109 年度師資培育之大學數學領域教學研究中心
多樣性數學素養課程與多元選修課程設計研究計畫─Manim 融入課程範例研發
教師：賴政泓
課程名稱 平面向量的和
設計理念 (使用時機、
學習目標等)
本課程的設計理念是讓學生能知道「向量的和」的兩種算法：
(1)平行四邊形法，(2)三角形法。
學習單內容(教學例題、教學活動等)
數學上，關於決定平面上的向量有兩個要素：(1)方向，(2)大小，若兩向量的方向與大小相 同，則稱此兩項量相等。也因此，平面上的向量具有平行移動的性質，及平行移動後的向量仍為 相等的向量。
【任務 1】
(1)將右圖中的向量向右平移 3 個單位後，
試畫出平移後的向量。
(2)承上題，再將你畫出的向量向下平移 4 個 單位後，試畫出平移後的向量。
答案：(1)如圖中綠色向量，(2) 如圖中紅色 向量
動畫 1：「平行四邊形法」求兩向量的和向量。
老師可先引導學生在動畫中所觀察到的精神或方法，再做下列的結論總整。
結論總整：
動畫講解
透過向量的平移，使兩向量的始點重合，並畫出平行四邊形，則對角線的向量即為和向 量。
(1)平移𝑏⃑ ：在平移𝑏⃑ 使得兩向量的始點重合後，再以此兩向量為平行四邊行的兩鄰邊，
畫出平行四邊形𝑃𝑄𝑅𝑆，則𝑎 + 𝑏⃑ = 𝑃𝑅⃑⃑⃑⃑⃑ ，即𝑃𝑅⃑⃑⃑⃑⃑ 為𝑎 和𝑏⃑ 的和向量。
(2)平移𝑎 ：在平移𝑎 使得兩向量的始點重合後，再以此兩向量為平行四邊行的兩鄰邊，
畫出平行四邊形𝑇𝑈𝑉𝑋，則𝑎 + 𝑏⃑ = 𝑇𝑉⃑⃑⃑⃑⃑ ，即𝑇𝑉⃑⃑⃑⃑⃑ 為𝑎 和𝑏⃑ 的和向量。
上述兩種平移的方法，所得之𝑃𝑅⃑⃑⃑⃑⃑ 與𝑇𝑉⃑⃑⃑⃑⃑ 為兩相等的和向量。
【任務 2】
試以「平行四邊形法」求兩向量𝑢⃑ 和𝑣 的和向量。
答案：如圖中紅色向量(從始點𝑃點向右 5 格，再向 上 4 格，到達終點𝑄)。
𝑢⃑
𝑣 Q
𝑢⃑
𝑃 𝑣
動畫 2：「三角形法」求兩向量的和向量。
老師可先引導學生在動畫中所觀察到的精神或方法，再做下列的結論總整。
結論總整：
動畫講解
透過向量的平移，使一向量的始點與另一向量的終點重合，平移後的向量為三角形的兩 鄰邊，畫出此三角形的第三邊，則此向量即為和向量。
(1)平移𝑏⃑ ：使𝑏⃑ 的始點與𝑎 的終點重合，再以此兩向量為三角形的兩鄰邊，
畫出三角形𝑃𝑄𝑅，則𝑎 + 𝑏⃑ = 𝑃𝑅⃑⃑⃑⃑⃑ ，即𝑃𝑅⃑⃑⃑⃑⃑ 為𝑎 和𝑏⃑ 的和向量。
(2)平移𝑎 ：使𝑎 的始點與𝑏⃑ 的終點重合，再以此兩向量為三角形的兩鄰邊，
畫出三角形𝑃𝑆𝑅，則𝑎 + 𝑏⃑ = 𝑃𝑅⃑⃑⃑⃑⃑ ，即𝑃𝑅⃑⃑⃑⃑⃑ 為𝑎 和𝑏⃑ 的和向量。
【任務 3】
試以「三角形法」求兩向量𝑢⃑ 和𝑣 的和向量。
答案：如圖中紅色向量(從始點𝑃點向右 7 格，再向 上 2 格，到達終點𝑄)。
𝑢⃑
𝑣 R
𝑣
𝑢⃑ Q
P
𝑣 教學指引(問題答案、教學提醒等)
∗ 建議本課程在學生學習向量的定義與平移性質後再接續學習。
∗ 兩段影片在分別看完後，可先引導學生影片傳達的主要概念或方法。歸納學生的討論後，老師 再行補充或做最後的結論。
∗ 此影片可讓學生看到向量的平移過程，讓學生更能有感學習。
