第 1 章　空間向量

(1)

1-1　空間概念

1. 右圖是一個長方體﹐下列哪些直線與直線

_AB

歪斜﹖

(1)直線

CD

　(2)直線

CG

　(3)直線

CH

　(4)直線

AG

(5)直線

HG

﹒

(1)直線 CD 與直線 AB 平行﹒ (2) 直線 CG 與直線 AB 歪 斜﹒

(3)直線 CH 與直線 AB 歪斜﹒ (4)直線 AG 與直線 AB 交於 A 點.

(5)直線 HG 與直線 AB 平行﹒

由上面的討論可知﹕正確的選項為(2)(3)﹒

2. 右圖中﹐

ABCD EFGH

是一個長方體﹐

ABCD

是一個邊長為

₂

的正方形﹒若

_AG__{2 6}

﹐則長方體的體積為何﹖

因為AG AB²BC²CG² ﹐

所以2 6 2²2²CG²﹐解得CG ﹐4 即以正方形 ABCD 為底面時﹐長方體的高為 4 ﹐ 因此其體積為2 2 4 16   ﹒

第 1 章　空間向量

(2)

3. 右圖是一個四面體

D ABC

﹐ 其中

_{AB BC CA}_ _ _₆

﹐

DA DB DC4

﹐ 從頂點

_D

對底面

ABC

做垂直線

DH

交底面於

H

點﹐線段

_DH

稱為此四面體的一個高﹒

求﹕

(1)高

_DH

的長﹒　(2)底面

ABC

與側面

BCD

所夾之二面角 的餘弦值﹒

因為 DH 與底面 ABC 垂直﹐可得 DH 與 AH ﹐ BH ﹐ CH 均垂直﹐又 AD BD CD  ﹐所以△ADH ﹐△BDH ﹐△CDH為全等三角形﹐因此由畢氏定理可知

2 2

AH AD DH BH CH ﹐即 H 為 ABC△ 的外心﹐亦為重心﹒

設 E 為 BC 的中點﹒

(1)因為△ABC為正三角形﹐△BCD為等腰三角形﹐所以 AE 與 DE 均 垂直 BC 於 E 點 ﹐ 且因為 H 為 △ABC的重心 ﹐ 所以

2 2 3

3 3 2 2 3 AH AE  AC

    ﹒

計算^DH^ ^AD²^^AH²^ ⁴²^

 

^{2 3} ² ^ ^{4 2}^{ ﹒}

(2)因為 AED 為底面ABC 與側面 BCD 所夾的二面角 ﹐又

2 2 42 32 7

DE CD CE    ﹐ 所以

1

3 21 cos 3

7 7 7 HE AE

 DE   ﹒

4. 設直線

_AB

垂直平面 E 於

B

點 ﹐ 且

L

是平面

E

上一條直線﹐

D

是

L

上一點﹐如右圖所示﹒若直線

BC

垂直 L 於

C

點 ﹐ 且

_AB_₂

﹐

_BC_₁

﹐

_CD_₂

﹐則

_AD

的長度為何﹖

因為直線 AB 垂直平面 E 於 B 點 ﹐ 所以 AB BC ﹐ 因此由畢氏定理可得﹕AC AB²BC²  2²1²  5﹒

又由三垂線定理可知﹕ AC DC ﹐因此

由畢氏定理可得 ﹕ ^AD^ ^AC²^^CD²^

 

⁵ ²^²²^ ^{9 3}^

﹒

(3)

5. 右圖是一個四面體 ﹐

_AD_₁

﹐

_BD_₂

﹐

_CD__{2 3}

﹐ 且

_AD

﹐

_BD

﹐

_DC

兩兩互相垂直於

D

點 ﹐ 求點

A

到

BC

的最短距離﹒

過點 D 作 DE 垂直 BC 於 E 點 ﹒ 因為 AD 與 BD ﹐ DC 均垂直 ﹐ 所 以 AD 與平面 BCD 垂直﹐且由三垂線定理可知﹕點 A 到 BC 的最短距 離為 AE ﹒

