4y (E) y = x2 【解答】(C) 【詳解】 焦點 F(0，1)，準線 L：y

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：96.05.22 班級 普三 班

範

圍 Book4 All

座號

姓 名 一、選擇題

1. 以 F(0，1)為焦點，以 L：y = − 1 為準線的拋物線的方程式為何？

(A) y² = 4x (B) y² = − 4x (C) x² = 4y (D) x² = − 4y (E) y = x²

【解答】(C)

【詳解】

焦點 F(0，1)，準線 L：y = − 1 ⇒ 對稱軸方程式為 x = 0

4 | c | = 4 × 1 = 4，頂點(0，0)，由標準式得拋物線方程式為 x² = 4y

2. 擲 3 個硬幣，出現 3 正面可得 12 元，2 正面可得 8 元，一正面可得 4 元，為了公平起見，

出現三反面時，應賠多少元？(A)20 元 (B)24 元 (C)36 元 (D)40 元 (E)48 元

【解答】(D)

【詳解】

投 3 個硬幣，其樣本空間元素個數n(S)=2³ =8，設出現三反面應賠x元則 得款數 12 8 4 − x

機率 p 8 1

8 3

8 3

8 1

今欲公平，則必須期望值E= 0⇒ 0 8 ) 1 8 (

4 3 8 8 3 8

12×1+ × + × + −x × = ，x=40，即賠 40 元 3. 平面上有一個橢圓，已知其長軸平行於x軸，短軸的一端點為 ( − 4，0)，且其中一焦點為

(0，4)，則此橢圓長軸的長度為何？(A) 2 (B)2 2 (C) 6 (D)6 2 (E)8 2

【解答】(E)

【詳解】

短軸的一端點為(− 4，0) ⇒ 短軸：y = 0，焦點(0，4)在長軸上 ⇒ 長軸：x = 0

∴ 中心(0，0) ⇒ b = 4，c = 4 ⇒ a = b² +c² = 4² +4² = 4 2

∴ 長軸長 = 2a = 2 × 4 2 = 8 2

4. 自1～10⁵之自然數中，任取一數，取到數字之和為11的自然數的機率為 (A)0.01300 (B)0.01340 (C)0.01355 (D)0.01365

【解答】(B)

【詳解】

一數之數字和為11有多少個，即求

x + y + z + u + t = 11，0 ≤ x，y，z，u，t ≤ 9之整數解有多少組

∵ 有一未知數為11之解有5種，有一未知數為10之解有5 × C⁴₁= 20種

∴ 所求整數解共有H₁₁⁵ − 5 − 20 = 1340種 ∴ 所求機率為 ₅ 10

1340= 0.01340 5. (複選)設A∈N且1 ≤ A ≤ 500，則下列何者正確？

(A)不為5的倍數之A值有400個 (B)為2或3的倍數之A值有333個

(C)為完全平方數或完全立方數之A值有27個

(D)不為2，不為3且不為5的倍數之A值有134個 (E)與28互質之A值有214個

【解答】(A)(B)(C)(D)(E)

【詳解】

(A)對。500 − [ 5

500] = 500 − 100 = 400

(B)對。[ 2 500] + [

3 500] − [

6

500] = 250 + 166 − 83 = 333 (C)對。A：平方數，A = {1²，2²，…，22²}，n(A) = 22 B：立方數，B = {1³，2³，…，7³}，n(B) = 7

A ∩ B ={1⁶，2⁶}，n(A ∩ B) = 2

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 22 + 7 − 2 = 27 (D)對。n(A2 ∪ A3 ∪ A5)

= n(A2) + n(A3) + n(A5) − n(A6) − n(A15) − n(A10) + n(A30) = [

2 500] + [

3 500] + [

5 500] − [

6 500] − [

15 500] − [

10 500] + [

30 500]

= 250 + 166 + 100 − 83 − 33 − 50 + 16 = 366，所求 = 500 − 366 = 134 (E)對。28 = 2² × 7

n(A2 ∪ A7) = n (A2) + n (A7) − n (A14) = [ 2 500] + [

7 500] − [

14

500] = 250 + 71 − 35 = 286 所求 = 500 − 286 = 214

6. (複選)20個字母：aaaaa，bbbbb，ccccc，ddddd，下列何者正確？

(A)選取4個字母有C²⁰₄ 種方法 (B)選取5個字母有H₅²⁰種方法 (C)取3個字母有H₆²⁰種 方法 (D)取5個字母排列有1024種方法 (E)取6個字母排列，同字不相鄰，有972種方 法

【解答】(D)(E)

【詳解】

(A) H⁴₄ (B) H⁴₅ (C) 4³ (D) 4⁵ = 1024 (E) 4．3⁵ = 972 7. (複選)相異書本9本，下列分法何者正確？

(A)平分成3堆，有 3！

3 3 6 3 9

3C C

C 種 (B)平分給3人，有C⁹₃C₃⁶C³₃種 (C)一人得5本，一人得2本，一人得2本，有C⁹₅C⁴₂C²₂種

(D)一人得5本，一人得3本，一人得1本，有C⁹₅C⁴₃C¹₁種 (E)每人至少分得1本，有C⁹₅C⁴₂C²₂種

【解答】(A)(B)

【詳解】

(A) 3！

3 3 6 3 9

3C C

C (B)

