1
高毅甲乙 數學科 3-2 座號： 姓名：
一、 填充題
1. 如圖（此為示意圖），A，B，C，D 為平面上的四個點
。已知
BC＝
AB＋
AD，
AC 、
BD兩向量等長且互相 垂直，則 tan∠BAD＝【 】。
解析：〔解法一〕
∵
AC⊥
BD
故設 A（－a，0），B（0，－b），C（c，0），D（
0，d），如圖，其中 a，b，c，d＞0
∵
BC＝
AB＋
AD
（c，b）＝（a，－b）＋（a，d）
c＝2a，d＝2b ………①
∵｜
AC｜＝｜
BD｜
c＋a＝d＋b ………② 由①、②可得 a＝b
即 A（－a，0），B（0，－a），C（2a，0），D（0
，2a），如圖
可得 tanα＝2，tanβ＝1 故 tan∠BAD＝tan（α＋β）
＝ － α β β α＋
tan tan
1
tan tan
＝－3
〔解法二〕
∵
BC＝
AB＋
AD
∴
AC＝
AB＋
BC＝2
AB＋
AD且
BD＝
AD－
AB
∵
AC⊥
BD
∴
AC．
BD＝0
（2
AB＋
AD）．（
AD－
AB）＝0
2
AB．
AD＋｜
AD｜2－2｜
AB｜2－
AD．
AB
＝0
｜
AD｜2－2｜
AB｜2＋
AB．
AD＝0 …………
…①
∵｜
AC ｜＝｜
BD｜ ｜
AC｜2＝｜
BD｜2
｜2
AB＋
AD｜2＝｜
AD－
AB｜2
4｜
AB｜2＋4
AB．
AD＋｜
AD｜2＝｜
AD｜2－ 2
AD．
AB＋｜
AB｜2
AB．
AD＝－
2 1｜
AB｜2 ………
…②
由①、②得｜
AD｜2＝ 2 5｜
AB｜2 ｜
AD｜＝
2
10 ｜
AB｜ 故 cos∠BAD＝
｜
｜
．
｜
｜
．
D A AB
AD
AB ＝
10
－1
由廣義角的三角函數得 tan∠BAD＝－3 2. 平面向量
u 和向量
v 互相垂直，且
u －
v ＝（4，
－7）。若
u 的長度為 6，則
v 的長度為【
】。
解析：∵
u ⊥
v
u ．
v ＝0 又
u －
v ＝（4，－7）
∴∣
u －
v ∣＝ 16＋49＝ 65
∣
u －
v ∣2＝∣
u ∣2＋∣
v ∣2－2
u ．
v
＝65
∴36＋∣
v ∣2＝65 ∣
v ∣2＝29
∴∣
v ∣＝ 29
3. 在坐標平面上的△ABC 中，D 為AB的中點，且點 E 在 射線AC 上，滿足AE＝3 AC 。若向量內積
AC ．
AD
＝15，則向量內積
AB．
AE＝【 】。
解析：
AB．
AE＝（2
AD）．（3
AC ）＝6（
AD．
AC ）
＝6（
AC ．
AD）＝6×15＝90
4. 設 A（1，2）、B（1，－2）為平面上兩定點，點 P 為 x 軸正向上的一點。若內積
PA．
PB＝5，則點 P 之坐 標為【 】。
解析：設 P（x，0），x＞0 則
PA．
PB＝（1－x，2）．（1－x，－2）＝5
（1－x）2－4＝5 x＝4 或－2（不合）
故點 P 之坐標為（4，0）
5. 如圖所示，有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公
2
里 A 處，直朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里 B 處 的航標駛去，到達航標後即修正航向以便直線駛入港 口。則船在航標處的航線修正應該向左轉【
】度。（整數以下四捨五入）
解析：令 A（27，8），B（2，3），C（0，0）
則
AB＝（－25，－5），
BC＝（－2，－3）
cosθ＝
｜
｜｜
｜
．
BC AB
BC
AB ＝
13 26 5
65
＝
2 1
θ＝45°
故航線修正應該向左轉 45°
6. 在四邊形 ABCD 中，∠A＝120°，AB＝1，AD＝2，
且
AC＝3
AB＋2
AD，則 AC 的長度為【 】
。
解析：如圖，
AB．
AD＝1×2×cos120°＝－1
｜
AC｜2＝｜3
AB＋2
AD｜2
＝9｜
AB｜2＋12
AB．
AD＋4｜
AD｜2＝9－12＋
16＝13
｜
AC｜＝ 13
7. 設△ABC 的三邊長為AB＝8， BC ＝2 13， CA ＝4，
且 H 為△ABC 的垂心，若
AH ＝x
AB＋y
AC，則數對
（x，y）＝【 】。
解析：
AB．
AC＝ 2
