在數字感表現的差異。
5.了解不同的數字感能力的漢族及原住民學童，在回答數字感問題時的想法。
1.了解不同性別漢族及原住民學童在數字感表現是否有差異？
2.了解不同年級的漢族及原住民學童在數字感表現是否有差異？
3.了解不同數學學業成就的漢族及原住民學童在數字感表現是否有差異？
4.了解不同社經地位漢族及原住民學童在數字感表現是否有差異？
5.了解不同的數字感能力的漢族及原住民學童，在數字感問題時的想法為何？
第三節 研究假設
基於上述研究目的與架構所建立研究假設如下：
假設一、不同性別的高年級學童，在數字感五個組成成分表現有顯著差異。
假設二、不同性別的各族高年級學童，在數字感五個組成成分表現有顯著差異。
假設三、不同年級的高年級學童，在數字感五個組成成分表現有顯著差異。
假設四、不同年級的各族高年級學童，在數字感五個組成成分表現有顯著差異。
假設五：不同族別的高年級學童，在數字感五個組成成分表現有顯著差異。
假設六：不同數學學業成就等第的高年級學童，在數字感五個組成成分表現有顯著差 異。
假設七：家長學歷不同的高年級學童，在數字感五個組成成分表現有顯著差異。
假設八：家長職業不同的高年級學童，在數字感五個組成成分表現有顯著差異。
假設九：家長收入不同的高年級學童，在數字感五個組成成分表現有顯著差異。
第四節 解釋名詞
一、漢、原學童：指台東縣境內漢族、阿美族、排灣族、魯凱族、布農族、卑南族、
達悟族之國小高年級學童。
二、數字感：數字感是指個人對於數字和運算的一般性理解；並且能夠運用彈性的方 法去使用這樣的理解來作為數學判斷和發展有用及有效的策略，以解決數學問題 (Mclntosh,1992)。在本研究中，將根據數字感的五項組成成分（瞭解數字的意義 和關係的能力、辨認數字大小的能力、瞭解運算對數字的意義和影響的能力、發 展計算策略與判斷答案合理性的能力、以多重方式表徵數字的能力）作為研究進 行與發展的向度。
第五節 研究範圍與限制
本研究由於受限於人力、財力、時間與測驗工具之編製，基於客觀的因素限制，
其研究限制茲分述如下：
一、本研究係針對台東縣境內國小高年級學童為研究對象，其研究結果無法推論至全 國樣本。
二、在訪談部分，本研究在對象上選取漢族、阿美族、排灣族、魯凱族、卑南族、布 農族等六族之高年級學童實施面對面訪問；達悟族位於蘭嶼，因受限於交通因素 實施電話訪問。
三、本研究採用電腦化測驗，由受測學校老師指導學童上網填答測驗，測驗中包含學 生資料（學生性別、年級、家長社經地位、學生上學期數學學業成就），填答方 式為自陳量表，受試者是否據實回答，不得而知，故研究結果有測量誤差存在。
第二章 文獻探討
本章共分為三節，第一節在探討數字感的理論，第二節在說明原住民的文化背景與數 學表現，第三節在說明漢、原學童數學表現差異，第四節在說明數字感之相關研究。
茲分項說明如下：
第一節 數字感的理論
壹、數字感的內涵
數字感（number sense）亦稱為數感或是數字常識。數字感的概念來自 1930 年代 William Brownell 的有意義的學習。Brownell（1935）強調，要了解學生在數學的學習 習成效，不只在於他們的計算能力，而在於他們是否真正了解對數字之間的關係，以 及是否能以適當的數學和實際重要性的理解，來處理數學情境的能力。他強調讓學生 瞭解所有型態的數字、數字系統與位值的意義，以及基本的運算功能與計算原理的重 要性。
數字感可以解釋為個人對數字、運算、以及數字和運算所產生之情境的一般性理 解與認知，以及能夠以彈性靈活的方法去使用這種理解和發展有效的解題策略（包括 心算、估算）以處理日常生活中包含數字和運算之情境的相關問題（楊德清, 民 86, 民 91）。近年來許多國家把數字感列為數學教育的重點之一，例如：NCTM（2000）
所發表的「學校數學課程之原則與標準」(The Principles and Standards for School Mathematics)之＂數與計算＂標準中強調：瞭解數與運算、幫助兒童發展數字感、以 及具流暢之計算能力是小學數學課程之重心。
Resnick（1989）將數字感視為“較高層次的思考過程＂，認為數字感的主要特徵 如下：
１．數字感是非算則式的方式；
２．數字感是數字意義化的過程；
３．數字感具有多重標準的應用；
４．數字感具備精緻化的心智思考；
５．數字感是複雜的表現方式；
６．數字感通常產生多樣化的解答方式，而不只一種解答方式；
７．數字感是包含細微差別的判斷和解釋；
８．數字感具有一定程度的不確定性；
９．數字感是一種在思考過程中會自我調整。
所以數字感是一種數學思考的方式，是對於數字意義化思考的過程，要從這樣抽 象化的敘述，轉變為更具體的行為表徵，的確是非常不容易的。
在Curriculum and EvaluationStandards（NCTM, 1989）提出了數字感的特徵，主張一 個具有良好的數字感的學童，應該具有以下的幾個特點：
１．能夠了解數字的基本意義；
２．能夠了解數字之間的多重關係；
３．能夠了解數字之間的相對大小；
４．了解運算對數字之相對的影響；
５．能夠發展參考物以測量一般的物體以及應用於生活情境中。
根據上述的說明，數字感可以說就是個體在面對日常生活中所遇到的數字問題 時，對於數字的意義有良好的了解，能夠了解數字間的多重關係、數字的相對大小以 及運算對數字的相對影響，並能適時的發展出參考點加以判斷的數學能力。
貳、數字感的理論與組成成分
經過國內、外學者多年的努力，對於數字感的理論及組成成分已經有相當明確的 方向，本節針對數字感的架構及組成成分分述如後：
（一）McIntosh, Reys, & Reys,（1992）認為，數字感是包含三個領域：數字概念、運 算、數字與運算應用到情境中，以三者為基本概念來發展數字感的理論架構，敘述如 下：
１．數字概念
（１）能了解數字的排序：如位值、數字類型間的關係、數字和數字類型間的排序等。
２．運算
（１）了解運算對數字的影響：如整數的運算、分數或小數的運算。
（２）了解數學的屬性：如交換率、結合率、分配率、單位元素與反比等。
（３）了解運算之間的關係：如加和乘的關係、減和除的關係、加和減的關係、乘和 除的關係。
３．數字與運算應用到情境中
（１）了解問題的脈絡和計算間的關係：如辨認資料的準確值或估計值、了解答案的 準確值或估計值。
