高等数学

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学A

4.5.1 三角级数、三角函数系的正交性 4.5.2 周期为2的函数的Fourier级数 4.5.3 周期为2l 的函数的Fourier级数

4.5 Fourier级数

第4章 无穷级数

4.5 Fourier级数

4.5.1 三角级数、三角函数系的正交性

4.5.2 周期为2的函数 的Fourier级数

函数正交、正交函数系 三角函数系、三角级数 Fourier 级数

Dirichlet充分条件收敛定理 函数展开成Fourier级数的步骤 习例1

在[- , ]上定义的函数的Fourier级数 习例2

4.5.3 周期为2l 的函数 的Fourier级数

Fourier级数形式

习例3-4

内容小结与思考题

Fourier

级数

问题的提出

4.6 函数展开成正弦级数与余弦级数

2为周期的正弦与余弦级数 例1

2l为周期的正弦与余弦级数

习例3 习例4 函

数展 开成 正弦 级数 与余 弦级 数

例2

傅里叶级数有什么用？

• 从技术上讲，傅里叶级数以及发展出来的傅里叶变换，傅里叶分 析，可以把一个时间域上的信号转化到频率域上（当然，也可以 转回来），这在工科中的应用非常之多。 一个最简单的例子：

一个连续的信号，想转成离散的信号传输，那么 可以使用傅里 叶变换把它写成傅里叶级数的形式(这是一个无穷的级数和)，然 后 通过滤波舍弃掉过于高频的部分（这部分可以理解为噪音），

剩下来的就是一个有限和，那么这个复杂的连续信号就可以用有 限个傅里叶系数（和相应的基）表示出来，传输时也只用传输这 有限个离散量了。传输到后，只要通过傅里叶逆变换就又变成原 来的信号（去掉高频部分）了。

从哲学上讲，傅里叶变换为我们提供了一种新的观察、分析 事物的角度，而且在很多时候，这一角度比变换前更接近事物 的本质。傅里叶变换可以抽象出一个分析模式：对处于某个域

（如：周期函数域）上的对象的研究，我们可以先建立这个域 上的一组基（如：傅里叶基），这个域上的对象都可以用这组 基（唯一地）表示出来（如：傅里叶变换），而且这组基本身 有一些很好的性质（正交性，可解释性等等），那么对这种对 象的研究，就可以转化为对对象在这组基上的投影的研究。通 常可以得到一些很好的性质，这些性质可以通过某种方法（如：

傅里叶逆变换）应用到原对象上。傅里叶变换是这种思维方法 最简单也是最广泛的应用之一。以后还有很多相似的分析方法，

如一般正交基，BERNSTAIN基等等。还有抽象数学中很多原 空间中难以解决的问题就到其对偶空间上解决，也是类似的思 想。

傅里叶 (1768 – 1830)

法国数学家. 他的著作《热的解析 理论》(1822) 是数学史上一部经典性

书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅 里叶级数和傅里叶积分.

最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献,

他深信数学是解决实际问题

傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响.

问题的提出

非正弦周期函数:矩形波

o t

u

 



1

1















 



 t t t

u 1, 0

0 ,

) 1

( 当

当

不同频率正弦波逐个叠加

 ,

7 7 sin

1 , 4

5 5 sin

1 , 4

3 3 sin

1 , 4

4 sin t   t   t   t



t u 4 sin

 

) 3 3sin

(sin 1

4 t t

u 

 

) 5 5sin 3 1

3sin (sin 1

4 t t t

u  

 

) 7 7sin

5 1 5sin

3 1 3sin

(sin 1

4 t t t t

u   

 

) 7

7 sin 5 1

5 sin 3 1

3 sin (sin 1

) 4

(     

  t t t t

t u

) 0 ,

(  t   t 

) 9 9sin

7 1 7sin

5 1 5sin

3 1 3sin

(sin 1

4 t t t t t

u    

 

由以上观察知，对于周期函数，可将它 用一系列基本的周期函数（如正弦函数、余弦函 数）来表示.这就产生了所谓的三角级数.

