中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

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排版\030403-封面

國中組 數學科

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縮放自如，果真有別 -邊長縮放對新圖的探討

學校名稱：雲林縣立雲林國民中學

作者： 指導老師：

國二 王昕榆 國二 陳宥菁

王淑美

關鍵詞：多邊形、面積比例

1

D F

A C

B E

摘要

此研究主要在探討多邊形依序以各頂點為縮放中心，將各邊以相同或不同倍率縮放後連 接各端點，形成新圖形，探討新圖形與原圖形間形狀、面積及縮放倍率等關係。從基本的正 多邊形做起，到一般多邊形及 N 角星形，並將推得的結果應用在較複雜或變化的圖形中。

壹、研究動機

在學習講義上看到這個題目：「∆ABC面積為 1，分別延長 𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐵𝐶̅̅̅̅、𝐶𝐴̅̅̅̅到 D、E、F，使𝐴𝐵=𝐵𝐷̅̅̅̅，𝐵𝐶̅̅̅̅=𝐶𝐸̅̅̅̅，𝐶𝐴̅̅̅̅=𝐴𝐹̅̅̅̅，連接 𝐷𝐸̅̅̅̅、𝐸𝐹̅̅̅̅、𝐹𝐷̅̅̅̅，求∆DEF的面積?」(答:7)。

題目是三角形，更想進一步探索其他多邊形以各頂點為縮放中心，

將各邊以相同或不同比例縮放後連接各端點，所得的新圖形與原圖形 形狀、面積的關係?於是就著手進行這項研究。

貳、研究目的

一、探討一多邊形，若以各頂點為縮放中心，將各邊以相同倍率縮放後，連接各端點，所 形成的新多邊形與原多邊形形狀、面積、重心位置等關係。

二、探討一多邊形，若以各頂點為縮放中心，將各邊以不同倍率縮放後，連接各端點，所 形成的新多邊形與原多邊形形狀、面積的關係。

參、研究設備及器材

紙、筆、電腦、GSP 繪圖軟體

圖(一)

2

圖(二) C

₁

B

1

C

B

A A

1

圖(三) C

1

B

1

C

A A

1

B

一、多邊形依序以各頂點為縮放中心，將各邊以相同倍率縮放的探討 (一)、正多邊形以各頂點為縮放中心，將各邊做 r 倍縮放

1、正三角形

如圖(二)、(三)，正∆𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐴̅̅̅̅̅ = r𝐴𝐵₁ ̅̅̅̅，𝐵𝐵̅̅̅̅̅ = r𝐵𝐶₁ ̅̅̅̅，𝐶𝐶̅̅̅̅̅ = r𝐶𝐴₁ ̅̅̅̅，

(1)因為∆𝐴𝐴₁𝐶₁ ≅ ∆𝐵𝐵₁𝐴₁ ≅ ∆𝐶𝐶₁𝐵₁（SAS 全等）

所以𝐴̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐵₁𝐵₁ ̅̅̅̅̅̅ = 𝐶₁𝐶₁ ̅̅̅̅̅̅，因此∆𝐴₁𝐴_{1 1}𝐵₁𝐶₁為正三角形，

故∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐴₁𝐵₁𝐶₁。

(2)當 r> 1 時，∆𝐴𝐴₁𝐶₁面積 = r∆𝐴𝐵𝐶₁面積 = r(𝑟 − 1)∆𝐴𝐵𝐶面積 正∆𝐴₁𝐵₁𝐶₁面積 = ∆𝐴𝐵𝐶面積 + 3∆𝐴𝐴₁𝐶₁面積

= (3𝑟²− 3𝑟 + 1)∆𝐴𝐵𝐶面積

當 0< 𝑟 < 1時，∆𝐴𝐴₁𝐶₁面積 = r∆𝐴𝐵𝐶₁面積 = r(1 − 𝑟)∆𝐴𝐵𝐶面積 正∆𝐴₁𝐵₁𝐶₁面積 = ∆𝐴𝐵𝐶面積 − 3∆𝐴𝐴₁𝐶₁面積

= (3𝑟²− 3𝑟 + 1)∆𝐴𝐵𝐶面積。與 r>1 時有相同結果。

所以正∆𝐴₁𝐵₁𝐶₁面積

∆𝐴𝐵𝐶面積 = 3𝑟²− 3𝑟 + 1 = 3 (𝑟 −1 2)

2

+1 4

2、正方形

如圖(四)、(五)，正方形 ABCD，𝐴𝐴̅̅̅̅̅ = r𝐴𝐵₁ ̅̅̅̅，𝐵𝐵̅̅̅̅̅ = r𝐵𝐶₁ ̅̅̅̅，

𝐶𝐶₁

̅̅̅̅̅ = r𝐶𝐷̅̅̅̅，𝐷𝐷̅̅̅̅̅̅ = r𝐷𝐴₁ ̅̅̅̅ ，r> 0

(1)因為∆𝐴𝐴₁𝐷₁ ≅ ∆𝐵𝐵₁𝐴₁ ≅ ∆𝐶𝐶₁𝐵₁ ≅ ∆𝐷𝐷₁𝐶₁（SAS 全等）

所以𝐴̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐵₁𝐵₁ ̅̅̅̅̅̅ = 𝐶₁𝐶₁ ̅̅̅̅̅̅ = 𝐷₁𝐷₁ ̅̅̅̅̅̅̅₁𝐴₁