1（b2＋c2－a2）＝
2
1 （16＋64－52）
＝14
H 為垂心
AH ．
AB＝
AH．
AC＝
AB．
AC＝ 14
令
AH ＝x
AB＋y
AC
2 2
｜
｜
＋
．
＝
．
．
＋
｜
｜
＝
．
AC y AC AB x AC AH
AB AC y AB x AB
AH
14 16 14
14 14 64
＝
＋
＝
＋ y x
y x
解得 x＝
207 7 ，y＝
207
175，故數對（x，y）＝
207 175 207
7 ，
8. 設 O 為坐標平面上的原點，P 點坐標為（2，1），若 A，B 分別是正 x 軸及正 y 軸上的點，使得
PA⊥
PB，
則△OAB 面積的最大可能值為【 】。
解析：依題意，設 A（a，0），B（0，b），其中 a，b＞0 因為
PA⊥
PB，所以（a－2，－1）．（－2，b－1
）＝0 2a＋b＝5 由算幾不等式知
2 2a＋b
≧ 2a．b 2ab≦
2
2 5
2ab
1 ≧ 4 25 4
1 ＝ 16 25
故△OAB 面積的最大可能值為 16 25
9. 平面向量
u 和向量
v 互相垂直，且
u －
v ＝（4，
－7）。若
u 的長度為 6，則
v 的長度為【
】。
解析：∵
u ⊥
v
u ．
v ＝0 又
u －
v ＝（4，－7）
∴｜
u －
v ｜＝ 16＋49＝ 65
｜
v －
v ｜2＝｜
u ｜2＋｜
v ｜2－2
u ．
v
＝65
36＋｜
v ｜2＝65 ｜
v ｜2＝29
｜
v ｜＝ 29
10. 設點 A（－2，2），B（4，8）為坐標平面上兩點，且 點 C 在二次函數 y＝
2
1x2 的圖形上變動。當 C 點的 x 坐標為【 】時，內積
AB．
AC有最小值【
】。
解析：設點 C
2
2 1t t ， ， 則
AB．
AC＝（6，6）．
2
2 2，1 2－
＋ t
t ＝3t2＋6t
＝3（t＋1）2－3
當 t＝－1 時，有最小值－3 二、 計算題
1. 兩向量
a 與
b 的夾角為 60°，│
a │＝1，│
b │
＝2，試求：
(１)│
a ＋
b │。
(２)│2
a －
b │。
解：
解析：
a ．
b ＝│
a ││
b │cosθ＝1．2．cos60°＝1 (１)│
a ＋
b │2＝│
a │2＋2（
a ．
b ）＋│
b │2＝12＋2．1＋22＝7，故│
a ＋
b │＝
7 (２)│2
a －
b │2＝4│
a │2－4（
a ．
b ）＋
│
b │2＝4．12－4．1＋22＝4，故│2
a －
b
│＝2
3
2. 已知圓 C：x2＋y2＝r2（r＞0），直線 L：3x＋4y＝5，
試求 r 的範圍使圓 C 與直線 L 有交點。
解：
解析：由柯西不等式得（x2＋y2）（32＋42）≧（3x＋4y）2 若 x，y 同時滿足 x2＋y2＝r2 與 3x＋4y＝5，
代入上式得 r2．25≧52，即 r2≧1 又由 r＞0，可得 r≧1
3. 設
a ＝（4，3），
b ＝（1，2），試求：
(１)
a 在
b 上的正射影。
(２)
b 在
a 上的正射影。
解：
解析：(１)如圖所示
a 在
b 上的正射影為
｜2
｜
．
b b
a
b ＝ 2 2 2 1
2 3 1 4
＋
．
＋
． （1，2）
＝2（1，2）＝（2，4）
(２)同理，如圖所示
b 在
a 上的正射影為
｜2
｜
．
a a
b
a ＝ 2 2 3 4
3 2 4 1
＋
．
＋
． （4，3）
＝5
2（4，3）＝
5 6 5 8，
4. 如圖，請問向量
AC ，
AD，
AE，
AF 中，與向量
AB 內積的結果，最大與最小分別是哪一個？
解：
解析：
AC ．
AB＝
' AC ．
AB＝｜
'
AC ｜｜
AB｜ AD
．
AB＝
' AD ．
AB＝｜
'
AD ｜｜
AB｜ AE
．
AB＝
' AE ．
AB＝｜
'
AE ｜｜
AB｜ AF
．
AB＝
' AF ．
AB＝｜
'
AF ｜｜
AB｜ 故得內積最小值為
AC ．
AB，最大值為
AE．
AB
5. 設
a ＝（p，q），
b ＝（r，s），已知│
a │＝3，
│
b │＝4，試求 pr＋qs 的範圍。
解：
解析：│
a ．
b │≦│
a ││
b │ │pr＋qs│≦12 －12≦pr＋qs≦12