因為 BD 與 DC 垂直﹐所以由畢氏定理可得﹕

 

²

2 2 22 2 3 16 4

BC BD DC     ﹒ 由△BCD的面積為

2 2

BD DC BC DE 　　 2 2 3 4

2 2

  DE﹐

解得DE 3﹒

因為 AD 與平面 BCD 垂直﹐所以 ADE△ 是一個直角三角形﹐因此

 

²

2 2 12 3 2

AE AD DE    ， 故點 A 到 BC 的最短距離為 2 ﹒

6. 設

_A

﹐

_B

﹐

C

為空間中三點﹐且不在同一直線上﹒問﹕

(1)空間所有滿足

_{PA PB}_

的

_P

點所形成的圖形為何﹖

　一點　一線段　一直線　一平面﹒

(2)空間所有滿足

QA QB QC 

的

Q

點所形成的圖形為何﹖

　一點　一線段　一直線　一平面﹒

(1) 空間中所有滿足 PA PB 的 P 點所形成的圖形為一平面﹐

我們稱其為 AB 的垂直平分面﹒故正確的選項為﹒

(2) 設 O 為△ABC的外心﹐即 OA OB OC  ﹒

取 Q 為通過點O 與平面 ABC 垂直的直線上的任意點﹐

則由畢氏定理可知﹕

2 2 2 2 2 2

QA OA QO  OB QO QB OC QO QC﹐ 即直線上的點 Q 均滿足 QA QB QC  ﹒故正確的選項為﹒

(4)

7. 選出正確的選項﹕

(1)空間中，垂直於同一直線的兩相異直線必互相平行 (2)空間中，平行於同一直線的兩相異直線必互相平行 (3)空間中，垂直於同一平面的兩相異直線必互相平行 (4)空間中，平行於同一平面的兩相異直線必互相平行 (5)空間中，垂直於同一直線的兩相異平面必互相平行﹒

(1)垂直於同一直線的兩相異直線也可能歪斜或交於一點﹒

(2)平行於同一直線的兩相異直線必互相平行是正確的﹒

(3)垂直於同一平面的兩相異直線必互相平行是正確的﹒

(4)平行於同一平面的兩相異直線也可能歪斜或交於一點﹒

(5)垂直於同一直線的兩相異平面必互相平行是正確的﹒

由上面的討論可知：正確的選項為(2)(3)(5)﹒

8. 在空間中﹐下列哪些條件恰可以決定一個平面﹕

(1)三個相異點　(2)兩條平行直線　(3)兩條歪斜直線

(4)一直線及此直線外一點　(5)恰交於一點的兩相異直線﹒

(1)此三點必須不在同一直線上﹐才恰有一個平面﹒若此三點在同一直線上﹐則有很多個平面同時通過此三點﹒

(3)因為兩條歪斜線並不在同一個平面上﹐所以沒有平面會通過兩條歪斜直線﹒

除了(1)(3)之外的選項均是正確的﹐故正確的選項為(2)(4)(5)﹒

(5)

9. 右圖中 ﹐

ABCD EFGH

是一個邊長為

₁

的正六面體﹐求﹕

(1)四面體

ACFH

的表面積﹒

(2)四面體

ACFH

的體積﹒

（四面體的體積為底面積乘以高除以

3

）[92 指乙]

因為四面體 ACFH 的每邊長均為 2 ﹐所以是一個正四面體﹒

(1) 表面積是 4 個邊長為 2 之正三角形的面積和﹒

因為邊長 2 之正三角形的面積為 3 2 ﹐

所以四面體的表面積為 3

4 2 3

 2  ﹒

(2) 直接計算體積比較困難﹐可以扣掉 4 個全等的四面體比較簡單﹒

四面體ACFH 的體積可由正六面體扣掉 AEHF ﹐ ABCF ﹐ GHFC ﹐ ACDH 4 個四面體的體 積得到﹒

因為這 4 個四面體的體積均為 1 1 1 1 1 1

2 3 6

     

