的故事

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數學傳播 ₃₁卷₃期, pp. 50-52

Rufus Bowen 的故事

鄭文巧

Robert Edward Bowen 因為有紅色頭髮和鬍子, 又名 Rufus Bowen (Rufus: 紅色男孩之意)。 1947年, 出身於美國加州, 上大學時 (UC-Berkeley), 在一吵雜的舞會裡, 認識了 Carol Twito 小姐, 隔年兩人結婚, 當時 Bowen 21 歲, 已經發表了五篇論文, 都為圖形理論之研究。而後, 在 Dr. S. Smale 的指導下, 攻讀博士學位, 研究動力系統-拓樸熵 (topological entropy) 性質。 1970 年, Bowen 獲得了數學博士頭銜, 相同的那一年, 他被任命在原校 (UC- Berkeley) 教書, 1977 年在那裡升格了正教授。然而, 1978 年夏天, 在北加州度假中, 因為腦出血意外, 不幸英年早逝, 享年 31歲, 遺孀無子。 Bowen 一生共發表了 47篇論文, 學術貢獻卓越, UC-Berkeley 數學系, 每年舉行一次學術紀念會議活動, 以追悼 Bowen 一生的成就。

Bowen日常的生活簡單, 以研究教學為主。在70年代吸引了許多動力系統方面的數學家拜訪他和 Smale。當然, Bowen 也常常受邀請到世界各地演講訪問。 J. Feldman、 M. Ratner 和 S. Smale 曾經形容他是位聰明、幽默、謙遜、一點點羞怯, 但人際關係良好的教授。八年研究生涯裡, Bowen 指導了 5 位博士班學生。在動力系統中, 擁有一席之地的華裔數學家 L.-S.

Young(楊麗笙) 是 Bowen 的最後學生。筆者的指導教授 Dr. S. Newhouse 及博士論文審查

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者 Dr. Z. Nitecki 皆和 Bowen 在同一時期接受 S. Smale 指導博士論文, 三人彼此熟識。在一次學術會議裡, Dr. Z. Nitecki 曾經笑笑的對筆者說:「我們 (三人) 有情同手足的關係, 除了女朋友之外, 其他事物, 都可以分享!」個人認為 S. Newhouse 帥氣健談, Z. Nitecki 熱忱積極, 迄今兩個人在學術上, 皆有非常高的成就。但很遺憾, 如果 Bowen 能繼續研究, 相信人們對動力系統, 定有更深入的發現和理解。

動力系統理論在 1880年代內, 由 Poincar´e 開始探討。研究內容將描述我們日常所見的世界, 混亂系統中的定律及學習如何預測數學模式內的性質。動力系統在這三十年內, 搭配強而有力的電腦輔助工具, 發展迅速。動力系統許多重要理論和現象的發現, 對於研究自然界的許多基本現象, 提供一套非常實用且合理的解說。 Bowen 把動力系統理論當作研究方向, 他主要的貢獻在於延續 Poincar´e、 Gibbs 及 Shannon 的研究工作。以筆者對動力系統粗淺的認知, 將舉幾例, 簡述一下 Bowen 的重要成果。

信息理論 (information theory) 於1948年由 Shannon 所首創。 Shannon採用了熵 (entropy) 字眼, 把“冗贅”(redundancy) 概念給予量化。測度熵 (measure-theoretic entropy) 於 1958年, 由俄羅斯數學家 Kolmogorov 從信息理論引入動力系統和遍歷理論 (ergodic theory) 中。 1965 年, 拓樸熵 (topological entropy) 被定義在緊緻空間 (compact space)。

熵代表系統運作的「不確定性」或「亂度」。 Bowen 以獨特洞察力, 寫了 10 篇有關熵的論文。

Bowen在距離空間 (metric space), 給予拓樸熵等價的定義。這定義加上以電腦為輔助工具, 成為拓樸熵的計算理論基礎。 Bowen簡化了齊次空間 (homogenous space) 中, 熵的計算過程, 也成功地表現李群 (Lie group) 模型中熵的值。 Bowen更提出了 expansive 概念來考慮熵計算的可行性, 也檢驗出在某些系統中, 可以將熵的值給予最大化。 Bowen 解決熵及基本群 (fundamental group) 關係, 和熵本身的連續性。熵集中於正向對映 (forward mapping), 1990 年後, 嶄露頭角的反熵理論 (pre-image entropy) 注重反向對映 (backward mapping) 之研究。其原理和 Bowen 的 local entropy, 也有幾分類似。熵理論世界裡, 處處可見 Bowen 的影子。

1931 年, 哈佛大學數學家 Birkhoff 描述在遍歷系統中, 系統運作後, 幾乎任何一點軌跡對應之函數的平均值, 應當逼近函數本身的積分。 Sinai、 Rulle 及 Bowen 不約而同發現在某些動力系統中, 存在不變量測度, 使得所有連續的函數在此系統中, 都有逼近函數本身積分之特性, 後人對這不變量測度, 稱之為 SRB measure。此測度能描述系統的均衡狀態 (equilibrium state), 也使得數學家有興趣在不同的動力系統中, 尋找 SRB measure。現在這個不變量測度已變成一個熱門研究論題。

符號動力學 (symbolic dynamics) 正是無線通訊編碼方式研究的主要探討對象。藉由運用符號動力學研究, 加強無線訊號的展頻 (spread-spectrum) 特性, 以控制數位資訊的動態傳

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輸, 讓超寬頻無線電技術達到低功率消耗、低干擾、削減多重路徑衰減、低攔截率及多使用者容量等之特性。在這兒, Bowen 延續 Hadamard 以及 Morse 工作, 把 Axiom A flow 的探討, 提起到符號動力學上研究它的遞移性 (transitivity)、遞迴性 (recurrence) 及周期性質。

“Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms.” Spring Lecture Notes in Math. 470 (1975) 是 Bowen 的筆記, 內容精簡, 為動力系統領域的經典之作。此書已被引用 620次。很遺憾, Bowen 完成此論文“Invariant measures for Markov maps of the interval”不久, 就與世長辭了。

一位數學家的養成, 有賴師徒心傳。卓越的指導教授與才華洋溢的學生, 常能分享研究上的心得和喜悅, 雙方的名字常就相聯。和 Smale 多采多姿的生活相對照, Bowen 的一生顯得短暫與平淡。但是兩者在動力系統裡, 穿越混沌現象 (chaos) 去打開一條小徑。後人遵循其步伐, 試著一窺系統內之真面貌, 這過程中, 後人驚訝於大師先見之明後, 不妨也觀察大師嚴謹及精確的思考方式, 努力學習, 堅持到底, 必有收穫。

參考文獻

1. 李天岩, 熵, 數學傳播, 第十三卷第三期。

2. 葛雷易克著, 林和譯 (2002), 混沌, ISBN: 957-621-131-X, 天下文化出版社。

3. R. Bowen (1971), Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces, Trans.

Amer. Math. Soc. 153, 401–414.

4. R. Bowen (1975), Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms.

Spring Lecture Notes in Math. 470.

5. The MacTutor History of Mathematics archive, August, 2006.

—本文作者現任職於中正大學及臺灣大學—