且∠𝐴₁𝐵₁𝐶₁ = ∠𝐵₁𝐶₁𝐷₁ = ∠𝐶₁𝐷₁𝐴₁ = ∠𝐷₁𝐴₁𝐵₁ = 90°

因此四邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁為正方形。

(2)正方形面積𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁面積=(4 ∙^{𝑟(𝑟−1)}₂ + 1)正方形 ABCD 面積

所以正方形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁面積

正方形𝐴𝐵𝐶𝐷面積 = 2𝑟²− 2𝑟 + 1 = 2 (𝑟 −1 2)

2

+1 2

圖(四)

D1

C1

B1

C D

A

B A1

圖(五)

D

1

C

1

B

1

D C

D E A

1

肆、研究過程或方法

3

圖(六) F

1

E

1

D

1

C

1

B

1

C E D

F

A B A

1

3、正六邊形

如圖(六)、(七)，正六邊形 ABCDEF，𝐴𝐴̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐴𝐵₁ ̅̅̅̅，𝐵𝐵̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐵𝐶₁ ̅̅̅̅，

𝐶𝐶₁

̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐶𝐷̅̅̅̅，𝐷𝐷̅̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐷𝐸₁ ̅̅̅̅，𝐸𝐸̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐸𝐹₁ ̅̅̅̅，𝐹𝐹̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐹𝐴₁ ̅̅̅̅，

(1)可推得六邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁𝐹₁為正六邊形。

(2)設正六邊形的邊長為 a，

當 r> 1 時，

∆𝐴𝐴₁𝐹₁面積=¹₂𝐴𝐴̅̅̅̅̅ ∙ 𝐴𝐹₁ ̅̅̅̅̅ ∙ sin 60° =₁ ¹

2𝑟𝑎 ∙ (𝑟 − 1)𝑎 ∙ sin 60°

正六邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁𝐹₁面積=正六邊形 ABCDEF 面積+6∆𝐴𝐴₁𝐹₁面積

= 6 ∙^√3

4 𝑎²+ 6 ∙¹

2𝑟𝑎 ∙ (𝑟 − 1)𝑎 ∙^√3

2 當 0< 𝑟 < 1時，

∆𝐴𝐴₁𝐹₁面積= ¹

2𝐴𝐴̅̅̅̅̅ ∙ 𝐴𝐹₁ ̅̅̅̅̅ ∙ sin 120° =₁ ¹

2𝑟𝑎 ∙ (1 − 𝑟)𝑎 ∙ sin 120°

正六邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁𝐹₁面積=正六邊形 ABCDEF 面積-6∆𝐴𝐴₁𝐹₁面積

= 6 ∙^√3

4 𝑎²− 6 ∙¹

2𝑟𝑎 ∙ (1 − 𝑟)𝑎 ∙^√3

2 。與 r>1 時有相同結果。

故

^{正六邊形𝐴}

¹

^𝐵

¹

^𝐶

¹

^𝐷

¹

^𝐸

¹

^𝐹

¹

^面積

正六邊形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹面積 = ^6∙

√3

4 𝑎 ² +6∙ ¹

2 𝑟𝑎∙(𝑟−1)𝑎∙ ^√3

2

6∙ ^√3

4 𝑎 ² =

^𝑟2− 𝑟 + 1 = (𝑟 −¹

2)²+³

4

4.正 n 邊形

如圖(八)、(九)，正 n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛，以各頂點為縮放中心將各邊以 r 倍縮放後，

連接各端點形成一新 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛。 (1)可推得 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛為正 n 邊形。

(2)設正 n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛邊長為 a，

正 n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛面積=n

∙ ¹

2 𝑎 ∙ ^𝑎

2 cot ^𝜋

𝑛 = 𝑛 ∙ ^𝑎

4

2 cot ^𝜋

𝑛

當 r＞1 時，∆𝐴₂𝐵₂𝐵₁面積 =¹

2𝑟𝑎 ∙ (𝑟 − 1)𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛^2𝜋

𝑛

正 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛面積=正 n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛面積+𝑛 ∙ ∆𝐴₂𝐵₂𝐵₁面積

圖(七)

