Ch 3.3 機率
重點 1：認識機率 1.意義：
在數學上，常用一個數值來表示一個事件發生機會的大小，這個數值就是這事件發生的機率 例如：(1)根據資料研判，氣象預報說本週末降雨機率為 10%
(2)年終尾牙摸彩，每 10 個人有 9 個人中獎，我們會說中獎機率為 90%
(3)根本沒有機會發生的事，則發生機率是 0 (4)確定會發生的事，則發生機率是 100%
2.實驗：為了探討不確定的事情，它可能發生的情形和這些情形發生的機率，其中操作的過程稱為
「實驗」。 如投擲硬幣、擲骰子、抽籤及取球等，都可以稱為實驗實驗實驗實驗
◎探討投擲一枚硬幣時，出現正、反面的機率
例 1.1：(1)將全班分成 6 組，各自將一枚材質均勻的硬幣朝上丟，等落地靜止後，觀察出現的是正面 還是反面，每組重複實驗共 100 次，分別統計各組正、反面出現次數的總和，填入下表：
第 1 組 第 2 組 第 3 組 第 4 組 第 5 組 第 6 組 正面出現次數(次) 41 38 52 54 62 57 反面出現次數(次) 59 62 48 46 38 43 合計 100 100 100 100 100 100
(2)根據上表將結果填入下表，並計算正面、反面出現次數與投擲總次數的比值，填入下表 第 1 組 第 1~2 組 第 1~3 組 第 1~4 組 第 1~5 組 第 1~6 組 正面出現次數(次) 41 79 131 185 247 304 反面出現次數(次) 59 121 169 215 253 296 合計 100 200 300 400 500 600
投擲總次數 正面出現次數
(%)
投擲總次數 反面出現次數
(%)
結論：(1)如果投擲用的硬幣，材質是均勻的，在重複投擲一枚硬幣夠多次後，正、反面 朝上的次數 與總投擲次數的比值會接近____
(2)我們說出現正面與反面的機率約是____
(3)一個實驗所有可能發生的結果共 n 種，若每一種結果發生的機會都相等時，
則每一種結果發生的機率是____
(4)投擲一顆材質均勻(公正)的骰子一次，所有可能的結果共 6 種，而每種結果發生的機會都相 等，因此每一種點數出現的機率都是____
(5)老師在籤筒中放入編號 1～35 的 35 支籤，從此籤筒隨意抽出一支籤，所有可能發生的結果 共 35 種，如果每種結果發生的機會都相等，則每一個號碼被抽到的機率都是____
注意：如果 n 種結果中，每一種結果發生的機會不是都相等時，
⇒我們就不能說每種結果發生的機率都是____
例如：投擲一枚圖釘時，當停止後，結果如右圖，
因為針尖輕而針帽重，投擲後這兩種情形發生的機會不相等，
所以針尖朝上的機率和針尖朝下的機率就不能各視為____
Ex1.1：(1)袋中有 5 顆材質完全一樣的彩球，顏色分別為紅、黃、綠、藍、紫。若從袋中任取一球，
則：○1 此球的顏色，共有____種可能的情況？
○2 取出紫色球的機率是_____？
(2)如右圖，有一個長方體的橡皮擦，共有 6 個面，若投擲此橡皮擦，
則各面朝上的機率是否相等？
答：_______
Ex：籤筒中有編號 1~10 的十支籤，若從筒中任意抽出一支籤，且每一支籤被抽中的機會都相等，
則：(1)此籤共有_____種可能的情況？
(2)抽出的數字為 1 的機率是_____
Ex：若對右側三個旋轉的飛鏢靶射飛鏢，且規定射中紅色區域者獲勝，
則你認為選擇甲、乙、丙哪一個飛鏢靶最有勝算？答：____
重點 2：事件發生的機率
1.意義：假設進行一個實驗時，所有可能發生的結果共 n 種，而且每一種結果發生的機會都相等，
若某事件包含其中 m 種可能的結果，則此事件發生的機率為
n m
⇒事件發生的機率＝
個數 實驗中所有可能結果的
該事件所含結果的個數
2.事件發生的描述方法：當投擲一顆均勻骰子時
(1)出現 1 點、3 點或 5 點的情形，就說發生「奇數點的事件」
