作品評語
崔茂培教授 臺灣⼤學數學系
本作品主要探討下列這個問題：給定⼀個不等腰三⾓形 ∆ABC，和兩個點 (P, Q), 我們以 (ABC) 代表三⾓形 ∆ABC 的外接圓，H 為三⾓形 ∆ABC 之垂⼼。
對於點 P ，我們可以考慮對外接圓 (ABC) 建構⼀個圓西⽡三⾓形，假設 P A 線段與外接圓 (ABC) 交於 A1，P B 線段與外接圓 (ABC) 交於 B1，P C 線段與外接圓 (ABC) 交於 C1。點 P 對外接圓 (ABC) 之圓西⽡三⾓形即為三⾓形 ∆A1B1C1。
對於點 Q，我們可以考慮對三⾓形 ∆ABC 建構⼀個佩多三⾓形, Q 分別對三⾓形 ∆ABC 的三邊 BC，CA, AB 作垂⾜ A2, B2, C2，三⾓形 ∆A2B2C2即為奌 Q 對三⾓形 ABC 之佩多三⾓形。
現在我們考慮奌 A1對 A2之對稱點為 A3，奌 B1對 B2之對稱點為 B3，奌 C1對 C2之對稱點為 C3。本作品探討 (P, Q) 滿⾜什麼條件 H, A3, B3, C3四個點會共圓。本作品證明了以下幾個結果：
(i) 取 P 為 ∆ABC 垂⼼ H，Q 為任意點則 H, A3, B3, C3四個點會共圓。
(ii) 取 P 為 ∆ABC 外⼼ O，Q 為任意點則 H, A3, B3, C3四個點會共圓。
(iii) 取 Q 為 ∆ABC 外⼼ O ，P 為任意點則 H, A3, B3, C3四個點會共圓。
(iv) 取 P 為 ∆ABC 外接圓上⼀點，Q 為任意點則 H, A3, B3, C3四個點會共圓。
(v) 取 P, Q 為同⼀點則 H, A3, B3, C3四個點會共圓。
(vi) 取 Q 為 ∆ABC 垂⼼ H, ，P 為任意點則 H, A3, B3, C3四個點會共圓。
(vii) 當取 P 是定點時，Q 滿⾜ H, A3, B3, C3四個共圓的軌跡不超過 6 次。
這些問題的原型是下⾯這個問題：給定三⾓形 ABC，外⼼為 O 和⼀點 Q，令 O 的圓西⽡三⾓形 為 ∆A1B1C1，Q 的佩多三⾓形為 ∆A2B2C2，A1對 A2的對稱點為 A3，類似定義 B3, C3，則 A3, B3, C3, H。另外修展在研究的過程中發現 Nguyen Van Linh 考慮了上列第 (ii) 種的情況。修展 証明主要⽅法是利⽤平⾯幾何的基本性質證明了⼤部分的情況。在這個研究的主題最困難的情況 是第（vii) 情況，修展引進了射影幾何的⿑次座標，並對⿑次多項式⽅程組的解作了⼀個有效的估 計，此技巧已涉及代數幾何中的技巧。在這作品中可以看出修展對平⾯幾何性質⾮常純熟，另外 還引進投影幾何及代數幾何的⼯具來解決問題，這種探索研究的精神是值得⿎勵的，期待他未來 能繼續數學的研究。
