四技二專

(1)

四技二專

統一入學測驗

數學（Ｂ）

一、試題分析

1. 難易適中：

近幾年的統測試題都相當穩定，各章節考題皆偏向基本計算，惟重點觀念仍需正確。

2. 試題簡易化，重視基本觀念：

此份考題，第 2、3、4、6、10、20、23、24 題皆為觀念正確、了解題目敘述所代表之數學概念，即可輕易解答。

第 13、19 題雖為二次曲線之考題，但實則為第一章直線方程式之基本運算。

3. 提升閱讀能力，將有助於快速理解題目與數學的關聯性：

不難看出許多考題仍以素養方式敘述，舉凡第 3、8、20、24 題。同學可特別注意此類考題常常偏容易，主要測驗考生對生活中數學敘述的理解能力。

4. 部分題型有答案逆推或是侷限之現象，並出現普高題型但技高改得較簡易：

第 7 題：利用  1 x 5推算出絕對值不等式及二次不等式較不容易，但由答案計算符合相同範圍則為簡易。

第 17 題：普高考題針對奇函數做定積分，因積分範圍為正負對稱，即可知悉答案為 0。所幸計算過程不難，考生亦可嘗試實際代入計算定積分值。

第 18 題：與雙曲線不相交直線有無限多條，漸近線則為其中兩條，而答案即為漸近線，讓此題符合技高所學內容。

第 21 題：此為普高三根之根與係數，巧妙利用已知一根，再運用綜合除法，將方程式降為二次後，再利用二次方程式之根與係數。

第 22 題：技高較缺乏解聯立時有平方之計算，此題設計讓 A、 B 兩點之y坐標相同，減低所需的計算量。

5. 考題規律剖析：

106、107 年考題按照章節順序命題，而去年與今年皆無此規律。今年再度以公平原則分配答案平均，A～D 各出現 6～7 次，並且選項中的答案若為數值，都會按照大小順序出現，對於數感較好的同學將有利於答案正確性的分析。

109 年

(2)

二、配分比例表

單元名稱題數單元名稱題數

直線方程式 0 不等式及其應用 2

三角函數 2 排列組合 2

向量 1 機率 2

指數與對數及其運算 1 統計 2

數列與級數 1 三角函數的應用 2

式的運算 3 二次曲線 4

方程式 1 微積分及其應用 2

(3)

數學 B 參考公式

1. 二倍角公式：sin 2 2sin cos 

2. 設有一組母體資料x x₁, ,₂ , x ，其算術平均數為  ，則母體標準差為 _N

 ²

1 N i i

x N









3. 點P x y 到直線 : 0, 0 L ax by c   的距離為0 ax by c⁰ ₂ ⁰₂ a b

 



4. 參考數值：log 2 0.3010₁₀  、log 3 0.4771₁₀  、log 5 0.6990₁₀  、log 7 0.8451₁₀ 

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 若sin 2 1

  ，則2 ^sin^ ^^cos^² ^{ ？}

(A) 1

4 (B) 3

4 (C)1 (D) 3 2。

( ) 2. 若 為一個象限角，且由計算器得知sin 及 cos 都小於0，則 為哪一象限角？

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限。

( ) 3. 某一個電腦的過關遊戲中，從據點 A到據點C 必須經過據點 B。若從據點 A 到據點 B 可以選擇的路徑有 2條，從據點 B 到據點C 可以選擇的路徑有3條，

則從據點A到據點C 有幾種走法？

(A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 9。

( ) 4. 若 ^{f x} ^{ }^{x }²，其中 為圓周率，則 ^{f x}^ ^？

(A)1 (B)1  (C)1 2 (D)1  ²。 ( ) 5. 若 為第二象限角，且sin 7

  4 ，則cos  ？ (A) 3

 (B) 54 4

 (C) 5

4 (D) 3 4。

總分

109

學年度四技二專統一入學測驗

數學(B)

(4)

( ) 6. 已知甲、乙兩人同時投資不同股票且兩人的投資互不影響。若甲的獲利機率為 0.5，乙的獲利機率為 0.8，則兩人同時獲利的機率為何？

(A) 0.8 (B) 0.65 (C) 0.5 (D) 0.4。

( ) 7. 若點 A與點 B 在數線上的坐標分別是 1 與 5，則線段 AB （包含兩端點，如圖(一)所示）是下列哪一個不等式之解的圖形？

(A) x   (B)1 4 x   (C)1 5 x²4x  (D)5 0 x²6x  。 5 0

( ) 8. A公司提供的免費午餐有素食及葷食二種選擇。根據某員工在公司的用餐習慣，用素食的隔天再用素食的機率為 0.8，而用葷食的隔天用素食的機率為 0.5。若該員工星期二用葷食，則星期四用素食的機率為何？

