第一章代数、三角公式与初等函数

(1)

第一章代数、三角公式与初等函数

这里收集和整理了初等代数(代数方程部分见第三章)，平面三角与球面三角的一些常用公式，同时也介绍了一些常见的初等函数(一个实自变量)的简单性质与图形，所以本章基本上包括了中等学校里的代数学和三角学的主要内容.

§1 代数公式

一、数的扩张、分类及其基本运算规则

1. 数的扩张与分类表

2. 实数四则运算规则

[加减法规则] 同号两数相加，绝对值相加，符号与加数同；异号两数相加，绝对值相减 (大的减小的)，符号与绝对值大的加数同；任何实数和零相加，等于实数本身.减法是加法的逆运算，两个数相减只要把减数变成同它符号相反的数，即可按加法规则运算.

[乘除法规则] 同号两数相乘，绝对值相乘，符号为正；异号两数相乘，绝对值相乘，符号为负；任何数与零相乘等于零；任何数与 1 相乘等于它自己.除法是乘法的逆运算，同号两数相除，绝对值相除，符号为正；异号两数相除，绝对值相除，符号为负；任何数除以 1 等

(2)

于它自己；零除以任何不等于零的数等于零；零不能做除数.

[四则混合运算规则] 先乘除，后加减；先括号内，后括号外.

3. 数的三个基本运算律

[交换律] abba abba

[结合律] (ab)ca(bc) (ab)ca(bc) [分配律] (ab)cacbc

4. 乘方与开方

[乘方] n 个数 a 相乘

an

a a

a  

n 个

称为 a 的 n 次(乘)方，又称为 a 的 n 次幂.a 称为幂底数，n 称为幂指数.

从乘法的符号规则直接得出乘方的符号规则：正数的任何次方为正数；负数的偶次方为正数；负数的奇次方为负数；零的任何次方为零.

规定不等于零的数的零次方等于 1，即 a⁰=1，a0.

[开平方] 若 a²=b，则 a 称为 b 的平方根，记为a b，求平方根的运算称为开平方.

开平方的一般方法用下面例子说明.

例求 316.4841 的平方根.

解第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号“ ，” 分段，如把数 316.4841 分段成 3,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加 1 的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为 3，初商为 1，因为 1²=1<3，而(1+1)²=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，

在本例中第一余数为 216.第四步，找出试商，使(20初商+试商)试商不超过第一余数，而[20

初商+(试商+1)](试商+1)则大于第一余数.第五步，把第一余数减去(20初商+试商)试商，

并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为 7，第二余数为 2748.依此法继续做下去，

直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.

本例的算式如下：

(3)

[开立方] 若 a³=b，则 a 称为 b 的立方根，记为a³ b，求立方根的运算称为开立方.

一个数的平方根和立方根可从“ 平方根表” 和“ 立方根表” 中查到.

5. 实数进位制

[进位制的基与数字] 任一正数可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大 10 倍，当小数点向左移一位时其值缩小 10 倍.例如

3 2

1

2 7 10 3 2 10 4 10 6 10

10 1 246 .

173        ^   ^   ^ 一般地，任一正数 a 可表为

























 



2 2 1 1

0 1

1 1

2 1 0 1 1

10 10

10

a a

a a a a a a a

n n

这就是 10 进数，记作 a(10)，数 10 称为进位制的基，式中 ai在{0,1,2,,9}中取值，称为 10 进 数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取 q 为任意大于 1 的正整数当 作进位制的基，于是就得到 q 进数表示



        

 _₁ ₁ ₀ _₁ _₂ _₁ ^¹ ₁ ₀ _₁ ^¹ _₂ ^²

)

( a a aa a a a q a q aq a a q a q

a_q _n _n _n ⁿ _n ⁿ (1)

式中数字 ai在{0,1,2,,q-1}中取值，anan-1a1a0称为 q 进数 a(q)的整数部分，记作[a(q)];

a_-1a_-2称为 a_(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除 10 进制外，还有 2 进制、8 进制、16 进制等，其数字如下

