數學統測最前線

統測數學 A 考情趨勢與考題剖析

107 年統測數學 A 考情趨勢

一、試題分析

107 年數學(A)各章節都有出題，但以「式的運算」、「不等式及其應用」兩章節均 出現 4 題為史上最多，尤其是「不等式及其應用」，往年出題均為 1～2 題。整份考題 幾乎都是常見題型，與往年難易度相差不大，其中以第 21 題、第 22 題較難拿分。

基本公式題：檢視考生是否能清楚題意、熟悉公式。

第 1 題：多項式乘法，最簡單的一題。

第 2 題：簡單化簡後，利用兩平行線距離公式。

第 3 題：利用根與係數關係直接代入。

第 6 題：最簡單的組合題型。

第 7 題：向量基本公式代入，即可求解。

第 9 題：因式分解求出後，判斷sin x 的值域範圍。

第 10 題：標準的餘式定理考題，代入公式即可。

第 11 題：兩向量垂直內積為 0。

第 12 題：最標準的餘式定理考題，代入公式即可。

第 13 題：很常見的一元二次不等式題目。

第 15 題：線性規劃標準題型。

第 19 題：期望值標準題型。

數學統測最前線

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◆ 107 年統測數學 A 考情趨勢與考題剖析（P.1）

◆ 107 年統測數學 B 考情趨勢與考題剖析（P.14）

◆ 107 年統測數學 C 考情趨勢與考題剖析（P.26）

107 年

基本觀念題：著重考生對各單元觀念的理解。

第 4 題：簡單移項整理即可求值。

第 5 題：多項式基本概念。

第 14 題：此題只要慢慢一一列出即可。

第 18 題：此題只要依定義耐心計算即可拿到分數。

第 23 題：取捨原理的基本題型。

第 24 題：機率標準題型。

第 25 題：此題考平均數與標準差的觀念，無須計算亦可知道答案。

稍微有點變化題，但不難

第 8 題：餘弦函數 cos x 在四個象限的正負，與遞增、遞減觀念。

第 16 題：此題型近幾年幾乎沒有出現過，須以兩圓關係的觀念來解題。

第 17 題：此題要做四次選項代入的判斷，較為耗時，但使用觀念其實不難。

第 20 題：除了詳解的方法之外，此題亦可以求出 a 之值，再將b 代入檢測，但較 為耗時。

需思考與計算較久的難題

第 21 題： 此題除了考對數觀念之外，是所有題目中計算最為繁瑣的題目，小數 要相除的步驟太多，容易計算錯誤，是 25 題中最難拿分的。

第 22 題： 此題要用到等差中項的概念，但一開始的  符號，可能就會嚇到考生了。

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 2 圓與直線 2

三角函數及其應用 3 數列與級數 2

向量 2 排列組合 1

式的運算 4 機率 3

指數與對數及其運算 1 統計 1

不等式及其應用 4

數學 A 參考公式

1. 若



、



為一元二次方程式

ax²



bx c

  的兩根，則 0

b

 

  ^

a

、

c



 ，

a

其兩根公式解為

2

4

2

b b ac a

  

。

2. 點

^{P x y 到直線}



₀

^,

₀



^L

^:

^{ax by c}

^{   的距離為 0}

^ax0 ₂^by0₂ ^c

a b

 

 。

3. 首項為

a ，公差為 d 的等差數列，第 n 項為₁ a_n

 

a1



n

 1 

d

，前

n 項之和為

 

 2

1

1 

n

2

n a n d

S

 

 。

4. 首項為

a ，公比為₁ r 的等比數列，第 n 項為a_n

 

a r₁ ^n1

。

5. 設有一組母體資料

x x₁

,

₂

,  ,

x_N

，其算術平均數為



，則母體標準差為

 

²

1 N

i i

x N





 

。

6. △

ABC

的餘弦定理：

a²



b²



c²

 2 cos

bc A

。

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 若

^{f x}

  ^

^x3

^{ 5}

^x2

^{ 與 4}

^{g x}

    為兩多項式，則

^x

⁷

^{f x g x}

    ^{ 的}

^{x 項係數3}

為何？

(A)12 (B) 2 (C)1 (D) 8  。 ( ) 2. 平面上

₁

3 1

: 4 4

L y

 

x

 與

L₂

: 6

x

 8

y

  為兩直線方程式，則 13

L 與₁ L 的₂

距離為何？

(A) 6

5 (B) 3

2 (C)3 (D)12 。

( ) 3. 若



，



為

x²

 2

x

  的兩根，則 7 0

²

 3

 