(A) 0.25 (B) 0.4 (C) 0.64 (D) 0.65。

( ) 9. 已知某項考試共有 3600 人應考，考試成績近似常態分配，如圖(二)所示，又考試成績的平均分數  為 65 分，標準差 為 10 分。若成績高於 85 分的人數為 x，則下列何者正確？

(A)x 50 (B)51 x 150 (C)151 x 250 (D) 251 x 350。

( ) 10. 已知某班學生期中考數學科平均成績為 45 分。若老師將每位學生數學科成績加 20 分，則該科的統計資料中平均數、中位數、眾數、標準差在下列敘述中何者正確？

(A)僅平均數加 20 分 (B)僅平均數、中位數加 20 分 (C)僅標準差未加 20 分 (D)全部都加 20 分。

( ) 11. 2 大約等於下列何者？ ¹⁰⁰⁰

(A)10 (B)¹⁰⁰ 10 (C)²⁰⁰ 10 (D)³⁰⁰ 10 。 ⁴⁰⁰ ( ) 12. 若a a ^¹ ，則2 a³a^³ ？

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

( ) 13. 若A、B 兩點分別是拋物線y x 與直線² x   、3 x  的交點，則直線 AB 與1 下列哪一條直線平行？

(A)y  (B)2x 1

y 2 x (C) 1

y 2x (D)y2x。

圖(一)

圖(二)

(5)

( ) 14. 已知^{x }¹³^除 ^{f x} ^的餘式為^x²^²^x^{ 。若}³ ^{x }¹²^除 ^{f x} ^{的餘式為ax b}^{ ，}

則 a b  ？

(A) 2 (B) 1 (C)3 (D) 4。

( ) 15. 如圖(三)所示，四邊形 ABCD 的四個頂點為 ^A ^0,0 ^、

 ^1,0

B 、^C ^1,1 ^及^D ^0,2 ，則四邊形 ABCD 區域為下列哪一個聯立不等式的圖解？

(A)

0 1

0 2

2 2 x y x y

  

  

  



(B)

0 1 0

2 2

x y x y

  

 

  

 (C)

0 1

2 x y x y

  

  

  



(D)

0 1 0

2 x y x y

  

 

  



。

( ) 16. 利用降階法將行列式

1 1 2 2 1 1 1 2 1

 

依第二列展開，可得

1 2 1 1 1

1 1 1 1

a b y c

x z

  

     ，則 a b c x y z      ？ (A) (B)0 (C)5 (D)6 。 4

( ) 17. 求

_

_²₂



³⁰^x⁵^¹⁶^x⁷^²⁰^{x dx}³



^^？

(A) 192 (B) 6 (C)0 (D)192 。

( ) 18. 若C 為坐標平面上的雙曲線，且其方程式為 ² ² 1 25 16

x  y  ，則下列哪一條直線與C 沒有交點？

(A) 2

y 5 x (B) 1

y5 x (C) 3

y5x (D) 4 y 5x。

( ) 19. 已知圓 ^C ^: ^x^³ ²^ ^y^²²  。若點 P 是圓 C 上一點，則 P 到直線¹ : 3 4 8 0

L x y  的最短距離為何？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

( ) 20. A學校桌球校隊有甲、乙、丙、丁、戊五位選手，有一天 A學校桌球校隊與他校進行友誼賽。由於時間關係，只進行單打、雙打比賽各一場，且兩場比賽同時進行。若任意推出選手參賽（不考慮默契等因素），則 A學校可推出的參賽選手名單有多少種？

(A) 12 (B) 30 (C) 125 (D) 243。

圖(三)

(6)