（２）能了解多種解題策略的存在：能夠創新或發明解決問題的策略、能夠應用不同 的解決策略、能夠選擇一個有效的解決策略等。
（３）善於利用有效的表徵方式或方法：會靈活的運用不同的方法（心算、計算器、
紙筆計算）。
（４）能夠敏銳的檢視資料和結果是否合理：如能夠辨認資料的合理性、能夠辨認資 料的合理性。
（二）McIntosh, Reys, Reys, Bana, and Farrell(1997)依據數字概念、運算、數字與運算應 用到情境中這三個概念發展組成數字感的六個成分，其內容如下：
１．瞭解數字意義及數字大小等數字概念，例如：4 5和5
6哪一個比較大？
２．瞭解數字的多重表徵形式，例如：1
2還有哪些表現的方式？
３．瞭解運算對數字的意義和影響，例如：500÷0.98比500大或小？
４．相等形式表徵的理解及使用，例如：150÷0.5與150×2是否相等？
５．能夠以彈性的運算方式發展計算策略（包含心算、筆算、估算或使用計算器）， 例如：班級教室是多少平方公尺？
６．能夠善用參考點，例如：使用1
2、1、100當作參考點，以方便心算或估算。
（三）Sowder（1992）根據其他學者（Behr, 1989; Hiebert, 1989; Howden, 1989; Resnick, 1989 等）的研究，將數字感的組成成分歸納如下：
１．具有合成或分解數字的能力，這種能力與學童對於位值概念的瞭解有密切的相關，
例如250×16＝250×4×4＝1000×4＝4000，在計算15＋99時，能將15分1個1給99以方
便計算；能了解並善用各種表徵方式且能選擇最適當的表徵方式，例如將69元分 給3個小朋友，能將69元看成6個10元加9個1元以方便計算。
２．能夠辨別數字的相對大小，包含比較數字及排序；能夠瞭解及使用有理數稠密性 的能力，例如能了解0.1和0.2之間有無限多個小數或分數，1
2＞1 3。 ３．能夠處理數字絕對大小的能力，例如：一間教室無法同時容納500人
４．使用參考點的能力，能利用已知的數學基本條件對不確定的數學運算進行合理的 判斷（ Resnick, 1989），例如：若以1
2參考點， 4 10＋3
7的值應該小於1，因為 4 10和 3
7兩數皆小於1 2。
５．以有意義的方式去連結數字、運算及相關符號的能力，例如：計算500元－318元 時，擁有良好數字感的學童會先用500元減去300元，再從剩下的200元中減去18 元，得到182元。
６．了解運算對數字的影響。Behr(1989)認為這包含了以下兩點：（1）運算時能夠利 用補償作用，例如：754 -558=196 求654-558=？（2）能了解並運用數字的變化，
發現結果，例如：利用384-286=98 求出381-283=？
７．能發展有利的數字和運算屬性的策略來心算，例如：計算160+542+840時，先行 計算160+840=1000 再加上542得1542。
８．能夠靈活運用數字進行估算，並了解何時該使用估算，例如：為了估計 2508÷52 的商，會將數字轉換成2500÷50的形式進行估算。
９．能夠理解數字的意義，學生能夠了解數字的意義，並對答案做合理的判斷，例如：
4個人住一間寢室，33人需要要幾間寢室，能夠了解8.25間是不合理的。
（四）楊德清（民86）根據數字感的相關研究，將數字感的組成成分定義為：
１．能了解數字的基本意義
個體能夠了解數字系統(包括整數、分數、小數)，所代表的意義以及結構關係，
密性。例如：知道4 5＞3
4；或是能夠依照由小到大的排序數字：0.3，1
2，0.501，
2
3，0.7，4
5 ；以及明瞭1 4與2
4間還有無限多個小數或分數。
３．了解和應用數字的多重表達意義
認知數字能夠以不同的型態去表達與呈現以便於數字的運算。它也包括能夠以 彈性的方式適當的分解或組合數字以方便於執行運算。例如：在計算2000×0.25 時，能應用0.25=1
4，將2000×0.25轉換成2000×1
4以方便計算。或計算125×32時，
可將32分解為4×8，則125×32 即可轉換成125×8×4=1000×4=4000。
４．適當的使用參考點
所謂「參考點」可以解釋為可依據作為檢驗其它數字之標準點。McIntosh, Reys, and Reys（1992）認為：「參考點通常被使用於判斷一個答案的大小，或者一個選擇 一個約略數字以便於估算或心算的進行」。
５．發展不同的計算策略
如心算、估算和其他策略知道數字與運算結果的合理性，能夠在不同的情境下，
選擇適當的策略（精算或估算），並據以決定哪一種計算工具是直接有效的且方 便可得（如估算、心算或計算器等），進而運用此種工具以解決問題，並檢驗運 算結果的合理性。
６．瞭解運算對數字的意義和影響
認知運算對數字的影響即是了解運算在不同的數字系統下（包括整數與有理數）
以及不同情境下所產生之影響。
將國內、外數字感組成成分之研究整理如下：
表 2－1－1 數字感組成成分之相關研究
研究者 數字感組成成分
NCTM
（1989）
1.能夠充分了解數字的基本意義。
2.能夠表達數字之間的多重表徵關係。
3.能夠辨認數字的相對大小。
4.可以了解運算對數字的相對影響。
5.能夠發展參考點以測量一般的物體以及應用於生活環境中。
續表 2－1－1 數字感組成成分之相關研究 Sowder
（1992）
1.具有合成或分解數字的能力。
2.能夠辨別數字的相對大小。
3.能夠處理數字絕對大小的能力。
4.使用參考點的能力。
5.以有意義的方式去連結數字、運算及相關符號的能力。
6.了解運算對數字的影響。
7.發展有利的數字和運算屬性的策略來心算。
8.能夠靈活運用數字進行估算。
9.能夠了解數字的意義，並對答案做合理的判斷。
McIntosh,B.Reys 與 R.Reys 整理
（1992，1997）
1.了解數字的基本意義。
2.具比較數相對和絕對大小的能力。
3.了解和應用數字的多重表徵。
4.運用基準點。
5.了解運算的意義與影響。
6.發展不同的計算策略：如估算、心算。
楊德清
（民 96）
1.能了解數字的基本意義。
2.具有比較數字大小的能力。
3.了解和應用數字的多重表達意義。
4.適當的使用參考點。
5.發展不同的計算策略。
6.瞭解運算對數字的意義和影響。
