第十五回 空間幾何(2)
平面方程式
高中基礎數學統整講義
一、不共線的三點決定一平面 不共線的三點決定一平面 不共線的三點決定一平面 不共線的三點決定一平面
1. 1.
1. 1. 平面的法向量平面的法向量平面的法向量平面的法向量：：：：
設 E 是空間中一平面，L 是與 E 的垂直的一直線，若 n 是平行於 L 的一非零向量，則稱此向
量 n 為平面 E 的一個法向量。法向量具有以下特性：
(1)平行於 n 的任何非零向量λn(λ≠0)也都是 E 的法向量。
(2) n 垂直於 E 上的任一向量。
2. 平面方程式平面方程式平面方程式平面方程式――――――――點向式點向式點向式點向式：：：：
設 E 是空間中一平面，P0(x0, y0,z0)為 E 上一定點，n=(a,b,c)為 E 的一個法向量，則平面 E 的 方 程 式 為 如 下 之 三 元 一 次 方 程 式 ：a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 ( 點 向 式 ) 或
0 0
, d ax0 by cz d
cz by
ax+ + = 其中 = + + 。
3. 平面的靈魂平面的靈魂平面的靈魂平面的靈魂――――――――法向量法向量法向量法向量；；平面的核心概念；；平面的核心概念平面的核心概念――平面的核心概念――――垂直――垂直垂直。垂直。。 。
4. 平面方程式平面方程式平面方程式平面方程式――――――――截距式截距式截距式截距式：：：：
設平面 E 之 x 截距為 a，y 截距為 b，z 截距為 c(abc≠0)，則平面 E 的方程式為： + + =1 c z b y a
x 。
【例題 1】試求通過 A(－1，0，0)，B(0，2，－3)，C(1，0，－10)三點的平面方程式。
[E: 5x−y+ = − ] z 5
解：
L n
E P0
【類題 1a】設 A(2，1，－4)，B(4，3，2)，試求 AB 的垂直平分面之方程式。[E x: + y+3z= ] 2
解：
【類題 1b】試求過(3，－1，2)而與 zx 平面平行之平面方程式。[E y: = − ] 1
解：
【例題 2】試求過點 (2, 1, 1)A − 且與E1:x+2y− + =z 1 0,E2:x− y+ − =z 1 0皆垂直的平面方程 式。[E x: −2y−3z= ] 1
解：
【類題 2】試求過點 (4, 2, 3)A − 且與兩平面E1:2x−y+4z+3=0，E2 :x+2y−3z−7=0皆垂直 的平面方程式。[x−2y− = ] z 3
解：
【例題 3】設平面 E 之 x 截距為 a，y 截距為 b，z 截距為 c (abc≠0)，試求平面 E 的方程式。
[ :x y z 1
E a +b +c = (截距式)]
解：
【類題 3】平面 E 過點(2，1，3)且與三個坐標面在第一卦限所圍成之四面體體積為最小，試求：
(1)此最小體積。[27] (2)平面 E 之方程式。[ 1 6 3 9 x y z
+ + = ]
解：
5. 平面族平面族平面族(平面族(((平面系平面系)平面系平面系)))：：：：
平面族：設兩個不平行的相異平面 E1：a1x＋b1y＋c1z＋d1＝0，E2：a2x＋b2y＋c2z＋d2＝0，則 過 E1與 E2交線的平面 E 之方程式可表為：
E：α(a1x＋b1y＋c1z＋d1)＋β(a2x＋b2y＋c2z＋d2)＝0 或
E：(a1x＋b1y＋c1z＋d1)＋k(a2x＋b2y＋c2z＋d2)＝0 (不含 E2在內)，其中 , , kα β ∈R。
【例題 4】設平面 E 含 2x－y＝2 及 y＋2z＝4 之交線，試求過點(2，1，－1)的平面 E 之方程式。
[E: 5x−2y+ − = ] z 7 0
解：
【類題 4】設平面 E 含 2x－y＝2 及 y＋2z＝4 之交線且與平面 x－y＋z－3＝0 垂直，試求平面 E 之方程式。[E x: −2y−3z+ = ] 5 0
解：
二、兩平面的夾角
【例題 5】已知空間中三點 A(1，0，1)，B(0，1，2)，C(2，－1，3)，試求：
(1)△ABC 的面積。[3 2 / 2]
(2)設平面 ABC 與平面 E：x＋y－2z＋4＝0 的夾角為θ，求 cosθ。[± 3 / 3]
(3)△ABC 在平面 E 上的正射影面積。[ 6 / 2 ]
解：
【類題 5】設兩平面 E1：x＋y＋ 2z＋1＝0， E2：ax－y＋ 2z＋1＝0
(1)若 E1⊥E2，試求 a 之值。[-1] (2)若 E1，E2有一交角為 3
π ，試求 a 之值。[1]
解：
三、點 點 點到 點 到 到平面 到 平面 平面的距離 平面 的距離 的距離(一魚三吃 的距離 一魚三吃 一魚三吃 一魚三吃)