²

 (A) 3  (B) 2  (C) 2 (D)3。

總 分

107 統測數學 A 考題剖析

( ) 4. 滿足不等式 2 5 7

4 3

x



x



 的最大整數

x

 (A) 19  (B) 20  (C) 21  (D) 22  。

( ) 5. 若

^{f x}

  ^ 

^a2

^{ }

^a

² 

^x2

^{ }

^a

^{ 2 }

^{x a}

^{ 為一次多項式，}

^{g x}

^{   }

^b

^{ 3 }

^x

^{ 2018}

為零次多項式，則數對  

^{a b}

^{, }

(A)   ^{3,1 (B)}   ^{1,0 (C)}   ^{2,3 (D)}   ^{1,3 。}

( ) 6. 某幼兒園共有大班 6 班、中班 4 班及小班 3 班。若聖誕晚會需要從大班選 取 4 班、中班選取 3 班及小班選取 2 班來支援，其搭配方式有幾種可能？

(A)180 (B) 240 (C)360 (D) 720 。 ( ) 7. 若 

^a

^  ^{2, 2 3 } 

及 

^b

^   ^1,0

，則 

a

與 

b

的夾角為何？

(A) 6



(B) 3



(C) 2 3



(D) 5 3



。

( ) 8. 若 cos

a

_{ }



5

     、 3 cos 5

b

_



_

     且 6 cos 5

c

_



_

     ，則

a 、b、c 之大小關係為何？

(A) a b c   (B)b a c   (C)b c a   (D)c b a   。 ( ) 9. 若 0   且

 

9sin

²

 3sin



  ，則sin 2 0





(A) 2 3

 (B) 1 3

 (C) 1

3 (D) 2 3 。

( ) 10. 若 △

ABC

中，

AB

 、 4

BC

 、 5

CA

 且 6



 

BAC

，則 sin



 (A) 7

16 (B) 3 7

16 (C) 5 7

16 (D) 3 7 8 。 ( ) 11. 若 

a

 1

， 

b

 2 且 

a

垂直 

b

，則  

a

 2

b

 (A)17 (B) 17 (C)3 (D) 7 。

( ) 12. 若

^{f x}

   ^

^x

^{ 1} 

²⁰⁰

^{ 2}

^x

^{ ，則 1}

^{f x 除以}

 

^x

^{ 的餘式為何？ 2}

(A) 4  (B) 2  (C) 4 (D)6 。

( ) 13. 若b 、 c 為實數，且

x²



bx c

  的解為 0

x

 或 1

x

 ，則 2 3

b

 3

c

 (A) 2  (B) 1  (C)0 (D)1。

( ) 14. 滿足二元一次不等式 2

x

 3

y

 12 0  的正整數解 x 與 y，所成的  

^{x y 數對共}

^,

有多少組？

(A)8 (B)10 (C)12 (D)15。

( ) 15. 若 x 與 y 滿足聯立不等式

2 8

3 9

0 0

x y x y

x y

  

  

   

 ，

，則

^{f x y}

  ^{,  2}

^x

^{ 3}

^y

^{的最大值為何？}

(A)6 (B)8 (C)12 (D)16。

( ) 16. 平面上兩圓方程式各別為

C₁

:

x²



y²

 2

x

 6

y

 以及 6

  

²



^{2 2}

2

:

C x a

 

y b

  ，若圓

c C 上的所有點都在圓₁ C 內，下列敘述何者₂

恆為真？

(A)  ^{1 }

^a

 

²

^{  3}

^b

 

²

^

^c

^{ 4} 

²

^(B)  ^{1 }

^a

 

²

^{  3}

^b

 

²

^

^c

^{ 4} 

²

(C)

c

 (D) 4

c

 。 4

( ) 17. 平面上一圓方程式為

^C

^: 

^x

^{ 3}  

²

^

^y

^{ 2} 

²

 以及一直線方程式為 ¹

: 1

L ax by

  ，下列何組數據  

^{a b 使得 C 及}

^,

L 的關係為相交於兩點？

(A)   ^{3,4 (B)}  ^{3, 4  (C)}    ^{8,6 (D)}  ^{12, 5  。} 

( ) 18. 若等比數列

a a a₁

,

₂

,

₃

,  ,

a₈

的首項

a₁

 ，且前四項的乘積 2

16

1 2 3 4

2

a a

  

a a

 ，則後四項的乘積

a₅

  

a₆ a₇ a₈

 (A) 2

³²

(B) 2

⁴⁸

(C) 2

⁶⁴

(D) 2 。

⁸⁰

( ) 19. 針對來勢洶洶的腸病毒，政府鼓勵藥廠開發新藥，針對臨床實驗結果給予 不一樣的補助，成功治癒給予10 萬元、病情持平給予3萬元及病情惡化給予

6000元。若某種新藥對於治癒、持平及惡化的機率各為 1 2 、 1

3 及 1

6 ，則開發 此種新藥的期望值為何？

(A)61000 元 (B)86000 元 (C)100000 元 (D)136000 元。

( ) 20. 若平面上兩直線

L₁

:

y ax b

  與

L₂

:

x

 2

y

  互相垂直，且 2 0

L 與₁ L 與₂

另一直線

L₃

:

x

 2

y

 10 0  無法圍成一個三角形，則下列何者正確？

(A)

a

  (B) 2 1

a

 (C) 2

b

 (D) 5

b

 。 11 ( ) 21. 若 log 2 的近似值為 0.3010 ，則滿足

¹⁰

5

²⁰

2 2

4

 

n

   