 

  ﹐

所以四面體ACFH 的體積為 1 1 1 4   ﹒6 3

10. 右圖中 ﹐

ABCD

是一個邊長為

2

的正四面體 ﹐

M

﹐

N

分別為

_AB

與

_CD

的中點﹒

(1)說明

_MN

與

_AB

垂直﹒ (2)求

_MN

的長﹒

(1)連接 AN ﹐ BN ﹐如右圖所示﹒

因為△ACD與△BCD均為正三角形 ﹐ 所以 AN ﹐ BN 分別為 ACD

△ 與△BCD的中線﹐且

2 2

2 1 3

AN   BN﹒

因為 AN BN ﹐所以△ABN是一個等腰三角形﹐又因為 M 為 AB 的中點﹐所以 MN 是 AB 的中垂線，即 MN 與 AB 垂直﹒

(2)利用畢氏定理得

 

²

2 2 3 12 2

MN AN AM    ﹐ 因此 MN 的長為 2 ﹒

(6)

1-2　空間向量的坐標表示法

1. 坐標空間中﹐下列哪一點與原點的距離最大﹖

(1) 

^{1 , 2 , 3}

 ⁽²⁾ 

^{1 , 0 , 5}

 ⁽³⁾ 

^{2 , 2 , 2}

 ⁽⁴⁾ 

^{1 , 1, 4}^

 ⁽⁵⁾ 

^{0 , 3 , 3}

 ﹒

各點與原點的距離分別為﹕

(1)



^{1 0}^

 

²^ ^{2 0}^

 

²^{ }^{3 0}



² ^ ¹⁴^﹒ ⁽²⁾



^{1 0}^

 

²^ ^{0 0}^

 

²^{ }^{5 0}



² ^ ²⁶^﹒

(3)



^{2 0}^

 

²^ ^{2 0}^

 

²^ ^{2 0}^



²^ ¹²^﹒ ⁽⁴⁾



^{1 0}^



²^{  }

  

¹ ⁰



²^



^{4 0}^



²^ ¹⁸^﹒

(5)



^{0 0}^

 

²^{ }^{3 0}

 

²^{ }^{3 0}



²^ ¹⁸ ^﹒

因為最大值為 26 ﹐所以正確的選項為(2)﹒

2. 已知坐標空間中一點

^A



^{3 4 5}^{, ,}

 ^﹐求﹕

(1)將點

A

垂直投影到

z

軸的投影點坐標﹒

(2)點

A

到

z

軸的距離﹒

(1)將點^A



^{3 4 5}^{, ,}



垂直投影到 z 軸的投影點坐標為



^{0 0 5}^{, ,}



^﹒

(2)由(1)可知點 A 到 z 軸的距離為點 A 與點



^{0 0 5}^{, ,}



的距離﹐即為



^{3 0}^

 

²^ ^{4 0}^

 

²^{ }^{5 5}



² ^⁵^﹒

3. 右圖是坐標空間中的一個長方體﹐其長﹐寬與高分別為

4

﹐

2

與

3

﹒求﹕

(1)

H

點的坐標 ﹒ (2)

_AG

及

_BG

的長﹒

(1) H 點的坐標為



^{ }²^, ^{4 3}^,



﹒

(2) 由圖可知 ﹕ A 點的坐標為



⁰^,^^{4 0}^,



﹐ B 點的坐標為



^{0 0 0}^{, ,}



﹐ 　　　　　G 點的坐標為



^{ , , ﹒}^{2 0 3}



故^AG^

  

^{ }² ⁰



²^



⁰^{ }

 

⁴



²^{ }



^{3 0}



²^ ^{4 16 9}^ ^{ } ²⁹^﹐

　^BG^

  

^{ }² ⁰



²^



^{0 0}^

 

²^{ }^{3 0}



² ^ ^{4 0 9}^{  } ¹³^﹒

(7)

