(1) 向量代數 (任選一題)

九十七學年度工程數學(二)期末會考參考題庫

98.06.18

(1) 向量代數 ^{(任選一題)}

1. 下列各題中，求

a

+

b ， a b

− ，

a ， b

， 2a ，與 3b 。 (1)

a

= −

i j ， b

= +

i

2

j

+

k

(2)

a = + i 3 k

，

b

= −4

j

(3)

a

= − − −

i j k ， b

= − +

i j k

2. 令

a = (1, 2, 3) −

，

b

=(2, 0, 4)，

c = (0, 5, 0) −

，試求：

(1)

a + b

，

b + a

(2) (

a

+

b

)+

c

，

a

+(

b

+

c

) (3)

a + b

，

a + b

(4)

a c ，

−

a

−

c

- 2 -

(2) 向量幾何 ^{(任選一題)}

1. 求過給予點的直線之參數方程式(parametric equation)，並求此線之法式(normal form)。

(1)

(1, 0, 4)

，

(2,1, 2)

(2)

(2,1,1)

，

(2,1, 3) −

(3)

(0,1, 3)

，

(0 , 2, 5)

2. 在

x 、 y

平面上，已知向量 之長度，向量

v v 與正 x 軸之夾角，求此向量 。 v

(1) 10，

π

3

(2) 10，3

π

2 (3) 10，7

π

4

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(3) 向量點積 ^{(任選一題)}

1. 求下列兩向量 與 之點積及兩向量

a b a 與 b

夾角之餘弦。

(1)

a

= −

i j ， b

= +

i

2

j

+

k

(2)

a = + i 3 k

，

b

= −4

j

(3)

a

= − − −

i j k ， b

= − +

i j k

(4)

a

= + +

i j

2

k ， b

= + −

i j

2

k

2. 設

a = (6, 2,8)

，

b

=(2, 2, 0)− ，

c = (2, 0,10)

，試求下列向量間夾角的餘弦：

(1)

a

，

c

(2) a，−c (3)

a

，

b + c

(4)

a + b

，

a − b

- 4 -

(4) 向量點積之應用 ^{(任選一題)}

1. 求一平面方程式，此平面包含一已知點且以已知向量為法向量(normal vector)。

(1)

(1,1, 2)

，3

i

− +

j

4

k

(2)

(1, 0, 0)

，

i

−2

j

2. (1) 求直線

x − = y 1

及

2 x + 3 y = 0

之間的夾角？

(2) 求平面

x + + = − y z 1

及

x + = y 2

之間的夾角？

3. 求三頂點為

A (2, 2, 0)

，

B (6, 2, 0)

，

C (2, 6, 0)

的三角形之三內角？

4. 求下列向量 在向量

a b

方向上之分量(components)。

(1)

a = (2, 2, 0)

，

b

=(1, 2, 2)− (2)

a = (3, 4, 7) −

，

b

=(4,10, 4)

5. 兩平面

E

₁:

x

+ − =

y z

5 與

E

₂:

cx

− −(

c

5)

y

+ +(

c

4)

z

= 7 ，若

E

₁ 與

E

₂ 正交 (orthogonal)，求

c

之值為何？並求

E

₂ 之單位法向量(unit normal vector)。

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(5) 向量叉積與純量三重積 ^{(任選一題)}

1. 對右手直角座標系統，令

a = (1, 0, 1) −

，

b

= −( 1, 2, 0)，

c = (0,1, 0)

，

d

=(0,1,3)；試求：

(1)

a b ×

(2) |

b c

× | (3)

a

× +(

b c

) (4)

a

× ×(

b c

) (5) (

a b

× ) (i

c d )

×

2. 對右手直角座標系統，令

a = (1, 0,1)

，

b

= −( 1, 2, 0)，

c = (0, 1, 0) −

，

d

=(0,1,3)；試求：

(1)

b c ×

(2)

a

× ×(

b c

) (3) (

a b

× ) (i

c d )

×

) (4) (

a b

× × ×) (

c d

(5)

b c a

i( × )

- 6 -

(6) 向量叉積與純量三重積之應用 ^{(任選一題)}

1. 求下列各題中，三點是否共線？若是，求直線方程式；若否，求通過三點的平面方程式。

(1)

(0,1,1)

，

(2, 2, 3) −

，

(4 , 5, 5) −

(2)

(2,1,1)

，

(1, 2,1)

，

(1,1, 2)

(3)

(1,1,1)

，

( 2, 2, 2)

，

(2 ,1,1)

2. 求鄰邊為由第一點至另外兩點的平行四邊形之面積。

(1)

(2,1,1)

，

(1, 2,1)

，

(1,1, 2)

(2)

(1,1,1)

，

( 2, 2, 2)

，

(2 ,1,1)

3. 三角形之頂點分別為(1, 2, 1), (1, 1, 0), (2, 1, 0)，求其面積。

4. 求鄰邊為由第一點至另外三點的平行六面體之體積。

(1)

(0,1, 1) −

，

(1,1, 2)

，

(1, 2, 2)

，

( 3, 0, 4) −

(2)

(1,1,1)

，

( 2, 2, 2)

，

(1 ,1, 3)