( ) 21. 已知 、  及 3 為方程式x³ x² 11x  的三個相異解。求  3 0  ？

(A) 2 3 (B) 4 (C)6 (D) 4 5 。

( ) 22.已知^{A } ^1,4^、^B ^5,4 為坐標平面上兩點。若拋物線^{H y C x h}^: ^  ^ ²^通過^A、

B 兩點，則C h  ？ (A)13

5 (B) 22

9 (C)18

7 (D)17 4 。

( ) 23. 已知^A ^3,1 ^、^B^{2, 3}^{ 、} ^C^{7, 1}^{ 及} D x y 為坐標平面上的四個點。若  ^,

2

AB AC CD ，則 x y  ？ (A) 8 (B) (C)5 (D)6 。 4

( ) 24. 某部以“尋寶”為主題的電影中，男主角進到第二道關卡時看到了一扇巨大的鐵門，門邊有 100 個按鈕，每個按鈕都有一個數字，分別是從 1 到 100。牆上有一個過關提示，上面印著：“有一個等差數列，其第 11 項和第 16 項分別為 31 和 56，按下該數列第 20 項數字的按鈕，鐵門就會打開”，則按下哪一個數字的按鈕就會開門？

(A) 65 (B) 76 (C) 83 (D) 99。

( ) 25. 某甲沿著馬路向正前方一棟大樓直線前進，抬頭看大樓頂端的仰角為 30 度，

走了 100 公尺後，第二次抬頭看大樓頂端，此時的仰角為 45 度，則第二次抬頭看大樓時距離大樓還有多遠？

(A)^{25 3 1}



^{ (B)}



^{50 3 1}



^{ (C)}



^{100 3 1}



^{ (D)}



^{100 3 1}



^{ 。}



(7)

109 年統一入學測驗數學(B)

本試題答案係依據統一入學測驗中心公布之標準答案

1.

2 2

sin cos   ， sin 21 2sin cos 

^sin^^^cos^²^^sin²^^^{2sin cos}^ ^^^cos²^

1 2sin cos 

  1 sin 2

  1 1 3

   2 2

2.

sin 正負圖

cos 正負圖

sin  0

  可能為第三或第四象限角……

cos  0

  可能為第二或第三象限角……

由得 為第三象限角

3.

乘法原理

A 至 C 包含步驟一： A 至 B ， 2 種方法步驟二： B 至 C ， 3 種方法根據乘法原理共有 2 3 6  種走法

4.

多項式微分

  ⁿ

f x  （x n  ） 0

 ^{df x}_dx ^ ^{f x}^ ^^nxⁿ^¹

 

f x  ，k 為常數  k ^{df x}_dx ^ ^{f x}^ ^⁰

  ²

f x   （ 為圓周率   為常數） x 

 ^{f x}^ ^{  }^{1 0 1} 5.

廣義角之三角函數：

若P x y 為標準位置角 終邊上的一點  ^,

令r x²y²  sin y

  ， cosr x

  r

sin 7 4

y

   （∵ r r  ） 0

 取r  ，4 y  7

 r x²y²

 4 x² 7

 16x² 7

 x  ² 9

 x   3

∵  為第二象限角  x  0

∴ x   3 則cos 3

4 x

 r 

1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.C 8.D 9.B 10.C 11.C 12.A 13.A 14.A 15.D 16.B 17.C 18.D 19.D 20.B 21.A 22.B 23.C 24.B 25.B

(8)

6.

獨立事件：若 A 、 B 為獨立事件

     

P A B P A P B

   

令^P ^甲 ^^0.5^{，表示甲獲利機率}

  ^0.8

P 乙  ，表示乙獲利機率

   

P 兩人同時獲利 P 甲乙 

∵ 投資互不影響

∴ 兩人投資獲利獨立

 ^P^{甲乙}^ ^^P   ^甲 ^^P ^乙

0.5 0.8 0.4

  

7.

(1) 二次不等式：若 a b 且^{x a x b}^  ^{ } ⁰

 a x b 

(2) 絕對值不等式： x k （k 0）

 k x k  

如題目所敘述， x 的範圍為 1   x 5 考慮每個選項所得出 x 解之情形 (A) x   1 4

     4 x 1 4

 3   x 5 (B) x   1 5

     5 x 1 5

 6   x 4 (C) x²4x  5 0

 ^x^⁵^x^{ }^{1 0}

 1   x 5 (D) x²6x  5 0

 ^x^¹^x^{ }⁵ ⁰

 5    x 1 故選(C)

8.

利用樹狀圖解題

若葷素，表示今天葷食隔天素食之機率為 P ^P 根據題目素 素且葷^0.8  素 ^0.5

 素葷且葷^0.2 葷 ^0.5

畫樹狀圖：

故星期四用素食的機率為 0.4 0.25 0.65 

9.

了解常態分配圖之比例

85 65 20 65 2 10       2 根據圖(二)，高於85 分的比例為

50% 34% 13.5% 2.5%  

故約有 3600 2.5% 90  人高於85 分

 51 x 150 故選(B)

10.