4. 已知

^A



^{4 1}^{, ,}^³

 ^﹐

^B



^{ , ,}^{2 3 1}

 為坐標空間中兩點﹐

_P

為

^y

軸上一點﹐ 且

AP BP

，求

P

點的坐標﹒

設 P 點的坐標為



⁰^{, ,}^y ⁰



﹒

因為^AP^



^{0 4}^

 

²^ ^y^¹



²^



⁰^{ }

 

³



² ^ ^y²^²^y^²⁶ ^﹐

　　^BP^



⁰^{ }

 

²



²^

^

^y^³

^{ }

²^ ^{0 1}^

^

² ^ ^y²^⁶^y^¹⁴^﹐

且 AP BP ﹐所以y²2y26y²6y14﹐整理可得 4y  ﹐解得12 y  ﹐3 故 P 點的坐標為



⁰^,^^{3 0}^,



﹒

5. 已知坐標空間中第一卦限內一點

^{P a b c}



^{, ,}

 ^到

^x

^軸﹐

^y

^軸﹐

^z

^{軸的距離分別}

為

5

﹐

₃₄

﹐

₄₁

﹐求

P

點的坐標﹒

因為點 ^{P a b c}



, , 到 x 軸 ﹐ y 軸 ﹐ z 軸的距離分別為



b²c²  ﹐5

2 2

34

a c  ﹐ a²b²  41﹐

分別平方﹐得b²c²25﹐a²c²34﹐a²b²41﹐ 將三式相加後除以 2 ﹐可得a²b²c²50﹐

並解得a²25﹐b²16﹐c² ﹒9

又因為點^{P a b c}



^{, ,}



在第一卦限﹐所以



^{a b c}^{, ,}

 

^ ^{5 4 3}^{, ,}



﹐ 故 P 點的坐標為



^{5 4 3}^{, , ﹒}



6. 右圖是邊長為

₂

的正四面體

O ABC

﹐



^0,0,0



O

﹐

^A



^1,1,0

 ﹐

^B



^1,0,1

 ﹐

^C



^0,1,1

 ﹐

M

﹐

N

分別為

_AO

﹐

_BC

的中點﹐求

(1)

M

﹐

^N

的坐標﹒ (2)

_MN

 ^及

^MN

^的

長﹒

(1) 0 1 0 1 0 0 1 1

, , , ,0

2 2 2 2 2

M        ﹐ 1 0 0 1 1 1 1 1

, , , ,1

2 2 2 2 2 N        ﹒

(2) ^{1 1}^{, ,1} ^{1 1}^{, ,0}



^0,0,1



2 2 2 2

MN



      ﹐MN MN



1﹒

(8)

7. 設  ^a ^  ^{2 ,1, 3}  ^﹐  _b _ _ _{3 , 1, 2} _ _ ^﹐  _c _ _ _{0 , ,} _{y z} _ ^﹕

(1)求

₃

 

_a_₂ _b

^﹒　(2)若  

_c _₃ _{a s b}_

 ^﹐則

^s

^﹐

^y

^﹐

^z

^{分別為何﹖}

(1)³

 

a ² b ^{3 2 ,1, 3}

 

2 3 , 1 , 2





 

 12 ,1,13



^﹒

(2)由

  

c 3 a s b ^可得

^

^{0 , ,}^{y z}

^

^^{3 2 ,1, 3}

^ ^{ }

^^s ^{3 , 1 , 2}^

^{ }

^ ^{6 3 , 3}^ ^s ^^s^{, 9 2}^ ^s

^

^，即 0 6 3s  ﹐y  ﹐3 s z 9 2s﹐

分別解得s  ﹐2 y ﹐5 z ﹒5

8. 已知

^P



⁷^,^^{2 2}^,

 ^﹐

^Q



¹^,^^{8 11}^,

 ^{為坐標空間中兩點﹐}

R

為直線

PQ

上一點﹐

且

PR RQ: 2 :1

﹐求

R

點的坐標﹒

R 點有兩種可能﹕

(1) R 點在 PQ 上﹐如右圖所示，則 2

R P PR P 

 