0

,

,

a a b

称上述形式的级数为三角级数.

Definition1 (trigonometric series)

0

1

( cos sin ) (1)

2

a a nx b nx





  

三角级数 三角函数系的正交性与

一 .

1. 函数正交

. )

( )

( ,

0 )

( )

(

, ]

, [ ) ( ),

(

2 1

2 1

2 1

正交 与

则称 若

上的不同函数 为

设

x x

dx x

x

b a x

x

b

a

   







2. 正交函数系

. )}

( {

, ]

, [

), ,

2 , 1 )}(

( {

), (

, ),

( ),

( ]

,

[ _{1 2}

为正交函数系 则称

上正交 在

若任意两个函数 构成函数系

上的一族函数 定义于

x b

a

m x

x x

x b

a

m m

m



















. ]

, [

} ,

sin ,

cos ,

2 sin ,

2 cos ,

sin ,

cos ,

1 {

. 3

上是正交的 在

三角函数系









 nx nx x

x x

x

推导： ^{ cos  sin  0,(  1,2,)}

 









) ,

2 , 1 (

, cos 0

sin     

 









) ,

2 , 1 ,

( , 0 cos

sin   



) ,

2 , 1 ,

; (

, 0 cos

cos    



) ,

2 , 1 ,

; (

, 0 sin

sin    



) ,

2 , 1 (

, 2

1²   



) ,

2 , 1 (

,

cos²   



) ,

2 , 1 (

,

sin²   



三角函数系是正交的.



4. 三角级数

.

) sin

cos 2 ₁(

0

级数 的函数项级数称为三角

如

由三角函数系构成的形









n

n

n nx b nx

a a

1 周期函数在什么条件下可展开成三角级数？

2 若可展开其系数 分别是多少？

本节的主要任务

n n

b a

a

, ,

函数展开成Fourier级数

1

T=2

x(-,+)

2

非周期函数

x(-, )

3

T=2l

x(-,+)

1. Fourier 级数

 



 ^

1

0 ( cos sin )

) 2 (

k ak kx bk kx

x a 若有 f

. )

1

( 求a₀

dx kx

b kx

a a dx

dx x

f

k ( k cos k sin )]

2 [ )

(

1

0    

 

 _^_ ^















kxdx b

dx kx a

a dx

k

k k

k cos sin

2 _{1 1}

0

   





 



   

 ^











, 2 2

0  

 a

二、周期为2的函数的Fourier级数

 



a 1 ( )

0

. )

2

( 求a_n

 

_^_ a _^_ nxdx nxdx

x

f cos

cos 2 )

( ⁰

] cos

sin cos

cos [

1

 







 a ^_ kx nxdx b_k ^_ kx nxdx

k

k

 a_n _^_cos² nxdx  a_n,



  f x nxdx a_n 1 ( )cos

) ,

3 , 2 , 1

(n  

. )

3

( 求b_n

 

 _^_ f x nxdx b_n 1 ( )sin

) ,

3 , 2 , 1

(n  









  a nxdx

nxdx x

f sin

sin 2 )

( ⁰

] sin

sin sin

cos [

1

 







 a ^_ kx nxdx b_k ^_ kx nxdx

k

k  b_n,





































) ,

2 , 1 (

, sin

) 1 (

) ,

2 , 1 , 0 (

, cos

) 1 (



 n

nxdx x

f b

n nxdx

x f a

n n

称为Fourier系数.

将Fourier系数代入三角级数所得的函数项级数 称为Fourier级数.

问题:

 



1

0

( cos sin )

? 2 )

(

n

a

nx b

nx

x a

f 条件

设 f ( x)^是以2



在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则f ( x) 的傅里叶级数收敛, 并且

(1) 当x ^是 f ( x)的连续点时,级数收敛于f ( x) ^;

(2) 当x^是 f ( x)^{的间断点时,} 收敛于

2

) 0 (

) 0

(x   f x 

f ;

(3) 当x ^为端点x  时, 收敛于

2

) 0 (

) 0

(   f  

f .