F

1

E

₁

D

1

C

1

B

₁

C E D

F

A A

₁

B

圖(八)

a a

(r-1)a ra a

2π

n 2π

n

B

2

O

B

n

B

n-1

A

3

A

n

A

2

A

1

B

1

4

圖(九)

ra

a ra

(1-r)a

(1-r)a

2π

n B2

O Bn

B3

A3

An

A2

A1

B1

= 𝑛 ∙^𝑎

4 2cot^𝜋

𝑛+ 𝑛 ∙¹

2𝑟𝑎 ∙ (𝑟 − 1)𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛^2𝜋

𝑛 當 0＜r＜1 時，∆𝐴₂𝐵₂𝐵₁面積= ¹

2𝑟𝑎 ∙ (1 − 𝑟)𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜋 −^2𝜋

𝑛)

正 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛面積=正 n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛面積−𝑛∆𝐴₂𝐵₂𝐵₁面積

= 𝑛 ∙^𝑎

4 2cot^𝜋

𝑛− 𝑛 ∙¹

2𝑟𝑎 ∙ (1 − 𝑟)𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛 (𝜋 −^2𝜋

𝑛)

= 𝑛 ∙^𝑎

4 2cot^𝜋

𝑛+ 𝑛 ∙¹

2𝑟𝑎 ∙ (𝑟 − 1)𝑎 ∙ 𝑠𝑖𝑛^2𝜋

𝑛 ， 與 r>1 時有相同結果。

所以

^{正 n 邊形𝐵}

¹

^𝐵

²

^…𝐵

^𝑛

^面積

正𝑛邊形𝐴

₁

𝐴

₂

…𝐴

_𝑛

面積 =

1

+ ^𝑛∙

1

2 𝑟𝑎∙(𝑟−1)𝑎∙𝑠𝑖𝑛 ^2𝜋

𝑛

𝑛∙ ^𝑎

4 2 cot ^𝜋

𝑛

= 4sin^{2 𝜋}

𝑛

(

^{𝑟 −1}

2

)

^{2 +}

(

^{1 − sin2 𝜋}

𝑛

)

(3)正 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛面積與正 n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛面積比值與邊長無關。縮放倍率與面積比 值為二次函數的關係，當縮放倍率 r= ¹

2 時，面積比值有最小值(1 − sin^{2 𝜋}

𝑛)。

(4)已知點 O 為正 n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛的外心。說明點 O 為正 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛的外心。

因為𝑂𝐵̅̅̅̅̅ = 𝑂𝐵₁ ̅̅̅̅̅̅ = ⋯ = 𝑂𝐵₂ ̅̅̅̅̅̅ = √[(𝑟 − 1)𝑎]_𝑛 ²+ (^𝑎

2csc^𝜋

𝑛)²− 2(𝑟 − 1)𝑎 ∙ (^𝑎

2csc^𝜋

𝑛) ∙ cos (^𝜋

2+^𝜋

𝑛)

，𝐵₁、𝐵₂、 … 、𝐵_𝑛 共圓，圓心為點 O，所以點 O 為正 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛外心。

又正 n 邊形的重心、外心與內心是同一點。所以經過縮放後的正 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛與原正 n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛 重心、外心、內心的位置相同。

5.透過 Excel 及 Gsp 繪圖軟體驗證

(1)透過 Excel 繪出正邊形縮放倍率 r 和新圖形與原圖形面積 比值的關係圖。

(2) 透過 Gsp 繪圖

正八邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴₈，以各頂點為縮放中心將各邊縮放 r 倍，連接各端點形成一新八邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵₈。可看出新八邊 形為正八邊形。面積比值與邊長無關，與縮放倍率有關。

圖(十一)

AreaB1B2B3B4B5B6B7B8 AreaA1A2A3A4A5A6A7A8

= 2.77 正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8

r =

mB6B7B8 = 135.00°

mB5B6B7 = 135.00°

mB4B5B6 = 135.00°

mB3B4B5 = 135.00°

mB2B3B4 = 135.00°

mB1B2B3 = 135.00°

mB8B1B2 = 135.00°

B8B1 = 3.70 cm B6B7 = 3.70 cm B5B6 = 3.70 cm B4B5 = 3.70 cm B3B4 = 3.70 cm B2B3 = 3.70 cm B1B2 = 3.70 cm A1B1 A1A2

= 2.31

A1B1 = 5.14 cm A1A2 = 2.23 cm

B8

B7

B6

B5

B4

B3

B2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A1 A2 B1

AreaB1B2B3B4B5B6B7B8 AreaA1A2A3A4A5A6A7A8

= 2.77 正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8

r =

mB6B7B8 = 135.00°

mB5B6B7 = 135.00°

mB4B5B6 = 135.00°

mB3B4B5 = 135.00°

mB2B3B4 = 135.00°

mB1B2B3 = 135.00°

mB8B1B2 = 135.00°

B8B1 = 3.00 cm B6B7 = 3.00 cm B5B6 = 3.00 cm B4B5 = 3.00 cm B3B4 = 3.00 cm B2B3 = 3.00 cm B1B2 = 3.00 cm A1B1 A1A2