標準差不受加減數值影響數據皆加20 分

 平均數、中位數、眾數也會提高 20 分但標準差不變（標準差只受倍率影響）

故選(C)

11.

(1) log x 首數尾數，若首數 n  0 x

 為n  位數 1 (2) log_ab x   b a^x

試卷有提供 log 2 0.3010

考慮log 2₁₀ ¹⁰⁰⁰1000 log 2 1000 0.3010 ₁₀   301



∴ log 2₁₀ ¹⁰⁰⁰301

 2¹⁰⁰⁰10³⁰¹

［另解］

log 210001000 0.3010 301  故2¹⁰⁰⁰為 301 1 302  位數

(9)

(A)log10¹⁰⁰100  10 為101位數 ¹⁰⁰ (B)log10²⁰⁰ 200  10 為 201位數 ²⁰⁰ (C)log10³⁰⁰300  10 為 301位數 ³⁰⁰ (D)log10⁴⁰⁰400  10 為 401位數 ⁴⁰⁰ 故選(C)

12.

(1) ^x³^^y³^{ }^{x y}³^³^{xy x y} ^ 

(2) a a¹ ^¹a¹^{ }^{ }¹ a⁰ 之倒數性質 1

 

³

 

3 3 1 3 1 1

a a ^  a a^  a a a a^  ^ 2 3 1 2 23

     13.

(1) 斜截式：y mx b   m表示斜率 (2) L L₁// ₂  m m₁ ₂

（若L₁及L₂不為鉛直線）

3

x   代入y x ²

 y 9  過點^{A } ^3,9

1

x  代入y x ²

 y 1  過點^B ^1,1

 

1 9 8 2

1 3 4

mAB      

 

已知y mx b  ^中m表示斜率且L L₁// ₂  m m₁ ₂

∴ y 2x之斜率為 2 m_AB

∴ 直線AB與y 2x平行

14.

除法原理：

被除式除式商式餘式

設 ^{f x} ^除以^{x }¹³^的商式為^{q x} 

由除法原理知：

   ¹³  



² ² ³



f x  x q x  x  x

^x^¹ ²^_ ^x^{ }¹  ^{q x} ^_{ } ^x²^²^x^³

 

式可被^{x }¹²^整除

又^x^¹² ^^x²^²^x^¹

將式除以x²2x1 即

2 2

2

1

2 1 2 3

2 1 4 2

x x x x

x x x

   

 

 

故 ^{f x} ^除以^{x }¹²^之餘式為^{ }⁴^x ²

即a  4，b 2 所以a b     4 2 2

［另解］

令 ^{f x} ^除以^{x }¹³^之商式為^{q x} 

根據除法原理

   ¹  ³



² ² ³



f x  x q x  x  x

^x ¹  ³^{q x}



^x² ²^x ¹



     ^{  } ⁴^x ²

^x ¹   ³^{q x} ^x ¹²

    ^{  } ⁴^x ²

^x ¹ ² ^x ¹  ^{q x} ¹

      ^{  } ⁴^x ²

根據除法原理 ^{f x} ^除以^{x }¹²^之商式為

^x^¹  ^{q x} ^¹^，餘式為^{ }⁴^x ²

∴ a  4，b  2

 a b     4 2 2

(10)

15.

(1) 兩點式：若x x₁ ₂，A x y 1, 1、B x y 2, 2

 AB： 1 ² ¹ 1

2 1

y y

y y x x

x x

   



(2) 二元一次不等式在直角坐標系上判斷 (1) 過A、B兩點直線

0 y 

 依圖y 0 (2) 過A、D兩點直線

0 x 

 依圖x 0

(3) 過B、C兩點直線x 1

 依圖x 1

(4) 過C、D兩點直線^y^{ }² ^{2 1}_{0 1}^_ ^x^⁰

 y  2 x

 x y 2

 依圖x y 2 故選(D)

16.

需會行列式降階

 ^{2 1}

1 1 2

1 2

2 1 1 1 2

2 1 1 2 1



 

   

 ¹ ^{2 2}^ ¹ ¹_{1 1}^²

   

 ¹ ^{2 3}^ ¹ ¹_{1 2}^¹

   

 ² ^₂¹ ^₁² ¹ ¹_{1 1}^²

    

 ¹ ¹_{1 2}^¹

  

與題目比較得 2

a   ，x 2，b 1，y  2^，c  1， 2

z 

∴ a b c x y z     0 17.