2 进制 0, 1

8 进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 16 进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0,1,2,3,4,5 [2，8，16 进制的加法与乘法表]

2 进制加法表 2 进制乘法表

+ 0 1  0 1

(4)

0 0 1 0 0 0

1 1 10 1 0 1

8 进制加法表

+ 0 1 2 3 4 5 6 7

0 00 01 02 03 04 05 06 07

1 01 02 03 04 05 06 07 10

2 02 03 04 05 06 07 10 11

3 03 04 05 06 07 10 11 12

4 04 05 06 07 10 11 12 13

5 05 06 07 10 11 12 13 14

6 06 07 10 11 12 13 14 15

7 07 10 11 12 13 14 15 16

8 进制乘法表

 0 1 2 3 4 5 6 7

0 00 00 00 00 00 00 00 00

1 00 01 02 03 04 05 06 07

2 00 02 04 06 10 12 14 16

3 00 03 06 11 14 17 22 25

4 00 04 10 14 20 24 30 34

5 00 05 12 17 24 31 36 43

6 00 06 14 22 30 36 44 52

7 00 07 16 25 34 43 52 61

16 进制加法表

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 0 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 1 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0 00 1 ⁰² ⁰³ ⁰⁴ ^{0 10}⁵ 2 02 03 04 05 06 07 08 09 0 0 01 0 2 0 3 0 4 0 10 5 11 3 03 04 05 06 07 08 09 0 0 01 0 2 0 3 0 4 0 10 5 11 12 4 04 05 06 07 08 09 0 0 01 0 2 0 3 0 4 0 5 10 11 12 13

16 进制加法表

5 05 06 07 08 09 0 0 01 0 2 0 3 0 4 0 5 10 11 12 13 14 6 06 07 08 09 0 0 01 0 2 0 3 0 4 0 10 5 11 12 13 14 15 7 07 08 09 0 0 01 0 2 0 3 0 4 0 10 5 11 12 13 14 15 16 8 08 09 0 0 01 0 2 0 3 0 4 0 10 5 11 12 13 14 15 16 17 9 09 0 0 01 0 2 0 3 0 4 0 10 5 11 12 13 14 15 16 17 18 0 0 0 01 0 2 0 3 0 4 0 10 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 01 0 2 0 3 0 4 0 10 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 0 2 0 2 0 3 0 4 0 10 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 0 11 3 0 3 0 4 0 10 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 0 11 12

(5)

4 0 4 0 10 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 0 11 12 1 3 5 0 10 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 0 11 12 1 3 14

16 进制乘法表

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 1 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 2 00 02 04 06 08 0 0 0 2 0 4 10 12 14 16 18 1 0 12 14 3 00 03 06 09 0 2 0 12 5 15 18 ₁₁ ₁₄ 21 24 27 2 0 2 3 4 00 04 08 0 2 10 14 18 ₁₂ 20 24 28 ₂₂ 30 34 38 3 2 5 00 05 0 0 0 14 5 19 ₁₄ 23 28 2 32 3 37 3 2 41 46 ₄₁ 6 00 06 0 2 12 18 ₁₄ 24 2 30 0 36 3 2 42 48 ₄₄ 54 5 0 7 00 07 0 4 15 ₁₂ 23 2 31 0 38 3 5 46 4 3 54 5 62 1 69 8 00 08 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 9 00 09 12 ₁₁ 24 2 36 3 3 5 48 51 5 0 63 6 2 75 7 4 87 0 00 0 0 14 ₁₄ 28 32 3 2 46 50 5 0 64 6 4 78 82 8 2 96 1 00 ₀₁ 16 21 ₂₂ 37 42 4 58 3 63 6 4 79 84 8 5 9 0 0 5 2 00 0 2 18 24 30 3 2 48 54 60 6 2 78 84 90 9 2 0 8 14 3 00 0 3 1 0 27 34 41 ₄₄ 5 68 1 75 82 8 5 9 2 0 9 1 6 2 3 4 00 0 4 12 2 38 0 46 54 62 70 7 4 8 2 9 0 0 8 1 6 24 3 2 5 00 0 5 14 2 3 3 2 41 5 0 69 78 87 96 0 5 14 2 3 3 2 41

