條件不等式 例題

條件不等式

例題 1 聯立不等式



 x²－3x－4＜0

x³＋x²－8x－12＞0 之解為 ‧

解析：x²－3x－4＜0 （x－4）（x＋1）＜0 －1＜x＜4………○^１

x

（x＋2）（x－3）（x＋2）＞0 （x＋2）²（x－3）＞0 x＞3 ………○^２ 由○^１、○^２知 3＜x＜4

例題 2

不等式 x²－2x＋｜x－1｜＜1 之解為 ‧ 解析： ( )1 當 x≧1 時，原式 x²－2x＋（x－1）＜1

x²－x－2＜0 （x－2）（x＋1）＜0

－1＜x＜2，又 x≧1 1≦x＜2

( )2 當 x＜1 時，原式 x²－2x－（x－1）＜1 x²－2x－x＋1＜1 x²－3x＜0

x（x－3）＜0 0＜x＜3，又 x＜1 0＜x＜1 由 ( )1 、 ( )2 知不等式 x²－2x＋｜x－1｜＜1 之解為 0＜x＜2

例題 3

若對任何實數 x，不等式 2x²＋ax＋2

x

故 2x²＋ax＋2

x

x²－（a＋3）x＋1≧0

∵對於任何實數 x 恆成立，∴D＝（a＋3）²－4≦0 a²＋6a＋5≦0

（a＋1）（a＋5）≦0

－5≦a≦－1

例題 4

試作下列各不等式之圖形：

( )1 x＋3y＞3‧ ( )2 x－2y≦4‧ ( )3 y＜－3‧

解析： ( )1 ( )2 ( )3

例題 5

試作下列各聯立不等式的圖形：

( )1



 ^{x－y－2≦0} x＋2y－8≧0

y≦4 ‧ ( )2 6－3x≦y－2≦x≦5‧ ( )3 （x＋y－4）（x－2y＋4）≦0‧

解析： ( )1

( )2 6－3x≦y－2≦x≦5，即



 ^{6－3x≦y－2} y－2≦x

x≦5 

 ^3x＋y≧8 x－y≧－2 x≦5 ( )3 直線x＋y－4=0與x－2y＋4=0之異號區

例題 6

設 A（5，6），B（－3，0），C（2，－3）為坐標平面上的三個點，

( )1 試以聯立不等式表示△ABC 的內部（不含邊界）‧

( )2 若點 P（k，2k－1）為△ABC 內部任一點，則實數 k 的範圍為 ‧ 解析： ( )1 ∵m_AB^←→＝ 6－0

5－（－3）＝ 6 8＝ 3

4， ←→

AB 之方程式為 3x－4y＝－9

∵m^←→_BC＝ －3－0

2－（－3）＝－3 5 ， ←→

BC 之方程式為 3x＋5y＝－9

∵m_AC

5－2 3＝3，

AC 之方程式為 3x－y＝9



 ^{3x－4y＞－9} 3x＋5y＞－9 3x－y＜9

表△ ABC 之內部 ( )2 ∵P（k，2k－1）為△ ABC 內部任一點，

∴3k－4（2k－1）＞－9 －5k＞－13，即 k＜ 13

5 ………○^１ 3k＋5（2k－1）＞－9 13k＞－4，即 k＞－ 4

13 ………○^２ 3k－（2k－1）＜9，即 k＜8………○^３

由○^１、○^２、○^３知 k 之範圍為－ 4

13 ＜k＜ 13 5

例題 7

在二元一次聯立不等式

 



^x y

x＋y

的可行解區域中，有 個格子點‧

解析：

  

0≦x＋y≦9 4x＋5y≧30

，x，y



以上不等式組作圖如右 故（x，y）的非負整數解為

y

x

（x，y）共有 1＋3＋3＋3＝10 組解，故有 10 個格子點

例題 8

設函數 f（x）＝4－ x²－2x＋5 ，則當 x＝ 時，f（x）有最大值為 ‧ 解析：f（x）＝4－ x²－2x＋5 ＝4－ （x－1）²＋4

當 x＝1 時，f（x）有最大值為 4－ 0²＋4 ＝4－2＝2

例題 9

設 f（x）＝（x²－2x＋3）（x²－2x＋4）＋x²－2x＋5，則當 x＝ 時，f（x）有最小值為 ‧ 解析：設大變數 t＝x²－2x＝（x－1）²－1≧－1

∴g（t）＝f（x）

＝（x²－2x＋3）（x²－2x＋4）＋x²－2x＋5

＝（t＋3）（t＋4）＋t＋5

＝t ²＋7t＋12＋t＋5

＝t ²＋8t＋17

＝（t＋4）²＋1，又 t≧－1

當 t＝－1，g（t）＝f（x）有最小值為 10，此時 x²－2x＝－1 x＝1 故當 x＝1 時，f（x）有最小值為 10

例題 10

設 x²＋4y²＝4，則 2x＋4y²＋5 之最大值為 ，最小值為 ‧ 解析：∵x²＋4y²＝4 4y²＝4－x²≧0 x²≦4 －2≦x≦2

2x＋4y²＋5＝2x＋（4－x²）＋5

＝－x²＋2x＋9

＝－（x－1）²＋10，又－2≦x≦2 故當 x＝1 時，2x＋4y²＋5 有最大值為 10

當 x＝－2 時，2x＋4y²＋5 有最小值為 1

例題 11

如右圖，正方形 ABCD 的邊長為 12 公分，動點 P，Q，R 分別 在 ̅

AB，̅ BC，̅ CD 上，且 ̅ AP＝̅ BQ＝

2 ̅

CR，設 ̅ AP＝x，則：

( )1 △PQR 之面積為 ‧（以 x 表示）

( )2 當 x＝ 公分時，△PQR 有最小面積為 平方公分‧

解析： ( )1 由右圖知

△PQR 之面積＝正方形面積－△BPQ 面積－△CQR 面積－梯形 APRD 面積 ＝12×12－ 1

2×x×（12－x）－ 1

2×2x×（12－x）－ 1

2（x＋12－2x）×12

＝144－6x＋

2 x－12x＋x －72＋6x＝

2 x －12x＋72 ( )2 由 ( )1 知△PQR＝ 3

2 x²－12x＋72＝ 3

2（x²－8x＋16）＋48＝ 3

2（x－4）²＋48 故當 x＝4 公分時，△PQR 面積有最小值為 48 平方公分

例題 12

拋物線

Γ

解析：設 P（t ²，3t）為拋物線 y²＝9x 上一點

則 P 點到直線 L 之距離為 ｜3t²－12t＋24｜

3²＋（－4）² ＝｜3（t－2）²＋12｜

5 當 t＝2 時，距離有最小值 12

5 故當 P（4，6）時，有最短距離為 12

5