  的正整數

n 共有多少個？

(A)29 (B)30 (C)31 (D)32。

( ) 22. 若等差級數

¹⁰¹⁸

10 k k

a





^{之值為 2018，則}

^a514

^

(A)2018 (B)1008 (C)514 (D)2。

( ) 23. 某麵包店欲招募人力，初選方式需具備烘焙西點丙級證照以及 2 年以上業界 經驗，若有 20 個人投履歷，其中僅有 2 人兩條件都不符合，16 人符合證照 要求，11人符合 2 年以上業界經驗，則從此 20 人隨機選取1人，符合初選條 件的機率為何？

(A) 18

20 (B) 16

20 (C) 9

20 (D) 5 20 。

( ) 24. 某大藥廠針對 Z 型流感，研發出10 種不一樣的新藥，全部的藥對某人的臨 床反應只有治癒或無效兩種可能，且機率相同，則這10 種新藥中，恰有 6 種 對此人治癒的機率為何？

(A) 5

512 (B) 1

64 (C) 15

256 (D) 105 512 。

( ) 25. 某次數學測驗，全班 50 人成績的平均為 A，標準差為 B ，若小統跟小策的 成績各為 29 分以及 41分，老師特別允許他們重新測驗，兩人新成績各為30 分及 40 分，且全班新成績平均為C ，標準差為

D ，下列敘述何者恆為真？

(A) A C  (B)C A  (C) B D  (D) D B  。

107 年 統 一 入 學 測 驗 數 學 (A)

本試題答案係依據統一入學測驗中心於 107 年 5 月 7 日公布之標準答案

1.

配對找出相乘為x 即可，不用全部乘開 ³



^x35x24

 ^

^x7

^

5x³ 7x ³

故 ^{f x g x}

   

^{ 的x 項係數為3 7  }

 

^{5 2}

2.

兩平行線之距離：（x 、 y 項係數要化為相 同，常數項在等號同側）

設直線L₁ : ax by c   與 ₁ 0

2 : 2 0

L ax by c   為兩平行線 則L 與₁ L 之距離為₂ ^{1 2}

2 2

c c d a b

 



1

3 1

: 4 4

L y  x

 

 4y   3x 1

 3x4y  1 0

 6x8y  2 0

2 : 6 8 13 0

L x y  由兩平行線距離公式得知



1 2



2 2

2 13 15 3 , 6 8 10 2 d L L  

  



3.

根與係數關係：設， 為ax²bx c  之0 兩根，則

(1)兩根和 b

    a (2)兩根積 c

 a

2 2 7 0

x  x  由根與係數關係得知

2 2

      1 7 7

 ^1   又²3  ²

2 2 2

   

   



^{ }



^{2 }

   ^{ }

 

^{2 2 7}

  3

4.

去分母、整理、移項，注意取值的大小

2 5 7

4 3

x x

 ^{3 2}



^{x 5}

 

^{4 x7}



 6x15 4 x28

 6x4x  28 15

 2x  43

 43

2 21.5 x    故取x  22

1.B 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.B 8.A 9.C 10.C

11.B 12.B 13.D 14.A 15.C 16.A 17.B 18.B 19.A 20.D

21.C 22.D 23.C 24.D 25.C

5.

多項式基本定義概念：設多項式

 

_n ⁿ _n1 ⁿ¹ _{n 2} ^{n 2} _{1 0}

f x a x a x_ ^ a x_ ^   a x a (1) 若 f x 為 n 次，則

 

a_n 0

(2) 若 ^{f x 為}

 

^{n 次，則1} an ，⁰ a_n1 0

∵ ^{f x}

 

^



^{a2 a 2}



^x2

^

^a2

^

^{x a}

為一次多項式，則

2 2 0

2 0 a a a

   

  

 



²



¹



⁰

2

a a

a

   



    2 1

2 a a

  

  



或

∴ a 1

∵ ^{g x}

  

^{ b3}



^{x2018為零次多項式}

則b   3 0 b 3 故數對

   

^{a b,  1,3}

6.

(1) 乘法原理：

設完成一件事需經過k 個步驟，若完成第 i （i 、2、…、 k ）個步驟有1 m 種方_i 法 ， 則 完 成 此 件 事 的 方 法 數 共 有

1 2 k

m m   m 種 (2) 組合定義：

自n 件相異物中，任取 m 件（不重複）

（0 m n  ）為一組，同一組內的物品若 不計其先後順序，稱為「n 中取 m 的組 合」，其組合數以符號

!

n nm

m

C P

 m 表示 (1) 自 6 班大班任選 4 班，有C 種方法 ⁶₄ (2) 自 4 班中班任選 3 班，有C 種方法 ⁴₃ (3) 自 3 班小班任選 2 班，有C 種方法 ³₂ 由乘法原理得知：

6 4 3 6 4 3

4 3 2 2 1 1

C C C C C C

   15 4 3 180（種）

7.