[8-2，16-2 数字转换表]

8 进数 0 1 2 3 4 5 6 7

2 进数 000 001 010 011 100 101 110 111

16 进数 0 1 2 3 4 5 6 7

2 进数 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

16 进数 8 9 0 1 2 3 4 5

2 进数 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 [各种进位制的相互转换]

1^ q10 转换适用通常的 10 进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把 q 进数 a(q)转换为 10 进数表示.例如

) 10 (

3 2

1 2

3 )

2 (

) 10 ( 2

) 8 (

625 . 11

2 1 2 0 2 1 1 2 1 2 0 2 1 101 . 1011

483 3 32 448 3 8 4 8 7 743











































2^ 10q 转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.

对于整数部分其步骤是：

(1) 用 q 去除[a(10)]，得到商和余数.

(2) 记下余数作为 q 进数的最后一个数字.

(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.

(6)

对于分数部分其步骤是：

(1)用 q 去乘{a(10)}.

(2)记下乘积的整数部分作为 q 进数的分数部分第一个数字.

(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：

103.118₍₁₀₎=147.074324₍₈₎

整数部分的草式分数部分的草式

3^ pq 转换通常情况下其步骤是：a(p)a(10)a(q).如果 p,q 是同一数 s 的不同次幂，其步 骤是：a(p)a_(s)a_(q).例如，8 进数 127.653(8)转换为 16 进数时，由于 8=2³，16=2⁴，所以 s=2，

其步骤是：首先把 8 进数的每个数字根据 8-2 转换表转换为 2 进数(三位一组) 127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)

然后把 2 进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从 16-2 转换表中逐个记下对应的 16 进数的数字，即

) 10 ( )

2 ( )

8

( 01010111.110101011000 57.358

653 .

127  

二、复数

1. 复数的概念

[实部与虚部·模与辐角·共轭复数] 复数 z 一般表示为 z=a+ib，其中i 1称为虚数单位，

a 和 b 均为实数，分别称为 z 的实部和虚部，记为 a=Re z，b=Im z.

两个复数只有当实部和虚部分别相等时才相等.

2

2 b

a

z   称为复数 z 的模.

a z Arctgb

Arg  称为复数 z 的辐角，所以，一个复数有无穷多个辐角，但其中一个叫做主 辐角，记为 arg z，它满足

0≤ arg z<2

并有 Arg z=arg z+2k (k=0,1,2,) ib

a

z  与z aib互为共轭复数.

[虚数单位的乘方]

1 1

1 ²  ³  ⁴ 



 i i i i

i

1

1 ⁴ ³ ⁴

2 4 1

4ⁿ^ i i ⁿ^  i ⁿ^ i i ⁿ  i

(7)

2．复数的表示法

[坐标表示法] 复数 z=a+ib 可与直角坐标(a,b)建立一一对应(图 1.1).

[矢量表示法] 把 a，b 视为矢量OP在 x 轴和 y 轴上的投影，

则矢量OP(图 1.1)可表示复数 z=a+ib，与 P 点关于 x 轴对称的点记 为P，矢量OP表示共轭复数z aib.

[三角表示法] z z(cosisin) ) sin (cos i 

r 



[指数表示法] z zeⁱ^ reⁱ^ 3．复数的运算

[代数式运算]

2 2 2

) 2

( ) (

) (

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

d c

ad ibc d c

bd id ac

c ib a

ad bc i bd ac id

c ib a

d b i c a id c ib a



 



 































[三角式运算] 设

) sin (cos

) sin

(cos ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₂

1

1 r  i  z r  i 

z    

则 z₁z₂ r₁r₂[cos(₁₂)isin(₁₂)]

)]

sin(

)

[cos( ₁ ₂ ₁ ₂

2 1 2

1    i  

r r z z

) sin

(cos ₁ ₁

1

1 r n i n

zⁿ  ⁿ 

当 r1=1 时，得(cos₁ isin₁)ⁿ cosn₁ isinn₁，这个公式叫做德·莫弗公式.

