利息因子的特性

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利息因子的特性

‧研究並瞭解利息因子在 極限時的特性，將會有 助於對利息因子建立直 覺認知。

‧利率因子特性表：

第四章-Part2

例題 4.10 無限期的年費

• 企業家Asa Packer是Lehigh Valley鐵路的擁有者

，也是東賓州許多煤礦的主控者，在1865年捐贈 Lehigh大學50萬美元的基金。

• 如果這份捐贈基金被放入某個帳戶，每年會獲得 7%利息。

• 為讓此筆捐贈基金能夠永久存續，請問每年最多 可領出多少錢？

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例題 4.10解答

• 繪製現金流圖

• 已知P = 50萬、利率i = 7%以及N → ∞，試圖找出 A值，即

• 當N→ ∞時，數值(A/P, i, ∞)

→

• 因此，

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等值性案例：籌措資本

‧方式：貸款、債券、股摽

‧貸款

– 企業的一種籌款方式，以取得資金作為專案計 畫的投資

– 以協議方式的合約獲取資金 – 主要元素：

• 本金

• 利率

• 還款計畫

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貸款

‧還款會依循任何協議好的模式進行，通常 的模式：

– 等額本息還款計畫 – 等額本金還款計畫

‧貸款違約 – 放款機構有權取走某些抵押品 (如部份財產)歸其所有

• 貸款人在時間n償還給放款者的本息還款 A

，包含利息還款IP

與本金還款PP

貸款重要公式

• 本息還款：

A_n= IP_n+ PP_n

• 貸款餘額 (Loan Balance) – 在某個時間點上需償 付的本金金額，亦稱為未償清餘額(Outstanding Balance)或未償清本金(Principal Outstanding)

B_n：時間n的貸款餘額 B₀= P

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貸款的真實成本

‧所質借的金額與還款金額的比值(即為利 率)，便是貸款的真實成本

‧通常等於貸款的利率

‧如果所設定的是還款金額 (而非利率)，我 們就必須計算利率

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例題4.11 等額本金還款

• 2002夏季，美國聯邦政府借給Amtrak國營 鐵路公司1億美元，用以升級設施與補貼營 運成本。

• 假設此筆貸款為期5年，年利率6.5%，以等 額本金還款償付。

• 假設此筆貸款在2001年初借出，第一次還 款預訂在2001年底。

• 請列出還款計畫

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例題4.11 解答

• 等額本金還款是每次還款所需償付的本金金 額是固定的

– 每年要償付本金PP_n= $100M/5=20M美元 – 第n年所需支付的利息為 IP_n=iB_n-1= (6.5%)B_n

n Bn -1 IPn PPn An

2002 $100.00 $6.50 $20.00 $26.50 2003 $80.00 $5.20 $20.00 $25.20 2004 $60.00 $3.90 $20.00 $23.90 2005 $40.00 $2.60 $20.00 $22.60 2006 $20.00 $1.30 $20.00 $21.30

Total $19.50 $100.00 $119.50

(6.5%)($100M)$100M/5 $6.5M+$20M

$100M-$20M

例題4.12 遞增本金還款

• 假設美國聯邦政府欲給Amtrak公司更多時 間籌措資金來償還1億美元的貸款。

• 假設此筆5年貸款的本金還款分別為：$0、

$1,000萬、$2,000萬、$3,000萬以及$4,000 萬元。

• 請分析此筆貸款(年利率6.5%)

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例題4.12 解答

• 因本金還款向後延，總共支付的利息將增加

n Bn -1 IPn PPn An

2002 $100.00 $6.50 $0.00 $6.50 2003 $100.00 $6.50 $10.00 $16.50 2004 $90.00 $5.85 $20.00 $25.85 2005 $70.00 $4.55 $30.00 $34.55 2006 $40.00 $2.60 $40.00 $42.60

Total

$26.00 $100.00 $126.00

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例題4.13 遞增本金還款

• 假設Amtrak公司欲較快還清貸款，4年還清 貸款，每年的本金還款分別為： 4,000萬、

$3,000萬、$2,000萬以及$ $1,000萬元。

• 請分析此筆貸款

4 4 --5353

例題4.13 解答

• 此還款計畫總共支付的利息僅例題4.12的一 半

– 這是意料中的事，因為本例是以較快速度償還 本金。

n Bn -1 IPn PPn An

2002 $100.00 $6.50 $40.00 $46.50 2003 $60.00 $3.90 $30.00 $33.90 2004 $30.00 $1.95 $20.00 $21.95 2005 $10.00 $0.65 $10.00 $10.65