 3PQ



⁷ ^{2 2}



²



⁶ ^{6 9}



 , , 3  , ,



⁷ ^{2 2}

 

⁴ ^{4 6}

 

³ ^{6 8}



 , ,   , ,  , , ﹒ (2) R 點在直線 PQ 上﹐但在 PQ 外﹐如右圖所示﹐則

2

R P PR P 

 

  PQ ^

^

⁷^,^^{2 2}^,

^

^{  }^{2 6}

^

^, ^{6 9}^,

^



⁷ ^{2 2}

 

¹² ^{12 18}



 , ,   , , ^{  }



⁵^, ^{14 20}^,



﹒ 故 R 點的坐標為



³^,^^{6 8}^,



或



^{ }⁵^, ^{14 20}^,



﹒

9. 設

^A



^{2, 1,3}^

 ^﹐

^B



^5,0,1

 ^﹐

(1)若

C

為 

^{ }^{1, 5, 2}

 ^﹐則

△ ^ABC

的重心坐標為何﹖

(2)若

D

為坐標空間一點﹐且

△ABD

的重心坐標為 

^{3, 2,1}

 ^﹐則

D

點的坐標為何﹖

(1)△ABC的重心坐標為 ^{2 5}

   

¹ ^, ¹ ⁰

 

^{5 3 1 2}^,



^{2, 2,2}



3 3 3

      

    

 

  ﹒

(2) 設 D 點的坐標為



x y z ﹐^{, ,}



因為重心的坐標滿足



^3,2,1



^{2 5} ^, ^{1 0} ^,^{3 1}

3 3 3

x y z

      

 

  ﹐

解得x ﹐2 y ﹐7 z  ﹐所以 D 點的坐標為1



^{2,7, 1} ﹒



(9)

10. 坐標空間中﹐下列哪些點可和

^A



^{1 2 3}^{, ,}

 ^﹐

^B



^{2 5 3}^{, ,}

 ^﹐

^C



^{2 6 4}^{, ,}

 ^三點構成

一個平行四邊形﹖

(1) 

^{1 1 2}^{, ,}

 　(2) 

^{1 3 4}^{, ,}

 　(3) 

^{3 7 6}^{, ,}

 　(4) 

^{3 9 4}^{, ,}

 　(5) 

^{ }¹^, ⁵^,^²

 ﹒

計算



^AB^



^{1, 3 , 0}



^﹐^BC



^



^{0 ,1,1}



^﹐^CB



^



^{0 , 1, 1}^{ }



^﹒

由右圖可知﹕ D ﹐ E ﹐ F 三點均可和 A ﹐ B ﹐ C 三點構成一個平行四邊形﹐

且其各點坐標分別為



^{2 6 4}

 

^{1 3 0}

 

^{3 9 4}



D C CD C AB 

 

   ^{, ,}  ^{, ,}  ^{, ,} ^﹒



^{1 2 3}

 

⁰ ¹ ¹

 

^{1 1 2}



E A AE

 

 A CB ^{, ,}  ^,  ^, ^{, ,} ^﹒



^{1 2 3}

 

^{0 1 1}

 

^{1 3 4}



F A AF

 

 A BC ^{, ,}  ^{, ,}  ^{, ,} ^﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)﹒

11. 已知 ^OA  ^  ^{1, 2, 2}  ^﹐ OB   _ 4, 4, 2 _ ^﹒若

_{OC t OA OB}

  

_ _

^﹐且

OC

 ^平分

^^AOB

^﹐

求

t

的值﹒

因為OA



 1²2²2² 3^﹐ ^OB



^ ⁴²^⁴²^²² ^⁶^﹐

又由菱形的對角線可以將頂角平分的性質﹐如圖所示﹕

可知t ﹒2

(10)

12. 設

^A



^{1 1 0}^{, ,}

 ^﹐

^B



^{1 0 1}^{, ,}

 ^﹐

^C



^{0 1 1}^{, ,}

 ^{為坐標空間中三點﹐若}

D

點在第一卦限﹐且

D ABC

是一個正四面體﹐則

_D

點的坐標為何﹖

設 D 點坐標為



^{x y z}^{, ,}



﹒利用距離公式﹐得﹕

   