3！

3 3 6 3 9

3C C

C ×3^！= C⁹₃C⁶₃C³₃ (C) 2！

2 2 4 2 9

5C C

C ×3 ^！ (D) C⁹₅C⁴₃C¹₁ ×3^！ (E) 3⁹ − C₁³．2⁹ + C³₂．1⁹

8. (複選)自{1，2，3，…，n}中，

(A)每次取二數，則樣本空間有P₂ⁿ個元素

(B)每次取一數，取後不放回，取二次，則樣本空間有Cⁿ₂個元素 (C)每次取一數，取後放回，取二次，則樣本空間有Cⁿ₂個元素

(D)每次取一數，取後不放回，取二次，第二次的數字比第一次的數字大，則樣本空間有 Cⁿ₂個元素

(E)每次取一數，取後放回，取二次，第二次的數字比第一次的數字大，則樣本空間有Hⁿ₂個 元素

【解答】(D)

【詳解】(A) Cⁿ₂ (B) Pⁿ₂ (C) n² (D) Cⁿ₂ (E) Cⁿ₂ 5. (複選)已知雙曲線Γ： 1

4 5

2 2

=

− y

x ，過下列哪些點作Γ 之切線恰有一條？

(A)(0，0) (B)(4，1) (C)(3， 5

4 ) (D)( 5， − 2) (E)(1，2)

【解答】(C)(D)

【詳解】

(A)(0，0)為中心，過中心沒有切線

(B) 1

4 1 5 4²

>

− ，點(4，1)與焦點在同一區域內，過(4，1)沒有切線 (C)(3，

5

4 )在Γ 上，過此點恰有一條切線

(D)( 5，− 2)在漸近線2x + 5 y = 0上，過此點恰有一條切線 (E) −

5 1²

4 = 2²

5 1

1− < 1，點(1，2)與中心(0，0)在同一區域內且不在漸近線上，過點(1，2) 有兩條切線

二、填充題

1. 二次函數y = ax² + bx + c在x = − 2時有最小值 − 1，且圖形交y軸於點(0，2)，則 序組(a，b，c) = 。

【解答】( 4

3，3，2)

【詳解】

y = ax² + bx + c在x = − 2時有最小值 − 1 ⇒ 拋物線頂點( − 2，− 1)且開口向上

∴ y = ax² + bx + c = a(x + 2)² − 1，過點(0，2) ∴ 2 = a(0 + 2)² − 1 ⇒ a = 4 3

故y = 4

3(x + 2)² − 1 = 4

3x² + 3x + 2 ⇒ a = 4

3，b = 3，c = 2

2. 以橢圓x² + 4y² = 4的焦點為頂點，以其頂點為焦點的雙曲線

方程式為 。

【解答】x² − 3y² = 3

【詳解】

x² + 4y² = 4 ⇒ 4 x2

+ y² = 1之頂點(2，0)，( − 2，0)，焦點( 3，0)，(− 3，0) 雙曲線之頂點( 3，0)，(− 3，0)，而焦點(2，0)，(− 2，0)

設雙曲線方程式為 ₂

2

a x − ₂

2

b

y = 1，則a = 3，c = 2，而b² = c² − a² = 1，故所求為 3 x2

− y² = 1

3. 雙曲線Γ 與雙曲線

16 9

2

2 y

x − = 1共焦點且貫軸長為4，則Γ 的方程式為 。

【解答】 1

21 4

2 2

=

− y x

【詳解】

Γ 與 1

16 9

2 2

=

− y

x 共焦點，設Γ 之方程式為 ₂ 1

2 2 2

=

− b y a x

則a² + b² = c² = 9 + 16 = 25_……
，Γ 之貫軸長2a = 4 ⇒ a = 2_代入

b² = 25 − 4 = 21，故Γ ： 1 21 4

2 2

=

− y x

4. 設一雙曲線的二漸近線為x + 2y − 5 = 0與x − 2y + 3 = 0，其一焦點為(1，2 + 5 )，則其方 程式為 。

【解答】 1 ) 2 (y− ²

− 4

) 1 (x− ²

= 1

【詳解】





= +

−

=

−

　　 5 2

3 2

y x

y

x ⇒ 中心(1，2)，又一焦點為(1，2 + 5 ) ∴ 貫軸平行y軸且c = 5

由一漸近線斜率為 2 1，得

2

=1 b

a ⇒ b = 2a ∵ a² + b² = c² ∴ a² + (2a)² = 5

⇒ a = 1，b = 2，故方程式為 1

) 2 (y− ²

− 4

) 1 (x− ²

= 1 5. 雙曲線Γ：x² − y² − 4x + 8y − 16 = 0，

(1)Γ之共軛雙曲線方程式為 。

(2)一弦 AB 之中點為(4，3)，則含此弦 AB 之直線方程式為 。

【解答】(1) − 4

) 2 (x− ²

+ 4

) 4 (y− ²

= 1 (2) 2x + y − 11 = 0

【詳解】

(1)Γ：x² − y² − 4x + 8y − 16 = 0 ⇒ (x − 2)² − (y − 4)² = 4 ⇒

4 ) 4 ( 4

) 2

( ² − ²

− − y

x = 1

故Γ之共軸雙曲線為

4 ) 4 ( 4

) 2

( ² − ²

− +

− x y

= 1 (2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)