Total

$13.00 $100.00 $113.00

等額本息還款

• 比較常見的還款計畫是貸款者每期都會償 還相等的本息合計金額給放款者。

• 可以使用第3章所定義之公式(3.10)，即等額

付款資本回收因子(A/P)，來計算每期的本

息付款(本金與利息)

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例題4.14 等額本息還款

• 巴西最大鐵礦出口商從一群包含9家國際銀 行取得一筆保證7年共3億美元的貸款。

• 假設此筆貸款從2004年夏季開始，以每半 年等額本息付款方式，在3年內償清。

• 假設年利率為2.3%，每半年複利一次。

• 請分析此筆貸款

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例題4.14 解答

• 使用2.3 %的年利率， 每半年複利計算， 則每6 個 月的利率為2.3 %/2 =1.15%

• 在3 年中每6個月的本息付款為

n B_{n -1} IP_n PP_n A_n 1 $300.00 $3.45 $48.58 $52.03 2 $251.42 $2.89 $49.14 $52.03 3 $202.28 $2.33 $49.71 $52.03 4 $152.57 $1.75 $50.28 $52.03 5 $102.30 $1.18 $50.86 $52.03 6 $51.44 $0.59 $51.44 $52.03

Total $12.19 $300.00 $312.19

(1.15%)($300M) $52.03-$3.45

$300M-$48.58M

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例題4.16 貸款的真實成本

• 針對例題4.11的Amtrak一億美元貸款，請 計算4種還款計畫的真實貸款成本。

解答：

• 有3種還款方式是以確定的本金還款，第4 種則是以等額本息還款來定義

• 貸款人所支付的本息總金額各不相同。但 這些還款方式的貸款真實成本其實都是相 同的。

• 可透過計算4種還款方式在時間零的等值來 說明此項概念。

例題4.16 解答

• 針對等額本金還款計畫，

• 針對遞增還本還款計畫，

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關於例題4.16

• 上述例題點出了一個有趣的問題：

– 這幾種貸款方式是相同的嗎?

– 答案是「當然不同」

– 因為它們由不同的還款計畫所定義。

• 很顯然，在建立還款計畫時，還有其他因 素必須納入考量。

– 其中一項主要的考量是現金流。

– 公司(或個人)手邊可能沒有足夠的現金可還 款；

– 因此便需要其他替代(能夠延遲還款)的還款方 式。

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債券 (Bond)

‧企業或政府單位針對資本型計畫籌措所需資金的 另一種方式

‧類似貸款，也是一份定義雙方間金錢交換的合約

‧本質上，投資者透過債券形式貸款給債券發行者

‧債券發行者可運用這筆錢(例如購買設備或擴充生 產)

‧投資者會根據債券定義的合約，透過利息的形式 獲得報償

‧若從企業或政府購買債券後，可將之在市場上出 售給其他投資者，此種債券稱為”有價債券”

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債券的實用詞彙

‧到期期限：債券所定義之合約的有效時間長度

‧配息：投資者獲得的利息款項，以作為放款(購買 債券)的報償

‧短期債券：短期合約 (< 1年) (通常不配息)

‧中期債券：長於1年但短於10年的合約

‧長期債券：長於10年的合約

– 通常bond這個詞會較廣義的來指稱任何種類的 債券。

‧面值：債券的票面價值

‧票面利率：定義中、長期債券的利息款項(配息)

債券的實用詞彙

‧債券屬於合約性質 – 購買價格、票面利率、配息 時程、到其期限等資訊在發行時(時間為零時)均已 定義清楚

‧市場上有各種複雜的債券 – 例如：

– 投資者在債券到期日所取回的可能不是債券的 面值金額而是該公司的股份，此類債券稱為可 轉換債券

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零息債券-短期債券

‧通常會在短時間內到期

‧交易中只有兩筆現金流

– 投資者於時間零支付價格P購買債券 – 投資者在到期時得到面值

– (沒有配息)

‧到期殖利率 (Yield to Mmaturity)：在同個 時間點上，令購買價格等值於面值的利率

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零息債券-短期債券

• P = 時間零的購買價格

• B

= 在到期時(N)歸還給投資者的面值

• i = 到期殖利率

– 此利率會令購買價格與面值在經濟上等值

P

B₀

N 0

投資者的觀點

B

⇒ i =

B

P

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

1/ N

−1

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例題4.17：零息債券(短期債券)