【例題 6】(1)已知平面 E：x＋y－2z＋3＝0，現有兩點 A(1，2，－3)，B(－5，－1，0)，
若 AB 交 E 於 C，求AC:BC與 C。[4:1； 19 39 3 ( , , )
5 5 5
C − − −
]
(2)試求兩平行平面 E1：x＋y＋2z－5＝0，E2：2x＋2y＋4z＋13＝0 的距離。[ 23 6 /12 ]
解：
【類題 6】(1) E：2x＋y－z＝0，A(1，2，1)，B(2，1，3)，若 AB
交 E 於 C，求AC:BC。[3:2]
(2)設 E：3x＋2y－2z＋1＝0，求平行於 E 且與原點距離為 17 之平面。[3x+2y-2z±17=0]
解：
【例題 7】△ABC 的三頂點為 A(2，－3，5)，B(3，0，10)，C(x，y，0)，求使△ABC 的周長為 最小的點 C 坐標。[ (7 / 3, 2, 0)C − ]
解：
【類題 7】已知二點 A(－1，2，1)，B(1，1，－2)及一平面 E：x＋2y－z－20＝0 (1)試求點 A 相對於平面 E 之對稱點坐標。[ (5,14,-5)]
(2)試求 E 上一點 P，使AP+BP為最小。[ 31 76 37 ( , , )
11 11 11
− ]
(3)求線段 AB 在平面 E 上之正射影長。[5 2 2 ]
解：
四、三元一次聯立方程式 三元一次聯立方程式 三元一次聯立方程式 三元一次聯立方程式
1.1.
1.1. 消去法消去法消去法消去法：：：： (1)代入消去法 (2)加減消去法
【例題 8】試解下列一次方程組：
= +
−
= +
−
= +
−
18 4 2
26 2 3 7
16 2 2 3
z y x
z y x
z y x
[ ( , , )x y z =(2,−2, 3)]
解：
【類題 8】試解下列一次方程組：
= + +
= + +
= + +
9 3
2
1 5 4 3
7
z y x
z y x
z y x
[ ( , , )x y z =(22, 10,− −5)]
解：
【例題 9】(1)設二次函數 f x( )=ax2+bx+c的圖形通過A(2, 0), ( 1, 3),B − C(0,−4)三點，求 f x( ) (2)坐標平面上已知一圓Γ通過A(-5, 2), B(-3, 4), C(1, 2)三點，求圓Γ的方程式。
[(1) f x( )=3x2−4x− ；(2)4 Γ:x2+ y2+4x−2y− =5 0]
解：
【類題 9】(1)設二次函數 f x( )=ax2+bx+c圖形通過A( 1,− −2), (1, 4),B C(2, 13)三點，求 f x( ) (2)坐標平面上已知一圓Γ通過A(1,1)，B(4,0)，C(5,1)三點，求圓Γ的方程式。
[(1) f x( )=2x2+3x− ；(2)1 Γ:x2+ y2−6x−4y+ = ] 8 0
解：
【類題 10】設 L 為x−y+z=1與x+ y−z=1兩平面的交線，則直線 L 上與點
(
1 ,,23)
距離最近之點的坐標為何？[(1, 5/2, 5/2)] 【83.學測】
解：
【類題 11】在空間坐標中，設 xy 平面為一鏡面。有一光線通過點P
(
1,2,1)
，射向鏡面上的點(
0 ,,00)
O ，經鏡面反射後通過點 R。若OR=2PO，則 R 點的坐標為何？
[(－2, －4, 2)] 【84.學測】
解：
【類題 12】設θ 為兩平面 2x−y+2z= 與 36 x−4z=2 的夾角（取銳角），則θ 最接近的整數 度數為多少度？[82 度] 【86.學測】
解：
【類題 13】某公司有甲、乙、丙三條生產線，現欲生產三萬個產品，如果甲、乙、丙三條生產 線同時開動，則需 10 小時；如果只開動乙、丙兩條生產線，則需 15 小時；如果只開動甲生 產線 15 小時，則需再開動丙生產線 30 小時，才能完成所有產品。問如果只開動乙生產線，
則需多少小時才能生產三萬個產品？[20] 【87.學測】
解：
【類題 14】下列哪些選項與方程組
= + +
= + +
0 6 3 4
0 3 2
z y x
z y
x 的解集合相同？[(2)(4)(5)]
(1) y = 0 (2)
=
= +
0 0 3 2
y z
x (3) x = y = 0 (4)
= + +
= + +
0 6 3 4
0 2 3 2 1
z y x
z y x
(5)
= + +
= + +
0 3 2
0 9 4 6
z y x
z y
x 【91.學測】
解：
【類題 15】在坐標空間中，平面 x－2y＋z＝0 上有一以點 P(1,1,1)為圓心的圓 Γ , 而 Q(－9,9, 27) 為圓 Γ 上一點。若過 Q 與圓 Γ 相切的直線之一方向向量為 (a, b, 1)，求 a，b 之值。[(5, 3)]