基於研究的需要以及上述學者對於數字感組成成分之論述，本研究將數字感的組 成成份說明如下：
１．瞭解數字的意義和關係的能力
瞭解數字的基本意義包括：理解數字系統（整數、分數、小數），了解數字所代 表的意義及結構關係，包括十進位元系統、數字型態、與位值觀念。如下列哪個 分數介於4
5和 1 之間？在1 3和2
3之間有多少個分數？
２．辨認數字大小的能力
３．瞭解運算對數字的意義和影響的能力
認知運算對數字的影響即是瞭解運算在不同的數字系統下（包括整數與有理數）
以及不同情境下所產生之影響。NCTM（1989）強調，運算的理解涉及到關於兩 個數字運算影響的洞察和直覺。兒童應該可以了解，當兩個數字相加時，如果每 一個數字都超過 5，那麼它們的和一定會比 10 大。如：53×236＝12508，那麼 53
×235＝？；請比較 521×5 和 520＋521＋522＋523＋524 哪個的結果比較大？；14 15
＋7
8大約是多少？
４．發展計算策略與判斷答案合理性的能力
學習數學的目的之一在於解決日常生活中的問題，因此在不同的情境下，必須決 定問題情境需要的是正確的或大概的答案，並據以選擇適當的計算工具，以有效 的解決問題，同時能夠檢驗運算結果的合理性。如：不用計算，11×19 的乘積最 接近哪一個數值？（①120②220③320④420）。一隻貓二天吃了 300 公克的魚，請 問他 3 天要吃幾公克的魚？（①200 公克②300 公克③400 公克④450 公克）。
５、以多重方式表徵數字的能力
能夠了解數字的多重表達形式，例如：1 2＝2
4＝0.5，1
4＝0.25
參、數字感測驗工具
為了了解學童的估算能力，Threadgill-Sowder（1989）經由團體測驗、晤談等方式 進行估算測驗。透過團測測驗的方式、一對一晤談所得到的資訊能有助於我們了解影 響估算能力的情意因素特徵化。在澳洲的基本技巧測驗計劃（ACER, 1990）中，數學 評量三向度之一「數」的最高層次當中便提到要學生能估算並用加、減、乘、除來解 決日常生活的問題。
第三屆國際數學與科學研究（Third International Mathematics and Science Study, TIMSS）的數學測驗TIMSS（1996）數學測驗的六項內容領域裡，其中一項是「分數 和數字感」，此測驗的每個題目均附有學生答對的百分比與難度指標。Pike 和Forrester
（1997）利用電腦評量數字感，評量分為心算、理解相關數的大小、理解數的關係等 三部份，所有的作業只包含整數，在兩種情境架構下去評量兒童對長度、面積的估算 能力。兒童在不同情境下均應有估算經驗，且教師應避免誤導他們認為估算是種靜態 的能力。Reys 和Yang（1998）所編的數字感測驗，共有40 題，包含了選擇題、開放
式題型、結合選擇與簡答的題型，其研究顯示台灣學生在筆算和數字感的極大差異（紙 筆計算具有高度技巧，但卻很少使用非計算方式解題），這證實正確的答案並不是良 好思考的指標，且老師必須要求學生的不應只有答案而已。澳洲、瑞典、台灣、美國 等四國對數字感很有興趣的研究者Reys 等人（1999），他們合作建立了數字感的架 構，發展一些數字感的題目評量8-14 歲的兒童，所要達成的目標有：提供教師測量 學生數字感的工具，以做為安排適當課程活動之依據；提供研究者工具，進一步對學 生數字感成分的觀念有更佳的理解（轉引自黃靖淑 ，民91）。
許清陽（民90）根據數字感的五項組成成分，包含：數字的基本意義、比較數字 大小、使用參考點、運算對數字的意義和影響、解題策略能力之發展等，設計標準化 國小高年級學童數字常識評定量表共計37題選擇題，透過電腦化方式測驗，在信度方 面，建立了內部一致性信度及重測信度；在效度方面，建立了專家、內容及建構三種 效度。
由上述相關研究可以了解，由初期的估算工具演進到後來的數字感評量，學者對 於數字感的定義與測驗向度越來越明確，對於發展數字感的測驗工具已經越來越成 熟，有效數字感評量的建立有助於學者進一步探究個體數字感的發展，對於數字感研 究提供良好的工具。
肆、數字感答題分析之研究
一、張盈盈（民 92）針對 12 位珠心算段位不同之國小高年級學童以自編之數字感試 題進行訪談，將訪談學童依照數字感各組成成份上的表現程度不同，分析時，先檢視 該名受訪者回該題的答案是否正確，並區分正確與不正確兩類，再分析其解題策略，
並給予適當的編碼。
建立的編碼架構如下：
二、王菱玉（民92）對於15位職教師實施數字感測驗，以瞭解職前教師在數字感上的 表現；以及探討數理系與非數理系學生在數字感上表現的差異。在探討職前教師解數 字感問題時所使用之解題策略時，首先先確認答案正確或不正確，其次就每位受訪者 的每一題回答判斷其解題策略，然後給予編碼，目前所發展出的編碼架構為主，能夠 具備各個組成成分的能力，或以有意義的方式解題分析時採逐人逐題的方式，解題策 略則歸為數字感方法；使用規則、背誦公式的方式解題，而無法有意義的解釋則歸為 傳統算則；概念不清或給予錯誤的解釋則歸為錯誤的解釋。反覆的閱讀逐字稿，逐步 釐清每一節的歸類標準，遇到無法歸類的則先暫時放在一邊，透過反覆閱讀、同儕校 正及與指導教授的討論，發現有些職前教師並非完全不具備數字感能力，但其解題或 解釋又比不上數字感方式那麼的完整，於是增加了部分數字感方法，編碼架構如下：
數字感方法 算則方式 正確 錯誤的解釋 答案 無法解釋 數字感方法 不正確 算則方式 錯誤的解釋 無法解釋
圖 2-1-1 編碼架構圖（張盈盈，民 92）
數字感方法 正確 部分數字感方法
傳統算則方法 答案 錯誤的解釋
數字感方法--估算策略 不正確 部分數字感方法
傳統算則方法 錯誤的解釋
圖 2-1-2 解題策略架構圖（王菱玉，民 92）
三、張慧貞（民93）為了瞭解外籍配偶子女的數感表現情形，並進一步探討外籍與非 外籍配偶子女在數感上表現的差異。研究者參考文獻設計數感測驗以作為研究工具，
並採立意抽樣方式從高雄市各公立小學中選取100位國小四年級學童參與本研究，其 中外籍與非外籍配偶子女各分別為50名，接著再選取6名外籍配偶子女針對數感測驗 答題進行晤談。將回答之問題分為正確、不正確。依照學童對於解題的思維歷程與使 用數字感的強弱，將結果細分為三種情形：1.使用數字感的方法2.傳統的紙筆算則3.