1 1

1

n n

x dx x c

n

  



 ^，^{n  }¹ 若



^{f x dx F x}  ^  





_a^b ^{f x dx F b}  ^    ^^{F a}

 

2 5 7 3

2 30x 16x 20x dx

  



2

5 1 7 1 3 1

2

30 16 20

5 1x ^ 7 1x ^ 3 1x ^ c



 

       



⁵^x⁶ ²^x⁸ ⁵^x⁴ ^c



²_₂

   



5 2 2 2 5 2 c⁶ ⁸ ⁴



      

 ⁶  ⁸  ⁴

5 2 2 2 5 2 c

 

           0

 18.

  ² ²

2 2 1

x h y k

a b

 

  之漸近線

 ^{a y k} ^{ } ^{b x h}^{ } ⁰

及^{a y k} ^{ } ^{b x h}^{ } ⁰

已知漸近線不會與其所屬之雙曲線有交點又C： ² ² 1

25 16

x  y  之漸近線為 4 5 0 4 5 0

x y x y

 

  





4 5 4 5

y x

  



 

故選(D)

［備註］與雙曲線不相交的直線並非只有雙曲線之兩條漸近線而已

(11)

19.

(1) 點到直線距離公式 (2) 最短距離 d r

圓^C ^: ^x^³ ²^{ }^y ²² ^¹

 得圓心^M ^3,2 ^，半徑^{r }¹

圓心^M ^3,2 ^至直線^L ^{: 3}^x^⁴^y^{ }^{8 0}

之距離為  ^,  ^{3 3 4 2 8}₂ ₂

d M L    3 4

 

25 55

 

最短距離^^{d M L r} ^, ^{   }^{5 1 4}

20.

乘法原理

參賽選手的選擇分為

選1^{位打單打及選}2^{位打雙打兩步驟} 先選1^{位打單打有}C ₁⁵ 5種

再從剩下4^位選2^{位打雙打有}C ⁴₂ 6種所以有5 6 30  種

21.

因式定理、多項式除法已知3為其中一解

 ^{x }³^為^x³^{ }^x² ¹¹^x^{ 之因式}³

 分解x³ x² 11x3 ^{ }^x ³



^x²^⁴^x^{ }^{1 0}



1 1 11 3 3 3 12 3

1 4 1 0

   

  

  

∴  、為x²4x 1 0^之兩根根據根與係數得  4， 1

^{ }^  ² ^ ^{ }^ ²^⁴^ ^{  }^{16 4 12}

∴    12 2 3

22.

(1) 拋物線的標準式 (2) 解方程式

 ^1,4

A  及^B ^5,4 ^在^{y C x h}^  ^ ²^上

 ⁴^^C^{ }¹ ^h²^且⁴^^C⁵^^h²

 ^C^{ }¹ ^h² ^^C⁵^^h²

因為H為拋物線，所以C 0

 ^{ }¹ ^h ² ^{ }⁵ ^h²

 1 2 h h ² 25 10 h h ²

 12h 24

 h 2

 ⁴^^C^{ }^{1 2}²

 4 C 9

∴ 4 2 22

9 9

C h   

(12)

23.

(1) A x y 1, 1、B x y 2, 2

 ABx2x y1, 2y1

(2) a a a1, 2， b b b1, 2

若 a  b  a b₁ ₁且a₂ b₂

^{2 3, 3 1}  ^{1, 4}

AB       

^{7 3, 1 1} ^{4, 2}

AC      

 ^7, ¹

CD x y 又AB2AC CD

   1, 4 2 4, 2    x7,y1

 ^{7, 8}^{  } ^x ^7,^y^¹

 x  7 7且y   1 8

 x 14且y  9

 x y 5 24.

 

n m

a a  n m d

依題意假設等差數列 a_n

 a ₁₁ 31，a ₁₆ 56

 a16 a1116 11 d，d為公差

 56 31 5d 

 d 5

20 16 4 56 4 5 76 a a  d    

25.

tan30 1

  3

依題作圖如下：

設大樓高BC h ，則DC h 在△ABC中

tan30 1

100 3

h

  h



 3h100h

 3h h 100

 ^h



^{3 1 100}^{ }



 ^{h } ¹⁰⁰_{3 1}_ ^^{50 3 1}



^



故所求為^{50 3 1}



^

四技二專

四技二專

數學（Ｂ）

109 年



109

數學(B)























109 年統一入學測驗 數學(B)

 

 



















 



























_

109 年統一入學測驗數學(B)