向量內積的定義：

(1) 兩向量 a



與



b

的夾角為， 則其內積為

cos a b  a b 

   

即cos a b a b



 

^

 

(2) 設兩向量



^{a }



^{a a}₁^, ₂



，



^{b }



^{b b}₁^, ₂



_，則

1 1 2 2

a b a b a b

 



^{2, 2 3}



a  







^{a  22 }



^{2 3}



^{2  4 12 4 }

 

^1,0

b 



_



b  1202 1

 

2 1 2 3 0 2 a b      

 

設



a 與



b

的夾角為，則 2 1

cos 4 1 2

a b a b

 ^  



   

 60 3

  

8.

cos

y x，當0 x 2

  時為遞減函數且函數 值均為正數

cos 0 a_ 5 _

3 2 2

cos cos cos 0

5 5 5

b   ^  ^   

 

cos6 cos cos 0

5 5 5

c   ^^   

又當0

2

 

 

 cos ，且 cos0 為遞減函數 即 2

cos cos

5 5

 

  2

cos cos

5 5

 

   故a b c 

9.

sin

y x，值域： 1 sinx ，即 1 sinx  1

9sin23sin  2 0





^{3sin2 3sin}



^{  1}



⁰

 2

sin  或3 1 3

但0   sin   0

故 2

sin   （不合） 3

所以 1

sin 3

10.

餘弦定理：（S 表示邊長，A 表示角度）

(1) SAS 型：（已知兩邊與夾角求第三邊）

2 2 2 2 cos a b  c bc A

2 2 2 2 cos b c a  ca B

2 2 2 2 cos

c a b  ab C (2) sin²cos² 1 已知：

由餘弦定理得知：

2 2 2

5 6 4    2 6 4 cos

 6² 4² 5² 9 cos  2 6 4^{ } 16

  又

2

2 9

sin 1 cos 1

      ^16^

16 16 9 9 175 5 7 16 16 16 16 16

  

  

 

11.

(1) 設 a



、



b _{為兩非零向量，則} 0

a  b  a b 

   

(2) 設向量



^{a }



^{a a}₁^, ₂



，



^{b }



^{b b}₁^, ₂



_，則

1 1 2 2 0

a  b  a b a b 

 

(3)

2

a  b  a  b     a  b 

     

2 2

2

a a b b



   

  

∵

 

a  b _

0 a b 

 

又

2 2 2

2 4 4

a  b  a  a b  b

     

2 2

1 4 0 4 2 17

      故

 

a 2 b  17

12.

餘式定理：

(1) 多項式 ^{f x 除以 x a}

 

^{ 的餘式為 f a}

 

(2) 多項式 ^{f x 除以 x a}

 

^{ 的餘式為 f}

 

^{ a}

(3) 多項式 f x 除以 ax b

 

 的餘式為 b f a

  

 

（a ） 0

(4) 多項式 f x 除以 ax b

 

 的餘式為 b f a

 

 

 

（a ） 0

由餘式定理得知： ^{f x 除以}

 

^{x 的餘式為 2}

  

^{2 2 1}



^{200 2}

 

^{2 1}

f         1 4 1     2

13.



^x



^x



^{ 之解為 x0  或 x  }

∵ x²bx c  的解為0 x 或1 x 3





^x1



^{x  3}



⁰

 x²4x  3 0

與x²bx c  比較係數得 0 4

b  ，c 3

故^2b3c      ²

 

^{4 3 3 1}

14.

一一列出所有狀況

2x3y12 0  2x3y  12 1

x 代入得 3y10  y 、2、3 1 2

x 代入得 3y  8 y 、2 1 3

x 代入得 3y  6 y 、2 1 4

x 代入得 3y  4 y 1 故共有

 

^{1,1 、}

 

^{1,2 、}

 

^1,3

 

^{2,1 、}

 

^2,2

 

^{3,1 、}

 

^3,2

 

^4,1

共8 組

15.

線性規劃的解法：

(1) 圖解聯立不等式，畫出可行解區域，並求 出圖形之各頂點坐標

(2) 目標函數之最大值與最小值必發生在可 行解區域之各頂點坐標上，將每一頂點分 別代入目標函數 f x y 中，即可求得其

 

^,

最大值與最小值

聯立不等式

2 8

3 9

0 0

x y x y

x y

  

  

  

 ，

的圖解如下：

         

 

, 0,0 4,0 3,2 0,3

, 2 3 0 8 12 9

x y f x y  x y

頂點

故 ^{f x y}

 

^{, 2x3y的最大值為12}

16.