2. Dirichlet 充分条件收敛定理

处收敛于 则它的傅里叶级数在

x  

在 x

 4 

 ^ 



2

) (

)

(





f

2

) (



f f

(  

)

2



 2

 2

 ^ 



2

) 4

( )

4

(





f

2

) 0 ( )

0

( ^  f ^ f

2 1 1 

 

设周期函数在一个周期内的表达式为

,

 x



y

o



1

思考题：

2. 写出函数

傅氏级数的和函数 .

答案:

 x



y

o



1

注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低得多.

(2) 验证f(x)满足收敛定理的条件 (3) 指出Fourier级数的收敛情况

n n b a

a , , Fourier

) 4

( 求出 系数 ₀

(5) 写出Fourier级数

(1) 作周期函数f(x)的图形

周期为2的函数展开成Fourier级数的步骤：

例1 , 0

0

0 )

( ),

2 (

)

( 









 







 

x x x x

f x

f x

f 且

设

把 f(x)展为Fourier级数.

解

x y

 o

 



   

由图可知，所给函数满足收敛定理条件.

,

) 1 2

(

处不连续

它在点 x  k 



处收敛于 级数在

的

故f (x) Fourier x  (2k 1)



2; 2

0 2

) 0 (

) 0

(   f      _{ } f

且 处收敛于

在连续点 x  (2k  1)





 ^_

 ^{f x dx}

a 1 ( )

0 ,

2

1 ⁰ 

 ^{  }







 ^_

 ^{f x nxdx}

a_n 1 ( )cos



 1 ⁰ cos

  ^{x nxdx}





2

cos 1

n

 n

 ²

) 1 ( 1

n

 n

 







 为奇数

为偶数 n n

n 2

0

2



 ^_

 ^{f x nxdx}

b_n 1 ( )sin



 1 ⁰ sin

  ^{x nxdx}

n n

n ( 1)^{n 1}

cos   ^



 





 

 

 







1

1

2 ( 1) sin ]

) cos 1 ( [1

) 4 (

n

n n

n nx n nx

x

f 



) ,

5 , 3 ,

( x  























 

 

 









 







) 1 2

(

2 ,

) 1 2

(

, ) ( ]

) sin 1 cos (

) 1 ( [1

4 ₁

1

2 x k

k x

x f n nx

n nx

n

n n

: .

Fourier

, ]

, [

) (

具体作法是 级数

则可展成

上满足收敛定理的条件 在

若f x 

 

) ( ]

, [

: (1)

x 期函数F

外补充定义使其成为周 在

周期延拓







(2) 将F(x)展开成Fourier级数 ] , [

(3)限制x的取值范围为

 

(4) 收敛情况为：

);

( Fourier

, ]

,

[ 上的连续点x处 级数收敛于f x 在 

 

3. 在[-, ]上定义的函数的Fourier级数

2 ;

) 0 (

) 0 (

Fourier ,

] , [









x f x

f

x处 级数收敛于 上的间断点

在

 

2 .

) 0 (

) 0 Fourier (

,    











x 处 级数收敛于

在

设 f(x)只在[, ]上有定义，我们可以在 [, ) 或 (, ] 外 补充函数f(x)的定义，使它拓广成周期为2的周期函数 F(x)，在 (, )内，F(x)  f(x).

周期延拓：

x y

O  2



3 2 3

f(x)

x y

O  2



3 2 3

F(x) 延拓前

延拓后

例2 Fourier . 0

1

0

) 0

( 展成 级数

将 











 





x x

x x f

解 将f(x)作周期延拓,如图:

x y

 o

 



     

显然满足收敛定理条件.