對於解題歷程做錯誤的解釋。
由上述文獻，對於了解回答數字感測驗的想法，研究結構雖有不同，但其內涵大 同小異，不同學者因其研究需要而採用不同的方式。本研究因訪談人數較少，對於學 童的答題想法作初步之歸納與探究，以補量化研究之不足，因研究需要採用張慧貞（民 93）的訪談結構，將回答之問題分為正確、不正確。依照學童對於解題的思維歷程與 使用數字感的強弱，將結果細分為三種情形：1.使用數字感的方法 2.傳統的紙筆算則 3.對於解題歷程做錯誤的解釋加以分析。
數字感方法
正確 傳統算則 錯誤的解釋 答案
數字感方法 不正確 傳統算則 錯誤的解釋
圖 2-1-3 解題策略架構圖（張慧貞，民 93）
第二節 原住民的背景與數學表現
本節係針對台東縣原住民人口分布、教育程度及就業情況，藉以了解台東縣原住 民族的現況；並針對原住民族的傳統數字概念，以及原住民學童學業低成就的原因作 說明，將相關文獻分述如下：
壹、台東縣原住民人口分布
台東縣是台灣地區最具多元族群的縣市，目前在台東居住之原住民包括阿美、排 灣、魯凱、卑南、布農、達悟等族，使台東擁有多元的人文特色，將台東縣原住民的 分佈與就業概況說明如下：
一、阿美族
阿美族是台灣原住民人數最多的一族，人口近十四萬人，佔台灣原住民總人口的 39 %，主要分布於花蓮、台東兩縣的海岸山脈東西兩側，為代表東台灣的平地原住民 大族。台東縣阿美族人口數有四萬餘人，也是台東縣原住民人數最多之一族。其中海 岸群分布於長濱鄉、成功鎮；卑南群分布於東河鄉、卑南鄉、台東市；恆春群分布於 池上鄉、關山鎮、鹿野鄉、卑南鄉（台東縣政府，民 95）。
二、排灣族
排灣族總人口數六萬餘人，為台灣原住民第三大族，也是代表南台灣的高山大 族。台東縣排灣族人口一萬餘人，分布於金峰、太麻里、達仁、大武四鄉，屬巴卡羅 群。其圖騰、貴族階級、雕刻藝術、石板屋建築等，除魯凱族外，皆不見或少見於其 他民族，也是頗具特殊色彩的一支原住民族（台東縣政府，民 95）。
三、魯凱族
魯凱族總人口近九千人，台東縣僅有千餘人，居住於肯杜爾山下的東興新村（大 南村），另有少數混居於排灣族的嘉蘭村。由於文化習俗相當接近，魯凱族自清朝至 日治時代通常被視為排灣族的一部分。後來的學者基於魯凱族無五年祭、長男繼承、
以及埋葬方式等差異，將魯凱獨立出來（台東縣政府，民 95）。
四、卑南族
卑南族分布範圍為台東平原西側與花東縱谷兩端，行政區屬台東市與卑南鄉，遠 較台灣其他族群為小，共分為八個社，包括知本村、建和村、利嘉村、泰安村、檳榔 村、美農村、初鹿村、南王村、溫泉村，昔稱「八社番」，總人口數大約九千多人，
卑南族人數雖少，但在清朝時是台東最有勢力的族群，被封為「台東王」（台東縣政 府，民 95）。
五、布農族
布農族人口約四萬一千多人(台東縣約有八千三百餘人)，約有六十個村落，分佈 於南投縣、高雄縣、台東縣、花蓮縣等地。其原始據地在玉山以北，中央山脈以西之 丹大溪及群大溪流域，近代始向東部和南部遷居（台東縣政府，民 95）。布農族居住 於中央山脈兩側，海拔一千公尺以上，是典型的高山民族。據說，最早居住於鹿港、
斗六、竹山一帶，後來漸漸往高山遷移。目前所知的最早的居住地是南投縣的仁愛與 信義鄉。十八世紀時，世居南投的布農族開始大量的遷移，一是往東遷至花蓮的卓溪 鄉、萬榮鄉，再從花蓮移至台東的海端鄉與延平鄉。另一支沿著中央山脈南移至高雄 的三民鄉與桃源鄉以及台東縣海端鄉的山區。布農族共分為六個群，均居住於南投一 帶，分別是卓社群、郡社群、卡社群、丹社群、巒社群以及已被同化的蘭社群 (takopulan)，分布在台東縣海端鄉的布農族屬於郡社群。總人口數約三萬七千多人（台 灣原住民文化園區，民 95 ）。
六、達悟族
達悟族人口約四千人，聚居在台東縣蘭嶼島上，因孤懸海中，與他族幾成隔絕，
故為保存固有文化最多之一族。因地理位置與環境的關係，使達悟族呈現出頗貝特色 的生活型態，賴旱作、漁獲兼放牧山羊維生，一切生活器具、衣飾自給自足。為因應 炎熱的氣候，居所為半地下式住屋;在衣著上簡便之外亦有強烈的民俗風格；而其木 雕技巧與圖紋自成一格，在在皆表現其特殊的風情（台灣原住民文化園區，民 95 ）。
台灣原住民族雖屬海洋文化傾向的南島民族，卻由於長年生活環境故，與山的關係反
於賽夏族，為原住民九族中第二小者。台東縣達悟族人數為二千餘人，主要分布於蘭 嶼鄉的紅頭、漁人、椰油、東清、朗島、野銀部落（台東縣政府，民 95）。
八十九年底台東縣原住民人口計 6 萬 530 人，其中以阿美族人口數最多，有 3 萬 2,713 人或占 54.04％，其次為排灣族，有 1 萬 1,319 人或占 18.70％、卑南族有 5,993 人或占 9.90％，三者合計占八成三。按鄉鎮市別觀察各族群人口，阿美族多數居住於 台東市及成功鎮，分占 30.59％及 21.05％，排灣族則多居住於太麻里鄉及達仁鄉，分 占 26.55％及 20.51％，而卑南族以居住於台東市占 56.67％最多，卑南鄉次之占 38.43
％，布農族則以居住於海端鄉及延平鄉居多，分占 47.23％及 34.64％，魯凱族則多居 住於卑南鄉及金峰鄉居多，分占 64.20％及 16.38％，雅美族則多居住於蘭嶼鄉占 94.13%
（台東縣政府民政局，民 95）。
由表 2-2-1 可知，由於人口外流與其他因素，至民國 93 年底台東縣境內各族之 原住民人口數如下：
表 2-2-1 民國 93 年台東縣原住民各族現有人口統計表
族別 分布鄉鎮（部落） 人口數
阿美族
長濱鄉、成功鎮、東河鄉、卑南鄉、
台東市、池上鄉、關山鎮、鹿野鄉、
卑南鄉
29,763
排灣族 金峰鄉、達仁鄉、大武鄉、太麻里鄉 14,147 魯凱族 金峰鄉嘉蘭村、卑南鄉大南村 1,543
卑南族
知本村、建和村、利嘉村、泰安村、
檳榔村、美農村、初鹿村、南王村、
溫泉村
4,166
布農族 海端鄉與延平鄉 6,703
達悟族 蘭嶼鄉的紅頭、漁人、椰油、東清、
朗島、野銀部落 1,053
資料來源：台東縣政府民政局（民 95）
由上述資料可以發現：台東縣原住民族主要分布除了部分阿美族及卑南族分布在 平地之外，其餘原住民族群主要分布於偏遠地區及離島地區，原住民明顯處於文化不 利及謀生較為困難的區域，對其經濟活動及生活亦會產生相對之影響。
貳、台東縣原住民人口教育程度
九十三年底台東縣縣民大學以上（含研究所）程度者 18,094 人占全縣十五歲以上 人口 9.25％；專科程度者 16,471 人占 8.42％，兩者合計 34,565 人，占 17.66％。高中
（職）程度者 64,614 人，占 33.02％；國（初）中者 37,220 人，占 19.02％；小學程度 者 52,347 人，占 26.75％；自修者 1,238 人，占 0.63％；不識字者 5,705 人，占 2.92％。
八十九年底，台東縣人口按原住民十五歲以上人口教育程度觀察，國(初)中以下程度（含 國小及國(初)中、自修及不識字）者，計 3 萬 3,984 人或占 73.41％，高中（職）占 22.68