設圓C 圓心為₁ O ，半徑為₁ r₁ 圓C 圓心為₂ O ，半徑為₂ r₂

若C 的點全部在₁ C 裡面，即兩圓關係為內₂ 離，則O O_{1 2}  r₂ r₁

2 2

1 : 2 6 6

C x y  x y





^x1

 

^{2 y3}



^{2 42}

圓心為O1



1, 3 ，半徑



r₁ 4

  

²



^{2 2}

2 :

C x a  y b  c 圓心為O a b ，半徑2

 

, r₂ c

又C 的所有點都在₁ C 裡面，即兩圓關係為內₂ 離，則r₂  r₁ c 4

且O O_{1 2}  r₂ r₁

 O O1 2²



r r1 2



²





^a1

 

^{2 b 3}

 

^{2 4c}



²

即



^1a

 

^{2 3 b}

 

^{2 c4}



²

故選(A)

17.

直線與圓的關係：

設直線L : ax by c   0

圓^{C :}



^{x h}

 

^{2 y k}



^{2 ，且圓心r2 O h k}

 

^,

與直線L 之距離為

2 2

ah bk c

d a b

 

  ，則可得

d r  L與圓C 相交於相異兩點

  

²



^{2 2}

: 3 2 1

C x  y 

 圓心^O

 

^{3,2 ，半徑r 1}

: 1 0

L ax by  

∵ C 與 L 要交於兩點

∴ ^{d O L}



^,



^{ r}

即 2 2

3 2 1 a b 1

a b

 

 

 3a2b 1 a²  b²

(A)

 

^{3,4 代入  9 8 1   5}

(B)



^{3, 4 代入}



^{ 9 8 1 5  }

(C)

 

^{8,6 代入}  24 12 1 10   (D)



^{12, 5} 代入  36 10 1 13



   故選(B)

18.

(1) 若一數列a a₁, ₂,, a_n，滿足

2 3

1 2 1

0

n n

a a a

a a a _  r ，則稱為等比數 列，r 稱為公比

(2) 等比數列第n 項：

a_na r₁ ^n1

a_na r_m ^{n m}

設公比為r ，a₁ 2

16

1 2 3 4 2

a a  a a 

 a a r a r₁ ₁  ₁ ²a r₁ ³2¹⁶

 a₁⁴r^{1 2 3 } 2¹⁶

 2⁴ r⁶ 2¹⁶

 ^r6212

 

^{22 6}

 r  2² 又a₅   a₆ a₇ a₈

4 5 6 7

1 1 1 1

a r a r a r a r

   

4 4 5 6 7

a1 r ^{  }

 

4 22

2 r

 

 

²²

4 2

2 2

  

4 44 48

2 ^ 2

 

19.

試驗的期望值：

設



A A A₁^, ₂^, ₃^,^, Ak



為樣本空間S 的一個 分割，若事件A 發生的機率為_i p （_i i 、2、1 3、…、k ），且可得報酬為m（_i i 、2、3、…、1 k ），則E p m_{1 1}p m_{2 2}  p m_{k k}稱為此試 驗報酬的數學期望值，簡稱為期望值，其中

1 2 _k 1

p p   p  由期望值

1 1 2 2 3 3

Ep m p m p m

1 1 1

100000 30000 6000

2 3 6

     

50000 10000 1000   61000 （元）

20.

(1) 直線L : ax by c   之斜率0 a m  b (2) 斜率為m，且 y 截距為 b 之直線方程式為

y mx b 

(3) 三線共點無法構成一個三角形，三線某二 條以上平行亦無法構成三角形

1 2

L   L m m₁ ₂  1

 1

2 1

a      a 2

∵ m₁ 、2 ₂ 1

m   、2 ₃ 1 1 2 2 m   

 皆不相 等（皆不平行）

故三線共點



2 2 0 2 10 0

2 x y x y y x b

  

   

  















有共同解

由、可得x  、4 y 3 代入得

3    8 b b11 故選(D)

21.

當a 時，1 y f x

 

^logax為遞增函數，即

1 2 1 2

0 x x  log_ax log_ax

10 5 20

2 2

4

 n

  

 

將不等式同時取log ₁₀

 ¹⁰ 5 ²⁰

log 2 log log 2 4

 n

   

 

 5

10log 2 log 20log 2 n 4

 

 ^{10log 2}n



log 5 log 4



20log 2

 ^{10log 2} n



log10 log 2



2log 2 20log 2

 ^{10 0.3010} n



1 0.3010 2 0.3010  



20 0.3010

 3.010 0.097  n 6.020

 3.010 6.020 0.097 n 0.097

 31.030 n 62.061 故共有62 32 1 31   （個）

22.