处收敛于 级数在

的

且f (x) Fourier x  0

2; 1 2

0 1

2

) 0 0

( )

0 0

(   f     f

处收敛于 在x  



2 ; 1 2

) 1 (

0 2

) 0 (

) 0

(









).

( 0

,

0 x f x

x 时收敛于

在 





dx x

f

a^{0 }

_



_



^

dx nx x

a_n ^

_



n n

n ⁿ









dx nx x

b_n ^

_



n n

n n



1 1 1 ( 1)

) 1

( ^    ^



所以，f(x)的Fourier级数及和函数如下：











 



 



 



    

 

 



1

1 1

2 ( 1) 1 ( 1) sin

1cos )

1 ( 4

2 1

n

n n

n

n nx nx n

n

 



















 

















 





x x

x x

x

2 ,

1

0

2, 1

0 ,

1

0

, 0

定理

式为 级数展开

则它的 定理的条件

满足收敛 的周期函数

设周期为

Fourier ,

) (

2l f x

), sin

cos 2 (

) (

1 0

l x b n

l x a n

x a

f _n

n

n

 

 







为 其中系数a ,_n b_n

) ,

2 , 1 , 0 (

, cos

) 1 (

 





l x x n

l f

a ^l

n l

) ,

2 , 1 (

, sin

) 1 (

 





l x x n

l f

b ^l

n l

三、周期为2l 的周期函数的Fourier级数

证 因为f(x)是周期为2l的周期函数，在一个周期内 ,

l x

l  

  1   1,

l x

 





 l

x

l , z   x

令

( )

( lz F z

f x

f 

 

设 F₍z₎以₂为周期_.

), sin

cos 2 (

) (

1

0

a nz b nz

z a

F

n

n





 



) sin

cos 2 (

) (

1

0 x

l b n

l x a n

x a

f _n

n

n

 

 







. sin

) 1 (

, cos

) 1 (

















 

 

nzdz z

F b

nzdz z

F a

n

其中 n

. sin

) 1 (

, cos

) 1 (









 

 

l n l

l n l

l xdx x n

l f b

l xdx x n

l f 其中 a

) ( )

(z f x l F

z  x 



: .

Fourier

, ]

, [

) (

具体作法是 级数

则可展成

上满足收敛定理的条件 在

若f x l l

) ( ]

, [

: (1)

x F l

l 外补充定义得到周期函数 在

周期延拓



(2) 将F(x)展开成Fourier级数

] , [

(3)

限制

的取值范围为 

(4) 收敛情况为：

);

( Fourier

, ]

,

[ l l 上的连续点x处 级数收敛于f x 在 

2 ;

) 0 (

) 0 (

Fourier ,

] , [









x f x

f

x l

l 上的间断点 处 级数收敛于 在

2 .

) 0 (

) 0 Fourier (

,    



 f l f l

l

x 处 级数收敛于

在

注意：

. 2

Fourier 2

的函数类似 收敛性的讨论与周期为

级数的步骤及 的函数展成

将周期为



l

例3

. Fourier

2 )

1 1

( )

(

级数

为周期的 展成以

将f x  x   x 

周期为2l 的周期函数的Fourier级数习例

例4 Fourier .

3 0

1

0 3

1 ) 2

( 展成 级数

将 











 

x x x x

f

解 函数如图，

x y

1 o

^ 1



   

显然满足收敛定理条件.

例3

. Fourier

2 )

1 1

( )

(

级数

为周期的 展成以

将f x  x   x 

).

( Fourier

)

(x f x

f 的 级数收敛于 可见

这里l=1.

dx x

f

a^{0 }







0

1 sin

1 





b_n



) (

]cos

1 )

1 [(

2 2

1

1  2 2    











x x

n n x

n

n





dx x n x

a_n ^



^



^

n

n





 

例4 Fourier . 3

0 1

0 3

1 ) 2

( 展成 级数

将 











 

x x x x

f

解 将f(x)作周期延拓,周期为6. 如图

x y

3 o

^ 3



   



 

显然满足收敛定理条件.