AB之方程式y − 3 = m(x − 4) ⇒ y = mx − 4m + 3 ∴





=

− +

−

−

+

−

=

0 16 8 4

3 4

2

2 y x y

x

m mx y

⇒ x² − (mx − 4m + 3)² − 4x + 8(mx − 4m + 3) − 16 = 0 ⇒ (1 − m²)x² + (8m² + 2m − 4)x + (− 16m² − 8m − 1) = 0 二根x1，x2 ⇒ x1 + x2 =

1 4 2 8

2 2

−

− + m

m

m ∵ AB 之中點(4，3)

⇒

2

2

1 x

x +

= 4 ⇒

1 2 4

2 2

−

− + m

m

m = 4 ⇒ m = − 2

故AB之方程式為y = − 2x + 11 ⇒ 2x + y − 11 = 0

6. 1 ) 2 ( 9

) 2

( ²

2 2

+ + −

− +

t y t

x = 1圖形為貫軸平行x軸的雙曲線，則t的範圍為 。

【解答】− 3 < t < − 1

【詳解】

1 ) 2 ( 9

) 2

( ²

2 2

+ + −

− +

t y t

x = 1圖形為貫軸平行x軸的雙曲線

∴





 9 − t² > 0 t + 1 < 0

(9 − t²) (t + 1) < 0

⇒





 − 3 < t < 3 t < − 1

(t − 3)(3 + t)(t + 1) > 0

∴ − 3 < t < − 1

7. 中心(4，3)，貫軸在直線x = 4上，正焦弦長為 3

32，且兩焦點的距離為10的雙曲線方程式 為 ，已知P在雙曲線上，且F₁，F₂為兩焦點，則 |PF₁ − PF₂ | = 。

【解答】 16

) 4 ( 9

) 3

( ² − ²

− − x

y = 1；6

【詳解】

中心(4，3)，貫軸在直線x = 4上的雙曲線，令其方程式為 ₂

2 2

2 ( 4)

) 3 (

b x a

y −

− −

= 1 兩焦點距離為10，即c = 5，正焦弦長 =

a b²

2 =

3

32，因此可得







+

=

=

2 2 2

25 16 3

b a

a b

即25 = a² + 3

16a ，亦即3a² + 16a− 75 = 0，可得a = 3，b² = 16

此雙曲線方程式為

16 ) 4 ( 9

) 3

( ² − ²

− − x

y = 1

設P在雙曲線上，F1，F2為兩焦點，則 |PF₁−PF₂ | = 2a = 6

8. 設A(1，− 4)，B(5，2)，點C在曲線y = x²上，欲使△ABC的面積最小，則C點坐標 為 。

【解答】( 4 3，

16 9 )

【詳解】

點C在y = x²上，設C(a，a²)，又A(1，− 4)，B(5，2) 則△ABC的面積=

2 1|

4 2

4

1 5

1

2 −

− a

a | =

2

1| 2 + 20+ 5a² − 2a − 4a − a² |

=2

1 | 4a² − 6a + 22 | = | 2(a − 4 3)² +

8 79|

∴ 當a = 4

3時，面積最小值為 8

79 ，此時C(

4 3，

16 9 )

9. 二拋物線y = x² − 3x與 y = 2

1x² + ax + b有相同的頂點，則a = ，b = 。

【解答】− 2 3，−

8 9

【詳解】

y = x² − 3x = (x− 2 3)² −

4

9 ⇒ (x− 2

3)² = y + 4

9，頂點( 2 3，−

4 9)

y =2

1x² + ax + b = 2

1(x + a)² + b− 2 a2

，頂點( − a，b− 2 a2

)，已知二頂點為同一點

∴ ( − a，b− 2 a2

) = ( 2 3，−

4

9) ∴ − a = 2 3，b−

2 a2

= − ^⇒

4

9 a = −

2

3，b = − 8 9 10.自原點O作拋物線y = x² + x + a的切線有兩條，若此兩條切線互相垂直，則a的值

為 。

【解答】2 1

【詳解】

過原點O之直線y = mx代入拋物線y = x² + x + a得 mx = x² + x + a ⇒ x² + (1 − m)x + a = 0有等根

令判別式為0，(1 − m)² − 4a = 0 ⇒ m² − 2m + 1 − 4a = 0 已知切線有二條，即m有二解，設為m1，m2

則二根乘積m₁m₂ = − 1（二切線互相垂直），由根與係數關係知1 − 4a = − 1，故a = 2 1 11.一拋物線的準線垂直x軸且過三點(1，0)，( − 1，1)，(5，− 1)，則此拋物線方程式

為 ，其焦點坐標為 。

【解答】x = y² − 3y + 1，( − 1， 2 3)

【詳解】

拋物線之準線垂直x軸 ⇒ _{對稱軸垂直}y軸，設拋物線方程式x = ay² + by + c 通過三點(1，0)，( − 1，1)，(5，− 1) ∴ 1 = c，− 1 = a + b + c，5 = a − b + c 解之得a = 1，b = − 3，c = 1 ∴ 拋物線方程式為x = y² − 3y + 1

⇒ (y− 2

3)² = x + 4

5，頂點( − 4 5，

2

3) ⇒ _焦點( − 1， 2 3) 12. 2(x−1)² +2(y−2)² = x+ y+1 其頂點坐標 。

【解答】( − 1，0)

【詳解】

2

2 2( 2)

