後者為 一向量。

2-3兩向量之純量積

兩向量的乘積有兩個定義，一謂之純量 積又稱點積及內積。另一謂之向量積又 稱叉 積及外積。前者所得之積為純量，

後者為 一向量。

兩向量 A 與 B 純量積寫成 A．B;結果定義為一純量，大小等 於兩向量大小︱ A︱ ，︱ B︱與向量夾角餘弦之連續乘積，

即 A．B=︱ A︱ ︱ B︱𝐜𝐨𝐬𝛉= AB𝐜𝐨𝐬𝛉

其中θ為 A，B 兩向量的夾角，且0 ≤ θ ≤ π

兩向量的純量積 A．B= ABcosθ，在幾何上的意義為:向量 A 之大小在 B 方向的投影 Acosθ乘以 B 之大小 B 即 B(Acosθ)，

或以向量 B 之大小在 A 上的投影 Bcosθ，乘以 A 之大小 A 即，A (Bcosθ)，因而得到

觀念討論

由純量積的定義及上面敘述，可得下列若干觀念:

1. 兩向量純量積，其結果為純量;可以用來掌握投影量，長度 與角度等幾何量

2. 兩非零向量若是互相垂直 A⊥B(θ = 90°)，則其純量積為零，

即 A．B = 0。兩向量同向(θ = 0°)，A．B= AB。兩向量反向 (θ = 180°)，則 A．B=－ AB。一向量本身純量積為其長度 平方，即 A．A=A²。

3. 兩向量之純量積為零時，其夾角可不必為直角。由定義知，

當 A=0 或 B=0 或θ = ^π₂時，均使用 A．B = 0，所以必須在 A≠

0且 B≠ 0，A．B= 0 時，才能說 A⊥B(A 垂直 B)。

4. 在直角坐標系中，x，y 及 z 軸之單位向量均互相垂直，由 純量積定義，得下列結果

i．i=1，i．j=0， i．k=0 j．j=1，j．k=0， j．i=0 k．k=1，k．i=0，k．j=0

5. 純量積之運算符合下列關係 交換律 A．B = B．A

分配律 A．(B+C) = A．B+A．C

結合律 mA．nB=mn(A．B)m，n 為常數

注意交換律和結合律可由純量積定義或(2-30)式知其成立。

6. 若將向量以直角座標系之分量表示，即 A=A_xi+A_yj+A_zk，B=B_xi+B_yj+B_zk

A．B = A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z

到此我們可知純量積之值有兩種求法，若兩向量大小及夾角 已知，用(2-29)是可求其值;若兩向量用直角坐標可表示，則 (2-35)式可求其值。

2-4 兩向量之向量積

兩向量 A 與 B 之向量積，可定義一向量 C，如圖 2-25(a)所示，

即 C=A×B

向量 C 之大小

︱C︱=︱A×B︱=AB sinθ

其中θ為 A 與 B 兩向量較小的夾角，故 sinθ恆為正值。向量 C 之方向與包含 A，B 兩向量之平面垂直，且指向符合右手定則，

如圖 2-25 所示，即握緊右手將拇指伸長，四指方向表示由 A 轉至 B，拇指的指向即為向量 C 之方向。

由上述的定義，兩向量的向量積 C，可以以下列式表之 C=A×B=(AB _sinθ)uc

其中 AB sinθ為 C 之大小，而 u_c 為 C 之單位向量(圖 2-25(b))。

特別注意向量積的定義為一誘導定義，因其長度︱A×B︱

=AB sinθ主要是由其他方向設定後再另一定此常數而得。

觀念討論

根據向量積的定義，可推出下列各項結論。

1. 兩向量 A 與 B 之向量積為一向量，同時 A×B⊥A 且 A×B⊥B 這代表向量積之方位必須同時垂直向量 A 和向量 B，但是 指向由右手定則決定。

2. 向量積不符合交換律，如圖 2-26 所示，因 A×B=－ B× 𝐀

這代表積之運算，其向量順序很重要。

3. 向量積符合分配律，即

𝚨 × (𝚩 + 𝐃) = (𝚨 × 𝚩) + (𝚨 × 𝐃) 向量積符合結合律，即

𝑚(𝚨 × 𝚩) = (𝒎𝑨) × 𝐁 = 𝐀 × m𝐁

4. 若兩非零向量 A 與 B 互相平行，因θ = 0°或 180°，sinθ=0，

則𝚨 × 𝚩=0(零向量);特例𝚨 × 𝚨=0;反之向量積為零向量，則 兩非零向量為平行。

5. 直角坐標系中，三軸向之單位向量，彼此之間的向量積為 i×j=k，i×k=-j，i×i=0

j×k=i，j×i=-k，j×j=0 k×i=j，k×j=-i，k×k=0

這些結果一般是將單位向量 i，j，k 以順時針旋轉方向次序標 示在一圓上，如圖 2-27 所示，若兩單位向量依順時針方向量 積，則所得第三個向量為正，如 i×j=k;反之已反時針方向，則 所得第三個向量為負，如 i×k=-j。