設a a a a a 為一等差數列，則等差中₁, ₂, ₃, ₄, ₅ 項 ₃ ^{2 4 1 5}

2 2

a a a a

a  

 

∵

1018 10 k k

a



 ^{為等差級數} 1018

10 11 12 1016 1017 1018

10 k k

a a a a a a a



      



^

（共1009 項）



10 1018



1009 2

a a 





1 9 1 1017



1009 2 2018

a  d a  d 

 





2 1 1026



2 2 a  d



 a₁513d 2

 a₅₁₄ 2

23.

(1) 有限集合的元素個數計算公式：

（n S 表示集合 S 的元素個數）

 

取捨原理（排容原理）：

       

n A B n A n B n A B (2) 機率的定義：

設樣本空間S 中，每一個樣本發生的機會 均等，若A ，則事件 A 發生的機率定S 義為

   

 

P A n A

 n S A

 事件 的元素個數S 樣本空間 的元素個數

設同時符合的有x 人，則16 11  x 20 2

 27 x 18

 x 9 故所求機率為 9

20

24.

(1) 組合定義：

自n 件相異物中，任取 m 件（不重複）

（0 m n  ）為一組，同一組內的物品若 不計其先後順序，稱為「n 中取 m 的組 合」，其組合數以符號

!

n

n m

m

C P

 m 表示 (2) 機率的定義：

設樣本空間S 中，每一個樣本發生的機會 均等，若A ，則事件 A 發生的機率定S 義為

   

 

P A n A

 n S A

 事件 的元素個數S 樣本空間 的元素個數

設樣本空間為S ，則^{n S}

 

^{2101024}

恰有6 種治癒的事件為 A ，則

 

¹⁰6 ¹⁰4 210 n A C C  故所求

   

 

210 105 1024 512 P A n A

 n S  

25.

標準差的意義：

(1) 標準差的計算是以資料的算術平均數為 中心，用於表明資料的離散情形

(2) 標準差的性質與算術平均數相類似，易受 極端值影響

(3) 標準差愈小，表示資料愈集中在平均數的 附近；標準差愈大，表示資料離平均數愈 遠也就愈分散

舊成績：29 分、 41分  29 41 70 41 29 12

 

  



新成績：30 分、 40 分  30 40 70 40 30 10

 

  



(1) 新舊成績加總均為 70 分，因此平均分數 不會改變，即A C

(2) 舊成績間距為12 ，新成績間距為10 間距縮小表示標準差縮小，即B D

（∵ 標準差表示資料的分散程度）

［另解］



^29x

 

^{2 41x}



^{2292412 2 70x2x2}



^{30 x}

 

^{2 40 x}



^{2 302 402 2 70x 2x2}

        

故B D

統測數學 B 考情趨勢與考題剖析

107 統測數學 B 考情趨勢

一、試題分析

1. 今年考題仍為中偏易，命題順序也盡可能符合章節順序。

2. 題目著重於各章節基本概念及運算，不需繁瑣的計算過程。但是對於執著於計算，

觀念較少釐清的同學，則會因無法找到題目關鍵而擴大計算量。可以由下方「非 簡易題型分析」了解。

3. 排列組合、機率兩單元題目設計較活，同學不易讀懂題意。

4. 「非簡易題型分析」：

第 6 題： 第 10 項為首項的 4 倍，僅推導出首項及公差的關係，並非真的求出，

同學對此題型通常會以為無法求解。

第 10 題： 題目所求應為 log 10 ，與省略底數的 log 2 為倒數，對於僅練習對數計

₂

算的同學容易忽略此特性。

第 13 題： 此題雖為常見考題，但同學往往計算容易出錯，且選項(B)為 ⁵  ^{2 1 } 

有混淆之陷阱。

第 15 題： 同學若沒用圓的判別式，而是配方化成圓標準式，再利用半徑平方為 正去計算，將因為配方有分數增加其計算量及容易出錯。

第 17 題： 若沒看出兩組數字差 5 的關係，分別算出兩組標準差，將增加計算時間。

第 18 題： 技高對於拋物線給定兩個條件去畫圖求出方程式中，以給定「準線、

焦點」最多計算步驟。

備註：但對於普高常使用定義平方展開，反而容易求解。

第 19 題： 相間隔時，需控制差量為 1，且有隱藏固定位置擺放的觀念，技高生對 此觀念較薄弱，同學容易針對高麗菜作排列於哪裡有所混淆而無法下 筆計算。

第 20 題： 計算量偏大，且須求出 M、m 兩個值。

第 21 題： 此為偏普高取捨原理之考題，同學對於大家都拿到不同物品（交錯）

的排列方式較生疏，但因只有三個人，直接利用實際分物品就知只有 2 種方法，故不算超出範圍，但對技高生仍偏難。

第 22 題： 此題敘述理解較困難，且對於後面排列不規則，應利用樹狀圖求解為 較簡易的方法，學生往往忽略導致不知如何分類排列。

第 24 題： 此題雖然可以用導函數基本定義求解，但同學容易使用兩多項式除法 的微分規則處理，計算量仍屬於較大但不困難。

107 年

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 1 不等式及其應用 2

三角函數 3 排列組合 2

向量 1 機率 3

指數與對數及其運算 2 統計 1

數列與級數 1 三角函數的應用 1

式的運算 1 二次曲線 2

方程式 2 微積分及其應用 3

數學 B 參考公式

1. 首項為

a ，公差為 d 的等差數列，第 n 項為₁ a_n

 

a1



n

 1 

d

，前

n 項之和為

 