【93.學測】
解：
【類題 16】假設坐標空間中三相異平面E1、E2、E3皆通過(－1,2,0)與(3,0,2)兩點，試問以下哪 些點也同時在此三平面上？[(2)]
(1) (2,2,2) (2) (1,1,1) (3) (4,－2,2) (4) (－2,4,0) (5) (－5,－4,－2) 【94.學測】
解：
【類題 17】設△ABC 的三頂點坐標分別為 A (－2，7，15 )，B ( 1，16，3 )，C ( 10，7，3 )。
(1) 試求通過 A，B，C 三點的平面方程式。[x＋y＋z＝20]
(2) 試求△ABC 的外心坐標。[(3，9，8)] 【96.指考甲】
解：
【類題 18】設 O ( 0，0，0 ) 為坐標空間中某長方體的一個頂點，且知( 2，2，1 )，
( 2，－1，－2 )，( 3，－6，6 ) 為此長方體中與 O 相鄰的三頂點。若平面 E：x＋by＋cz＝d 將此長方體截成兩部分，其中包含頂點 O 的那一部分是個正立方體，則 ( b，c，d )＝ 。 [(－2，2，9)] 【97.學測】
解：
【類題 19】設坐標空間中三條直線 L1，L2，L3的方程式分別為 L1： x
1 ＝ y＋3
6 ＝ z＋4 8 ； L2： x
1 ＝ y＋3
3 ＝ z＋4
4 ；L3： x 1 ＝ y
3 ＝ z
4 。試問下列哪些選項是正確的？[(1)(2)(4)(5)]
(1)L1與 L2相交 (2) L2與 L3平行
(3)點 P ( 0，－3，－4 ) 與 Q ( 0，0，0 ) 的距離即為點 P 到 L3的最短距離
(4)直線 L：
x＝0 y＋3
4 ＝ z＋4 －3
與直線 L1，L2皆垂直 (5)三直線 L1，L2，L3共平面 【97.學測】
解：
【類題 20】坐標空間中 xy 平面上有一正方形，其頂點為 O ( 0，0，0 )，A ( 8，0，0 )，B ( 8，8，
0 )，C ( 0，8，0 )。另一點 P 在 xy 平面的上方，且與 O，A，B，C 四點的距離皆等於 6。若 x
＋by＋cz＝d 為通過 A，B，P 三點的平面，則( b，c，d )＝ 。[(0，2，8)] 【98.學測】
解：
【類題 21】設 a，b 為實數，如果空間中某一平面通過 ( a，0，0 )，( 0，b，0 )，( 0，0，3 )，( 1，
2，3 ) 這些點，則下列哪些選項是正確的？[(2)]
(1) a，b 有可能都是正數 (2) a，b 有可能是一個正數一個負數
(3) a，b 有可能都是負數 (4) a，b 有可能只有一個等於 0 【98.指考甲】
解：
【類題 22】坐標空間中，直線 L 上距離點 Q 最近的點稱為 Q 在 L 上的投影點。已知 L 為平面 2x－y＝2 上通過點 ( 2，2，2 ) 的一直線。請問下列哪些選項中的點可能是原點 O 在 L 上的 投影點？[(1)(3)(5)]| 【99.學測】
(1) (2，2，2) (2) (2，0，2) (3) ( 4
5 ，－ 2
5 ，0) (4) ( 4
5 ，－ 2
5 ，－2) (5) ( 8
9 ，－ 2
9 ，－ 2 9 )
解：
【類題 23】H：x－y＋z＝2 為坐標空間中一平面， L 為平面 H 上的一直線。已知點 P ( 2，1，1 ) 為 L 上距離原點 O 最近的點，求 L 的方向向量。[(2,－1,－3)] 【100.學測】
解：
【類題 24】在 坐 標 空 間 中 ， 設 O 為 原 點 ， 且 點 P為 三 平 面x−3y−5z=0、 x−3y+2z=0、 x+y=t的 交 點 ， 其 中t> 。 若0 OP=10， 則t=？ （ 化 成 最 簡 根 式 ） [4 10]
【109.指考甲】
解：
【類題 25】一個邊長為 1 的正立方體ABCD EFGH- ，點P為稜邊 CG 的中點，點Q、 R分別在稜 邊BF 、DH上，且A Q P R, , , 為一平行四邊形的四個頂點，如下圖所示。
今設定坐標系，使得 D、A、C、H 的坐標分別為(0, 0, 0)、(1, 0, 0)、(0,1, 0)、(0, 0,1)，且BQ= t， 試回答下列問題。 【109.指考甲】
(1)試求點 P的坐標。[(0, 1, 1 2 )] (2 )試 求 向 量
AR （ 以 t的 式 子 來 表 示 ）。 [( 1, 0, 1 2− −t)]
(3 )試 證 明 四 角 錐G AQPR- 的 體 積 是 一 個 定 值 （ 與t無 關 ）， 並 求 此 定 值 。 [1 6] (4 )當 t 1
=4 時 ， 求 點 G 到 平 行 四 邊 形 AQPR 所 在 平 面 的 距 離 。 [ 2 3]
解：
A B
C P H G
E F
R D
Q