) 1 (

2 x− + y− = | x + y + 1 | ⇒ _(x−1)² _+(y−2)² =

2 +1 + y

x 為一拋物線

2

2 ( 2)

) 1

(x− + y− 表動點(x，y)與定點(1，2)的距離

2 +1 + y

x 表動點(x，y)與定直線x + y + 1 = 0的距離 由拋物線的定義知：焦點為(1，2)，準線為x + y + 1 = 0

過焦點(1，2)作準線x + y + 1 = 0的垂直線為對稱軸，其方程式為x − y + 1 = 0 則軸x − y + 1 = 0與準線x + y + 1 = 0的交點( − 1，0)即為頂點坐標

13.設P為橢圓 ₂

2

b x + ₂

2

a

y = 1上的一點，兩焦點F，F ′ 在y軸上且 FF ′= 10， 如果 PF= 2P ′ 且∠F FPF ′= 90°，則此橢圓正焦弦長為 。

【解答】 5 3 8

【詳解】

2c =F ′F = 10 ⇒ c = 5，設 FP ′= k，則 PF= 2P ′F = 2k，又∠FPF ′= 90°

故4k² + k² = (2c)² = 100 ⇒ k² = 20，2a =PF+P ′F = 3k = 3 20 = 6 5

⇒ a = 3 5，b² = a² − c² = 45 − 25 = 20，正焦弦長 = a b²

2 =

5 3

40 = 5

3 8

14.已知兩圓C₁：x² + y² = 16，C₂：(x − 10)² + y² = 4，若動圓C與C₁，C₂均相切，則此動圓C 之圓心軌跡方程式為 。

【解答】 1 x2

−24 y2

= 1或 9 x2

−16 y2

= 1

【詳解】

已知C1之圓心O1(0，0)，半徑r1 = 4，C2之圓心O2(10，0)，半徑r2 = 2 設動圓C之圓心O(x，y)

(1)
_若C與C1，C2均外切，則OO₁−OO₂= 2 _若C與C₁，C₂均內切，則OO₂−OO₁= 2 由
得|OO₁−OO₂| = 2，又O₁O₂= 10

故O之軌跡為以O1，O2為焦點，貫軸長為2的雙曲線，其中心為(5，0)，2a = 2，2c = 10

⇒ a = 1，c = 5，b² = c² − a² = 25 − 1 = 24，所求軌跡方程式為 1 x2

−24 y2

= 1

(2)
_若C與C₁外切，與C₂內切，則OO₁−OO₂ = 6 _若C與C1內切，與C2外切，則OO₂−OO₁= 6 由
得|OO₁−OO₂| = 6，又O₁O₂= 10

故O之軌跡方程式為以O₁，O₂為焦點，貫軸長為6的雙曲線

其中心為(5，0)，2a = 6，2c = 10 ⇒ a = 3，c = 5，b² = c² − a² = 25 − 9 = 16 所求軌跡方程式為

9 x2

−16 y2

= 1

故由(1)(2)可知軌跡方程式為

1 x2

−24 y2

= 1或 9 x2

−16 y2

= 1

15.拋物線y = x² − mx + m與x軸交於A，B兩點，若 AB = 5，則m = 。

【解答】− 1或5

【詳解】

y = x² − mx + m交x軸於A(α，0)，B(β，0)，則α + β = m，αβ = m

⇒ (α − β)² = (α + β)² − 4αβ = m² − 4m ∵ AB= α −β = 5

∴ m² − 4m = 5 ⇒ (m + 1)(m − 5) = 0 ⇒ m = − 1或5

16.某次數學競試有100個學生參加，試題僅A，B，C三題，測驗結果如下：答對A者有51 人，答對B者有36人，只答對C者有16人，答對B，C兩題者有13人，答對A或C者 有75人，答對B或C者有59人，而只答對A，B，C三題之一者有66人，則

(1)只答對A者有 人。 (2)三題都答錯者有 人。

【解答】(1) 33 (2) 8

【詳解】





66

= 16 +

− 23 +

−

− 44

75

=

− 13 + 16 + 51

) (

) (

) (

y y

x

x ⇒



 6

= 5

= y x

(1) 44 − 5 − 6 = 33（人）

(2) n(A ∪ B ∪ C) = 92 ∴ 100 − 92 = 8（人）

17.A = {x | x ∈N，1 ≤ x ≤ 10⁶}，B = {x | x = 700k，k ∈ Z}，求n (A − B) = 。

【解答】986

【詳解】

A = {1²，2²，3²，…，(10³) ²}，n(A) = 1000

A ∩ B = {x | x = 7 × 2² × 5² × k，k = 7 × 1²，7 × 2²，…，7 × 14²}，n(A ∩ B) = 14

∴ n(A − B) = n (A) − n(A ∩ B) = 100 − 14 = 986

18.在空間中，x，y，z坐標皆為整數且與原點距離為 17的點，共有 個。

【解答】48

【詳解】

∵ x² +y² +z² = 17 ⇒ x² + y² + z² = 17 先考慮0 ≤ x ≤ y ≤ z的解有

x y z

0 2

1 2

4 3

∴ 所有解共有：3 ! × 2 × 2 +

! 2 3!