 2

1

1 

n

2

n a n d

S

 



2. 設有一組母體資料

x x₁

,

₂

,  ,

x_N

，其算術平均數為



，則母體標準差為

 

²

1 N

i i

x N





 

3. 若



、



為一元二次方程式

ax²



bx c

  的兩根，則 0

b

 

  ^

a

、

c



 ，

a

其兩根為

2

4

2

b b ac a

  

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 若 33

sin



 65 ，且 33

tan



 ^ 56 ，則



為哪一象限角？

(A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角 (D)第四象限角。

( ) 2. 已知坐標平面上三個點

^A

  ^{1,2 、}

^B

  ^{2,5 、}

^C

 ^{0, 1  ，則向量} 

2

AB

    3

AC BC

 

(A)  ^{ 2,5}  ^(B)   ^{3,0 (C)}   ^{1,3 (D)}  ^{3,15 。} 

( ) 3. 在坐標平面上，若直線 L 的方程式為

ax y

  ，其中 3

a

 且經過點 0   ^{1,2 ，}

則直線

L 的斜率為何？

(A)5 (B)3 (C) 3  (D) 5  。

( ) 4. 若多項式 2

x³



kx²

 3

x

 除以 5

x

 的餘式為1，則 k 值為何？ 1 (A) 9  (B) 1  (C)1 (D)9 。

( ) 5. 若

x²

 2

x

  的兩根為 1 0



、



，則 

^

^{ 2} 

^

^{ 之值為何？ 2} 

(A) 3  (B) 1  (C)1 (D)5 。

總 分

107 統測數學 B 考題剖析

( ) 6. 若一等差數列的第10 項為首項的 4 倍，且首項不為 0 ，則該數列的第6 項為 第 2 項的幾倍？

(A) 2 (B)3 (C) 4 (D)5 。 ( ) 7. 若 0

2

 

  ，且 3

sin



 ，則 tan 5



 sec



 (A) 12

35 (B) 1

2 (C) 2 (D) 35 12 。 ( ) 8. 若 8

tan



 15 ，則 sin

²

 cos

²

 sec

²

 (A) 514

225 (B) 38

15 (C) 64

225 (D) 49 625 。 ( ) 9. 若 2

⁴

 4

^3x

  8

²

16

^x

 32 ，則

x



(A) 3  (B) 2.5  (C) 2.5 (D)3。

( ) 10. 已知 log 2 之近似值為 0.3010 。若 2

^x

 10 ，則

x 之值最接近下列何者？

(A)3.16 (B)3.23 (C)3.32 (D)3.52 。 ( ) 11. 若二階行列式 1

2 5

x

y

 ，且 2 1 1 0

x y

 ，則 x y  之值為何？

(A) 1  (B)0 (C)1 (D)5 。

( ) 12. 若一元二次不等式

ax²



bx

  的解為 2 6 0   ，則數對

x

3  

^{a b 為下列何}

^,

者？

(A)  ^{  (B) 1, 5}   ^{ 1,5}  ^(C)  ^{1, 5  (D)}    ^{1,5 。}

( ) 13. 一輛遙控小車在平坦無坡度的操場行駛，正前方遠處有一座直立水塔，測 得塔頂的仰角 30。若小車往水塔方向移動10 公尺後，測得塔頂的仰角 45，

則水塔的高度為多少公尺？

(A)5 3 (B) ⁵  ^{2 1  (C)}  ⁴  ^{2  3}  ^{(D) 5}  ^{3 1  。} 

( ) 14. 某青年創業開餐廳，擬設計一份有5 種菜色的菜單。若在原始構思的 7 種菜 色中有 2 種為必選，則有幾種不同菜單？

(A) 6 (B)10 (C) 21 (D)35 。

( ) 15. 若

x²



y²



kx

 2

y k

   表示一圓，則 k 的範圍為何？ 1 0

(A) 2   (B)0

k

4   (C)

k

3

k

 或 2

k

 (D) 3

k

 或 0

k

 。 4

( ) 16. 已知小王、小洋的上壘率分別為 0.425 、 0.385 。若在一場棒球比賽兩人分 別擔任第 2 、3棒，則兩人第一次打擊皆上壘的機率滿足下列何者？

