【解答】：C 【解析

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：98.10.08 班級 三年 班

範

圍 二項分配

座號

姓 名 一、單選題: 每題 5 分

( ) 1. 根據一項民意調查，發現有 60%的人贊成賭博合法化，在 95%的信心水準下信賴區間 為[0.56 , 0.64] ，則抽樣的樣本數有多少人？

(A)500 人 (B)600 人 (C)800 人 (D)1000 人 (E)1200 人。

【解答】：B

【解析】：設此次調查抽樣n人，信賴區間[0.56 , 0.64] ，又p^ 60% 0.6 故 (1 )

2 p p n

 

  2 ^{0.6(1 0.6)}

n

    0.04 n 600（人）

( ) 2. 已知隨機變數 X ～B n p ，則下列敘述何者錯誤？ ( , )

(A) X 的機率分配為P X( k)C pⁿ_k ^k(1p)^{n k} ，k 0,1,2,…,n (B) X 只能取值 0,1,2,…,n，且 0  p 1

(C) X 的期望值E X( )  n (1 p) (D)X 的變異數Var X( )np(1p) (E) X 的標準差_X  np(1 p)。

【解答】：C

【解析】： ( )E X np；Var X( ) np(1p)

( ) 3. 關於期望值為 μ ，標準差為σ的常態分配曲線，下列敘述何者錯誤？

(A)曲線以 x = μ 為對稱軸 (B)曲線下與橫軸之間的總面積為 1

(C) (D) (E)

【解答】：E

【解析】：(E)

( ) 5. 某銀行在春節期間為了提升樂透彩的買氣，特別加碼 1 億元，為瞭解民眾的反應，委 託民調公司電訪，約有 65%的受訪者表示會前往購買，在 95%的信心水準下，正負誤 差 5 個百分點，則電訪的樣本約有多少人？ （誤差公式：正負誤差 2 p⁽¹ p⁾

n

  ）

(A)150 人 (B)324 人 (C)364 人 (D)504 人 (E)623 人。

【解答】：C

【解析】：正負誤差 2 p⁽¹ p⁾ n

 

0.65(1 0.65)

2 n

   0.05 0.65 0.35

 ．n 2

(0.025)

 0.65 0.35

0.025 0.025

 n ．

． ^364（人）

( ) 6. 根據一項民意調查，發現有 60%的人贊成賭博合法化，在 95%的信心水準下信賴區間 為[0.56 , 0.64] ，則抽樣的樣本數n最接近

(A)100 人 (B)300 人 (C)600 人 (D)2400 人 (E)3000 人。

【解答】：C

【解析】：設此次調查抽樣n人信賴區間[0.56 , 0.64] 可表為 0.6 2 0.02 ．  p 0.6 故 2 p⁽¹ p⁾

n

  0.6(1 0.6)

2 n

    0.04 0.6 0.4 0.02 0.02

 n ．

． ^600(人) 二、多選題: 每題 10 分

( ) 1. 高鐵通車後，縮短了南北的距離。高鐵公司為瞭解乘客搭乘的滿意度，於各車廂放置 意見箱，有效回收 1060 份意見表，其中 424 份覺得非常滿意，在 95%的信心水準下，

下列選項何者為真？ (A)非常滿意的比例為 40% (B)正負誤差為 4 個百分點 (C)正負誤差為 3 個百分點 (D)信賴區間為[0.37 , 0.43] (E)信賴區間為[0.43 , 0.46] 。

【解答】：ACD

【解析】：(A)滿意的比例為 424 1060 0.4 p^  

(C)誤差範圍 (1 ) 2 p p

n

 

  2 ^{0.4(1 0.4)}

1060

    0.03，表示抽樣正負誤差為 3 個百分點 (D)信賴區間為[0.37 , 0.43]

