高毅甲

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高毅甲 0919 1-4 sin cos tan 和差角公式

姓名 座號

一、填充題 (10 題 每題 10 分 共 100 分)

1.在△ABC 中﹐已知AB5﹐ 3

cosABC 5﹐且其外接圓半徑為

13

2 ﹐則 sinBAC  ____________﹒（化成最簡分數）

【99 指考甲】

解答 33 65

解析 利用正弦定理 2

sin

c R

C  ﹐得

5 13 5

2 sin

sin 2 C 13

C     ﹐

再利用和角公式﹐得

sinBAC  sin(180  (B  C))  sin(B  C)  sinBcosC  cosBsinC

4 12 3 5 33 ( )

5 13 5 13 65

      ﹒

A B

5

C

2.△ABC 中﹐ 5

sinA13﹐ 3

cosB 5﹐求 a：b：c  ____________﹒

【93 台中一中期中考】

解答 25：52：33 解析 ∵ 3

cosB 5

∴ 4

sinB5

 sinC  sin[180  (A  B)]  sin(A  B)

5 3 12 4 33

sin cos cos sin ( )

13 5 13 5 65

A B A B

         

∴ a：b：c  sinA：sinB：sinC  5 13：4

5：33 65 25：

52：33﹒

3.試求 sin160  cos(  25)  cos(  20)  sin25  ____________﹒

【龍騰自命題】

解答 2 2

解析 原式  sin(180  20)  cos25  cos20  sin25  sin20

 cos25  cos20  sin25

 sin(20  25)  sin45  2 2 ﹒

4.(1)若







 45﹐試求(1  tan



)(1  tan



)的值____________﹒

(2)若







 135﹐試求(1  tan



)(1  tan



)的值____________﹒

【龍騰自命題】

解答 (1)2;(2)2

解析 (1) tan tan

1 tan 45 tan( )

1 tan tan

 

   

     

 

∴ 1  tan



 tan



 tan



 tan



故(1  tan



)(1  tan



)  1  tan



 tan



 tan



 tan



 1  (1  tan



 tan



)  tan



 tan



 2﹒

(2) tan tan

1 tan135 tan( )

1 tan tan

 

   

      

 

∴ tan



 tan



 1  tan



 tan



故(1  tan



)  (1  tan



)  1  (tan



 tan



)  tan



 tan



 2﹒

5.△ABC 中﹐若 tanA  tanB  1﹐則△ABC 的形狀為____________﹒

【龍騰自命題】

解答 直角三角形

解析 tanA  tanB  1  sin sin cos cos 1

A B

A B   sinA  sinB

 cosA  cosB

－ 2 －  cosA  cosB  sinA  sinB  0 

cos(A  B)  0

∴ A  B  90

∴ △ABC 為直角三角形﹒

6.設 0 



﹐



﹐



 45﹐且 1

tan



2﹐ 1

tan



5﹐ 1 tan



8﹐ 求











 ____________﹒

【龍騰自命題】

解答 45

解析

1 1

tan tan 2 5 7

tan( )

1 1

1 tan tan 1 9

2 5

 

   

 

   

   

7 1

tan( ) tan 9 8

tan[( ) ] 1

7 1 1 tan( ) tan 1

9 8

  

  

  

  

    

    

∴











 45﹒（∵ 0 



﹐



﹐



 45）

7.設



﹐



分別是一﹑三象限角﹐且 5

sin



13﹐ 4

sin



 5﹐則 sin(







)  ____________﹒

【93 北一女中期中考】

解答 33 65

解析 5

sin



13  12

cos



13﹐ 4 sin



 5 

cos 3



 5

5 3 12 4 33

sin( ) sin cos cos sin ( ) ( ) ( )

13 5 13 5 65

 

 















      

﹒

8.設 x = acos



+ bcos



﹐y = asin



+ bsin



﹐且 ab  0﹐若 x² + y² = a² + b²﹐則

(1) sin(







) = ____________﹒

(2) xcos



+ ysin



= ____________﹒（以 a﹐b 的組合表示）﹒

【龍騰自命題】

解答 (1) ± 1;(2)a

解析 (1)∵x = acos



+ bcos



﹐y = asin



+ bsin

﹐

且 x² + y² = a² + b²﹐

∴(acos



+ bcos



)² + (asin



+ bsin



)² = a² + b²

 a²cos²



+ 2abcos



cos



+ b²cos²



+ a²sin²



+ 2absin



sin



+ b²sin²



= a² + b²

 a²(cos²



+ sin²



) + 2ab(cos



cos



+ sin



sin



) + b²(cos²



+ sin²



) = a² + b²

 a² + 2abcos(







) + b² = a² + b²  2abcos(







)

= 0﹐

∴cos(







) = 0﹐故 sin(







) = 1﹒

(2) xcos



+ ysin



= (acos



+ bcos



)cos



+ (asin



+ bsin



)sin



= acos²



+ bcos



cos



+ asin²



+ bsin



sin



= a(cos²



+ sin²



) + b(cos



cos



+ sin



sin



) = a + bcos(







) = a（∵cos(







) = 0）﹒ 9.已知 tanA  2﹐tanB  3﹐則cos( )

sin( ) A B A B

 

 ____________﹒

【龍騰自命題】

解答 5

解析

cos( ) cos cos sin sin 1 tan tan 1 6 sin( ) sin cos cos sin tan tan 2 3 5

A B A B A B A B

A B A B A B A B

   

   

   

﹒

10.求 cos75  cos15  sin75  sin15  ____________﹒

【課本類題】

解答 1 2

解析 原式 1

cos(75 15 ) cos 60

      2﹒