(A)大於 0.6 (B)介於 0.5 和 0.6 (C)介於 0.4 和 0.5 (D)小於 0.4。

( ) 17. 若有一組數字為 73、58、64、85、91，其標準差為

₁

，而另一組數字為 78、

63、69、90、96，其標準差為

₂

，則

 ₁



₂

之值為何？

(A) 0 (B) 5 (C)5 (D) 25。

( ) 18. 若一拋物線之準線為

x

  ，焦點為 1   3,3 ，則此拋物線之方程式為何？

(A)

y²

 4

x

 6

y

 13 0  (B)

y²

 4

x

 2

y

 13 0  (C)

y²

 8

x

 2

y

 25 0  (D)

y²

 8

x

 6

y

 17 0  。

( ) 19. 某人想在自家後院牆邊的長條空地種植一列菜苗，共有高麗菜5 株，萵苣 4 株，菠菜 4 株。若他決定在每兩株高麗菜之間任意種植萵苣或菠菜共兩株，

則種植的排列方法有幾種？

(A) 8!

4!4! (B) 2

⁸

(C) 13!

4!4!5! (D)5!4!4!。

( ) 20. 在滿足二元一次聯立不等式 1

0 3 4

x

y x y x y

 

  

  

   



的條件下。若 3

x

 5

y

的最大值及最小

值分別為

M 及 m ，則 M m

 之值為何？

(A) 9  (B) 4  (C) 3  (D)3。

( ) 21. 五個好朋友各自準備一份禮物，編號後進行摸彩，從摸彩箱抽取號碼後換 對應禮物，則恰有兩人得到自己帶來之禮物的機率為何？

(A) 1

12 (B) 1

6 (C) 1

5 (D) 1 3 。

( ) 22. 依過去經驗，某生如果當天第一節上課遲到，隔天第一節上課遲到的機率 是 1

4 。如果當天第一節準時上課，隔天第一節上課遲到的機率是 2

5 。若某生 星期一第一節上課遲到，則後天星期三第一節上課遲到的機率為何？

(A) 1

16 (B) 3

10 (C) 29

80 (D) 7 10 。 ( ) 23. 在坐標平面上，函數   ³

²

^{3 1}

f x

 2

x



x

 的圖形於切點   ^{2,1 的切線斜率為}

何？

(A) 0 (B)1 (C) 2 (D)3。

( ) 24. 若    

4 2

3 1 1

f x x

x x

 

   ，則

^{f }

  ^{ 之值為何？ 1}

(A) 1  (B)0 (C)1 (D) 2 。

( ) 25. 若  

₂

²

1 1

x x

f x



x



x

  （

x

  ），則 1 ^lim

_x1 ^{f x}

  ^{之值為何？}

(A)不存在 (B) 0 (C) 1

2 (D)1。

107 年 統 一 入 學 測 驗 數 學 (B)

本試題答案係依據統一入學測驗中心於 107 年 5 月 7 日公布之標準答案

1.

三角函數正負表

sin 33 0

65

 為第一或第二象限角…

tan 33 0

  56

 為第二或第四象限角…

根據得為第二象限角 故選(B)

2.

(1) 已知A x y 、



1, 1



B x y 為坐標平面上的



2, 2



兩點，則兩點AB







x2x y1, 2y1



(2)



^{a }



^{x y}₁^, ₁



、



^{b }



^{x y}₂^, ₂





 

^{a  b }



^x₁^{x y}₂^, ₁^y₂



(3)



^{a }

 

^{x y,} _{ k a}



_

_

_{kx ky,}

_



^{2 1,5 2}

  

^1,3

AB



   



^{0 1, 1 2}

 

^{1, 3}



AC



      



^{0 2, 1 5}

 

^{2, 6}



BC



       2AB

  

3AC BC

     

2 1,3 3 1, 3 2, 6

      



2 3 2,6 9 6

  

1,3

      故選(C)

［另解］

2AB

  

3AC BC

     

2 B A 3 C A C B

     

2B 2A 3C 3A C B

      5A 3B 2C

   

     

5 1,2 3 2,5 2 0, 1

    



5 6, 10 15 2

  

1,3

      

3.

已知直線一般式ax by c   0

則此直線斜率 a

m  b

 

^{1,2 代入ax y  3}

 a   2 3 a 5 直線方程式：5x y  3 直線斜率： 5

1 5

 

 故選(A)

4.

餘式定理：^{f x 除以}

 

^{x a 之餘式為f a}

 

令多項式^{2x3kx23x 5 f x}

 

 

f x 除以x 的餘式1 ^{ f}

 

^{  1 1}

 2      k 3 5 1 k  1 故選(B)

1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.A 7.C 8.A 9.B 10.C

11.D 12.B 13.D 14.B 15.D 16.D 17.A 18.D 19.A 20.C

21.B 22.C 23.D 24.A 25.C