) 1 , , 2 , 1 , 0 ( 2 )

2 sin

(cos ¹ ¹

1 1 1

1     k  n

n i k

n r k

zⁿ ⁿ     

[指数式运算] 设

2

1 2 2

1

1 rei z r ei

z  

则 ⁽ ⁾

2 1 2 ) 1 ( 2 1 2

1  ⁱ¹²  eⁱ¹²

r r z e z

r r z z

) 1 , , 2 , 1 , 0 (

2 1

1   

r e z r e ^ k n

z ⁿ

i k n in n

n

n ^ ^ ^ 

三、数列与简单级数

1．数列与级数的概念

依照某种规则排列着的一列数

a1, a2, a3, , an,  称为数列，记作{an}.若把这一列数用和号联接起来：

a1+a2+a3++an+

它称为级数，记作



^

1 n

a .an n称为该数列或相应级数的通项（或称为一般项）.

2．等差数列与等差（算术）级数

a1, a1+d, a1+2d, a1+3d,  (d 为常数)

(8)

称为公差为 d 的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数，又称算术级数.

通项公式 a_n a₁(n1)d

前 n 项和 n n d

n na a S_n a ⁿ

2 ) 1 ( 2

) (

1

1   



等差中项 ( 1)

2

1

1  

 a ^ a ^ k

a_k ^k ^k

3．等比数列与等比（几何）级数

a1, a1q, a1q², a1q³,  (q 为常数)

称为公比为 q 的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数，又称几何级数.

通项公式 a_n a₁qⁿ^¹ 前 n 项和

q q a a q

q

S a ⁿ

n

n 

 



 

1 1

) 1

( ₁

1

等比中项 a_k  a_k_₁a_k_₁ (a_k_₁a_k_₁0)

无穷递减等比级数的和



^



 

 



1 1 1

1 ( 1)

n 1

n q

q q a

a S

4．算术-几何级数

n

q q dq q

q d n a q a

kd a

n n

k

n

k (

) 1 (

) 1

( 1

] ) 1 ( ) [

( ₂

1 1

0 

 





 

 ^





 ^{≥ 1)}



^



 

 





0 2 (| | 1)

) 1 ( ) 1

(

k

k q

q dq q

q a kd a 5．调和级数

1^o 若    c b a

1 1

1 为等差级数，则 a+b+c+称为调和级数.调和中项为

c a b ac

 2

2^o 设 A, G, H 分别为某两个数的等差中项、等比中项和调和中项，则 AH=G²

6．高阶等差级数设有一数列

a1, a2, , an,  (1) 如果接连地从它的后一项减去前一项，那末就得到原数列(1)的第一次差构成的数列

a2-a1, a3-a2, , an-an-1,  (2) 再接连地将(2)的后一项减去前一项，又得到数列(1)的第二次差构成的数列.依次类推：

a1 a2 a3 a4 

第一次差 d1=a1 a2 a3 

第二次差 d₂=²a₁ ²a₂ 

第三次差 d₃=³a₁ 



式中 ^ka_i ^k^¹a_i_₁^k^¹a_i

如果做了 r 次，数列(1)的每个第 r 次差都相等，那末以后各次差都等于零，则称数列(1)为 r

(9)

阶等差数列.与这样的数列相应的级数称为 r 阶等差级数.一阶等差级数也就是通常的算术级 数.

设(1)是 r 阶等差数列，并设 d1为(1)的第一次差构成的数列的首项，d2为(1)的第二次差构 成的数列的首项，，dr为(1)的第 r 次差构成的数列的首项，则有

通项公式 (n>r)

r

n d

r

r n n

d n n d n

n a

a !