2 12 12 2

AD  x  y z ﹐^BD²^



^x^¹



²^^y²^



^z^¹



²^﹐

   

2 2 12 12

CD x  y  z ﹐^AB²^{ }



^{1 1}

 

²^ ^{0 1}^

 

²^{ }^{1 0}



²^²^﹒

因為正四面體的所有邊長均相等﹐於是我們得到聯立方程式

       

   

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

1 1 2

x y z x y z

x y z

         

         



    



﹐整理得

  

²



² ²

2 1 2 1 2 1 2 1

1 1 2

y z

x z

x y z

    

    



    



j k l

由 jk 可得 x y z  ﹐將其代入



^x^¹

 

²^ ^y^¹



²^^z²^{ ﹐ 整理得}² 3z²4z ﹐解得0 z 或0 4

z ﹐即 D 點的坐標為3



^{x y z}^{, ,}

 

^ ^{0 , 0 , 0}



或 4 4 4 3 3 3

 

 

 , , ﹒ 因為 D 點在第一卦限﹐所以 D 點的坐標為 4 4 4

3 3 3

 

 

 , , ﹒

(11)

1-3　空間向量的內積

1. 設  â ^  ^{1, 2 , 2}  ^﹐  _b _{ } _ _{2 , 3 , 1} _ _ ^﹐求 ^ _ â ^ ^b ^{ } _{ } ^ ² â ^ ^b ^ _

        _的值﹒

計算

 

^a ^ ^b ^{ }



^{1, 5 ,1}



^﹐²

 

^a ^ ^b ^



^{4 ,1, 5}



^﹐故

   

2 1, 5 ,1 4 ,1 , 5 4 5 5 6

a b a b

            

   



   

   ﹒

2. 設

^A



^^{1 , 2 , 1}

 ^﹐

^B



^{0 , 3 ,1}

 ^﹐

^C



^{0 , 4 , 2}

 ^{為空間中三點﹒求﹕}

(1)

BAC

﹒ (2)

△ ABC

的面積﹒

計算



^AB^



^{1,1, 0}



^﹐



^AC^



^{1, 2 ,1}



^﹒

(1)因為

   

2 2 2 2 2 2

1,1, 0 1, 2 ,1 3 3

cos 1 1 0 1 2 1 2 3 2

AB AC BAC

AB AC

 

    

    

   

^﹐

所以BAC  ﹒30 (2)△ABC的面積為

1 1

sin 2 6 sin30 2

 

AB AC  BAC 2    ³

 2 ﹒

3. 已知  ^a ^  ^{2 , 1, 1} ^{ }  ^與  _b _ _ _{1, 2 ,} _ _z _ ^的夾角為

60

﹐求

z

的值﹒

因為 a



^{與 b}



的夾角為 60 ﹐所以

   

² ²

 

²



²



2 2 2

2 , 1, 1 1, 2 ,

1 4

cos60

2 2 1 1 1 2 6 5

a b z z

z z a b

   

 

    

       

   

^﹐

且 4  ﹐即z 0 z ﹒4

將上式兩邊平方﹐得

 

²

2

1 4 4 30 6

z z

 

 ﹐整理得z²16z17 0 ﹐解得z 或1 z 17﹒ 因為z 與1 z 17均滿足z ﹐所以4 z 或1 z 17﹒

(12)

4. 右圖是一個邊長為

₂

的正立方體﹐

_M

﹐

N

兩點分別為底面與側面正方形的中心 ﹐

A

是正立方體的一個頂點 ﹐ 求

MAN

的值

﹒

將正立方體放在空間坐標系中﹐如右圖所示﹒

因為^AM



^



^{1,1, 2}^



^﹐^AN



^



^{1, 0 , 1}^



^﹐

所以 cos

AM AN MAN

AM AN

 

 



 

   

 

²

 