= 2.31

A1B1 = 4.16 cm A1A2 = 1.80 cm

B8

B7

B6

B5

B4

B3

B2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A1 A2 B1

AreaB1B2B3B4B5B6B7B8 AreaA1A2A3A4A5A6A7A8

= 3.89 正八邊形A1A2A3A4A5A6A7A8

r =

mB6B7B8 = 135.00°

mB5B6B7 = 135.00°

mB4B5B6 = 135.00°

mB3B4B5 = 135.00°

mB2B3B4 = 135.00°

mB1B2B3 = 135.00°

mB8B1B2 = 135.00°

B8B1 = 3.56 cm B6B7 = 3.56 cm B5B6 = 3.56 cm B4B5 = 3.56 cm B3B4 = 3.56 cm B2B3 = 3.56 cm B1B2 = 3.56 cm A1B1 A1A2

= 2.78

A1B1 = 5.01 cm A1A2 = 1.80 cm

B8

B7

B6

B5

B4 B3

B2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A1 A2 B1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 1 2 3

面 積 比 值

縮放倍率r

正三角形 正四邊形 正五邊形 正七邊形 正九邊形

圖(十)

5

圖(十三)

y

x

D

₁

C

1

B

1

C(b+d,c)

A(0,0) B(b,0) D(d,c)

A

1

圖(十二)

y

x

C

1

B

1

C(c,d)

B(b,0) A(0,0)

A

1

(二)、三角形、平行四邊形、菱形、鳶形以各頂點為縮放中心，將各邊做 r 倍縮放 1、三角形

如圖(十二)，∆ABC，A (0，0)、B (b，0)、C (c，d)，

𝐴𝐴₁

̅̅̅̅̅ = r𝐴𝐵̅̅̅̅，𝐵𝐵̅̅̅̅̅ = r𝐵𝐶₁ ̅̅̅̅，𝐶𝐶̅̅̅̅̅ = r𝐶𝐴₁ ̅̅̅̅，r > 1，

則 A₁(rb，0)，B₁(b + r(c − b)，dr)，C₁(c − rc，d − rd) (1)因為AB̅̅̅̅ = 𝑏，𝐵𝐶̅̅̅̅ = √(b − c)²+ d²，𝐶𝐴̅̅̅̅ = √𝑐²+ 𝑑²

與𝐴̅̅̅̅̅̅̅ = √(𝑏 − 2𝑟𝑏 + 𝑟𝑐)₁𝐵₁ ²+ (𝑟𝑑)²，𝐴̅̅̅̅̅̅ = √(𝑟𝑏 − 𝑐 + 𝑟𝑐)₁𝐶₁ ²+ (𝑑 − 𝑟𝑑)²， 𝐵₁𝐶₁

̅̅̅̅̅̅ = √(𝑏 − 𝑐 − 𝑟𝑏 + 2𝑟𝑐)²+ (2𝑟𝑑 − 𝑑)²， 三邊對應不成比例，故 ∆𝐴₁𝐵₁𝐶₁與∆𝐴𝐵𝐶不相似。

(2) ∆𝐴₁𝐵₁𝐶₁的重心座標與∆𝐴𝐵𝐶的重心座標皆為 (^𝑏＋𝑐

３ ，^𝑑

３) ，重心位置相同。

(3)因為∆𝐴𝐴₁𝐶₁面積 = ∆𝐵𝐵₁𝐴₁面積 = ∆𝐶𝐶₁𝐵₁面積 = r(r − 1)∆𝐴𝐵𝐶面積，

所以

^{∆𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 面積}

∆𝐴𝐵𝐶面積

=

^{1+3𝑟(𝑟−1)}

1

= 3r² − 3r + 1，面積比值與正三角形面積比值相同。

(4)當 0< 𝑟 < 1時，與r > 1有相同結果。

2、平行四邊形

如圖(十三)，平行四邊形 ABCD，A(0，0)、B(b，0)、C(b+d，c)、D(d，c) 𝐴𝐴₁

̅̅̅̅̅ = r𝐴𝐵̅̅̅̅，𝐵𝐵̅̅̅̅̅ = r𝐵𝐶₁ ̅̅̅̅，𝐶𝐶̅̅̅̅̅ = r𝐶𝐷₁ ̅̅̅̅，𝐷𝐷̅̅̅̅̅̅ = r𝐷𝐴₁ ̅̅̅̅，r > 1，

則𝐴₁(𝑟𝑏，0)、𝐵₁(𝑏 + 𝑟𝑑，𝑟𝑐)、𝐶₁(𝑏 + 𝑑 − 𝑟𝑏，𝑐)

、𝐷₁(𝑑 − 𝑟𝑑，𝑐 − 𝑟𝑐)

(1)因為𝐵̅̅̅̅̅̅ = 𝐴₁𝐶₁ ̅̅̅̅̅̅̅ = √(𝑟𝑏 + 𝑟𝑑 − 𝑑)₁𝐷₁ ²+ (𝑟𝑐 − 𝑐)²， 𝐴₁𝐵₁

̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐶̅̅̅̅̅̅ = √(𝑟𝑏 − 𝑟𝑑 − 𝑏)₁𝐷₁ ²+ (𝑟𝑐)²，

