向量在高中數學課程的份量

科學月刊【數‧生活與學習】專欄 102 年 3 月

向量在高中數學課程的份量

單維彰‧102 年 2 月 10 日

去年底，教育部委託國家教育研究院為 104 年的十二年國教政策執行了「課綱微 調」計畫，責令生物、化學、物理、地球科學和數學科，以 99 課綱為基礎，就

「課程內容過量、過於艱深、課程安排的邏輯順序、橫向整合、縱向連貫、與大 考中心考試內容的搭配等等困難與問題」進行微幅調整。此工作仍在進行中，詳 情可查詢本計畫的計畫書；關於數學科的階段性工作，可參考今年 1 月 16 日筆 者在高中數學種子教師研習會場上所做的報告 [1]。

在數學科工作小組的討論會議中，針對「平面向量」的相關課題做了最多也 最熱烈的討論：經歷兩次會議，總共超過四小時的深入思辯。在「微幅調整」的 框架內，最後反應在課綱調整文件內的份量或許很少，但是工作同仁卻在這番討 論之中，揭開了一個值得大家從長計議的根本問題：『向量究竟有多重要？是否 為高中數學之必需課題？』

此處所談的「向量」特指平面向量與空間向量，並不包含線性代數領域裡的 一般維度向量。以向量作力學上的推演，例如力的合成，自古希臘以來就有跡可 尋。但是，將向量視為某種代數體系，並以此系統解決幾何或物理上的問題，從 數學發展史的角度來說，全部發生在十九世紀中葉以後，而在廿世紀初才形成我 們今天在高中課本和微積分課本裡所知的形式。本欄曾經以三篇的份量，敘說這 段歷史 [2]。

我們一向主張，在認知心理學有了新證據以前，我們總應該參照數學發展史 來估計學習數學的認知發展歷程。所以，數學的發展歷程，至少對此教育問題提 供了兩條線索：

1. 平面向量在歷史上是不存在的，其性質被複數涵蓋。平面向量可以說是為了 教學的目的而發明的：為了有效教導空間向量，將其「簡化」至平面。

2. 空間向量發生得很晚；舉例而言，它比三角學晚了至少 300 年，比三角函數 晚大約 100 年，也比單變數多項式函數的微積分晚了大約 200 年。

第一條線索讓我們反省：其實，使用平面向量解決的所有數學（幾何）問 題，都有更「基本」的方法可以處理。平面向量之所以受教師歡迎，可能是因為 它「威力強大」。從歷史角度來看，平面向量威力強大的理由很明顯，因為它相 當於拿著未來的武器參與過去的戰爭。當然，授予更高效率的工具並非壞事，我 們的確不必凡事從根本做起。可是，如果顧慮學生的認知能力，以及不同性向學 生的專業取向，就不能純粹就效率而考量課程的設計。

在這種猶疑不決的時刻，讓我們先看看別人怎麼做吧。除了香港以外，我沒 有最近的跨國比較資料，僅能引用民國 94 年 8 月 4 日出版的《中小學數學科數

學綱要評估與發展研究》報告書 [3]。這份文件做了美國加州、英國、新加坡、

中國（北京標準）、韓國和日本的橫向比較。我們先做一個籠統的結論：這些國 家（地區）都沒有將向量列入必修的數學課程。

英國和新加坡的學制與我們極不類似，在我們的高三、甚至高二，他們的部 分學生就進入了大學預修課程（二年制初等學院），其學習內容都針對 A 級考試。

至於初中的四年（或五年）則針對 O 級考試。所有 A 級考試的內容都不該被視 為共同必修，而所有向量課題都列在 A 級，唯獨以下這些項目例外：使用向量

, AB y ,

x a

 



 描述平移、計算 向量的大小

y x

 





x

y

共平面上使用兩向量的加減來描述所給予的向量、使用位置向量；這些是 O 級 考試的內容。至於這些課綱描述所產生的真實教學與評量內容，還須要更精緻的 考察。

香港本來和英國、新加坡類似，但是去年剛落實了『三三四』的制度改革，

變得跟我們一樣了：初中三年、高中三年和大學四年；六年的中學結束後，參與

「文憑試」(DSE: Diploma of Secondary Education)。在其初中課程（包括基礎與 非基礎）與必修的高中課程裡，都沒有向量。初中非基礎課程有平面線段的分點 公式，高中必修課程有直線與圓的關係，全都用方程式處理。

美國加州的必修課程沒有向量，將向量合併在《線性代數》選修課程裡。其 教學要旨，直接就從空間向量進入一般維度，跟我們用向量來處理幾何問題的內 容很不類似。日本也是在《數學 B》選修課程裡講述向量；課綱直接指述空間向 量。至於教材如何引入？是否用來處理平面幾何問題？有待更精緻的考察。

韓國的向量課題全在《數學Ⅱ》高三選修課程中。高一的必修課程有平面線 段的內分點與外分點公式、點到直線距離、圓與直線關係、兩圓位置關係，但是 並未使用向量工具。

至此，似乎已經可以做一個結論：將向量列入數學必修課程的需求，沒有數 學發展史的支持，也不雷同於國際間的一般見解。話雖如此，憑什麼我們就要跟 隨別的國家而「自廢武功」呢？應用向量方法處理幾何問題的「傳統」，在我國 數學課程中流傳已久。從民國 61 年版的教材開始，就有這樣獨立的一節課文，

例如東華版第四冊 1-6。經過幾乎半個世紀，我國的數學教師可能已經練就一套 獨步武林的向量功夫，怎麼捨得就這樣放棄呢？

能不能把向量的（必修）課程當作我國的數學教育特色？這個問題除了站在 學科邏輯或教師立場思考以外，或許也該參考學生學習成效的證據。如果我國教 師真的有獨到的功夫，使得高中生普遍掌握向量方法，則保留此課程，讓它成為 我們的特色或「絕招」，其實是美事一樁。這方面的證據，還須要更進一步的研 究調查。

至於前述第二條線索，已經沒有空間讓我們討論。我只想藉此提出一個問 題：既然傳統以來，我們都可以把如此後期的空間向量放在高二必修課程裡，而 且 99 課綱也按照歷史進程的建議，將三角學與三角函數拆成兩個學習階段，為

何不能重新考慮 17 世紀的單變數多項式函數微積分呢？造成微積分困難的，或 許不是微積分的本質，而是 19 世紀的「嚴格性」。回到牛頓和萊布尼茲的時代，

微積分或許並不比三角函數、複數、向量和矩陣更難理解。

參考資料

[1] libai.math.ncu.edu.tw/~shann/article/1020116 數學課綱微調種子教師報 告.pdf

[2] 科學月刊【數‧生活與學習】專欄 99 年 5 月、8 月、9 月。

[3] libai.math.ncu.edu.tw/~shann/article/report_full.doc