²

2 2 2 2

1 1 1 0 2 1

1 1 2 1 0 1

      

      

3 3

6 2 2

 

 ﹒

因此MAN  ﹒30

5. 右圖是坐標空間中的一個正立方體﹐選出正確的選項﹕

(1)

E

點的坐標為 

^{2 2 2}^{, ,}

 　(2) ^DC  ^{ }  ^{2 , 2 , 2} ^ 

(3) OE   2 3 ₍₄₎

_DG

 

__GC

⁽⁵⁾

_BD

 ^和

BG

 ^的夾角為

^45

^﹒

由 A 點的坐標可知此正立方體的邊長為 2 ﹒ (1) E 點的坐標為



^{2 2 2}^{, ,}



是正確的﹒

(2) D 點的坐標為



^{2 0 2}^{, ,}



^﹐C 點的坐標為



^{0 2 0}^{, ,}



^﹐故^DC



^{ }



^{2 2}, ,^²



是正確的﹒

(3)因為 E 的點坐標為



^{2 2 2}^{, ,}



﹐所以OE



 2²2²2²2 3^{是正確的﹒}

(4)因為^DG



^{ }



^{2 0 0}^{, ,}



^﹐^GC



^



^{0 2}^{, ,}^²



^﹐計算^{DG GC}

 

^ ^⁰^﹐

所以 DG GC

 

 ^{是正確的﹒}

(5)因為^BD



^



⁰,^^{2 2},



﹐^BG



^{  }



², ^{2 2},



﹐計算BD BG

 

 8^{﹐得兩向量之夾角}^{ 的餘弦值為}

8 2 2

cos cos 45

2 2 2 3 6 2 BD BG

BD BG

      



   

^﹐

所以 BD



^{和 BG}



^{的夾角不是}^{45 ﹒}

由上面的討論可知：正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒

6. 右圖中﹐

ABCD EFGH

是一個正立方體﹐選出正確

的選項﹕

(13)

(1)

_{EA EG}

 

_ _₀

⁽²⁾

_{ED EF}

 

_ _₀

⁽³⁾ _{EC AG}   _ _ ₀

(4)

_{EF EH}

  

_ _ _AC

⁽⁵⁾

_{EF EA EH}

   

_ _ __EC

^﹒

將正立方體放在坐標空間中﹐如右圖所示﹕

(1)^{EA EG}

 

^ ^



^{0 , 0 , 1}^{  }

 

^{1,1, 0}



^⁰^﹒

(2)^{ED EF}

 

^ ^{ }



^{1, 0 , 1}^{ }

 

^{0 ,1, 0}



^⁰^﹒

(3)^{EC AG}

 

^ ^{ }



^{1,1, 1}^{  }

 

^1,1,1



^¹^﹒

(4) EF EH EG AC

   

   ^﹒

(5) EF EA EH EF FB BC EC

      

      ^﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)(5)﹒

7. 設 

_a

^﹐ 

_b

^{是空間中的兩向量﹐}  ^a ^ ³ _﹐  b  4 _﹐   a  b  41 _﹒求 (1)  

_{a b}_

^的值﹒ ^{(2) a}   ^ ^b 的值﹒

(1)因為

2 2 2

2

a  b  a  b  a  b  a  a b  b

         

^﹐

所以

2 2 2

41 9 16

2 2 8

a b a b

a b

    

 

   

 

 

^﹒

(2)因為

2 2 2

2

a  b  a  b  a  b  a  a b  b

         

^﹐

所以

2

2 2

3 2 8 4 9 a  b     

 

^﹐即

 

^a ^ ^b ^³^﹒

8. 設實數

x

﹐

^y

﹐

z

滿足

x2y4z12

﹐求

x²4y² 4z²

的最小值﹐並求此時

^x

﹐

^y

與

^z

的值﹒

利用柯西不等式﹐得



^x²^

   

²^y ²^ ²^z²

 