因此四邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁為平行四邊形。但𝐴𝐵̅̅̅̅: 𝐷̅̅̅̅̅̅̅ ≠ 𝐵𝐶₁𝐴₁ ̅̅̅̅：𝐴̅̅̅̅̅̅̅， ₁𝐵₁

所以平行四邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁與平行四邊形 ABCD 不相似。但兩對角線交點在同一點。

(2)平行四邊形 ABCD 與平行四邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁的重心座標皆為 (

^𝑏＋𝑑

4 ， ₄ ^𝑐

)

，

重心位置相同。

(3)因為∆𝐴𝐴₁𝐷₁面積= ∆𝐵𝐵₁𝐴₁面積= ∆𝐶𝐶₁𝐵₁面積= ∆𝐷𝐷₁𝐶₁面積

= ^{𝑟(𝑟−1)}

2

平行四邊形 ABCD

6

圖(十四)

y

x

D

1

C

1

B

1

O

D(-b,0)

B(b,0)

A(0,-a) C(0,c) A

1

面積，所以

^{平行四邊形𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 面積}

平行四邊形𝐴𝐵𝐶𝐷面積

=

^{1+2𝑟(𝑟−1)}

1

= 2r² − 2r + 1，

(4)當 0< 𝑟 < 1時，與r > 1有相同結果。

3、鳶形

如圖(十四)，鳶形 ABCD，A(0， − 𝑎)、B(𝑏，0)、𝐶(𝑐，0)、𝐷(−𝑏，0)，

𝐴𝐴₁

̅̅̅̅̅ = r𝐴𝐵̅̅̅̅，𝐵𝐵̅̅̅̅̅ = r𝐵𝐶₁ ̅̅̅̅，𝐶𝐶̅̅̅̅̅ = r𝐶𝐷₁ ̅̅̅̅，𝐷𝐷̅̅̅̅̅̅ = r𝐷𝐴₁ ̅̅̅̅，r > 1

則𝐴₁(𝑟𝑏， − 𝑎 + 𝑟𝑎)、𝐵₁(𝑏 − 𝑟𝑏，𝑟𝑐)、𝐶₁(−𝑟𝑏、𝑐 − 𝑟𝑐)、 𝐷₁(−𝑏 + 𝑏𝑟， − 𝑎𝑟) (1)因為𝐴̅̅̅̅̅̅̅ = √(2𝑟𝑏 − 𝑏)₁𝐵₁ ²+ (𝑟𝑎 − 𝑟𝑐 + 𝑎)²，𝐵̅̅̅̅̅̅ = √𝑏₁𝐶₁ ²+ (2𝑟𝑐 − 𝑐)²，

𝐴₁𝐵₁

̅̅̅̅̅̅̅ ≠ 𝐵̅̅̅̅̅̅，四邊𝐴₁𝐶_{1 1}𝐵₁𝐶₁𝐷₁不是鳶形，與鳶形 ABCD 不相似。

(2) ∆𝐵𝐶𝐷重心座標 (0， ^𝑐

３)，∆𝐵₁𝐶₁𝐷₁重心座標 (^−𝑟𝑏

３ ，^{𝑐−𝑎𝑟}

３ )，利用中線被重心分割成(n-1):1 ，得鳶形 ABCD 重心座標為 (0，¹₄(^𝑐

3× 3 − 𝑎 × 1)) = (0，^𝑐−𝑎

4 ) 四邊𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁重心座標 (¹

4(^−𝑟𝑏

３ × 3 + rb × 1)，¹

4(^{𝑐−𝑎𝑟}

３ × 3 + (𝑟𝑎 − 𝑎) × 1)) = (0，^𝑐−𝑎

4 ) 鳶形 ABCD 與四邊𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁重心位置相同，且重心坐標都是各頂點坐標相加除以 4。

(3)∆A𝐴₁𝐷₁面積 = 𝑟∆𝐴𝐵𝐷₁面積 = 𝑟(𝑟 − 1)∆𝐴𝐵𝐷面積，

∆𝐶𝐶₁𝐵₁面積 = 𝑟∆𝐶𝐷𝐵₁面積 = 𝑟(𝑟 − 1)∆𝐵𝐶𝐷面積，

∆A𝐴₁𝐷₁面積 + ∆𝐶𝐶₁𝐵₁面積 = ∆B𝐵₁𝐴₁面積 + ∆𝐷𝐷₁𝐶₁面積 = 𝑟(𝑟 − 1)鳶形𝐴𝐵𝐶𝐷面積，

四邊形𝐴 ₁ 𝐵 ₁ 𝐶 ₁ 𝐷 ₁ 面積

鳶形𝐴𝐵𝐶𝐷面積

= 1 + 2r(𝑟 − 1) = 2r²− 2r + 1 (4)當 0< 𝑟 < 1時，與r > 1有相同結果。

4、梯形

如圖(十五)，梯形 ABCD，A(0，0)、𝐵(𝑏，0)、𝐶(𝑐，𝑎)，

、𝐷(𝑑，𝑎)，𝐴𝐴̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐴𝐵₁ ̅̅̅̅，𝐵𝐵̅̅̅̅̅ = r𝐵𝐶₁ ̅̅̅̅，𝐶𝐶̅̅̅̅̅ = r𝐶𝐷₁ ̅̅̅̅，𝐷𝐷̅̅̅̅̅̅ = r𝐷𝐴₁ ̅̅̅̅，r > 1，