× 2 × 2 × 2 = 48 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ (± 4) (± 1) (± 2)(± 2)(± 3)

19.以1000元換成500元，100元，50元三種鈔票，其換法有 種，若其中100元 券至少一張，其換法有 種。

【解答】18；15

【詳解】

設1000元券換成500元x張，100元y張，50元z張

則500x + 100y + 50z = 1000，x，y，z為非負整數 ⇒ 10x + 2y + z = 20 (1)不限張數時

當x = 0 ⇒ 2y + z = 20，其解為 共有11組解

當x = 1 ⇒ 2y + z = 10，其解為 共有6組解

當x = 2 ⇒ 2y + z = 0，有1組解(2，0，0) ∴ 換法有11 + 6 + 1 = 18種

(2)限制100元至少一張時（即y ≥ 1）

當x = 0時 ⇒ 2y + z = 20，其解有10組

當x = 1時 ⇒ 2y + z = 10，其解有5組 ∴ 換法有10 + 5 = 15種

20.若A = {x，y，z}，B = {x + 1，2，3}且A = B，則(x，y，z)之解共有 組。

【解答】5

【詳解】

∵ A = B 且x ≠ x + 1 ⇒ x = 2或x = 3

若x = 2時，A = {2，y，z}，B = {3，2，3} = {2，3}

∴ 

=

=

3 3 2 3 3 2

，

，

，

， z

y ，有3組解

若x = 3時，A = {3，y，z}，B = {4，2，3}

∴ 

=

=

2 4 4 2

，

， z

y ，有2組解

由
知，共有5組解

21.若S = {(x，x + 5) | x ∈ R}，T = {(y − 1，x + 1) | 3x + 2y = 10，x，y ∈ R}，則S ∩ T = 。

【解答】{(−

5 4，

5 21)}

【詳解】

令(a，b)∈S ∩ T

∵ (a，b)∈S ⇒ a = x，b = x + 5 ⇒ a − b + 5 = 0_……

∵ (a，b)∈T ⇒ a = y − 1，b = x + 1 ⇒ y = a + 1，x = b − 1

又3x + 2y = 10 ⇒ 3(b − 1) + 2(a + 1) = 10 ⇒ 2a + 3b − 11 = 0_……

解
得a = − 5 4，b =

5 21

22.由1，2，3，4，5，…到1357，共1357個正整數中，共出現 個0。

【解答】365

【詳解】

(1)個位數0 ⇒ 10，20，…，1350，共135個 (2)十位數0

⇒ 9 × 10 = 90

⇒ 4 × 10 = 40

∴ 共90 + 40 = 130個 (3)百位數0

⇒ 10 × 10 = 100

∴ 共有135 + 130 + 100 = 365個0 23.已知P為橢圓

4 ) 1 (x− ²

+ 9

) 2 (y+ ²

= 1上之一點，則P到直線2x − y + 6 = 0的最長距離 為 ，此時P點的坐標為 。

【解答】3 5，( 2 13，

5

−19 )

【詳解】

橢圓Γ： 4

) 1 (x− ²

+ 9

) 2 (y+ ²

= 1，其中心(1， − 2)，設y = 2x + k為Γ 之切線 y = 2x + k代入Γ 得

4 ) 1 (x− ²

+ 9

) 2 2

( x+ k+ ²

= 1 ⇒ 25x² + (16k + 14)x + 4k² + 16k − 11 = 0 D = (8k + 7)² − 25(4k² + 16k − 11) = 0 ⇒ k² + 8k − 9 = 0 ⇒ k = − 9或1

求最長距離 ∴ k = − 9，

2

2 1

2

| ) 9 ( 6

| +

−

− =

5

15 = 3 5

y = 2x − 9代入Γ，得(5x − 13)² = 0 ⇒ x = 5 13，y =

5

−19

∴ P(

5 13，

5

−19 )

24.有紙幣一元的2張，五元的3張，十元的2張，五十元的1 張，這些紙幣可形成 種不同的幣值。

【解答】47

【詳解】

因5元紙幣有3張，故10元這一幣值，可由2張5元或1 張10元紙幣組成，5元可配出5元、10元兩種幣值，而1 張10元只配出1種幣值，為避免重複計算及遺漏的情況，

可將10元紙幣換成2張5元來計算，即換成1元紙幣2張，

5元紙幣7張，50元紙幣1張，配出的幣值有(2 + 1) (7 + 1) (1 + 1) − 1 = 47種

25.設拋物線y² = 12x之一弦中點(3，4)，則此弦所在之直線方程式斜率為 。

【解答】2 3

【詳解】

拋物線y² = 12x之一弦中點(3，4)，設兩端點為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)

2

2

1 x

x +

= 3， 2

2

1 y

y +

= 4 ⇒ x1 + x2 = 6，y1 + y2 = 8，又





=

=

2 2

2

1 2

1

12 12 x y

x

y ……

……

− _得y12 − y22 = 12(x1 − x2) ⇒ (y1 − y2)(y1 + y2) = 12(x1 − x2)

⇒ _斜率 =

2 1

2 1

x x

y y

−

− =

2 1

12 y y + =

8 12=

2 3

26.學校的校慶活動今年擴大舉行，所舉辦的各項活動有：教室布置比賽、班際籃球比賽、電 影欣賞、園遊會、…等等的活動。

(1)教室布置決定用5種不同顏色的壁報紙，將教室的每一面牆壁都貼一種顏色的壁報紙。

同學們希望教室呈現另一種風格，每面相鄰的牆壁要貼不一樣的顏色，請問共有 種的貼法。

(2)籃球比賽班上選出12名球員，其中有2名是中鋒，5名是前鋒，5名是後衛，這12名 球員中有1名後衛能兼打前鋒。籃球比賽每次只能有5個人上場，若場上一定要有1位 中鋒，2名前鋒，2名後衛，請問有 種上場組合方式？

