蔣 明 斌 Cordon 不 等 式的 類 比

數學傳播

33

1

, pp. 85-88

Cordon 不等式的類比

蔣明斌

本文約定: a, b, c: △ABC 的三邊長; p: 半周長; R: 外接圓半徑; r: 內切圓半徑; S:

面積; h^a, h^b, h^c: 高; t^a, t^b, t^c: 角平分線長; r^a, r^b, r^c: 旁切圓半徑; m^a, m^b, m^c: 中線長。

1967 年, V. O. Cordon 曾建立涉及 △ABC 的高與邊長之間的不等式 ([1]):

a² h²b + h²c

+ b² h²c + h²a

+ c² h²a+ h²b

≥2 (1)

最近貴刊文 [2] 給出了 (1) 的加強並給出了 (1) 左邊的上界, 得到如下不等式:

9R²

4R² + 2r² ≤ a² h²_b + h²c

+ b² h²c + h²a

+ c² h²a+ h²b

≤ R

r (2)

筆者在閱讀貴刊文 [2]、 [3]、 [4] 的時候, 很自然地想到 : 把 (1) 中的高分別換成角平分線長, 旁 切圓半徑, 中線長 (1) 是否成立? 通過研究發現前兩者成立, 後一個反向成立, 即有

定理: 在 △ABC 中, 有 a² t²b + t²c

+ b² t²c + t²a

+ c² t²a+ t²b

≥2 (3)

a² r²_b + r²c

+ b² r²c + r²a

+ c² ra²+ r²b

≥2 (4)

a² m²b + m²c

+ b² m²c + m²a

+ c² m²a+ m²b

≤2 (5)

引理: 在 △ABC 中, 有

t²a= 4bc

(b + c)²p(p − a) (6)

ra= S

p − a (7)

m²a=1

4(2b²+ 2c²− a²) (8)

85

86

33

1

98

3

證明: (6)、 (7) 的證明分別見 [3]、 [4]。 現在來證明 (8) 在 △ABC 中, AB = c, BC = a CA= b, 設 M 為 BC 的中點, ∠AMB = α, 則 BM = CM = a

2, ∠AMD = 180^◦− α, 由餘弦定理有

c² = AB² = BM²+ AM²−2BM · AM cos α = a 2

2

+ m²a− amacos α, b² = AC² = CM²+ AM²−2CM · AM cos(180^◦− α) =a

2

2

+ m²a+ a · m^acos α,

兩式相加得, b²+ c² = a²

2 + 2m²a, 所以 m²a= 1

4(2b²+ 2c²− a²)。

定理的證明: 由引理中的 (6) 及算幾不等式有 t²a= 4bc

(b + c)²p(p − a) ≤ p(p − a), 同理有 t²b ≤ p(p − b), t²c ≤ p(p − c),

則 t²_b + t²c ≤ p(p − b) + p(p − c) = p(2p − b − c) = pa, a² t²b + t²c

≥ a² pa = a

p, 同理 b²

t²c + t²a

≥ b p, c²

t²a+ t²b

≥ c

p, 三式相加得, a² t²_b + t²c

+ b² t²c + t²a

+ c² t²a+ t²b

≥ a+ b + c p = 2, 即 (3) 成立。

由引理中的 (7) 及海倫公式 S =pp(p − a)(p − b)(p − c) 有

ra(r^b+ r^c) = S p − a

 S

p − b + S p − c

= S²(2p − b − c)

(p − a)(p − b)(p − c) = ap

⇒ a= ra(r^b+ r^c) p

用 P 表示對 a, b, c 的迴圈和, 則 a²

r²b + r²c

+ b² rc²+ ra²

+ c² ra²+ rb²

= 1 p²

Xra²(r^b + r^c)² r²b + rc²

= 1 p²

X[(r²a+ r²b + rc²) − (rb²+ rc²)](r^b + r^c)² rb²+ rc²

= 1 p²



X(r²a+ r²b + r²c)(r^b+ r^c)² r_b²+ rc²

−X

(r^b+ r^c)²



= 1 p²

 X r²a

 X(r^b+ r^c)² rb²+ r²c

−X

(r^b+ r^c)²



= 1 p²

 1 2

X(rb²+ rc²)X(r^b+ r^c)² r_b²+ rc²

−X

(r^b + r^c)²



Cordon

87

因為X

(r²b + rc²)X(r^b+ r^c)² r_b²+ r²c

=X q r²_b+rc²

2X  rb+ r^c pr²b+r²c

2

應用柯西不等式, 有

X(rb²+ r²c)X(r^b+ r^c)² r²b + r²c

≥h X

(r^b+ r^c)i2

= 2X

ra

2

= 4 X ra

2

, 於是

a² rb²+ rc²

+ b² r²c + ra²

+ c² r²a+ r²b

≥ 1 p²

 1

2 ×4 X ra

2

−X

(r^b+ r^c)²



= 1 p²

 2 X

r²a+ 2X rbrc

− 2X

ra²+ 2X rbrc



= 2 p²

Xrbrc

而由引理中的 (7) 及海倫公式, 有 Xrbrc =X S²

(p − b)(p − c) = S²

(p − a)(p − b)(p − c)

X(p−a) = p(3p−a−b−c) = p²

所以, a² rb²+ rc²

+ b² r²c + r²a

+ c² r²a+ r²b

≥ 1

p² ×2X

rbrc = 1

p² ×2p² = 2, 即 (4) 成立。

由引理中的 (8) 得到 a²

m²_b + m²c

+ b² m²c + m²a

+ c² m²a+ m²b

= a² a²+b²

4 +c² 4

+ b² b²+ c²

4 + a² 4

+ c² c²+ a²

4 +b² 4

= 4

 a²

4a² + b²+ c²+ b²

a² + 4b² + c²+ c² a²+ b² + 4c²



令 x = 4a²+ b²+ c², y = a² + 4b² + c², z = a²+ b² + 4c², x, y, z > 0, 則 a² = 1

18(5x − y − z), b² = 1

18(−x + 5y − z), c² = 1

18(−x − y + 5z), 於是

a² m²b + m²c

+ b² m²c + m²a

+ c² m²a+ m²b

= 4 18

5x−y−z

x +−x+5y−z

y +−x−y+5z z



=2 9

h15 −y x + x

y + z y +y

z + x z + z

x

i

≤2 9

15 − 6r y⁶ x · x

y · z y · y

z · x z · z

x

= 2,

即 (5) 成立。

88

33

1

98

3

注: 由 t^a ≥ ha, t^b ≥ hb, t^c ≥ hc 及 (1)、 (2)、 (3)、 (5) 得 : a²

m²_b + m²c

+ b² m²c + m²a

+ c² m²a+ m²b

≤2 ≤ a² t²_b + t²c

+ b² t²c + t²a

+ c² t²a+ t²b

≤ a² h²b + h²c

+ b² h²c + h²a

+ c² h²a+ h²b

≤ R r.

參考文獻

1. O. Bottema 等著, 單墫譯, 幾何不等式, 北京大學出版社, 1991。

2. 丁遵標, 與三角形高有關的幾何性質, 「數學傳播」 第 29 卷第 2 期。

3. 丁遵標, 關於三角形內角平分線長的幾何性質, 「數學傳播」 第 29 卷第 3 期。

4. 丁遵標, 與旁切圓半徑有關的四個幾何性質, 「數學傳播」 第 29 卷第 4 期。

—本文作者現任教四川省蓬安縣蓬安中學_—