％，大專及以上占 3.92％。按原住民十五歲以上人口工作狀況觀察，有工作者計 2 萬 9,706 人或占 64.17％；工作人口中，從事農業人口占 26.61％，服務業占 25.72％，工業占 11.83
％。由上述資料可以發現：台東縣原住民族人口年輕化、教育程度偏低，每 4 位就業 者有 1 位務農（台東縣政府民政局，民 95）。
可見台東縣之原住民在教育程度上與非原住民有明顯差別，原住民在就業人口比 例亦較非原住民低，台東縣原住民之社經地位與非原住民相較，存在明顯的落差。
參、原住民學童學業低成就之原因
對於原住民學童數學科成就表現低成就的原因，國內許多學者專家進行相關的研 究，將相關之研究分述如後：
就智力表現的相關研究而言，洪麗晴（民85）發現原住民國小學童在瑞文氏智力 測驗的得分顯著低於平地學童；不論學童之性別、就讀地區與年級，一般級任教師傾 向於認為非原住民學童的學業成就、智力與創造力等表現，皆顯著優於原住民學童。
林麗惠（民 89）的研究發現：在未考慮認知風格因素的影響下，非原住民籍受試學 童在「瑞文式標準圖形推理測驗」上的推理表現顯著優於原住民籍受試學童的表現；
但加以考慮認知風格因素的影響後，則族籍別間未有顯著差異。上述可知，若未考慮 認知因素，原住民學童在學業表現低成就可能受到智力表現的影響。
就家庭背景而言，原住民學生學業成就低落的原因可能在於：原住民父母教育期 望較低，且原住民學生較常表現特殊的生活學習習慣，加上原住民家庭社經地位較
可能是原住民學童低成就的原因。
就文化差異而言，二、三年級原住民兒童在唱數及數數方面與平地籍兒童有極顯 著的差異，研究者認為這種差異是受原住民傳統文化的影響；山地地區兒童能瞭解教 具積木表徵之數字位值對應問題，但不一定能瞭解生活實物表徵之位值數字對應問 題，這可能是山區兒童較缺乏有關數的活動與經驗（林宜城，民 84）。
國內學者對於可能造成原住民學童學業成績低落的研究整理如下：
表2-2-2 影響原住民學童學業成就原因之研究
研究者 研究主題 研究結果發現
洪麗晴 (民84)
原住民與非原住民國 小學童推理表現與其 策略使用之差異研究
發現原住民國小學童在瑞文氏智力測驗的得分顯著低 於平地學童；不論學童之性別、就讀地區與年級，一般 級任教師傾向於認為非原住民學童的學業成就、智力與 創造力等表現，皆顯著優於原住民學童。
林宜城 (民84)
南投縣山地地區國小 兒童位值概念發展之 研究
1.二、三年級原住民兒童在唱數及數數方面與平地籍兒 童有極顯著的差異，研究者認為這種差異是受原住民 傳統文化的影響。
2.山地地區兒童能瞭解教具積木表徵之數字位值對應問 題，但不一定能瞭解生活實物表徵之位值數字對應問 題，這可能是山區兒童較缺乏有關數的活動與經驗。
紀惠英 (民 87)
山地國小數學教室裡 的民族誌研究
1.學校所採用的的課程、教材、教學及評量方式均與原 住民兒童本身的學習特性與傳統文化有極大的差異
，這是造成原住民數學學習成就低落的重要原因。
2.學習特性上，原住民學童喜歡自由、無拘束的學習方 式，但一般教學卻必須嚴格監控學童的學習活動。
3.學校教學依賴國語文為溝通工具，使原住民國語文較 差的學童，又多一層語文理解上的障礙與困難。
巫有鎰 (民 88)
影響國小學生學業成 就的因果機制--以台 北市和台東縣作比較
原住民學生學業成就低落的原因可能在於：原住民父母 教育期望較低，且原住民學生較常表現特殊的生活學習 習慣，加上原住民家庭社經地位較低，家庭結構不佳（如 單親家庭、隔代教養比例偏 高及兄弟姊妹人數較多）
等因素對成績均有不利影響。
林麗惠 (民 89)
原住民與非原住民學 童的認知風格、推理表 現與問題解決表現之 相關研究---以桃園縣 平地國小學童為例
在未考慮認知風格因素的影響下，非原住民籍受試學童 在「瑞文式標準圖形推理測驗」上的推理表現顯著優於 原住民籍受試學童的表現；但，加以考慮認知風格因素 的影響後，則族籍別間未有顯著差異。
續表2-2-2 影響原住民學童學業成就原因之研究 曹琇玲
(民 89)
原住民高低學業成就 學生家庭教育之質化 分析
1.原住民高學業成就生家庭經濟較原住民低學業成就生 優渥，而父母教育程度的比較上，並沒有差異。
巫有鎰 (民 94)
學校與非學校因素對 台東縣國小學生學業 成就的影響：結合教育 機會均等與學校效能 研究的分析模式
台東整體原住民成績比漢人低許多，其原因主要可歸因 於原住民家庭背景較不利，及家庭財務資本、文化資本 和社會資本較低。
黃懷萱 (民 95)
父母的社經地位、管教 方式及親子關係與兒 童學業成就關係之探 討
1.高社經地位家長，其國小子女的學業成就，較優於 中、低社經地位。
2.中、低社經地位的家長，其子女的學業成就並無顯著 差異。
3.親子關係量表與學業成就兩者之間存在顯著相關。
牟中原、陳伯璋（民84）認為造成原住民成績低落的主要原因有以下六點：1.在 現今融合政策下原住民學生適應不良，造成原住民教育程度落差，尤其是高中職以上 的學生比例偏低。2. 家庭教育與學校教育的衝突，在傳統原住民社會結構逐漸解體 之時，父母對子女的管教態度及社會對青少年的期望，並未隨之改變。3.一般原住民 社經地位較低，父母經常忙於生計，無能照顧敦促兒女學業，隔代教養為普遍現象。
4.原住民社區則近年普遍受外來聲色娛樂場所影響，學生易流連玩樂，往往脫離了家 庭、學校之教養環境。5.師資素質不齊與流動率高。6.都市原住民教育問題6-11歲之 學童數較少，係因有相當數量留在原鄉；而來到都市者部分隨父母工作而經常遷移，
故失學率偏高。
根據上述學者之研究，造成原住民成績低落的原因可能原因如下：（一）因文化 差異而造成的學習困難（二）因課程教學不利而影響學習效果（三）社經地位較低、
家庭文化貧乏、教養方式不佳等因素的影響，使原住民學童學業成就低落。
肆、原住民的傳統數字概念
0來表示（李壬癸，民86）。阿美族學童數字概念與漢人有文化上的差異，因此在數 字運算時，抽象概念的運算較為困難。例如：阿美族人的「重量」概念多用比喻方式 表達(例如：像大腿一樣粗的魚)，而不用公斤、臺斤、磅的單位；「長度」概念多用 語音長短表達(例如：我的家在那邊很－－－遠的地方)，而不用公尺、公里、臺尺、
英尺的單位（譚光鼎，民85）。布農族的數詞從一到十、二十、三十直到九十各有一 個數詞，不像國語有規則可循。因此，布農族的兒童較之於平地籍的兒童在在位值概 念、計數知識及數概念的發展上均有顯著差異（林宜城，民84）。
蔡中涵（民84）對於原住民的研究發現原住民文化較少抽象概念；原住民對哲理 的看法有一定的思考模式，比較具體的指出物體而較少抽象的表達。漢文化有太多的 表達使用符號說明抽象的概念，對原住民來說是難解不易懂。林軍治（民84）對於山 地兒童數概念之研究，對阿美、布農和泰雅族三個族群的族人訪談發現，他們的數結 構是十進制，各族都沒有數字符號，但有不同的計數方法。在數數上皆可數到萬。四 則運算則是在日常生活中都有使用的經驗，但沒有列算式運算。