( ) 2. 有 5 題是非題，若某生 5 題均不經思考隨意猜答，則下列哪些選項是正確的？

(A)全部猜對的機率為 1

32 (B)只有猜錯 1 題的機率為 5

32 (C)恰猜錯 2 題機率為 20 32 (D)恰猜錯 3 題的機率為 10

32 (E)恰猜錯 4 題的機率為 5 32 。

【解答】：ABDE

【解析】：設X 表示答對的題數，則 (P X i) ⁵ 1 1 ⁵ ( ) ( )

2 2

i i

Ci ^

 ，i0，1，2，3，4，5

(A) (P X 5) 1

 32 (B) (P X 4) 5

 32 (C) (P X 3) 5

 16 (D)P X( 2) 10

 32 (E)P X( 1) 5

 32

( ) 3. 某項民意調查 2000 人中，贊成甲法案者有 1200 人，則在贊成甲法案 95%的信心水準下，

下列哪些選項是正確的？

(A)信賴區間為[0.589 , 0.611] (B)信賴區間為[0.578 , 0.622] (C)其估計量為 0.6 (D)其估計量的誤差為0.011 (E)其估計量的誤差為0.022。

【解答】：BCE

【解析】：估計量 ˆP 1200

2000 0.6，誤差為 2 ^{0.6 0.4} 2000

  ≒0.022

信賴區間為 [ 0.6 0.022 , 0.6 0.022 ] [0.578, 0.622 ]

( ) 4. 投擲一枚均勻硬幣四次，恰好出現n次正面的機率記為a ；投擲一枚均勻硬幣八次，_n 恰好出現n次正面的機率記為b 。試問以下哪些選項是正確的？ _n

(A) ₂ 1

a  (B)2 a₂  (C)b₄ b₂  (D)b₆ a₃  (E)b₃ b 、₀ b 、₁ b 、_{2 }、b 中最大值是₈ b 。 ₄

【解答】：CDE

【解析】： a_n ⁴ 1 ⁴ 1 ( ) ( )

2 2

n n

Cn ^

 ⁴ 1 ⁴

( )

n 2

C ，b_n ⁸ 1 ⁸ 1 ( ) ( )

2 2

n n

Cn ^

 ⁸ 1 ⁸

( )

n 2

C (A)(B)a_{2 2}⁴ 1 ⁴

( ) C 2

 3

 8 ，b_{4 4}⁸ 1 ⁸ ( ) C 2

 35

 128 (C)b_{2 2}⁸ 1 ⁸

( ) C 2

 ₆⁸ 1 ⁸ ( ) C 2

  b₆

(D)a_{3 3}⁴ 1 ⁴ ( ) C 2

 1

 4 8

 32 ，b_{3 3}⁸ 1 ⁸ ( ) C 2

 7

 32 ，  >a₃ b ₃ (E)C₄⁸ C³⁸C⁵⁸ C₂⁸C₆⁸ C₁⁸C₇⁸ C ₀⁸  之值最大 b₄

三、填充題: 每題 10 分

1. 遺傳學的研究顯示，某對父母的子女之血型為 O 型的機率為 0.25，且每位子女的血型獨立。

該對父母有 5 位子女，令 X 為血型為 O 型子女的人數，則 (P X 2) __________。

【解答】：135 512

【解析】：X 為血型為 O 型子女的人數，且每位子女的血型獨立，則 X 服從二項分配 X ～ (5 , 0.25)

B ，5 位子女中，恰有 2 位血型為 O 型的機率P X( 2) ₂⁵ 1 ² 3 ³ ( ) ( )

4 4

C 135

512 2. 設袋中有 3 紅球 2 白球，今從袋中隨機拿出一球，觀察其顏色之後再放回去，重複上述操作

5 次， 則計算拿到白球個數的期望值為 _________ 、變異數為 __________ 、標準差為 _________。

【解答】：2；6 5； ⁶

5

【解析】：設拿到白球數為X ， X ～ 2 (5 , ) B 5

∴期望值 ( )E X np 2 5 5

   ， 2 變異數Var X( ) np(1p) 3 2

5 5 5

   6

 ， 5 標準差_X  np(1p)  Var X( ) 6

 5

3. 擲一顆公正骰子 5 次，6 點恰好出現 3 次之機率為_______，又 6 點至少出現 4 次的機率為 _________。( 已知：6 =7776 ) ⁵