(3)老師為了獎勵班上籃球比賽勇奪全年級第一名，特地買了4包一樣的餅乾以及5罐一樣 的飲料，發給12位球員，每人最多得一樣（可不得），問有 種分法？

(4)電影欣賞挑選奧斯卡金項獎入圍的「臥虎藏龍」、「神鬼戰士」、「浩劫重生」3部電 影，由班級的8位幹部投票表決，每人只能投1票，沒有廢票。若採用「不記名投票」，

則有 種不同的開票結果。

(5)校慶大會時，阿福、小皓、阿珍…等七個人排成一列。

若是阿福、小皓、阿珍吵架而不想看見彼此，問三人都不排在一起的方法有 種

若老師說阿福衣衫不整，不能排第一個，阿珍太愛說話，不能排最後一個，試問排列的 方法有 種？

(6)校慶園遊會時有土風舞的遊戲，小皓和同學共10人一起逛到這個攤位。

若規定只能6個人下場圍個圈跳舞，試問有 種排列方式？

承
，若是小皓和小崴有心結，所以小崴下去時，小皓不下去。小崴和阿珍是手帕交，

小崴不下去時，阿珍也不會下去，試問共有 種排列方式？

(7)阿福、小剛和同學共8人想利用學校校慶補假時，搭捷運到淡水作一日遊，他們分別搭 乘3節車廂，每節車廂分乘3人、3人、2人，請問有 種搭乘方法。

(8)現在他們想搭船欣賞淡水風光，淡水河邊有3艘不同的船，每艘船最多只能載5人。

阿福和小剛會暈船，只能在河邊休息，其餘的6位同學欲同時搭船遊河，這時有 種安全搭船的方式。

(9)中午他們來到佳家餐飲中心用餐，此家餐廳供應便當、麵食、冰品三類，便當有排骨便 當、雞腿便當、魚排便當3種，麵食有涼麵、羹麵、炒麵、湯麵4種，冰品有粉圓冰、

八寶冰、芋頭冰、珍珠冰4種。

阿珍只點一種食物，請問她有 種選擇？

若阿福想在便當、麵食、冰品三類各選一種，請問他有 種選配法？

(10)茶餘飯後，他們一行人想來點娛樂消遣，小剛便拿出他所攜帶的魔法牌排放在桌上。

若小剛想將10張不一樣的魔法牌分給小皓4張，小崴4張，阿珍2張，問有 種分法

(11)隨後，他們來到佳佳保齡球館，球館內的每一球道設有編號 1、2、…、10的十個球

瓶，若恰好擲球兩次使球瓶全部倒下，則球瓶全部倒下的情況共有 種組合。

(12)結束了快樂的一日遊，回家做功課吧！27.(1 + x³) + (1 + x³)² + … + (1 + x³)²⁰的展開式 中，x⁶的係數為 。

【解答】(1) 260 (2) 260 (3) 27720 (4) 6561 (5)
1440_；3720 (6)
25200_；10080 (7) 1680 (8) 720 (9)
7_；48 (10) 9450 (11) 1023 (12) 1330

【詳解】

(1)將教室之牆壁分成A，B，C，D四面，依A，B，C，D的順序，分成兩類 (a) A，C同色：5 × 4 × 1 × 4 = 80

(b) A，C異色：5 × 4 × 3 × 3 = 180 共有80 + 180 = 260種

(2) 5人上場，則從2名中鋒取1名，5名前鋒取2名，5名後衛取2名 或2名中鋒取1名，

1名後衛能兼打前鋒，則5名前鋒取1名，4名後衛取2名

∴ C₁²× C⁵₂× C⁵₂+ C₁²× C₁⁵× C⁴₂= 200 + 60 = 260

(3) 4包一樣的餅乾及5罐一樣的飲料分給12位球員

每人最多得一樣（可不得），則有3人沒分到 ∴

! 3 ! 5 ! 4

!

12 = 27720 (4)每位幹部有3種投票法 ∴ 3⁸ = 6561

(5)
_先排另4人，阿福、小皓、阿珍再排入其5個間隔中，則有4 ! × P⁵₃= 1440種 _(全部排法) − (阿福排首或阿珍排尾)

= (全部排法) − (阿福排首 + 阿珍排尾 − 阿福排首且阿珍排尾) = 7 ! − (6 ! + 6 ! − 5 !) = 3720種

(6)
10人取6人作環狀排列 6

10

P6

= 25200

_(小崴下去，小皓不下去) + (小崴不下去，阿珍不下去) = P⁸₅+

6

8

P6

= 6720 + 3360 = 10080 (7) C⁸₃C⁵₃C²₂×

! 2

!

3 = 1680

(8)(任意坐) − (6人共乘一船) = 3⁶ − 3 = 729 − 3 = 726 (9)
C₁³+ C₁⁴= 3 + 4 = 7

_C₁³× C₁⁴× C₁⁴= 3 × 4 × 4 = 48

(10) C¹⁰₄ × C⁶₄× C²₂×

! 2

!