簡淑貞（民 87）以蘭嶼達悟族人之文化觀點，探討文化對數學影響的可能因素，
研究發現（一）達悟語言中數字系統的複雜性，及無書寫文字的事實，可能是造成兒 童數學學習困難的原因。（二）文化中的分配原則、強調分享而不是累積的競爭原則、
沒有貨幣制度的經濟活動、不重視學校教育的兒童教育觀，也可能是造成兒童學習數 學動機低落的因素。林蘭香（民 87）的研究中，以泰雅族文化背景、數系統影響國 小一年級泰雅族新生數概念的方面發現：一年級泰雅族新生不熟悉數字符號０、數數 能力有限、缺少數字練習、不理解比較問題、無法了解序數。
將國內學者對於原住民傳統數字概念之研究整理如下，表 2-2-3：
表 2-2-3 原住民傳統數字概念之研究
研究者 研究主題 研究發現
林軍治 (民 84)
山地兒童數概念之研 究
經由訪談發現他們的數結構是十進制，各族都沒有 數字符號，但有不同的計數方法。在數數上皆可數 到萬。
四則運算則是在日常生活中都有使用的經驗，但沒 有列算式運算。
林宜城 (民 84)
南投縣山地地區國小 兒童位值概念發展之 研究
布農族的數詞從一到十、二十、三十直到九十各有 一個數詞，布農族兒童較之於平地籍的兒童在在位 值概念、計數知識及數概念的發展上均有顯著差異。
續表 2-2-3 原住民傳統數字概念之研究 譚光鼎
(民 85)
阿美族的教育及其問 題之探討
阿美族籍的教師多認為是肇因於族群之文化內涵的 差別。因為數字概念與漢人有文化上的差異，因此 在數字運算時，抽象概念的運算較為困難。
簡淑貞 (民 87)
以蘭嶼達悟族人之文 化觀點，探討文化對 數學影響的可能因素
達悟語言中數字系統的複雜性，及無書寫文字的事 實，可能是造成兒童數學學習困難的原因；文化中 的分配原則、強調分享而不是累積的競爭原則、沒 有貨幣制度的經濟活動、不重視學校教育的兒童教 育觀，也可能是造成兒童學習數學動機低落的因素
林蘭香 (民 87)
花蓮縣國小一年級泰 雅族新生數概念詮釋 性研究
1.泰雅族的數系統為十進位、沒有記數符號、日常不 使用太大的數、不喜歡比較、均分物品、平常少 用序數。
2.泰雅族文化背景、數系統影響國小一年級泰雅族 新生數概念的方面有「不熟悉數字符號０」、「數 數能力有限」、「缺少數字練習」、「不理解比 較問題」、「無法了解序數」。
謝燕惠 (民 89)
花蓮市近郊國小二年 級泰雅族學童數概念 之詮釋性研究
1.日常生活中不使用太大的數，使得兒童在計數上受 到限制。
2.較少使用序數，對學童在序數上的了解有所影響。
3.由於泰雅族語中沒有數字符號「0」使泰雅族學童 較不熟悉「0」的數字概念。
可見原住民學童的數字發展深受環境文化所影響，容易造成學童在數字表現的差 異，由上述研究可知：原住民學童在於瞭解數字的基本意義與關係的能力、位值概念、
數字表徵的了解與運用、數字概念、使用大數等受到各族群獨特的文化因素影響。
第三節 漢、原學童數學表現差異
國內學者對於原住民學童與平地學童在數學科表現的研究相當多，就原住民與漢 族學童在數學領域的表現之研究，分述如後：
林宜城（民84）以山區平地籍與市區平地籍學童的研究發現：在不同年級間，四
葛曉冬（民89）就泰雅族學童與平地學童的數概念研究中發現：泰雅族學童數概 念的種類為數的前置概念與起始數概念，平地學童數概念的種類為起始數與內嵌數的 過渡區；泰雅族學童數概念的來源大都來自幼稚園教育，平地學童數概念的來源除幼 稚園教育外，家庭因素也佔大部分；在比較問題上，平地學童可以了解差數問題，泰 雅族學童則否；心算能力在平地學童解決合成分解問題時佔重要地位，泰雅族學童則 無此情形；泰雅族學童對０的概念不清楚，平地學童大都能了解０的概念；泰雅族學 童對序數不了解，平地學童對序數可以了解。
林宜城(民84) 選取山區山地籍、山區平地籍及市區平地籍的二、三、四年級為樣 本，探討這三組不同地區籍別、不同年級兒童在位值觀念及其相關知識的發展情形，
以改編自 S. H. Ross 的訪談測驗實施個別訪談，研究發現：1.在不同年級間，四年級 兒童的數概念顯著優於二、三年級，計數知識、位值概念也顯著優於二年級，也就是 兒童在位值概念、計數知識及數概念的發展是隨年齡成長而日趨成熟。2.在地區籍別 間，山區平地籍與市區平地籍之間的差異未達顯著水準，但這兩組均顯著優於山區山 地籍兒童。因此，兒童的位值概念、計數知識及數概念的發展，在地區間無顯著差異，
在籍別之間則有顯著差異。林蘭香(民 88) 在花蓮縣國小一年級泰雅族新生數概念詮 釋性研究中發現：1.泰雅學童數概念的種類為數的前置概念與起始數概念，平地學童 數概念的種類為起始數與內嵌數的過渡區。2.泰雅學童數概念的來源大都來自幼稚教 育，平地學童數概念的來源除幼稚教育外，家庭因素也佔大部分。3.在比較問題上，
平地學童可以了解差數問題，泰雅學童則否。4.心算能力在平地學童解決合成分解問 題時佔重要地位，泰雅學童則無此情形。5.泰雅學童對０的概念不清楚，平地學童大 都能了解０的概念。6.泰雅學童對序數不了解，平地學童對序數可以了解。
謝燕惠（89）在花蓮市近郊國小二年級泰雅族學童數概念之詮釋性研究中發現：
國小二年級泰雅族學童在分類上、在「0」的概念上、在基數概念上、數的表徵能力 上和平地二年級學童數概念有顯著的差異。林軍治（民 84）研究發現：阿美族和泰 雅族兒童在數概念理解的測驗分數上和平地兒童有顯著差異。黃志賢（民 89）研究 發現：原、漢學生的數學成就與數系測驗成績的平均數明顯呈現一致的關係；多數原 住民學生對於數學知識的瞭解屬於「工具式」，只憑記憶一些無關的規則或公式來解 題，而不管問題的結構與情境為何。
黃志賢(民 89) 原漢學生推理思考差異之研究，以明志技術學院 169 名原住民新
生與 50 名漢族學生為研究對象，以翁儷禎(民 86)所編著的「推理思考測驗」包含圖 形類比、圖形序列、邏輯推理及數系測驗等，研究發現：1.漢族學生的推理思考測驗 平均數顯著優於原住民學生。2.四大族群原住民學生在圖形類比與圖形序列的推理思 考能力高於邏輯與數系的推理能力。3.原住民學生在數系測驗的表現最差，平均數遠 低於常模樣本的平均數，且在四個分測驗中與漢族學生的差距最大。4. 高分組原住 民學生在圖形類比及圖形序列上的得分與漢族學生之差異未達顯著。5. 原、漢學生 的數學成就與數系測驗成績的平均數明顯呈現一致的關係。
將國內學者對於原住民與漢族數學表現差異之相關研究，整理如下：
表2-3-1 漢、原學童數學表現差異之相關研究
研究者 研究主題 研究方式 研究發現
林軍治 (民 84)
山地兒童數概念之研 究。以阿美、布農和 泰雅族三個族群的族 人為訪談對象
晤談方式 研究中並發現阿美族和泰雅族兒童 在數概念理解的測驗分數上和平地 兒童有顯著差異。
林宜城 (民 84)
選取山區山地籍、山 區平地籍及市區平地 籍的二、三、四年級 為樣本，探討這三組 不同地區籍別、不同 年級兒童在位值觀念 及其相關知識的發展 情形
以改編自 S.