，

(2 ,1,1)

5. 四面體之頂點為

(1 ,1,1)

、

( 2, 2, 2)

、

(1 ,1, 3)

、

(2 ,1,1)

，求其體積。

6. 求垂直於向量

a

= −

i j 與 b

=2

i

+ +

j k 之單位向量(unit vector)。

7. 求通過點

(1, 0, 1)

且垂直兩平面

− + x 2 y − = z 4

與

2x − + = − y z 4

交線之平面方程式。

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(7) 曲線、速度、加速度 ^{(任選一小題)}

1. 位置向量函數

r ( ) t

為已知，請求出速度向量

v ( ) t

、速率

v t ( )

、加速度向量

a ( ) t

、加速度 向量

a ( ) t

之切線及法線分量、單位切線向量

u ( ) t

、單位法線向量

n ( ) t

及曲率κ

( ) t

。

(1)

r

( )

t

= − +

t i j t

²

k

(2)

r

( )

t

=cos

t i

+sin

t j

−

t k

(3) ( )

r t

= +(1

t

)

i

+

t j

−2

t k

(4)

r

( )

t

=

t

³

i

+

t

³

j

+

t

³

k

- 8 -

(8) 梯度及方向導數 ^{(任選一題)}

1. 求在給定點

P (1, 1, 0) −

，以給定向量為方向，求函數

f

之方向導數。

(1)

f

=

yz

+

zx

+

xy

;

i

−2

j

+2

k

(2) cos(

f

=

x

−

y

)+

e

^z ; 2

i

− +

j

2

k

(3)

f

=

x yz

^{2 3} ; 3

j

+4

k

2. 求函數

f

之梯度

∇ f

及在給定點

P

之梯度值，並求函數

f

在此點之最大與最小變化率。

(1)

f = xyz

，

P (1, 0,1)

(2)

f = yz + zx + xy

，

P (0, 1,1) −

(3) cos cos

f

=

e

^x

y z ， (0, P π

2,

π

2) (6)

f

=

x y

² +

ze

^y，

P (1,1, 0)

3. 求曲面上一點之切平面與法線方程式。

(1)

x

²+

y

²+

z

² =1 ; (1, 0, 0) (2)

z

² =

x

²+

y

² ; (1, 0,1) (3)

z

=

x

²−

y

; (1,1, 0)

4. 若空間中任一點之溫度為

T = xy + yz + zx

，求：

(1) 溫度

T

在點

(1 , 1, 1)

、

i + j

2 −3

k 之方向上的方向導數。

(2) 溫度

T

在點

(1 , 1, 1)

變化最快之方向。

(3) 溫度

T

在點

(1 , 1, 1)

變化最快之值。

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(9) 散度、旋度 ^{(任選一題)}

1. 求向量場

v

之散度∇iv 及旋度∇×v ： (1)

v

=2

y i

−2

x j

(2)

v

=3

y i

+2

z j

+

x k

(3)

v

=(

x

²+

y

²)(

i

+ +

j k

) (4)

v

=

yz x

(

i

+

y j

+

z k

)

2. 下列各函數 f，求

∇ ∇ i ( f )

及

∇ × ∇ ( f )

。 (1)

f = 2 sin cosh x y

(2)

f

=3

x

²+3

y

²+3

z

² (3)

f

=5

e

^{x y z+ +}

3. 令

r

=

x i

+

y j

+

z k 且 r

=

r

=

x

²+

y

²+

z

² ，證明：

(1)

div r = ∇ = i r 3

(2) curl

r

= ∇× =

r 0

(3)

grad r r

= ∇ = r r

(4)

curl (

₃

) (

₃

)

r r = ∇ × r r =

0

- 10 -

(10) 線積分 ^{(任選一題)}

1. 求下列線積分。

(1)

∫

C

xdx dy

− +

zdz

^；曲線

^C

^：

^x

⁼

^{t y}

^{, =}

^{t z}

^{, =}

^t

^{3 ; 0≤ ≤ 。}

^t

² (2) 4 ²

C−

xdx

+

y dy

−

yzdz

∫

^；曲線

^C

^：

^x

^{= −}

^t

^{2 ,}

^y

^{=0 ,}

^z

^{= −3}

^t

^{; 0≤ ≤ 。}

^t

³

(3) ( ² )

C

x

−

yz dy

∫

^；曲線

^C

^：

^{x = t y , = = z t ; 1 ≤ ≤ t 5}

^。

2. 求下列線積分

C

d

∫ ^F

ⁱ

^{r 。}

(1) cos(

F

=

xy

)

k ； C

：

x = 2 , y = 2 , t z = 2 t − 1 ; 0 ≤ ≤ t

π。 (2)

F

= −

i x j

+

k ； C

：

r

=cos

t i

−sin

t j

+2

t k

; 0≤ ≤

t π

。 (3) cos x

F

=

i

−

y j

+

xz k ； C ： r

=2

t i

−

t

²

j

+2

k

; 0≤ ≤

t

3。

3. 求一力向量

F

=2

x i

−

z j

+2

y k 沿著拋物線 y

=2x², z =3，由(0, 0, 3)至(1, 2, 3)所作之功。

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