三角形旁徑與高之間的三個性質

數學傳播 45 卷 4 期, pp. 96-97

三角形旁徑與高之間的三個性質

丁 遵標

本文約定 : △ABC 的三邊長為 a、 b、 c, 外徑為 R, 內徑為 r, 半周長為 p, 面積為 s, 三 邊上的高依次為 ha、 hb、 hc, 旁徑依次為 r^a、 rb、 rc, P 表示迴圈和, Q 表示迴圈積。

匡繼昌教授在 《常用不等式》(第 4 版) 中, 收錄了下面的三個旁徑與高之間關係的不等式:

(1) X

hahb ≤X

rarb p275 第 15 個不等式。

(2) Xha+ h^b

ra+ r^b ≤3 p276 第 41 個不等式。

(3) Yhb+ h^c

ra+ h^a ≤1 p276 第 50 個不等式。

經過研究, 筆者現給出這三個不等式的最佳形式 — 等式。

定理 : (1) X

hahb = 2r R

Xrarb.

(2) Xha+ h^b

ra+ r^b = 2 + 2r R. (3) Yhb+ h^c

ra+ h^a = 2r R.

證明 : ∵ s = (p − a)r^a= 1

2aha = rp.

∴ra = rp

p − a ha = 2rp a . 同理 : r^b = rp

p − b, rc = rp

p − c, hb = 2rp

b , hc = 2rp c .

∵

Xa= 2p, Y

(p − a) = r²p, X

ab= p²+ 4Rr + r², Y

a= 4Rrp.

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三角形旁徑與高之間的三個性質 97

(1) ∵ hahb = 4r²p² ab

rarb = r²p²

(p − a)(p − b) = r²p²(p − c)

Q(p − a) = r²p²(p − c)

r²p = p(p − c)

∴

Xhahb =X4r²p²

ab = 4r²p²X 1

ab = 4r²p²· P a

Q a = 4r²p² · 2p

4Rrp = 2rp² R Xrarb =X r²p²

(p−a)(p−b) =Xr²p²(p−c)

Q(p−a) =Xr²p²(p−c)

r²p = pX

(p − c) = p²

∴

Xhahb = 2r R

Xrarb. (2)

∵

ha+ h^b ra+ r^b =

2rp

a + 2rp rp b

p−a + rp p−b

= 2(a + b)(p − a)(p − b)

ab(2p − a − b) = 2(2p − c)(p − a)(p − b) Q a

=2[p + (p − c)](p − a)(p − b)

4Rrp = (p − a)(p − b)

2Rr + Q(p − a) 2Rrp

=(p − a)(p − b)

2Rr + r²p

2Rrp = (p − a)(p − b) 2Rr + r

2R

∴

Xha+ h^b

ra+ r^b =X h r

2R + (p − a)(p − b) 2Rr

i= 3r

2R +P p²− pP(a + b) + P ab 2Rr

=3r

2R +3p²−4p² + p²+ 4Rr + r²

2Rr = 2 + 2r R. (3)

∵

hb+ h^c ra+ h^a =

2rp

b +2rp c rp

p−a +2rp a

= 2(b + c)a(p − a)

(2p − a)bc = 2(b + c)a(p − a)

(b + c)bc = 2a(p − a) bc

∴

Yhb+ h^c

ra+ h^a =Y2a(p − a)

bc = 8Q a Q(p − a)

Q bc = 8 · 4Rrp · r²p (4Rrp)² = 2r

R.

利用歐拉不等式 : R ≥ 2r, 我們便可得到上述的三個不等式。

參考文獻

1. 匡繼昌。 常用不等式 (第 4 版)(M)。 山東科學技術出版社, 2014 年 10 月。

—本文作者任教中國安徽省舒城二中杭埠校區_—