• 國庫短期債券（或T-bills）為美國財政部所發 售，以提供運作資金的短期債券。

• 2005年12月22日財政部出售一期為182天的T-

• 這筆債券的到期日為2006年6月22日。

• 如果投資者持有這筆債券至到期日，請問其 殖利率為何？

例題4.17 解答

• 繪製現金流圖：

• 殖利率：

182 0

$100

1/

0 (1 )^N ( 0/ ) ^N-1

B =P +i ⇒ =i B P 每6個月的殖利率

$100 1/1

1 2.180%

$97.866556

isa =⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ − =

每日的殖利率

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配息債券

• 透過配息或利息款項補償投資者的較長期債券

• 每年支付的利息總額 = iB₀，

其中i = 票面利率而B₀= 債券的面值

• 利息總額會被均分到每年的付款次數

– 例如，若為每半年配息，則每半年所支付款項 為iB₀/2.

• 到期殖利率：在某個共同時間點上，令購入價格 與到期贖回之面值加上配息在經濟上等值的情況 下之利率

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例題4.18：配息債券

• 2003年9月，Rayovac公司發行價值$3.5億美 元的10年債券，到期日為2013年10月1日。

• 此債券以面值出售，票面利率為8.5%，每 半年配息。

• 假設在2003年10月1日以面值買入$10,000美 元的債券，並持有至到期日。

• 請問其到期殖利率為何？

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例題4.18 解答

配息 = (0.085/2)($10,000)=$425

• 現金流圖：

• 到期殖利率：

• 以試誤法與內插法求得每半年殖利率i = 4.25 %

• 或每年殖利率為(1.4.25%)²-1 = 8.68%

3

3 3

$10, 000 $425( / , , 20) $10, 000( / , , 20) (1 ) 1 $10, 000

$10, 000 $425 4.25%

(1 ) (1 )

P A i P F i

i i

i i i

= +

⎡ + − ⎤

= ⎢⎣ + ⎥⎦+ + ⇒ =

$10,000

13 Oct 03 Oct

$10,000+$425

04 Oct 04 Mar

$425 $425

...

...

到期殖利率

‧如果債券是以面值購買，持有至到期，並且每年 支付1次票面利率，則到期殖利率便等同於票面利 率。

‧如果債券每年支付配息超過1次，則到期殖利率就 名目利率而言等同於票面利率，但實際的到期殖 利率 (實際利率) 則會比較高。

‧然而，債券的會以不同於面值的價格購買及出

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例題 4.19 中期債券

• Cabot 是一家特殊金屬與化學品領先製造 商

• 其財務部門透過銷售為期10年的中期債券 (2013年9月1日到期)，籌措$1.75億美元。

該債券每100美元的價格為99.423美元，票 面利率為5.25%，每半年配息。

• 請問投資$10,000美元的到期殖利率為何？

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例題 4.19解答

• 每半年配息：

• 現金流圖：

• 殖利率i ：

• 可以求得每半年i = 2.66%，或每年5.40% 。

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折價/溢價

‧投資者並沒有義務要持有債券至到期日

– 可以將之出售給其他投資者，如此債券的權益便會轉 移給新的擁有者

– 從公司的角度而言並沒有任何事情發生改變，但投資 者的現金流便會不同於與持有至到期

‧有三件事情可能會發生：

1. 債券以面值出售

2. 債券以折價出售，使投資者得到少於面值的錢 3. 債券以溢價出售，使投資者得到多於面值的錢

例題4.20：溢價購買

• 德州儀器的債券到期日為2007年4月1日，

票面利率為7.75%，每半年付息。

• 該債券在2003年9月19日每100美元的售價 為$114.50美元。

• 假設於2003年10月1日以$11,450美元購買

該債券，第1筆配息在2004年4月1日發放。

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例題4.20 解答

配息 = (0.0875)($10,000)/2=$437.5

‧現金流圖：

‧殖利率：

‧求得每6個月的殖利率為

i

$11,450

07 Apr 03 Oct

$10,000+$437.5

04 Oct 04 Apr

$437.5 $437.5

...

...

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債券價格與利率

‧為什麼債券價格會改變？

因為利率會改變

– 如果利率提高，則擁有較低票面利率的「舊」債券價 格便會下跌

– 如果利率下跌，則擁有較高票面利率的「舊」債券價 格便會提高

‧其他考量：

– 風險層級：債券會根據公司的健全程度進行評比 (AAA 良好，BBB- 沒那麼好，「junk」認定風險非常高) – 為了讓人們甘冒風險，價格便會下跌，或票面利率必

須較高

– 供需關係也是一項因素