【解答】： 125

3888； 13 3888

【解析】：6 點恰好出現 3 次之機率p_{1 3}⁵ 1 ³ 5 ² ( ) ( )

6 6

C 125

3888 6 點至少出現 4 次的機率p_{2 4}⁵ 1 ⁴ 5 ₅⁵ 1 ⁵

( ) ( ) ( )

6 6 6

C C

  13

3888

4. 袋裡 20 個球中有 4 個紅球，今從中每次取一個球，取後放回，連取 3 次，則：

(1)第 3 次取到紅球的機率為__________。(2)取出紅球個數的期望值為__________。

【解答】：(1)1

5 (2)3 5

【解析】：(1)每次取到紅球的機率為1

5，每次取球均為獨立事件，故第 3 次取到紅球的機率為1 5 (2)設取出紅球之個數為 X ，則 X ～ 1

(3 , )

B 5 ， ( )E X 1 3 5

  3

 5

5. 投擲一公正銅板 100 次，令 X 表示出現正面的次數，則 100

X 的期望值為____，標準差為_____。

【解答】： 1 2； 1

20

【解析】：投擲一公正銅板 100 次，令 X 表示出現正面的次數，則 X ～ 1 (100 , ) B 2

E X( ) 1 100 2

  50，Var X( ) 1 1 100 (1 )

2 2

    25，

100

X 的期望值 ( ) 100 E X 1

100E X( )

 50

100 1

 2 100

X 的變異數 ( )

100

Var X 1 ² ( )

 100 ( ) 100

Var X 1 ² ( ) 25

 100  100

X 的標準差為 ( ) ¹ 5 ¹ 100 100 20 Var X   

6. 為了驗證一枚古硬幣是否為勻稱的硬幣，某人做了多次的投擲試驗，並發表推論如下：「我

們有 95%的信心認為，此硬幣出現正面的機率是 36%到 44%之間」。在此實驗中，共投擲了 K 次硬幣，其中出現 M 次正面，則 ( ,K M) __________。

【解答】： (600, 240 )

【解析】：設共投擲了硬幣n次，因為 36%到 44%的機率可以表為 40% 4%

出現正面機率p^ 40%，正負誤差 4 個百分點 由公式得到2 ^{0.4(1 0.4)}

n

 0.04 n 600，其中正面出現次數為 40

600100 240（次）

7. 甲與另一名候選人共同參選角逐里長，其競選團隊有如下的調查結果，則：

(1)隨機抽樣 25 人，其中有 16 人對甲表示支持，則 95%的信賴區間為__________。

(2)隨機抽樣 100 人，其中有 64 人對甲表示支持，則 95%的信賴區間為__________。

【解答】：(1)[0.448 , 0.832] (2)[0.544 , 0.736]

【解析】：(1)在 25 位受訪者當中，有 16 位表示支持，即甲候選人的支持率 16 25 0.64

p^   ，

計算 95%的信賴區間： (1 ) 2 p p

p n

 

 

 0.64(1 0.64)

0.64 2

25

   0.64 2 0.096， 得[0.64 0.192 , 0.64 0.192] [0.448 , 0.832]  

(2)在 100 位受訪者當中，有 64 位表示支持，甲的支持率為 64 100 0.64 p^  

95%的信賴區間： (1 ) 2 p p

p n

 

  0.64(1 0.64)

0.64 2

100

   0.64 2 0.048

得[0.64 0.096 , 0.64 0.096]  [0.544 , 0.736]