則𝐴₁(𝑏𝑟，0)、𝐵₁(𝑏 + 𝑟(𝑐 − 𝑏)，𝑟𝑎)、𝐶₁(𝑐 + (𝑑 − 𝑐)𝑟，𝑎)， 𝐷₁(𝑑 − 𝑟𝑑，𝑎 − 𝑟𝑎) (1)因為𝐵̅̅̅̅̅̅與𝐴₁𝐶₁ ̅̅̅̅̅̅̅不平行，所以四邊形𝐴₁𝐷_{1 1}𝐵₁𝐶₁𝐷₁不是梯形，與梯形 ABCD 不相似。

(2)梯形 ABCD 重心座標與四邊𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁重心座標皆為 (^{𝑏+𝑐＋𝑑}

4 ，^𝑎

2)，重心位置相同。

圖(十五)

y

x

D

1

C

1

B

1

A(0,0)

B(b,0) C(c,a) D(d,a)

A

1

7

圖(十六) a

1

a

3

a

5

a

₂

a

4

θ5

θ4

θ3

θ2

θ1

E

1

D

1

C

1

B

₁

A B

C D

E

A

1

(3)∆A𝐴₁𝐷₁面積 + ∆𝐶𝐶₁𝐵₁面積 = ∆𝐵𝐵₁𝐴₁面積 + ∆𝐷𝐷₁𝐶₁面積 = r(𝑟 − 1)梯形 ABCD 面積 四邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁面積

梯形𝐴𝐵𝐶𝐷面積 = 1 + 2r(𝑟 − 1) = 2r²− 2r + 1，

(4) 當 0< 𝑟 < 1時，與r > 1有相同結果。

由 1~4 知，三角形、四邊形縮放後的圖形:與原圖形不會相似。但重心位置相同。

四邊形面積比值皆相同。面積比值與邊長、內角度數無關，與縮放倍率有關。縮放倍率與 面積比值為二次函數的關係，當縮放倍率r

= ¹ ₂

時，面積比值有最小值。

5、五邊形

如圖(十六)，五邊形 ABCDE，各邊長度與各內角角度如圖所示 𝐴𝐴₁

̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐴𝐵̅̅̅̅，𝐵𝐵̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐵𝐶₁ ̅̅̅̅，𝐶𝐶̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐶𝐷₁ ̅̅̅̅，𝐷𝐷̅̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐷𝐸₁ ̅̅̅̅，

𝐷𝐷₁

̅̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐸𝐴̅̅̅̅，r > 1

(1) 五邊形 ABCDE 與五邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁不相似。

(2)五邊形 ABCDE 面積= ∆ABE 面積 + ∆BCE 面積 + ∆CDE 面積

=1

2𝑎₁[𝑎₂sin(𝜋 − 𝜃₂) + 𝑎₃sin(𝜃₂+ 𝜃₃− 𝜋) − 𝑎₄sin(2𝜋 − 𝜃₂− 𝜃₃− 𝜃₄)]

+1

2𝑎₂[𝑎₃sin(𝜋 − 𝜃₃) + 𝑎₄sin(𝜃₃+ 𝜃₄− 𝜋)] +1

2𝑎₃𝑎₄sin 𝜃₄

=1

2𝑎₁[𝑎₂sin 𝜃₂− 𝑎₃sin(𝜃₂ + 𝜃₃) + 𝑎₄sin(𝜃₂+𝜃₃+𝜃₄)] +1

2𝑎₂[𝑎₃sin 𝜃₃ − 𝑎₄sin(𝜃₃+ 𝜃₄)]

+1

2𝑎₃𝑎₄sin 𝜃₄ =1

2∑ {(−1)^𝑖+1∙ 𝑎_𝑖∙ [ ∑ (−1)^𝑗∙ 𝑎_𝑗∙ sin(𝜃_𝑖+1+ ⋯ + 𝜃_𝑗)

4

𝑗=𝑖+1

]}

3

𝑖=1

五邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁面積 = 五邊形 ABCDE 面積 +^r(r−1)

2 [∑⁴_i=1𝑎_𝑖𝑎_𝑖+1sin𝜃_𝑖+1+ 𝑎₅𝑎₁sin 𝜃₁] 五邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁面積