H. Ross 的訪 談測驗實施 個別訪談
1.在不同年級間，四年級兒童的數概 念顯著優於二、三年級，計數知 識、位值概念也顯著優於二年級，
也就是兒童在位值概念、計數知識 及數概念的發展是隨年齡成長而 日趨成熟。
2.在地區籍別間，山區平地籍與市區 平地籍之間的差異未達顯著水準
，但這兩組均顯著優於山區山地籍 兒童。因此，兒童的位值概念、計 數知識及數概念的發展，在地區間 無顯著差異，在籍別之間則有顯著 差異。
續表2-3-1 漢、原學童數學表現差異之相關研究 林蘭香
(民 88)
花蓮縣國小一年級泰 雅族新生數概念詮釋 性研究
半 結 構 式 晤 談
1.泰雅學童數概念的種類為數的前置 概念與起始數概念，平地學童數概 念的種類為起始數與內嵌數的過 渡區。
2.泰雅學童數概念的來源大都來自幼 稚教育，平地學童數概念的來源除 幼稚教育外，家庭因素也佔大部 分。
3.在比較問題上，平地學童可以了解 差數問題，泰雅學童則否。
4.心算能力在平地學童解決合成分解 問題時佔重要地位，泰雅學童則無 此情形。
5.泰雅學童對０的概念不清楚，平地 學童大都能了解０的概念。
6.泰雅學童對序數不了解，平地學童 對序數可以了解。
謝燕惠 (民 89)
花蓮市近郊國小二年 級泰雅族學童數概念 之詮釋性研究
半 結 構 式 晤 談
國小二年級泰雅族學童和平地二年 級學童數概念的差異包括：在分類 上、在「0」的概念上、在基數概念 上、數的表徵能力上。
葛曉冬 (民 89)
國小一年級泰雅族新 生與平地新生數概念 之差異
半結構式 晤談方式 部落現場觀 察
1.泰雅學童數概念的種類為數的前置 概念與起始數概念，平地學童數概 念的種類為起始數與內嵌數的過 渡區。
2.泰雅學童數概念的來源大都來自幼 稚園教育，平地學童數概念的來源 除幼稚園教育外，家庭因素也佔大 部分。
3.在比較問題上，平地學童可以了解 差數問題，泰雅學童則否。
4.心算能力在平地學童解決合成分解 問題時佔重要地位，泰雅學童則無 此情形。
5.泰雅學童對０的概念不清楚，平地 學童大都能了解０的概念。
6.泰雅學童對序數不了解，平地學童 對序數可以了解。
續表2-3-1 漢、原學童數學表現差異之相關研究 黃志賢
(民 89)
原漢學生推理思考差 異之研究。以明志技 術學院 169 名原住民 新生與 50 名漢族學 生為研究對象
翁儷禎(民 86)所編著的
「推理思考 測驗」包含圖 形類比、圖形 序列、邏輯推 理及數系測 驗等
1.漢族學生的推理思考測驗平均數顯 著優於原住民學生。
2.四大族群原住民學生在圖形類比與 圖形序列的推理思考能力高於邏 輯與數系的推理能力。
3.原住民學生在數系測驗的表現最 差，平均數遠低於常模樣本的平均 數，且在四個分測驗中與漢族學生 的差距最大。
4. 原、漢學生的數學成就與數系測驗 成績的平均數明顯呈現相關。
黃志賢 (民 90)
探討四大族群的原住 民學生在解數學文字 題的過程中所使用的 解題方法及不同數學 成就、不同族群在解 題路徑的差異
四 題 數 學 文 字題
1.大多數原住民學生不會用代數方法 解題或無法瞭解題意，即學生在語 言知識、基模知識及策略知識等十 分匱乏。
2.大多數原住民學生不會解方程式也 不會處理有關X的運算，即學生缺 乏程序性知識；學生也自我認知到 這部分的學習遇到最大的困難。
3.多數原住民學生對於數學知識的瞭 解屬於「工具式」，只憑記憶一些 無關的規則或公式來解題，而不管 問題的結構與情境為何。
4.大多數原住民國中畢業生尚未具備 抽象推理思考的能力。
5.多數原住民缺乏問題轉譯及問題整 合的能力。
6.入學考試學科成績愈高者，其使用 代數方法解題的比例也愈高。
方吉雄 (民 90)
原住民國中學生的文 字符號概念與代數文 字題的解題研究
文 字 符 號 概 念測驗 代 數 文 字 題 測驗
原住民國中學生「文字符號當作變 數」這兩類概念答對率 0﹪，及在代 數文字題的解題困難，多發生在無法 正確的理解題意。
林瑞玉 (民 93)
花蓮縣國小四年級泰 雅族學童數概念之研
半 結 構 式 晤 談
國小四年級泰雅族學生與平地學生 數概念的差異，包括：1.在序數概念
根據上述研究，可以發現不同族別的原住民在其數學發展上，受到傳統文化與族 群生活經驗的影響。在數學的理解上與數字系統的發展上、數字的表徵上受到文化背 景的因素影響很深，在生活經驗上沒有像在平地生活一樣複雜，其數字發展亦受到家 庭因素相當程度之影響。然而目前國內對於原住民數字概念的各項指標之研究仍然很 少，為了使教師在有理數的教學上有更明確之依據，本研究針對漢、原學童對於數字 感認知之差異，藉以了解原住民各族學童數字感各組成成分認知不足之部分及了解原 住民各族學童在數字感表現是否存在差異，以作為教學者之參考。
第四節 數字感之相關研究
壹、國內學者數字感之相關研究
國內學者對於數字感的研究越來越重視，對於數字感的測驗的編製、影響學童數 字感的因素的研究及不同研究對象對於數字感表現的差異有進一步的探究，將學者對 於數字感相關之研究整理如下：
表 2-4-1 國內學者數字感之相關研究
研究者 研究主題 測驗向度 研究結果
蔡亞倫 (民 90)
學前與國小一年 級兒童數字符號 表徵能力與數能 力的關係
數數能力
比較數字大小能力 數物能力
數字符號表徵能力 數量表徵的方式
1.大班兩組兒童其數能力與符 號表徵能力之間的關連性並 不高，數能力好的兒童其表徵 能力不一定好。
2.在學習數學上，兒童需先瞭解 數學的概念，才能正確處理以 記號、符號表示的數學概念。
黃明章 (民 90)
國小六年級學童 數字常識之研究
具有數字意義的理解 了解運算對數字的影 響
能比較數字的大小 使用參考點
發展估算策略
低程度學童所具有的迷思概念
，如分數的意義和稠密性，以 及運算對數字的影響等，常受到 整數法則的影響，而難以破除。
續表 2-4-1 國內學者數字感之相關研究 黃靖淑
(民 91)
國小中高年級學 生數字感發展概 況之探討
電腦化數量估算評量 包含認知與態度兩層 面
1.四、五、六年級在數量估算表 現有所差異，越高年級數量估 算的表現越好。
2.在態度方面，年級間也有些微 差異，男生的估算態度略優於 女生。