3 Fourier

)

( 的 级数在 处收敛于

可见f x x  

; 2 2

1 )

1 6

( 2

) 0 3

( )

0 3

(   f        f

).

( 3

3 x 时收敛于f x

在   

dx x

f

a^{0  1}₃







xdx x n

f

a_n ^ ₃¹



^

xdx dx n

x

x n





 _ ³

0 0

3 cos 3

3 1 cos 3

) 1 2

3 (

1

 

2 2 2

2

] ) 1 ( 1 [ 6 )

cos 1

( 6

n n

n ⁿ







 

xdx dx n

x x n

b_n ^{ 1}₃



^



^

n n

n ⁿ







6   ^1













 



    







1

1 2

2 ( 1) 6 sin 3

cos 3 6

] ) 1 ( 1 [ 2

1

n

n

n n x

n x

n n



































3

, 2

3 0

,

1

0 3

, 1 2

x

x x x

内容小结

周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 )

sin cos

2 ( )

(

1

0 a n x b n x x a

f _{n n}

n











) (

 间断点

其中







1 ( ) cos d







b_n

1 ( ) sin d

) ,

2 , 1 , 0

(

 

) ,

2 , 1

(

 

注意: 若 为间断点, 则级数收敛于

2

) (

)

(x₀^  f x₀^ f

小结：

周期为 的函数的 Fourier 级数，要求学生必须 牢牢记住下面两个步骤：第一步：Fourier 系数的计算 ；第二 步：由狄利克雷收敛定理判断函数 的 Fourier 级数的连续点和间 断点。写 的 Fourier 级数展开式时特别注意：等号只有在连续点 成立。对于定义在 上的函数，只需作周期延拓即可展开成 Fourier 级数。注意： 必须限制在 上，对于周期为 的函数 只需作变量代换就可以转化为以 为周期的函数，从而得到其 Fourier 展开式，同理写展开式时，等式只在连续点成立。

2

0, _n, _n a a b

( ) f x ( )

f x

[ , )

x _{[ , )} 2l

2

4.6 函数展开成正弦级数与余弦级数

2为周期的正弦与余弦级数 例1

2l为周期的正弦与余弦级数

习例3 习例4 函

数展 开成 正弦 级数 与余 弦级 数

例2

例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为















 





x x x

f 1, 0

0 ,

) 1 (

将 f (x) 展成傅里叶级数.

o

y

x

1





1



所给函数满足狄利克雷充分条件.

解:

. )

, 2 , 1 , 0

( 处不连续

在点x  k k     1) 根据收敛定理可知,

时,级数收敛于

0 2

1 1  



先求傅里叶系数



 ^{  }











0

1 1 cos d

d cos

) 1 1 (

x nx

x nx

) ,

2 , 1 , 0 (

0  



2) 当 x  k  时 收敛于 , f x ( ).



 ^{  }











0

1 1 sin d

d sin

) 1 1 (

x nx x

nx cos 0

1





 n

nx ^



cos

1  



 n

nx

 ^ 



n

2 1  cos







n

2 1  (  1 )

 

 

4 ,



, 0

 , 5 , 3 ,

 1 当

 , 6 , 4 ,

 2 当

 ^





4 sin

)

(  3 ^{sin 3}

^

1    

 

k

sin( 2 1 ) 1

2

1 

0

(   x   , x  ,   ,  2  , )

它在(-,)上处处收敛，和函数为

) 7

7 sin 5 1

5 sin 3 1

3 sin (sin 1

4 t  t  t  t  



f(x)的傅氏级数为 综上所述:

) ,

2 ,

1 ,

0 (

, 0

) 1 2

( 2

,

1

2 )

1 2

( , 1

) ,

2 ,

1 ,

0 (

, 0

), ) (

(









 



 





















 











 

k k

x

k x

k

k x

k

k k

x

k x

x x f

S