3 = 210 × 15 × 1 × 3 = 9450 (11) C¹⁰₀ ．1 + C¹⁰₁ ．1 + C¹⁰₂ ．1 + C¹⁰₃ ．1

　　第 1 次沒倒

　　第 2 次全倒 　 第 1 次倒 1 個 　 第 2 次倒 9 個

+ … + C¹⁰₉ ．1 + C¹⁰₁₀．1 − C¹⁰₁₀．1 = 2¹⁰ − 1 = 1024 − 1 = 1023 (12)(1 + x³) + (1 + x³)² + … + (1 + x³)²⁰ =

1 ) 1 (

] 1 ) 1 )[(

1 (

3 20 3 3

− +

− +

+

x x

x = ₃

3 21

3) (1 )

1 (

x

x

x − +

+ 則x⁶項的係數 = (1 + x³)²¹展開式中x⁹項的係數

(1 + x³)²¹的一般項為C²¹_r ．1^21−r．(x³)^r = C²¹_r x^3r

x⁹項 ⇒ 3r = 9 ⇒ r = 3 ∴ 係數為C₃²¹ = 1330 27.橢圓

8 x2

+ 4 y2

= 1在直線x + 2y − 12 = 0上正射影長為 。

【解答】 5 5 12

【詳解】

橢圓在直線x + 2y − 12 = 0上正射影長，即為垂直於x + 2y − 12 = 0且與橢圓相切之兩平行 線間的距離，設







= +

= +

− 4 1 8

0 2

2

2 y

x

k y x L

： 橢圓

： 切線

Γ

……

……

由
⇒ y = 2x + k_代入 ⇒ 9x² + 8kx + 2(k² − 4) = 0

∵ 相切 ∴ D：64k² − 4 × 9 × 2(k² − 4) = 0得k = ± 6_代入

⇒ 兩切線分別為L1：2x − y + 6 = 0及L2：2x − y − 6 = 0 所求 = d(L₁，L₂) =

1 4

| ) 6 ( 6

| +

−

− = 5

5 12

28.若P(3，2)為拋物線y² = 4x之一弦 AB 的中點，則AB方程式為 。

【解答】x − y − 1 = 0

【詳解】







=

−

=

− x y

x m y

AB

4

) 3 ( 2

： 2

： Γ

……

……

由
⇒ x = m

y − m

2 + 3_代入 ⇒ y² = m

4 y − m

8 + 12

⇒ y² − m

4 y + ( m

8 − 12) = 0之二根y₁，y₂，二根之和y₁ + y₂ = m

4， 又 AB 之中點為P

∴ y1 + y2 = 4 ⇒ m = 1_代入
得AB：x − y − 1 = 0

29.求橢圓x² + 2y² − 2x = 4與直線y = x − 1之交弦長為 。

【解答】 3 30 2

【詳解】





−

=

=

−

− +

1

0 4 2 2 ²

2

x y

x y x 直線：

橢圓： _……

……

代入
⇒ 3x² − 6x − 2 = 0之二根為x1，x2

則交點分別為A(x1，x1 − 1)，B(x2，x2 − 1)，又x1 + x2 = 2，x1 x2 = 3

−2 AB2=(x1 − x2)² + [(x1 − 1) − (x2 −1)]² = 2(x1 − x2)² = 2[(x1 − x2)² − 4x1 x2] = 2[2² − 4 × (

3

−2

)] = 3

40，弦長=AB= 3 40 =

3 30 2

30.橢圓4x² + 9y² = 36之一弦 AB 的中點為(2，1)，則AB之方程式為 。

【解答】8x + 9y − 25 = 0

【詳解】

設A(x₁，y₁)， AB 中點(2，1)，因此B(4 − x₁，2 − y₁) A，B在橢圓4x² + 9y² = 36上，故4x₁² + 9y₁² = 36_……

且4(4 − x₁)² + 9(2 − y₁)² = 36 ⇒ 4x₁² + 9y₁² − 32x₁ − 36y₁ = − 64_……

− _得32x₁ + 36y₁ = 100 ⇒ 8x₁ + 9y₁ = 25，即直線AB為8x + 9y − 25 = 0

三、計算題

1.設A(− 1，0)，C₁：(x− 5)² + y² = 4，C₂：(x + 5)² + y² = 49，求 (1)過A且與圓C₁相切之動圓的圓心軌跡方程式。

(2)與圓C₁，C₂相切之軌跡方程式。

【解答】(1)

8 1

) 2

(x ² y²

− −

= 1 (2)

4 75 4 25

2

2 y

x − = 1

【詳解】

(1)PT =PA ⇒ _PA= PO − 2或PA =PO+ 2 ⇒ | PO−PA| = 2為雙曲線 二焦點(− 1，0)，(5，0)，中心(2，0)，c = 3，a = 1 ∴ b² = 8，故得

8 1

) 2

(x ² y²

− −

= 1

(2)

由圖(一)：PS=PT ⇒ PO− OS = OP ′−O′T ⇒ PO− 2 = OP ′− 7 ⇒ P ′O − PO = 5

由圖(二)：PS=PT ⇒ PO+ 2 = OP ′+ 7 ⇒ PO− OP ′= 5

∴ | PO− OP ′| = 5表雙曲線，二焦點F′(− 5，0)，F(5，0)