⇒奇數點的事件，就是由 1 點、3 點、5 點三種結果所組成的 (2)點數大於或等於 5 的事件，即由點數 5、6 所組成，
⇒投擲時出現 5、6 中的任何一種點數，就說發生「點數大於或等於 5 的事件」
例 2.1：袋中有 6 顆紅球，2 顆白球共 8 顆球，今從袋中任取一顆，每顆球被取出的機會都相等，
則取出紅球、白球的機率各是多少？
【觀念】上例中，小珍說：因為有紅球、白球兩種，所以取出紅球、白球的機率各是 2 1。 請問小珍的說法是否正確？為什麼？
解：
Ex2.1：袋中有大小、形狀、重量皆相等的巧克力 10 顆和糖果 15 顆，每顆巧克力、糖果被取出的機 會都相等，韻庭從袋中任取一顆，則取出巧克力、糖果的機率各是多少？
Ex：將一正方體的六個面分別標上 1，1，2，2，3，4 六個數字，假設每個面擲出的機率皆相等，則：
(1)擲出數字為 1 的機率＝_____ (2)擲出數字為 3 的機率＝_____
Ex：袋中有 2 顆紅球，4 顆黃球，6 顆白球。已知每顆球被取到的機會都相等，今從袋中任取一顆，
則取出紅球、黃球的機率各是多少？
例 2.2：籤筒中有 10 支籤，將它們逐一標上 1∼10 的號碼，從籤筒中任意抽出一支籤，
每一支籤被抽中的機會都相等，則：
(1)抽到編號是 3 的倍數的事件，它的機率是____？
(2)抽到編號是 5 的倍數的事件，它的機率是____？
(3)抽到編號既是 3 的倍數又是 5 的倍數的事件，它的機率是____？
(4)抽到編號小於或等於 4 的事件，它的機率是____？
(5)抽到編號不是 4 的事件，它的機率是____？
(6)抽到編號小於或等於 10 的事件，它的機率是____？
Ex2.2：籤筒中有 10 支籤，將它們逐一標上 11∼20 的號碼，從籤筒中任意抽出一支籤，每一支籤被抽 中的機會都相等，則：
(1)抽到編號是 2 的倍數的事件的機率是____？
(2)抽到編號是 3 的倍數的事件的機率是____？
(3)抽到編號既是 2 的倍數又是 3 的倍數的事件的機率是____？
例 2.3：投擲 1 顆均勻骰子，即骰子每一面出現的機會都相等，試問：
(1)出現點數為 4 的事件，它的機率是_____？
(2)出現的點數大於 4 的事件，它的機率是_____？
(3)出現的點數小於 7 的事件，它的機率是_____？
(4)出現的點數為質數的事件，它的機率是_____？
Ex2.3：投擲 1 顆均勻骰子，即骰子每一面出現的機會都相等，試求：
(1)出現點數為 2 的倍數的機率是_____？
(2)出現的點數大於 2 的機率是_____？
Ex：將一正十二面體的每個面依序標上數字 1~12，若每一面出現的機會都相等，試求：
(1)出現的數字小於 5 的機率是____？ (2)出現的數字等於 7 的機率是____？
(3)出現的數字是完全平方數的機率是____？ (4)出現的數字是奇數的機率是____？
例 2.4：一副撲克牌共 52 張(不含鬼牌)，分為黑桃、紅心、方塊及梅花 4 種花色，每種花色 各有 13 張，分別標為 A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2。從這副牌中任意抽出一 張，若每一張抽中的機會均相等，則：
(1)這張牌為紅色的機率是____？ (2)這張牌為梅花的機率是____？
(3)這張牌為 K 的機率是____？ (4)抽出的牌為數字不為字母的機率是____？
(5)抽出的牌為紅色 Q 的機率是____？
Ex2.4：一副撲克牌共 52 張(不含鬼牌)，分為黑桃、紅心、方塊及梅花 4種花色，每種花色 各有 13 張，分別標為 A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2。從這副牌中任意抽出一 張，若每一張抽中的機會均相等，則：
(1)這張牌為英文字的機率是____？ (2)這張牌為黑色數字的機率是____？
重點 3：樹狀圖