五邊形 ABCDE 面積 = 1 + 𝑟(𝑟 − 1)(∑⁴_𝑖=1𝑎_𝑖𝑎_𝑖+1sin𝜃_𝑖+1+ 𝑎₅𝑎₁sin 𝜃₁)

∑³_𝑖=1{(−1)^𝑖+1∙ 𝑎_𝑖∙ [∑⁴_𝑗=𝑖+1(−1)^𝑗∙ 𝑎_𝑗∙ sin(𝜃_𝑖+1+ ⋯ + 𝜃_𝑗)]}

面積比值不僅與縮放倍率有關，也與邊長、內角度數有關，且當

r = ¹

2

時，面積比值有最 小值。

(3)設

A (0 ， 0) 、 𝐵(𝑎

₁

， 0) 、 𝐴

₁

(𝑟𝑎

₁

， 0)

、

𝐶(𝑎

₁

− 𝑎

₂

cos 𝜃

₂

， 𝑎

₂

sin 𝜃

₂

) 、

𝐵

₁

(𝑎

₁

− 𝑟𝑎

₂

cos 𝜃

₂

， 𝑟𝑎

₂

sin 𝜃

₂

) 、 𝐷(𝑎

₁

− 𝑎

₂

cos 𝜃

₂

+𝑎

₃

cos(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

) ， 𝑎

₂

sin 𝜃

₂

−𝑎

₃

sin(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

))

8

圖(十七) a

1

a

_n

a

₃

ra

₂

ra

n

B

3

ra

₁

a

2

θn θ3

θ2

θ1

B

1

B

n

A

3

A

n

A

2

A

1

B

2

𝐶

1

(𝑎

1

− 𝑎

2

cos 𝜃

2

+𝑟𝑎

3

cos(𝜃

2

+ 𝜃

3

) ， _𝑎

₂

_{sin 𝜃}

₂

_−𝑟𝑎

₃

_sin(𝜃

₂

_{+ 𝜃}

₃

₎₎ 、

𝐸(𝑎

₁

− 𝑎

₂

cos 𝜃

₂

+𝑎

₃

cos(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

)−𝑎

₄

cos(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

+𝜃

₄

) ， 𝑎

₂

sin 𝜃

₂

−𝑎

₃

sin(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

)+𝑎

₄

sin(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

+𝜃

₄

)) 𝐷

₁

(𝑎

₁

− 𝑎

₂

cos 𝜃

₂

+𝑎

₃

cos(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

) − 𝑟𝑎

₄

cos(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

+𝜃

₄

) ， 𝑎

₂

sin 𝜃

₂

−𝑎

₃

sin(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

) + 𝑟𝑎

₄

sin(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

+𝜃

₄

))

𝐸

₁

((1 − 𝑟)(𝑎

₁

− 𝑎

₂

cos 𝜃

₂

+𝑎

₃

cos(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

) − 𝑎

₄

cos(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

+𝜃

₄

)) ， (1 − 𝑟)(𝑎

₂

sin 𝜃

₂

−𝑎

₃

sin(𝜃

₂

+ 𝜃

₃

) + 𝑎

4

sin(𝜃

2

+ 𝜃

3

+𝜃

4

)))

可求得五邊形 ABCDE 及五邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁重心座標皆為

( 4𝑎

1

− 3𝑎

2

cos 𝜃

2

+2𝑎

3

cos(𝜃

2

+ 𝜃

3

) − 𝑎

4

cos(𝜃

2

+ 𝜃

3

+𝜃

4

)

5 ， ^3𝑎

²

^{sin 𝜃}

²

^−2𝑎

³

^sin(𝜃

²

^{+ 𝜃}

³

^{) + 𝑎}

⁴

^sin(𝜃

²

^{+ 𝜃}

³

^+𝜃

⁴

⁾

5 )

(4) 當 0< 𝑟 < 1時，有相同結果。

6、凸 n 邊形

如圖(十七)，n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛，邊長依序為𝑎₁，𝑎₂， … ，𝑎_𝑛， 內角依序為 𝜃₁，𝜃₂， … ，𝜃_𝑛，以各頂點為縮放中心，

將各邊縮放 r 倍，r > 1，連接各端點形成一新 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛。 (1) 新 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛與 n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛不相似。

(2) 設 G 為 n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛的重心，𝐺₁為 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛的重心。

G𝐴₁

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + G𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + G𝐴₂ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + ⋯ + G𝐴₃ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝑂⃑ ，𝐺_𝑛 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐺₁𝐵₁ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐺₁𝐵₂ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + ⋯ + 𝐺₁𝐵₃ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝑂⃑ ⋯ ① ₁𝐵_𝑛 由①得 (𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐺𝐵₁𝐺 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) + (𝐺₁ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐺𝐵₁𝐺 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) + (𝐺₂ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐺𝐵₁𝐺 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) + ⋯ + (𝐺₃ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐺𝐵₁𝐺 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) = 𝑂⃑ _𝑛 𝑛𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + (𝐺𝐴₁𝐺 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐴₁ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) + (𝐺𝐴₁𝐵₂ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐴₂ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) + ⋯ + (𝐺𝐴₂𝐵₃ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝐴_𝑛 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) = 𝑂⃑ _𝑛𝐵₁