) ( ) 2 )(

1 (

! 2

) 2 )(

1 ) (

1

( ₁ ₂

1



 

 

 





 

 前 n 项和

r

n d

r

r n n

n d n

n n d n

n na n

S ( 1)!

) ( ) 2 )(

1 (

! 3

) 2 )(

1 (

! 2

) 1 (

2 1

1 



 

 

 

 

 7．某些级数的部分和

( 1)

2 3 1

2

1  n n n

( 1)(2 1)

6 3 1

2

1²  ²  ² n²  n n n ³ ³ ³ ³ ²( 1)²

4 3 1

2

1   n  n n

( 1)(2 1)(3 3 1)

30 3 1

2

1⁴  ⁴  ⁴ n⁴  n n n n²  n

( 1) (2 2 1)

12 3 1

2

1⁵  ⁵  ⁵ n⁵  n² n ² n²  n

( 1)(2 1)(3 6 3 1)

42 3 1

2

1⁶  ⁶  ⁶ n⁶  n n n n⁴  n³  n

( 1) (3 6 4 2)

24 3 1

2

1⁷  ⁷  ⁷ n⁷  n² n ² n⁴  n³n²  n











 









 ^

为偶数为奇数

n n

2, ), 1 2( 1 )

1 ( 3

2

1  ¹

( 1)

2 ) 1 1 ( )

1 ( 3

2

1²  ²  ²   ⁿ^¹n²   ⁿ^¹ n n















 









 ^

为偶数为奇数

n n

n

n n

n

n n

), 3 2 4 ( 1

, ) 1 )(

1 2 4( 1 )

1 ( 3

2 1

2

2 3

1 3

3

3 

( 1)( 1)

2 ) 1 1 ( )

1 ( 3

2

1⁴  ⁴  ⁴   ⁿ^¹n⁴   ⁿ^¹ n n n² n 2462nn(n1)

135(2n1)n²

(4 1)

3 ) 1 1 2 ( 5

3

1²  ²  ²  n ²  n n²  1³ 3³ 5³ (2n1)³ n²(2n² 1)

( 1)( 2)

3 ) 1 1 ( 4

3 3 2 2

1     n n  n n n

(10)

( 1)( 2)( 3) 4

) 1 2 )(

1 ( 5

4 3 4 3 2 3 2

1        n n n  n n n n

( 1)( 2)( 3)( 4)

5 ) 1 3 )(

2 )(

1 ( 5

4 3 2 4 3 2

1       n n n n  n n n n n

( 1)!

)!

1 (

2 ) 1

( ) 1 (

1 



 







 n

k n k k

j j

j

n

j



( 1)( 2)(3 5) 12

) 1 1 (

1

2    







n n

n n j

j

n

j

( 1)( 2)( 3)(2 3) 10

) 1 2 ( ) 1 (

1

2      







n n

n n n j

j j

n

j

( 1)

4 ) 1

( ² ²

1

2

2   





n n j

n j

n

j

2 ( 1) 2 ¹( ² 2) 4

1









 ^



ⁿ ^j ^j ⁿ ⁿ ⁿ j

j

1 1

1 1 ) 1 (

1 4

3 1 3 2

1 2 1

1

 

 

 



 

  n

n n

n

 n

2( 1)( 2)

1 4

1 ) 2 )(

1 (

1 5

4 3

1 4 3 2

1 3 2 1

1



 

 

 

 

 



 



  n n n n n

) 3 )(

2 )(

1 ( 3

1 18

1

) 3 )(

2 )(

1 (

1 6

5 4 3

1 5

4 3 2

1 4

3 2 1

1



 





 

 



 



 



n n n

 n

2( 1)

1 2

1 4 3 1 1 )

1 )(

1 (

1

2 2

2    

 







 j j  j n n

n

j n

j

(2 1)(2 1) 2 1 1

1  







 n

n j

j

n

j

(3 2)(3 1) 3 1 1

1  







 n

n j

j

n

j

4(2 1)(2 3)

