提要 22：認識重疊原理(Superposition Principle) 重疊原理是求線齊性微分方程式

提要 22：認識重疊原理(Superposition Principle)

重疊原理是求線齊性微分方程式(Linear Homogeneous Differential Equation)：

0 ) ( )

2 (

2 + +q x y=

dx x dy dx p

y

d (1) 之解時的重要觀念，其內容如下：

若y₁、y₂分別為線齊性微分方程式 ²₂ + ( ) +q(x)y=0 dx

x dy dx p

y

d 之解，

則_{y=c1y1 +c2y2}(c₁、c₂為任意常數)亦為原式之解，稱為通解(General Solution)。

其中y₁、y₂稱為通解中之基底(Basis)。

【證明】

因為y₁、y₂均為線齊性微分方程式之解，故：

0 ) ( )

( ¹ ₁

2 1

2 + +q x y =

dx x dy dx p

y

d (2a)

0 ) ( )

( ² ₂

2 2

2 + +q x y =

dx x dy dx p

y

d (2b)

以上兩式分別乘以c₁、c₂，再相加後可得：

( )

₁ ¹ ₂ ²

( )(

_{1 1 2 2}

)

0

2 2 2 2 2

1 2

1 + + =



 



 +

+



 



 + q x c y c y

dx c dy dx c dy x dx p

y c d dx

y c d

並可改寫為：

(

^{1 1} ₂ ^{2 2}

) ( ) (

^{1 1 2 2}

) ( )(

_{1 1 2 2}

)

0

2 + + + =

+ +

y c y c x dx q

y c y c x d dx p

y c y c d

由此可知c₁y₁+c₂y₂亦為線齊性微分方程式

0 ) ( )

2 (

2 + +q x y=

dx x dy dx p

y d 之解。

附註：

1. 「通解」有時會被稱為「完全解」，因為「General Solution」的另一個名字是「Complete Solution」。

2. 重疊原理僅適用於線齊性微分方程式，以下舉兩反例說明之。

範例一

已知y=2+cosx與y=2+sinx為非齊性微分方程式y′′ y+ =2之解，但是2

(

2+cosx

)

或

(

2+cosx

) (

+ 2+sinx

)

並非原式y′′ y+ =2之解。

【說明】

(1) 將y=2+cosx代回原式可知

等號左邊 = (2+cosx)′′+(2+cosx)

= −cosx + 2 + cosx

= 2

= 等號右邊 故y=2+cosx確為原式之解。

(2) 將y=2+sinx代回原式可知

等號左邊 = (2+sinx)′′+(2+sinx)

= −sinx+sinx+2

= 2

= 等號右邊 故y=2+sinx確為原式之解。

(3) 將y =2

(

2+cosx

)

代回原式可知

等號左邊 =

(

4+2cosx

) (

″ + 4+2cosx

)

= −2cosx+4+2cosx

= 4

≠等號右邊

故y =2

(

2+cosx

)

(即c₁ =2，c₂ =0)並非原式之解。因為原式為非齊性微分方程式，故 重疊原理並不適用。

(4) 將y =

(

2+cosx

) (

+ 2+sinx

)

代回原式可知

等號左邊 =

(

4+cosx+sinx

) (

″ + 4+cosx+sinx

)

= −cosx−sinx+4+cosx+sinx

= 4

≠等號右邊

所以y =

(

2+cosx

) (

+ 2+sinx

)

(即c₁ =1，c₂ =1)並非原式之解。因為原式為非齊性微分 方程式，故重疊原理並不適用。

範例二

已知y=x²與y=1為非線性微分方程式yy′′−xy′=0之解，但是y=−x²與y= x² +1並 不是非線性微分方程式之解。

【說明】

(1) 將y=x²代回原式

等號左邊 = (x²)(x²)′′−x(x²)′

= )(x²)(2)−x(2x

= 0

= 等號右邊 所以y=x²為原式之解。

(2) 將 y =1 代回原式，則

等號左邊 = (1)(1)′′−x(1)

= (1)(0)−x(0)

= 0

= 等號右邊 所以y =1 確為原式之解。

(3) 將y=−x²代回原式，則

等號左邊 =

( )( ) ( )

⁻x^{2 −}x^{2 ″ −}x ⁻x^{2 ′}

=

( )

−x² (−2)−x

(

−2x

)

= 2x² +2x²

= 4x ²

≠等號右邊

故y=−x²(即c₁ =−1、c₂ =0)並非原式之解，因為原式為非線性微分方程式，故重疊原 理並不適用。

(4) 將y= x² +1代回原式，則

等號左邊 =

(

x^{2 +}1

)(

x^{2 +}1

) (

^″−x x^{2 +}1

)

^′

=

(

x² +1

) ( ) ( )

2 −x 2x

= 2

≠等號右邊

所以y= x² +1 (即c₁ =1、c₂ =1)並非原式之解。同理，其原因為原式並不是線性的微 分方程式之故，因此重疊原理並不適用。

習題

1. Let the scalar functions x t1

( )

and x t2

( )

be two different solutions of the following differential equation

2

sin d x2 cos dx 5

t t x

dt + dt + = , then is 3x t1

( )

+7x t2

( )

also a solution?

Please prove your answer mathematically. A simple yes or no answer is not credited.【91 交大電控所10%】