一﹑單選題（占 18 分） 說明﹕第

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年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 試 題 第壹部分﹕選擇題（單選題﹑多選題及選填題共占76分）

一﹑單選題（占

18 分）

說明﹕第1 題至第 3 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案 卡之「選擇（填）題答案區」﹒各題答對者﹐得6 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項 者﹐該題以零分計算﹒

( )1. 某公司尾牙舉辦「紅包大放送」活動﹒每位員工擲兩枚均勻銅板一次﹐若出現兩個 反面可得獎金400 元﹔若出現一正一反可得獎金 800 元﹔若出現兩個正面可得獎 金800 元並且獲得再擲一次的機會﹐其獲得獎金規則與前述相同﹐但不再有繼續投 擲銅板的機會（也就是說每位員工最多有兩次擲銅板的機會） ﹒試問每位參加活動 的員工可獲得獎金的期望值為何﹖

(1)850 元 (2)875 元 (3)900 元 (4)925 元 (5)950 元

﹒

( )2. 設

ⁿ

為 正 整 數 ﹒ 第

ⁿ

個 費 馬 數 （ Fermat Number ） 定 義 為

F _n  2 ^{( 2 )}

ⁿ

 1

﹐ 例 如

(2 )

1

2

1 2 1 2 1 5

F     

﹐

F ₂  2 ^{(2 )}

²

  1 2 ⁴   1 17

﹒試問

¹³

12

F

F

的整數部分以十進位表 示時﹐其位數最接近下列哪一個選項﹖（

log 2 0.3010 

）

(1)120 (2)240 (3)600 (4)900 (5)1200﹒ ( )3. 在一座尖塔的正南方地面某點 A﹐ 測得塔頂的仰角為 14°﹔ 又在此尖塔正東方地面某

點

B

﹐ 測得塔頂的仰角為

^{18 30 }

﹐且

A

﹑B 兩點距離為65公尺﹒已知當在線段

AB

上移動時﹐在

C 點測得塔頂的仰角為最大﹐則 C 點到塔底的距離最接近下列哪一

個選項﹖（

cot14   4.01

﹐

cot18 30    2.99

）

(1)27 公尺 (2)29 公尺 (3)31 公尺 (4)33 公尺 (5)35 公尺

﹒

二﹑多選題（占

40 分）

說明﹕第4 題至第 8 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐請將正確選項畫記在 答案卡之「選擇（填）題答案區」﹒各題之選項獨立判定﹐所有選項均答對者﹐得8 分﹔

答錯1 個選項者﹐得 4.8 分﹔答錯 2 個選項者﹐得 1.6 分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項 均未作答者﹐該題以零分計算﹒

( )4. 設



為坐標平面上通過

 ^7,0 

^{與 0,7}

2

 

 

  兩點的圓﹒試選出正確的選項﹒

(1)



的半徑大於或等於 5 　 (2) 當



的半徑達到最小可能值時 ﹐



通過原點 (3)



與直線

^{x  2 y  6}

有交點　 (4)



的圓心不可能在第四象限　 (5) 若



的圓 心在第三象限﹐則



的半徑大於8﹒

( )5. 袋中有 2 顆紅球﹑ 3 顆白球與 1 顆藍球﹐其大小皆相同﹒今將袋中的球逐次取出

﹐每次隨機取出一顆﹐取後不放回﹐直到所有球被取出為止﹒試選出正確的選項﹒

(1) 「取出的第一顆為紅球」的機率等於「取出的第二顆為紅球」的機率 (2) 「取出的第一顆為紅球」與「取出的第二顆為紅球」兩者為獨立事件

(3) 「取出的第一顆為紅球」與「取出的第二顆為白球或藍球」兩者為互斥事件 (4) 「取出的第一﹑二顆皆為紅球」的機率等於「取出的第一﹑二顆皆為白球」的

機率

(5) 「取出的前三顆皆為白球」的機率小於「取出的前三顆球顏色皆相異」的機 率﹒

( )6. 設

a n

﹑

b _n

為兩實數數列﹐且對所有的正整數

ⁿ

﹐

a _n  b _n ²  a _{n  1}

均成立﹒若已知

lim _n 4

n a

 

﹐試選出正確的選項﹒

(1) 對所有的正整數

ⁿ

﹐

a _n

 均成立　3 (2) 存在正整數 n﹐ 使得

a _{n } 1

4 　 (3) 對所有的正整數

n

﹐

b n ²  b n _ 1 ²

均成立　 (4)

^lim _{n } ^{b n 2  4}

　 (5)

^lim _{n } ^{b n  2}

或

^lim n b n ²

  