1 12

1 ) 3 2 )(

1 2 )(

1 2 (

1

1    







 j j j n n

n

j

6(3 1)(3 4)

1 24

1 ) 4 3 )(

1 3 )(

2 3 (

1

1    







 j j j n n

n

j

2( 1)( 2)

1 2

2 4 3 ) 2 )(

1 (

1 2

1   

 

 







 j j j n n n

n j

j

3( 1)( 2)( 3)

4 )

3 )(

2 ( 2

3 3

1 36 29 ) 3 )(

1 (

2

1    



 

 







 j j j n n n n n n

n j

j

2

1 2 2 ) 2 )(

1 (

2

1

1 

 











n j

j

j ⁿ

n

j

3( 2)

4 ) 1 ( 3 2 ) 2 )(

1 (

4 ¹

1 2



 

 





ⁿ _j ^j _j ⁿ _n ⁿ j

j

_n

n

j

j n

j j

j

2 ) 1 ( 1 1 2 ) 1 (

2

1   









(11)

_n

n

j

j n

j j

j

3 ) 1 ( 1 1 3 ) 1 (

3 2

1   













 









 

 











  



 1 1

1

1 1

1

) 1 ( 2

) 1 1 (

3 1 ] ) 1 ( 2 ][

) 1 ( 2 [

2 ) 1 (

n n

j

j j





 



 





 















n b a a

a

n b b

b a

b j

a a

a

j b b

n b

j ( 1) ( 1)

) ( ) 1 ( 1 1 )

1 (

) 1 (

1 



四、乘法与因式分解公式

(xa)(xb) x² (ab)xab (ab)² a² 2abb²

(ab)³ a³ 3a²b3ab² b³ a² b² (ab)(ab)

a³ b³ (ab)(a² abb²)

aⁿ bⁿ (ab)(aⁿ^¹ aⁿ^²baⁿ^³b² abⁿ^² bⁿ^¹) (n为正整数) aⁿ bⁿ (ab)(aⁿ^¹aⁿ^²baⁿ^³b² abⁿ^² bⁿ^¹) (n为偶数) aⁿ bⁿ (ab)(aⁿ^¹aⁿ^²baⁿ^³b² abⁿ^² bⁿ^¹) (n为奇数) (abc)² a² b² c² 2ab2bc2ca

a³ b³c³ 3abc(abc)(a² b² c² abbcca)

五、分式

1. 分式运算 a

b c b

a c

  b

bd bc ad d

c b

a  

a b

c d

ac

 bd a

b c d

ad

  bc a

b a b

n n

n



 

   (a0,b0)

b a b a

n n n

2. 部分分式

任一既约真分式(分子与分母没有公因子，分子次数低于分母次数)都可唯一地分解成形如 A

x a ^k

(  ) 或 



 



  



 0

4 )

(

2

2 p q

q px x

b ax

l 其中的基本真分式之和，其运算称为部分分式展开.

若为假分式(分子次数不低于分母次数)，应先化为整式与真分式之和，然后再对真分式进行部分分式展开.部分分式的各个系数可以通过待定系数法来确定.下面分几种不同情况介绍.

设 N x( ) n₀ n x₁ n x₂ ²  n x_r ^r G x( ) g₀ g x₁ g x₂ ²  g x_s ^s [线性因子重复]

1^o N x x a

A x a

m m m

( ) m

(  )  ( ) ( )

 

  



0 1 

1

 1

式中 N(x)的最高次数 r≤ m-1；A0，A1，，Am-1为待定常数，可由下式确定：

A N x A

k

d N x

dx k m

x a k

k k

x a 0

1 1 2 1

  

 

  



[ ( )] ,

!