意義：處理一些發生情形比較複雜的機率問題時，可以利用樹狀圖樹狀圖樹狀圖樹狀圖逐次列舉出一個實驗所有可能 發生的結果，進而求出某事件發生的機率
註：一枚一枚一枚一枚硬幣硬幣硬幣硬幣投擲投擲投擲兩次投擲兩次兩次、兩次、、兩枚、兩枚兩枚硬幣兩枚硬幣硬幣投擲硬幣投擲投擲一次投擲一次一次所得到的情形相同一次 相同相同 相同 例 3.1：A.試以投擲一枚十元硬幣兩次一枚十元硬幣兩次一枚十元硬幣兩次為例，畫出其樹狀圖 一枚十元硬幣兩次
B.如果用(正，反)表示第一次出現正面、第二次出現反面，則：
(1)寫出所有可能的結果為________________
(2)○1 兩次硬幣都出現正面的機率為_____
○2 兩次硬幣都出現反面的機率為_____
○3 硬幣第一次出現正面、第二次出現反面的機率為_____
○4 硬幣第一次出現反面、第二次出現正面的機率為_____
○5 硬幣出現一次正面，另一次出現反面的機率是_____
Ex3.1：袋中有紅、黑、綠、黃共四顆色球，從袋中依次取球，且抽完後不放回，若每顆球被抽出的 機會都相等，則：
(1)依題意畫出相關的數狀圖
(2)第一次抽到黑球，且第二次抽到紅球的機率是____
(3)第三次抽到黃球的機率是____
(4)綠球比紅球先抽到的機率是____
例 3.2：A.試以投擲兩枚十元硬幣一次兩枚十元硬幣一次兩枚十元硬幣一次為例，畫出其樹狀圖 兩枚十元硬幣一次
B.如果用(正，反)表示硬幣一出現正面、硬幣二出現反面，則：
(1)寫出所有可能的結果為________________
(2)○1 兩枚硬幣都出現正面的機率為_____
○2 兩枚硬幣都出現反面的機率為_____
○3 硬幣一出現正面、硬幣二出現反面的機率為_____
○4 硬幣一出現反面、硬幣二出現正面的機率為_____
○5 一枚硬幣出現正面，另一枚出現反面的機率是_____
例 3.3：班長想要對小妍、小霖、小真三位同學進行三字經抽背，若抽背的順序是任意選定的，則：
(1)總共有幾種不同的順序？
(2)小霖是最後被班長抽背的機率是____？
(3)班長對小妍抽背完後，接著對小真抽背的機率是____？
Ex3.3：有甲、乙兩袋，甲袋中有兩顆紅球，分別編為 1 號、2 號；
乙袋中有兩顆綠球，也分別編為 1 號、2 號。
從甲、乙兩袋中各取一球，則：
(1)可能發生的結果共有____種？
(2)兩袋所取出的球編號相同的機率是____？
Ex：同時投擲一枚公正的硬幣和一顆均勻的骰子，則：
(1)骰子出現 5 點，且硬幣為正面的機率為_____？
(2)骰子的點數為 2 的倍數，且硬幣為反面的機率為____？
Ex：一袋中有 4 顆球，分別標記號碼 1，2，3，4，已知每顆球被取出的機會相同，若第一次從袋中 取出一球後放回，第二次從袋中再取出一球，則第二次取出的球比第一次大的機率為多少？
例 3.4：有 5、6、7 三張紙牌，今將此三張紙牌任意排成一個三位數，試問：
(1)共可排出幾個不同的三位數？
(2)排出的三位數是奇數的機率是多少？
(3)排出的三位數是 4 的倍數的機率是多少？
(4)排出的三位數是偶數的機率是多少？
(5)排出的三位數是 5 的倍數的機率是多少？
(6)排出的三位數是 3 的倍數的機率是多少？
Ex3.4：已知有 0，1，2 三張紙牌，若數字 0 不能排在百位數，則：
(1)共可排出____種不同的三位數？
(2)排出的三位數為 5 的倍數的機率是_____
例 3.5：將一顆均勻的骰子連續投擲兩次，假設第一次、第二次出現的點數分別以 x、y 表示，若實驗 結果以數對(x，y)表示，則：
(1)數對(x，y)的所有可能情況共有幾種？
(2) x＋y＝5 的機率是多少？
(3) x＋y 的和是質數的機率是多少？
Ex3.5：一籤筒內有四支籤，分別標記號碼 1，2，3，4。已知小武以每次取一支且取後不放回的方式 取兩支籤，若每一種結果發生的機會都相同，則這兩支籤的號碼總數是奇數的機率為多少？