∴ 中心(0，0)，c = 5，a = 2

5 ⇒ b² = 4 75，故

4 75 4 25

2

2 y

x − = 1即為所求

2.設P為雙曲線x² − 4y² = 4上一點，A(3，0)，則 PA 之min = ？

【解答】 5 5 2

【詳解】

x² − 4y² = 4 ⇒ 4 x2

− y² = 1，令P (2sec^θ，tan^θ)

⇒_PA= (2secθ −3)² +tan²θ = 4sec²θ −12secθ +9+(sec²θ −1) = 5sec²θ −12secθ +8=

5 ) 4 5 (sec 6

5 θ − ² +

∴ 當sec^θ = 5

6時， PA 有min = 5 4 =

5 5 2

3.設雙曲線Γ：

9 16

2

2 y

x − = 1之兩焦點為F₁，F₂，P為Γ 上之一點且∠F₁PF₂ = 60°，求△ F₁PF₂ 之面積。

【解答】9 3

【詳解】

Γ ：

9 16

2

2 y

x − = 1 ⇒ a² = 16，b² = 9

∴ c² = a² + b² = 16 + 9 = 25 ⇒ c = 5 令PF₁= m，PF₂ = n，則 | m − n | = 2a = 8

由餘弦定理得(2c)² = m² + n² − 2mncos60° = m² + n² − mn = (m − n)² + mn

∴ 100 = 64 + mn ⇒ mn = 36，故△F₁PF₂之面積 = 2

1mnsin60° = 2

1．36． 2

3= 9 3

4.一雙曲線與橢圓 9

) 1 (x− ²

+ 4

) 2 (y+ ²

= 1共焦點，且貫軸長為2，求雙曲線上任一點到其二漸 近線距離乘積。

【解答】5 4

【詳解】

(1)雙曲線Γ 與橢圓

4 ) 2 ( 9

) 1

( ² + ²

− + y

x = 1共焦點

設Γ 之方程式為

t y t x

− + +

−

−

4 ) 2 ( 9

) 1

( ^{2 2}

= 1 ⇒

4 ) 2 ( 9

) 1

( ^{2 2}

−

− +

−

−

t y t

x = 1

貫軸長 = 2 9−t = 2 ⇒ 9 − t = 1 ⇒ t = 8 ∴ Γ ：(x − 1)² − 4

) 2 (x+ ²

= 1

(2) Γ 上任一點到二漸近線的距離乘積 =

5 4 4 1

4 1

2 2

2 2

+ =

= × + b a

b a

5.已知log2 = 0.3010，log3 = 0.4771，試求滿足不等式 1 −3

1C₁ⁿ+ ( − 3

1)²Cⁿ₂+ ( − 3

1)³Cⁿ₃+ … + ( − 3 1)ⁿCⁿ_n<

5000

1 ，最小正整數n之值為何？

【解答】22

【詳解】

∵ (1 + x)ⁿ = Cⁿ₀+ C₁ⁿx + Cⁿ₂x² + … + Cⁿ_nxⁿ 令x = −

3 1得

(1 −3

1)ⁿ = Cⁿ₀+ C₁ⁿ( − 3

1) + Cⁿ₂( − 3

1)² + … + Cⁿ_n( − 3 1)ⁿ

⇒ (

3

2)ⁿ = 1 − 3

1C₁ⁿ+ ( − 3

1)²Cⁿ₂+ ( − 3

1)³Cⁿ₃+ … + ( − 3 1)ⁿCⁿ_n

⇒ (

3 2)ⁿ <

5000

1 ⇒ n log 3 2< log

5000

1 ⇒ n(log2 − log3) < log2 − log10000

⇒ n(0.301 − 0.4771) < 0.301 − 4 ⇒ n( − 0.1761) < − 3.6990 ⇒ n >

1761 . 0

699 .

3 = 21.005

⇒ n ≥ 22，故最小正整數n之值 = 22

6.一袋中有4紅球，5白球，自袋中每次取出一球，取出不放回，取完為止。若袋中每一球被 取中機會均等，試求在取球過程中，紅球個數不多於白球個數的機率？

【解答】3 1

【詳解】

如上圖，自袋中每次取一球，取完為止，其方法數與自 O 點取捷徑走到 B 點相同 故其樣本數為 126

! 5

! 4

! 9 =

　 ，其中穿過OA線至達 B 點的走法

即表示取球過程中紅球個數多於白球個數的情況

因為，取捷徑自O點出發，穿過OA至CD線的走法與自O′出發，走到CD成對稱 故自O走捷徑穿過OA，再走到 B 點的走法與自O′走捷徑到 B 方法相同

取球過程中，紅球個數多於白球個數的取法有 84

! 6

! 3

! 9 =

故所求機率1−

3 1 3 1 2 126

84 = − =

7.設Γ：y = | x² − 4 |，L：y = x + k，若Γ，L相交於一點，則k =？

【解答】− 2

【詳解】

Γ：y =







≤

−

−

≥

−

−

0 4 4

0 4 4

2 2

2 2

x x

x x

，

， ⇒ Γ：y =







≤

≤

−

−

−

≤

≥

−

2 2

4

2 2

4

2 2

x x

x x

x

，

或

，

L：y = x + k表斜率為1之直線，過(2，0)時，僅有一交點 ∴ 0 = 2 + k ⇒ k = − 2