8. 針對臺灣地區的詐騙電話做調查後發現：「有 95%的信心認為約有 70%到 76%的人曾接過詐 騙電話」，則此次調查約抽樣__________人，樣本中曾接過詐騙電話的約有__________人。

【解答】：876；639

【解析】：∵有 95%的信心認為約有 70%到 76%的人曾接過詐騙電話，∴p^ 0.73， 誤差正負 3 個百分點 (1 )

2 p p n

 

  0.73(1 0.73)

2 n

    3 % n 876 曾接過詐騙電話的約有 876 0.73 ≒639（人）

9. 一個正四面體，每面分別標示 1、2、3、4 四種點數，投擲這正四面體靜止後，覆蓋的面之 點數為投擲點數，假設四種點數出現的機會均等。若投擲五次，則恰好出現三次 1 點的機率 為__________；又至少出現四次 1 點的機率為__________。

【解答】： 45

512 ； 1 64

【解析】： ₃⁵ 1 ³ 3 ² ( ) ( )

4 4

C 45

 512 ； ₄⁵ 1 ⁴ 3 ₅⁵ 1 ⁵ 3 ⁰ ( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4 4

C C 1

 64

10.某位飛靶射手的命中率為 0.8，今射擊 100 發，假設每次射擊互不影響，則命中次數的期望 值為__________，標準差為__________。

【解答】：80；4

【解析】： E X( )100 0.8 80；_X  100 0.8 (1 0.8)    4 11.投擲一顆公正的骰子五次，令 X 表示點數出現 3 的倍數之次數，則

(1) (| 2| P X  )  __________。(2) X 的期望值為__________；變異數為__________。 1

【解答】：(1) 200

243 (2) 5

3 ； 10 9

【解析】： ⁵ 2 ⁵ 1

( ) C ( ) ( )

3 3

i i

P X  i i ^ ，i0，1，2，3，4，5

(1) (|P X 2 | 1)P(1X 3) P X(  1) P X(  2) P X( 3) 80 80 40 243 243 243

   200

 243 (2) ( )E X 1

5 3

  5

 3 ，Var X( ) 1 1 5 (1 )

3 3

    10

 9

12.根據過去經驗評估大學生在課餘兼差的比例不大於 0.4，今欲調查大學生在課餘兼差的比 例，若設定在 95%的信心水準下，誤差不大於 3%，則至少應抽取樣本數為__________個。

【解答】：1067

【解析】：設抽取樣本數為n，且課餘兼差的比例為p ，則 (1 )

2 p p 3%

n

  且 0 p 0.4 40000

(1 )

n 9 p p

  

又 (1p p)   (p 0.5)²0.25， 0 p 0.4 故當p0.4時， (1p p)有最大值為 0.24 此時n1066.6，即至少應抽取 1067 個樣本

13.已知X B~ (2 , )p ， ~ (5 , )Y B p ，且 (P X 1) = 0.75，試求：

(1) p ______。(2) (P Y2) ______。(3)期望值 ( )E Y  _______。(4)變異數Var Y( ) _______。

【解答】：(1)0.5 (2)0.8125 (3)2.5 (4)1.25

【解析】：(1)_X B~ (2 , p 且 () P X  1) 0.75

C p₁² (1p)C p₂^{2 2}(1p)⁰ 0.754p²8p 3 0  p 0.5或p1.5（不合）

(2) (P Y 2)  1 P Y(  0) P Y(  1)

⁵₀ 1 ⁵ 1 ⁰ ₁⁵ 1 ⁴ 1 ¹ 1 C ( ) ( ) C ( ) ( )

2 2 2 2

   0.8125

(3)E Y( ) 1 5 2

  2.5

(4)Var Y( ) 1 1 5 (1 )

2 2

    1.25

14.重複進行某個白努利試驗，其成功率為 0.2，一直到成功才停止，則試驗次數的期望值為____。

【解答】：5

【解析】：設試驗次數的期望值為x則

2 1

1 0.2 2 0.8 0.2 3 (0.8) 0.2 (0.8)ⁿ 0.2 x         n ^  

2 1

0.8x 1 0.8 0.2 2 (0.8) 0.2 (n 1) (0.8)^n 0.2

           