﹒

( )7. 已 知 三 次 實 係 數 多 項 式 函 數

^{f x}   ^{ ax 3  bx 2  cx  2}

^{﹐ 在}

2 x 1

  

範圍內的圖形如示意圖﹕試選出正確的選項﹒

(1)

a  0

　 (2)

b  0

　 (3)

c  0

　 (4) 方程式

^{f x}   ^{ 0}

恰有三 實根　

(5)

^{y  f x}  

^{圖形的反曲點的}

^y

^{坐標為正﹒}

( )8. 坐 標 平 面 上 以 原 點 O 為 圓 心 的 單 位 圓 上 三 相 異 點 A﹑B﹑C 滿 足 2

OA    

3

OB

4

OC

 0 ^﹐其中

^{A 點的坐標為   1,0}

^{﹒試選出正確的選項﹒}

(1) 向量 2

OA  

3

OB

^{的長度為 4 　 (2) 內積}

_{OA OB}  

_{ 0}⁽³⁾

^{ BOC}

﹑

^{ AOC}

﹑

^{ AOB}

中 ﹐ 以

 BOC

的 度 數 為 最 小 　 (4) 3

AB

 2 　 (5)

3sin  AOB  4sin  AOC

﹒

三﹑選填題（占

18 分）

說明﹕1. 第 A 至 C 題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號 (9–18)﹒

-2 O 1 x

y

2. 每題完全答對給 6 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A. 在坐標平面上﹐定義一個坐標變換

^{1 1}

2 2

1 0 2

1 2 3

y x

y x

      

 

       

    ﹐其中

¹

2

x x

  

  代表舊坐標﹐

1 2

y y

  

  代表 新坐 標 ﹒若 舊坐 標為

r s

  

  的 點

P 經此坐標變換得到的新坐標為

1 2

  

  ﹐則

  ^{r s , }

______﹒

B. 在坐標平面上﹐

^{A a r}  ^, 

^﹑

^{B b s}   ^,

^{為函數圖形}

y

log

2 x

上之兩點﹐其中

a b 

﹒已知

A

﹑B 連線的斜率等於 2﹐ 且線段

AB

的長度為 5 ﹐則

 ^{a b ,}  ^

______﹒ （化成最簡分 數）

C. 設

^z

為複數﹒在複數平面上﹐一個正六邊形依順時針方向的連續三個頂點為

z

﹑ 0﹑ 5 2 3

z

 

i

（其中

i

 1 ）﹐則

z

的實部為 ______﹒ （化成最簡分數）

第貳部分﹕非選擇題（占24分）

說明﹕本部分共有二大題﹐答案必須寫在「答案卷」上﹐並於題號欄標明大題號（一﹑二）與子 題號（ (1)﹑(2) ……﹑ ）﹐同時必須寫出演算過程或理由﹐否則將予扣分甚至零分﹒作答 使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫﹐且不得使用鉛筆﹒若因字跡潦草﹑未標示題號﹑標錯 題號等原因﹐致評閱人員無法清楚辨識﹐其後果由考生自行承擔﹒每一子題配分標於題末

﹒

一﹑坐標空間中以 O 表示原點﹐給定兩向量

^OA 

^



^{1, 2,1}



﹑

^OB 

^



^2,0,0



^{﹒試回答下列問題﹒}

(1) 若

_OP 

是長度為 2 的向量﹐且與

_OA 

^{之夾角為 60°﹐試求向量}

_OA 

^與

_OP 

^{的內積﹒（2 分）}

(2) 承 (1)﹐ 已知滿足此條件的所有點 P 均落在一平面 E 上﹐試求平面 E 的方程式﹒（ 2 分

）

(3) 若OQ



^{是長度為2 的向量﹐分別與}

_OA 

^﹑

_OB 

^{之夾角皆為60°}﹐ 已知滿足此條件的所有 點

Q 均落在一直線 L 上﹐試求直線 L 的方向向量﹒（ 4 分）

(4) 承 (3)﹐ 試求出滿足條件的所有 Q 點之坐標﹒（ 4 分）

二﹑設

^{f x}  

為實係數多項式函數﹐且

^{xf x}  

^3

^{x 4}

^2

^{x 3}

^

^{x 2}

^

 ₁ ^{x f t dt}  

^對

^{x  1}

^{恆成立﹒試回}

答下列問題﹒

(1) 試求

^f   ¹

^{﹒（2 分）}

(2) 試求

^{f x }  

﹒（4 分）

(3) 試求

^{f x}  

^{﹒（2 分）}

(4) 試證明恰有一個大於 1 的正實數 a 滿足

 ₀ ^{a f x dx}  

^{1﹒（4 分）}