3.低能力組約佔 8％，他們的答 題組型接近猜測，毫無數字感 可言。
吳明玲 (民 92)
國小二年級學童 數感表現之研究
數的理解 數的大小比較 數的合成分解 數與運算的關係 數的估算
1.數感表現在不同性別之間沒 有顯著差異。
2.數感表現和數學學習成就有 顯著相關。
3.二年級學童能使用多種的點 數策略，理解數的多義性及位 值。
4.用參考點估算的能力不佳。
黃婉祺 (民 93)
普通學生與數學 低成就學生數感 能力之比較分析
了解數字的基本意義 比較數字大小的能力 了解數字運算的結果 估算
合成與分解數字
1.不同類別學生在數感及數感 各向度都有達顯著的差異。
2.不同性別學生其數感能力的 表現並沒有顯著的差異。
3.不同年級學生其數感能力的 表現有達顯著差異
4.不同語文智力學生其數感能 力的表現沒有達顯著的差異。
5.不同非語文智力學生其數感 能力的表現有達顯著的差異。
張慧貞 (民 93)
外籍配偶子女數 感表現之研究∼
以高雄市國小四 年級為例∼
了解數字的基本意義 比較數字大小的能力 了解數字運算的結果 估算、合成與分解數字 發展不同的計算策略
外籍配偶子女在數感測驗的表 現優劣依序為了解整數的意 義、比較整數的大小、了解整數 運算的結、發展不同的計算策 略、合成與分解整數。
許清陽 (民 95)
國小學童數感理 論模式建構與電 腦化數感診斷測
1.瞭解數字的意義和 關係的能力 2.辨認數字大小能力
1.不同背景之學童在數感能力 的差異分析上，學校規模和父 親的教育程度有顯著差異。
由上述數字感之相關研究可知，國內學者對於學童在有理數的建立與數字感的培 養越來越重視，將相關學者對於數字感研究向度、數字感測驗、不同研究對象的數字 感比較之研究分述如下：
一、在測驗向度上：學者在編製數字感測驗時，因研究需求不同而有不同之分類，
其主要向度為：瞭解數字的意義和關係的能力、辨認數字大小能力、瞭解運算對數字 意義和影響的能力、發展計算策略與判斷答案合理性能力、以多重方式表徵數字的能 力、估算、數的合成分解等向度。
二、在測驗編製及影響數字感發展的分析上：學者對於數字感的測驗系統的研發 與影響學童數字感發展的因素分析作有系統的研究，藉以了解學童的數字感表現及探 究影響學童數字感發展的因素。
三、在異質學童的比較上：除了數學高成就與低成就的比較以作為補教教學與學 童數字發展的參考之外，還有透過不同年級學童數字感的比較分析以了解學童數字感 發展的向度，及藉由不同籍別的比較以了解外籍配偶子女數字感不同向度的發展。異 質學童比較之目的在於了解相同教育體制下，不同對象的數字感差異性，作為教學者 教學參考。
本研究之研究主題為漢原學童係針對異質學童之比較，在測驗編製上採用學者之 標準化測驗改編而成，在測驗的向度上亦符合數字感之各項向度，以作為本研究測驗 標準及研究立論基礎。
貳、國外學者數字感之相關研究
國外學者對於數字感的相關主題有許多的研究，對於學童數字的發展：根據 Baroody (1987)的研究，學童對於抽象數字和簡單算數的計數能力在於伸手可及的距離 之內；Griffin等(1994)發現中產階級的學童對於數字知識的發展優於低收入家庭的學 童。Saxe（1987）發現學童的數字發展與在家接受數字概念有相當的關係。可見學童 數字發展與環境有密不可分的關係。
Dougherty（2003）的研究發現，學童數學學習困難普遍存在於美國及其他工業國 家，其影響甚至到成人階段，是相當嚴重的問題。Geary（1994）認為，學童學童在 基本的算術的缺點在於無法將概念性結構延伸到高層次數學的學習。Baker（2002）
認為國小一年級學童數字知識對於數學學業成就表現在具備有效的預測作用。所以數
字基本概念對於較高層次數學學習有相當大的關係。
數字感的相關問題包含計算（數的理解、應用，基數、序數的意義，位值）、數 的大小（比較及排序的能力就和位值的理解有密切的關係）、心算（透過探索驅使學 生以新穎的方式來運用數以及數與數的關係可能可以提升對數系結構的覺知）及估算
（一個複雜的技巧，它包括兩種成分：精確數到概數的轉換，以及這些數的心算），
將相關之研究整理分述如下（改編自林素微，民92）：
一、心算：透過探索驅使學生以新穎的方式來運用數以及數與數的關係可能可以提升 對數系結構的覺知。Ginsburg, Posner, &Russell（1981）; Petitto,& Ginsburg（1982）
在研究象牙海岸的 Diola 人時，發現沒有受過學校教育，跟著父母在市場工作的 兒童，具有相當優秀的心算技巧，顯示他們對於整數系統的結構及特質有相當深 度的理解。
二 、估算：一個複雜的技巧，包括兩種成分：精確數到概數的轉換，以及這些數的 心算。Reys, Rybolt, Bestgen, & Wyatt(1982) 找出了三個有關估算的關鍵歷程：第 一個歷程，稱為「重新結構」，第二個歷程，稱為「轉譯(translation)」，數學結 構變成更可管理（manageable）的形式，第三個優秀估算者所用的歷程稱為「補 償(compensation)」。Sower,& Markovits（1991)指出優秀的估算者可以運用各種策 略，對於數和運算有深度的理解，以及具有彈性的思考並且會將數意義化。
三、計算：數的理解以及應用，基數、序數的意義以及位值觀，是習得數感的基礎。
Ashlock(1982) 指出使用標準算則計算整數時所發生錯誤，大多是由於位值觀念 的不成熟與片面的理解，以及違反位值的規約所致。Fuson,& Hall（1983）在研究 中發現：兒童在入學的時候對於數數以及連結計數集合而來的基數已存有非正式 的知識。Bednarz, & Janvier（1988) 指出位值被認為是運算的先決條件而不是與計 算同步發展的概念。Resnick(1983) 指出十進數知識的發展有三個階段：第一個階 段，兒童可以將數分成個位及十位，第二個階段，兒童可以以非典型的表徵方式 來將數切割，Resnick(1983)認為可以透過具體物（如丹尼斯積木）的表徵來幫助 兒童理解。這種切割能力在第三階段會和書寫算則有語義上的連結。Resnick