兩式相減得0.2x 1 0.2 1 0.8 0.2 1 (0.8)     ²0.2 1 (0.8)^n10.2 0.2 0.2 1

1 0.8

 x 

 ，即x5

15.(1)擲一公正骰子 3 次，則 3 次中恰有 2 次為 3 點的機率為__________。

(2)擲一公正硬幣 7 次，恰在第 7 次出現第 3 次反面的機率為__________。

【解答】：(1) 5

72 (2) 15 128

【解析】：(1)出現 3 點的機率為1

6，出現其他點數的機率為5

6，∴所求 ₂³ 1 ² 5 ( ) ( )

6 6

C   5

72 (2)依題意知，前 6 次中出現 2 次反面，∴所求 ₂⁶ 1 ² 1 ⁴ 1

( ) ( ) 2 2 2

C    15

128

16.已知人的特徵（例如：雙眼皮）是由一對基因所決定，而且一個小孩是從父母各得一個基因。

若A 、a分別代表顯性基因、隱性基因，則這對基因可能是AA、Aa、aa，其中AA、Aa呈 現顯性特徵，而aa呈現隱性特徵。今有 2 位均為顯性特徵Aa的父母，共生育 4 名子女，則 其中恰有 2 名子女呈現隱性特徵的機率為__________。

【解答】： 27 128

【解析】：均為Aa的父母生下顯性特徵的子女機率為 3

4 ，故所求機率為 ₂⁴ 3 ² 1 ² ( ) ( )

4 4

C 27

 128

17.田磊的同學金鑫也喜歡打籃球，命中率為 c

1，其命中次數的期望值為 7，變異數為 6，則c__。

【解答】：7

【解析】：設命中次數X ，則 X ～ ( , )B n p ( ) 7

( ) (1 ) 6 E X np

Var X np p

 

   



1 6 p 7

   ， 1 1 p 7

 c  c 7

18.從全國的高中生中選出 900 位做調查，其中贊成高中生不該染髮的有 90 人，在 99.7%的信 心水準下，其信賴區間為[ , ]x y ，又

100

y x  f ，則 f  __________。

【解答】：6

【解析】： p x

n 90

900 0.1

在 99.7%的信心水準下，信賴區間為 0.1 (1 0.1) 0.1 (1 0.1) 0.1 3 , 0.1 3

900 900

     

  

 

 

[0.1 3 0.01 , 0.1 3 0.01]

     [0.07 , 0.13][ , ]x y ，y x 0.06 100

 f   f 6

19.根據數學 SAT 考試規定，該項測驗的總分如果超過 800 分，一律以 800 分記錄。已知今年 SAT 考試呈現常態分布，其平均 560 分，標準差 120 分，共有 20000 人應考，則收到 800 分 成績的考生約有__________人。

【解答】：500

【解析】： (800 560) 120  2（兩個標準差），20000 (1 0.95) 2．   500 20. X 為一隨機變數，且Var X(4  6) 144，則X 的標準差為__________。

【解答】：3

【解析】： Var X(4 6) 16Var X( )16Var X( )144Var X( )  標準差為 3 9

21.擲一顆公正的骰子 500 次，每次投擲的結果都互不影響，則在 95%的信心水準下，問：

(1)5 點出現的信賴區間為__________。(2)5 點出現次數最多是__________次。

【解答】：(1) 2 1 [ , ]

15 5 (2)100

【解析】： 1

p 代入6 2 p⁽¹ p⁾ n

 1 1

(1 ) 6 6

500

  1

30

(1)在 95%的信心水準下，5 點出現的信賴區間為 1 1 1 1

[ , ]

630 630 2 1 [ , ]

 15 5 (2)5 點出現次數最多有 1

500．5 100