勾股定理證明-G078
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明點 H 在 GF 上)。
2. 過 K 作PC之垂線，與 PC 交於 M 點。
3. 過C作HK之垂線，分別與HK, MK兩交於L點, Q點。
4. 過 E 作KB之平行線，與 BD 交於 N 點。
5. 連接KC, EB。
P
A B N
C
D E
F
G
H L K
Q O
M
【求證過程】
先證明四邊形 ABKH 為正方形，並利用圖中三角形的全等關係，及運用底高的面 積計算與切割重新拼圖的方法，證明正方形 ABKH 的面積會等於正方形 BCED 與正方 形 ACFG 的面積和，進而推得勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：
因為 AH
AB, AG
AC,
GAH
90
HAC
CAB，所以 GAH CAB
(SAS 全等).得到
HGA
BCA
90，又
FGA
90，所以點 H 在 GF 上，即 G H
F共線。2. 證明三角形MBK 與三角形 CAB 全等：
因為
CBA
90
MBK
MKB，且ABBK, BMK ACB 90 ，所以 MBK CAB (AAS 全等), 故
GAH CAB MBK
. 3. 證明三角形 HFP 與三角形 CMQ 全等：
在HFP和CMQ中，因為HFP CMQ 90 , HPF PHF MCQ CPL 90 , CPL HPF
(對頂角相等)，所以PHF MCQ.
且HFGFGH AC GH , 又ACBM, GH BC，所以HFBMBCCM. 故
HFP CMQ
(ASA 全等).
4. 證明三角形 NDE 與三角形 PMK 全等：
在NDE和PMK中，因為DECEMK, D PMK 90 , ABK PBD 90 ， 所以ABC PBK PBK KBD, ABC KBD.
又因為HK//AB, EN //KB,MPK ABC(內錯角相等), END KBD(同位角相等), 所以MPK END.
故
NDE PMK
(AAS 全等).
5. 證明平行四邊形OENB面積等於平行四邊形QKOC面積：
因為BCE面積= BCK面積(同底等高)，
所以BCO面積+ BOE面積= BCO面積+ KCO面積，即
BOE面積= KCO面積.
又平行四邊形OENB面積= 2BOE面積，平行四邊形QKOC面積= 2KCO面積，
故
平行四邊形OENB面積=平行四邊形QKOC面積.
6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH HACP
PMK QKOC COB
H
CAB CMQ
GAH HFP
ND
ACP OE E
正方形 面積＝ 面積＋四邊形 面積＋ 面積
＋ 面積＋平行四邊形 面積＋ 面積 ＝( 面積＋四邊形 面積＋ 面積
＋( 面積＋平行四邊形 NB COB
ACFG BCED
面積＋ 面積)
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
AB BC AC ,
即
2 2
2 a b
c .
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 250.
Arthur R. Colburn, LL.M. (1910). The Pons Asinorum II— New solution of the Pythagorean Theorem, Scientific American Supplement, 70, 382
2. 心得：此題證明的關鍵在於證明三角形 HFP 與三角形 CMQ 全等，三角形 NDE 與 三角形 PMK 全等，以及平行四邊形OENB與平行四邊形QKOC的面積相等。
進而透過平移與旋轉的拼圖方法推得正方形 ABKH 面積會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和。
＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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