( ) ( , ,, )

(12)

2^o N x x G x

A x

F x

m m m G x

( ) m

( )

 ⁰  _¹   ^  ( )

1

 1

式中 A0，A1，，Am为待定常数，可由下式确定：

A n

g A

g n A g j m

j j i j i

i j 0

0

0 0 0

1 1

1 2 1

   

 

  









, ( , ,, )

k x f x

f x f f x

F( ) ₀  ₁  ₂ ²  _k ^k, ≤ s-1 其系数 fj与 m 有关，由下表确定：

m fj (j=0, 1, 2, , k; k≤ s-1) 1 f_j n_j_₁  A g₀ _j_₁

2 f_j n_j_₂ (A g₀ _j_₂  A g₁ _j_₁)

3 f_j n_j_₃ (A g₀ _j_₃ A g₁ _j_₂  A g₂ _j_₁)

 

m



^

  

 

 ¹

0 m

i

i n j i m

j

j n Ag

f 例 ^x

x x x

A x

f x f

x x

2

3 2

0 3

1 2

2 1 0

2

1

3 6 3 6



      

 

( )

解依上述公式算出

A n

g A

g n A g A g n A g A g

0 0 0

1 0

1 0 1

2 0

2 0 2 1 1

1 6

1 1

6 0 1

6 3 1

12

1 1

6 1 1

12 3 13 72

        

         







( ) [ ( )]

( ) ( )

此时 m=3，

f n A g A g A g

0 3 0 3 1 2 2 1

1 4 0 4 1 3 2 2

0 1

6 0 1

12 1 13

72 3 33 72 0 0 0 13

72 1 13 72

           







        

 

  

( ) ( )

( )

所以得到

x

x x x x x x

x

x x

2

3 2 3 2 2

1

3 6

1 6

1 12

13 72

13 33

72 3 6



       

 

( ) ( )

3^o N x x a G x

A x a

F x

m m m m G x

( ) m

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

  ( )

 

  

 

  

0 1

1

2 2

 1

作变换 y=x-a，则 N(x)=N1(y), G(x)=G₁(y), 上式变为 ^{N y}

y G y A y

A y

F y

m m m m G y

m 1

1

0 1

1 2

2

1 1

1

( ) ( )

( )

  _  _   ^  ( )

用上述 1^o，2^o的方法确定出 A0, A1, , Am-1和 F1(y)，再将 y=x-a 代回.也可按下式来确定系数 A0, A1, , Am-1：

A k

d dx

N x

G x k m

k

k k

x a

 









 

  



1 0 1 2 1

!

( )

( ) ( , , ,, ) [线性因子不重复]

1^o N x

x a x b x c

A x a

B x b

C x c ( )

(  )(  )(  ) 

 



(13)

式中 N(x)的最高次数 r≤ 2，abc；A, B, C 为待定常数，可由下式确定：

A N x

x b x c B N x

x a x c

C N x

x a x b

x a x b

x c

  



 

 

 



 



  



 



 



( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

2^o N x x a x b G x

A x a

B x b

F x

G x a b

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

  

 

  

式中多项式 F(x)的最高次数 k≤ s-1；A, B 为待定常数，用下式确定：

A N x

x b G x B N x

x a G x

x a x b

 



 

 





 



 

( ) ( ) ( )

A, B 确定后，再用等式两边多项式同次项系数必须相等的法则来确定 F(x)的各项系数.

例 ^x

x x x x

A x

B x

f x f

x x

2 2

1 0

2

3

2 2 4 2 2 4



    

  

 

( )( )

解依上述公式算得

8 3 )

4 2 )(

2 (

3

0 2

2



 



 









 



x x

A x

24 7 )

4 2 (

3

2 2

2

 



 







 



x x

x x B x

把 A,B 代入原式，通分并整理后得

x² 3 f₁ 3 x³ f₀ f₁ x² f₀ x 8

7

24 2 7

12

7

6 2 3

   

 

   

 

  

 

  比较等式两边同次项系数得

f₀ 7 f₁ 12

1

 12

所以有

x

x x x x x x

x

x x

2

2 2

3

2 2 4

3 8

7

24 2

7

12 2 4



     

  

 

( )( ) ( ) ( )

[高次因子]

