周界中點三角形中三個有趣的性質

(1)

周界中點三角形中三個有趣的性質

丁遵標

摘要: 本文獲得了與周界中點三角形有關的三個有趣的性質。

關鍵詞: 周界中點; 三角形; 外接圓半徑; 面積。

若三角形一邊上的一點和這邊所對的頂點將三角形的周長二等分, 則稱這一點為三角形的周界中點, 並將以三個周界中點為頂點的三角形稱為周界中點三角形。

本文在文 [1]、文 [2] 的基礎上, 進一步研究周界中點三角形並得到了三個有趣的性質。

引理1: 設 D、 E、 F 分別是 ∆ABC 的邊 BC、 CA、 AB 上的周界中點, 且 BC = a, CA = b, AB = c, s =

¹ ₂

(a + b + c), 則: AE = BD = s − c; AF = CD = s − b;

BF = CE = s − a (證明省略)。

... ...

. ...

.

... ..

. ..

A

B C

D

E F

定理 1: 若 ∆AEF 、 ∆BDF 、 ∆CDE、 ∆ABC 的面積分別為 ∆

A

、 ∆

B

、 ∆

C

、 ∆,

∆ABC 的外接圓半徑為 R, 則有: (s − a)∆

^A

+ (s − b)∆

^B

+ (s − c)∆

^C

=

^∆ _2R

²。證明:

^∵ _{sin A} ^a

=

_{sin B} ^b

=

_{sin C} ^c

= 2R,

∴

sin A = a

2R, sin B = b

2R, sin C = c 2R 由引理 1 知: AE = s − c, AF = s − b.

∴

∆

A

= 1

2AE · AF · sin A = a

4R(s − b)(s − c).

由海倫公式 ∆ =

^q

s(s − a)(s − b)(s − c) 得

89

(2)

90

數學傳播

₂₇

卷

₄

期民

₉₂

年

₁₂

月

(s − a)∆

^A

= a∆

²

4RS 同理: (s − b)∆

^B

=

_4RS ^b∆

², (s − c)∆

^c

=

_4RS ^c∆

²

∴

(s − a)∆

^A

+ (s − b)∆

^B

+ (s − c)∆

^c

= ∆

²

4RS(a + b + c)

= ∆

²

2R

定理2: 若 ∆DEF 的外接圓半徑為 R

0

, ∆ABC 的外接圓半徑和面積分別為 R、 ∆, 則有: RR

0

≥

²

√ 3 9

∆。

證明: 在 ∆AEF 中:

EF

²

= AE

²

+ AF

²

− 2AE · AF · cos A

= (AE − AF )

²

+ 2AE · AF (1 − cos A)

= (b − c)

²

+ 2(s − b)(s − c)(1 −b

²

+ c

²

− a

²

2bc )

= (b − c)

²

+(s − b)(s − c)(a − b + c)(a + b − c) bc

= (b − c)

²

+4(s − b)

²

(s − c)

²

bc

≥ 4(s − b)

²

(s − c)

²

bc

∴

EF ≥ 2(s − b)(s − c)

√bc

同理 : DE ≥ 2(s − a)(s − b)

√ab , DF ≥ 2(s − c)(s − a)

√ca .

∴

DE + EF + DF ≥ 2

(s − a)(s − b)

√ab + (s − b)(s − c)

√bc + (s − c)(s − a)

√ca

≥ 6³

s

[(s − a)(s − b)(s − c)]

²

abc (算術平均 ≥ 幾何平均)

又

^∵

abc = 4R∆, ∆ =

^q

s(s − a)(s − b)(s − c)

∴

DE + EF + DF ≥ 6³

s

∆

⁴

4R∆S

²

= 6∆³

s

1

4RS

²

(1)

∵

S = 1

2(a + b + c) = R(sin A + sin B + sin C) 且易證 sin A + sin B + sin C ≤ 3√

3 2

(3)

周界中點三角形中三個有趣的性質

₉₁

∴

S ≤ 3√ 3

2 R. (2)

同理可得: DE + EF + DF ≤ 3√

3R. (3)

由 (1)、 (2)、 (3) 得: 3√

3R

0

≥ 6∆³

v u u u t

1 4R

³ ^√ ₂ ³

R

²

= 6∆

3R,

故: RR

0

≥ 2√ 3 9 ∆.

值得注意的是, 在文 [3] 中, 對垂足三角形也有相同的結果。

定理3: 若 ∆ABC、 ∆AEF 、 ∆BDF 、 ∆CDE 的面積分別為 ∆、 ∆

^A

、 ∆

B

、 ∆

C

, 且

∆ABC 的外接圓半徑為 R, 則有:

^∆ _s

^B

^∆

^C

− a

+

^∆ _s

^C

^∆

^A

− b

+

^∆ _s

^A

^∆

^B

− c

≥

6R ^∆

³³ 為證明此不等式, 先看下面的引理 2:

引理2: 若 ∆ABC 的三邊長分別為 a、 b、 c, 面積為 ∆, 則有: ab + bc + ca ≥ 4√ 3∆。

證明: 已知 bc =

_{sin A} ^2∆

, ca =

_{sin B} ^2∆

, ab =

_{sin C} ^2∆

,

∴

ab+ bc + ca = 2∆

1

sin A+ 1

sin B + 1 sin C

. (1)

∵

sin A > 0, sin B > 0, sin C > 0,

∴

(sin A + sin B + sin C)

1

sin A + 1

sin B + 1 sin C

≥ 9.

又易證: sin A + sin B + sin C ≤ 3√ 3 2

∴

1

sin A+ 1

sin B + 1

sin C ≥ 2√

3. (2)

由 (1)、 (2) 得: ab + bc + ca ≥ 2∆ · 2√

3 = 4√ 3∆.

故: ab + bc + ca ≥ 4√ 3∆.

下面, 我們來進一步證明定理 3。

證明:

^∵

∆

A

=

_4R ^a

(s − b)(s − c), ∆

^B

=

_4R ^b

(s − a)(s − c),

∴

∆

A

∆

B

s − c = ab

16R

²

(s − a)(s − b)(s − c) = ∆

²

16R

²

sab.

又

∵

易證 S ≤ 3√ 3 2 R,

∴

∆

^A

∆

^B

s − c ≥ ∆

²

16R

²

·

³

√ 3

2

Rab, = ∆

²

24√

3R

³

ab.

(4)

92

數學傳播

₂₇

卷

₄

期民

₉₂

年

₁₂

月

同理: ∆

B

∆

C

s − a ≥ ∆

²

24√

3R

³

bc, ∆

C

∆

A

s − b ≥ ∆

²

24√

3R

³

ca,

∴

∆

B

∆

C

s − a +∆

c

∆

A

s − b +∆

A

∆

B

s − c ≥ ∆

²

24√

3R

³

(ab + bc + ca).

由引理 2 知: ab + bc + ca ≥ 4√ 3∆,

∴

∆

B

∆

C

s − a +∆

c

∆

A

s − b +∆

A

∆

B

s − c ≥ ∆

²

24√

3R

³

· 4√

3∆ = ∆

³

6R

³

.

參考文獻

1. 丁遵標, 三角形中的又一不等式, 中學數學教學, 2002(1): 43。

2. 丁遵標, 周界中點三角形的兩個性質, 安徽教育學院學報, 2002(3): 82, 102。

3. 丁遵標, 一個有趣的幾何不等式, 中學數學月刊, 2001(10): 19。

—本文作者任教於中國安徽省舒城縣杭埠中學_—

周界中點三角形中三個有趣的性質