¹²^{ }¹² ²²



^

^

^x^²^y^⁴^z

^

²^﹐

將x2y4z12代入﹐得



^x²^⁴^y²^⁴^z²



^{ }^{6 12}²^﹐即^x²^⁴^y²^⁴^z²^²⁴^﹐

而且當 2 2

1 1 2 x y z

   ﹐即 x tt  ﹐ 2

y ﹐ z tt  時等號才成立﹒將其代入x2y4z12﹐ 得 6t12﹐解得t ﹒2

故當x ﹐2 y ﹐1 z 時﹐2 x²4y²4z²有最小值 24 ﹒

9. 設實數

x

﹐

^y

﹐

z

滿足 

^x^²



²^^y²^⁴^z² ^⁹

^﹐求

²^{x y}^{ }⁴^z

^{的最大值與最小}

值﹐並分別求有最大值與最小值時

x

﹐

^y

與

z

的值﹒

利用柯西不等式﹐得

第 1 章 空間向量

1. 右圖是一個長方體﹐下列哪些直線與直線

歪斜﹖

(1)直線

(2)直線

(3)直線

(4)直線

(5)直線

﹒

2. 右圖中﹐

是一個長方體﹐

是一個邊長 為

的正方形﹒若

﹐則長方體的體積為何﹖

3. 右 圖是 一個 四面 體

﹐ 其中

﹐

﹐ 從 頂 點

對 底 面

做 垂 直 線

交底面於

點﹐線段

稱為此四面體的一個高﹒

求﹕

(1)高

的長﹒ (2)底面

與側面

所夾之二面角 的餘弦值﹒

 

4. 設 直 線

垂 直 平 面 E 於

點 ﹐ 且

是 平 面

上 一條直線﹐

是

上一點﹐如右圖所示﹒若直線

垂 直 L 於

點 ﹐ 且

﹐

﹐

﹐則

的長度為何﹖

 

5. 右 圖 是 一 個 四 面 體 ﹐

﹐

﹐

﹐ 且

﹐

﹐

兩 兩 互 相 垂 直 於

點 ﹐ 求 點

到

的最短距離﹒

 

 

6. 設

﹐

﹐

為空間中三點﹐且不在同一直線上﹒問﹕

(1)空間所有滿足

的

點所形成的圖形為何﹖

一點 一線段 一直線 一平面﹒

(2)空間所有滿足

的

點所形成的圖形為何﹖

一點 一線段 一直線 一平面﹒

7. 選出正確的選項﹕

8. 在空間中﹐下列哪些條件恰可以決定一個平面﹕

(1)三個相異點 (2)兩條平行直線 (3)兩條歪斜直線

(4)一直線及此直線外一點 (5)恰交於一點的兩相異直線﹒

9. 右 圖 中 ﹐

是 一 個 邊 長 為

的 正 六 面 體﹐求﹕

(1)四面體

的表面積﹒

(2)四面體

的體積﹒

（四面體的體積為底面積乘以高除以

）[92 指乙]

第 1 章　空間向量

　(2)直線

　(3)直線

　(4)直線

是一個邊長為

3. 右圖是一個四面體

﹐ 從頂點

對底面

做垂直線

的長﹒　(2)底面

4. 設直線

垂直平面 E 於

是平面

上一條直線﹐

垂直 L 於

5. 右圖是一個四面體 ﹐

兩兩互相垂直於

點 ﹐ 求點

　一點　一線段　一直線　一平面﹒

　一點　一線段　一直線　一平面﹒

(1)三個相異點　(2)兩條平行直線　(3)兩條歪斜直線

(4)一直線及此直線外一點　(5)恰交於一點的兩相異直線﹒

9. 右圖中 ﹐

是一個邊長為

的正六面體﹐求﹕

10. 右圖中 ﹐

是一個邊長為

的正四面體 ﹐

 ⁽²⁾ 

 ⁽³⁾ 

 ⁽⁴⁾ 

 ⁽⁵⁾ 

 ^﹐求﹕

3. 右圖是坐標空間中的一個長方體﹐其長﹐寬與高分別為

點的坐標 ﹒ (2)

的長﹒