N x

x h x h G x

a x a x h x h

F x G x N x

x h x h G x

a x a x h x h

b x b x h x h

F x G x N x

x h x h x h G x

a x a x a x h x h ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

1 0

2

1 0

2

1 0

2

1 0

2

1 0

2

1 0

2

1 0

3 2

2

1 0

2 2

1 0

3 2

2

   

  

   

   

  

     

  ₁x h₀

F x

 G x( ) ( )



[计算系数的一般方法]

N x D x

N x G x H x L x

A x G x

B x H x

C x L x ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

    ( )

1^o 等式两边乘以 D(x)化为整式，各项按 x 的同次幂合并，然后列出未知系数的方程组，

解出而得.

(14)

2^o 等式两边乘以 D(x)化为整式，再把 x 用简单的数值(如 x=0, 1, -1 等)代入，然后列出未知系数的方程组，解出而得.

六、比例

1^o 若 a b

c

 d (或写为 a:b=c:d)，a, b, c, d 都不等于零，则

) (

) ( )

(

) ( )

(

合分比分比

合比更比

反比交叉积

d c

d c b a

b a d

d c b

b

a d

d c b

b a d

b c

a c

d a bc b

ad



 





 



 



2^o 若a b

a b

n n 1

1 2 2

   ，则 a

b

a a a

b b b

a a a

b b b

a a a

b b b

n n

n n n n

n

n 1

1

1 2

1 1 2 2

1 2

2

2 2

1 2

2

2 2

   

      

  



  

式中_i(i=1, 2, , n)为一组任意的常数，b_i(i=1, 2, , n)都不等于零.

3^o 若 y 与 x 成正比，(记作 yx)，则

为比例常数 k

kx y 若 y 与 x 成反比， _



 



 

y 1x

记作，则

为比例常数 x k

y k

若 y 与 x 成正比，y 与 z 也成正比(即 yx, yz)，则 x 与 z 成正比，即 )

(x z kz

x 

且 y 与 xz 成正比，即

ykxz (yxz)

七、根式

1. 根式的概念

[方根与根式] 数 a 的 n 次方根是指求一个数，它的 n 次方恰好等于 a.a 的 n 次方根记为

n a

(n 为大于 1 的自然数).作为代数式， aⁿ 称为根式.n 称为根指数，a 称为根底数.在实数范 围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.

[算术根] 正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.

[基本性质] 由方根的定义，有

(ⁿa)ⁿ  a ⁿ aⁿ 2. 根式运算

[乘积的方根] 乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即

a b a ab ⁿ ⁿ

n   ( ≥ 0,b≥ 0)

(15)

[分式的方根] 分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即 b a

a b a

n n

n  ( ≥ 0,b>0) [根式的乘方] (ⁿ a)^m ⁿ a^m(a≥ 0)

[根式化简]

a a

a ⁿ ^m

np mp

 ( ≥ 0)

1 0

a a

 (  )

c d

a b

c d a b

a b a b

c d a b

a b



   

    



( )( )

c b a b

a 0, 0, ,

(    ≥ 0,d≥ 0)

c d

a b

c d a b

a b a b

c d a b

a b



   

    



( )( )

c b a b

a 0, 0, ,

(    ≥ 0,d≥ 0)

[同类根式及其加减运算] 根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.

八、不等式

1. 简单不等式 1^o 若 a>b，则

) 0 , 0 , (

) 0 , 0 , 0 (

) 0 (























b a n

b a

b a n b

a

b a n b

a

c c b c bc a

ac

c c b c bc a

ac

b c a c c b c a

n n

为正整数 2^o 若a

b c

 d ，且 b、d 同号，则 a b

a c b d

c

  d

  2. 有关绝对值的不等式

1^o 若 a, b, , k 为任意复数，则

b

a ≤ a  b

abk ≤ a b  k 2^o 若 a, b 为任意复数，则

b

a  ≤ ab≤ a  b 3^o 若a ≤ b,b0，则

第一章 代数、三角公式与初等函数