𝑛𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + (𝐺𝐴₁𝐺 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝑟𝐴₁ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) + (𝐺𝐴₁𝐴₂ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝑟𝐴₂ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) + ⋯ + (𝐺𝐴₂𝐴₃ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝑟𝐴_𝑛 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ) = 𝑂⃑ _𝑛𝐴₁

𝑛𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + [(1 − 𝑟)𝐺𝐴₁𝐺 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝑟𝐺𝐴₁ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ] + [(1 − 𝑟)G𝐴₂ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝑟G𝐴₂ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ] + ⋯ + [(1 − 𝑟)G𝐴₃ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ + 𝑟G𝐴_𝑛 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ] = 𝑂⃑ ₁ 𝑛𝐺⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝑂⃑ , 𝐺₁𝐺 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = 𝑂⃑ , 得 G 與𝐺₁𝐺 ₁為同一點。所以經過縮放後的 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛與原 n 邊形 𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛重心的位置相同。

設𝐴₁(

0 ， 0

)

、

𝐴₂(

𝑎

₁

， 0

)

、 ⋯ ， 則

n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛的重心座標為

( (𝑛 − 1)𝑎

₁

− [∑

^𝑛−1_𝑖=2

(−1)

^𝑖

(𝑛 − 𝑖) ∙ 𝑎

_𝑖

∙ 𝑐𝑜s (𝜃

₂

+ ⋯ + 𝜃

_𝑖

)

𝑛 ， ^{∑ (−1)}

𝑖

(𝑛 − 𝑖) ∙ 𝑎

_𝑖

∙ sin (𝜃

₂

+ ⋯ + 𝜃

_𝑖

)

𝑛−1𝑖=2

𝑛 )

(3)

^{n 邊形𝐵}

¹

^𝐵

²

^…𝐵

^𝑛

^面積

n 邊形𝐴

₁

𝐴

₂

…𝐴

_𝑛

面積 = 1 + ^{𝑟(𝑟−1)(∑}

^{𝑛−1𝑖=1}

^𝑎

^𝑖

^𝑎

^𝑖+1

^sin𝜃

^𝑖+1

^+𝑎

^𝑛

^𝑎

¹

^{sin 𝜃}

¹

⁾

∑

^𝑛−2_𝑖=1

{(−1)

^𝑖+1

∙𝑎

_𝑖

∙[∑

^𝑛−1_𝑗=𝑖+1

(−1)

^𝑗

∙𝑎

_𝑗

∙sin(𝜃

_𝑖+1

+⋯+𝜃

_𝑗

)]}

9

8

6

4

2

2

10 5 5 10

G(1.92,2.18)

mDEA = 95.65°

mCDE = 112.54°

mBCD = 106.38°

mABC = 113.00°

mEAB = 112.43°

EA = 3.37 cm DE = 4.04 cm CD = 3.49 cm BC = 3.05 cm AB = 3.78 cm r = 1.38

G

G4

G2

G3

G1

E1

D1

C1

B1

A

C D E

B A1 0.01

0.3 0.5 0.7 1 1.3 1.5 1.7 2 2.3 2.5 2.7 3 0

1 2 3 4 5

0 1 2 3

面 積 比 值

縮放倍率r

設 ∑^𝑛−1_𝑖=1 𝑎_𝑖𝑎_𝑖+1sin𝜃_𝑖+1+ 𝑎_𝑛𝑎₁sin 𝜃₁ = 𝑃，

∑^𝑛−2_𝑖=1{(−1)^𝑖+1∙ 𝑎_𝑖 ∙ [∑^𝑛−1_𝑗=𝑖+1(−1)^𝑗 ∙ 𝑎_𝑗 ∙ sin(𝜃_𝑖+1+ ⋯ + 𝜃_𝑗)]}= 𝑄 n 邊形𝐵₁𝐵₂… 𝐵_𝑛面積

n 邊形𝐴₁𝐴₂… 𝐴_𝑛面積= 1 +𝑃

𝑄𝑟(𝑟 − 1) =𝑃

𝑄(𝑟 −1 2)

2

+ 1 − 𝑃 4𝑄

面積比值與邊長、內角度數有關。縮放倍率與面積比值為二次函數的關係，當縮放倍率 r=

¹

2

時，面積比值有最小值

1 − ^∑

^{𝑛−1𝑖=1}

^𝑎

^𝑖

^𝑎

^𝑖+1

^sin𝜃

^𝑖+1

^+𝑎

^𝑛

^𝑎

¹

^{sin 𝜃}

¹

4 ∑

^𝑛−2_𝑖=1

{(−1)

^𝑖+1

∙𝑎

_𝑖

∙[∑

^𝑛_𝑗=𝑖+1⁻¹

(−1)

^𝑗

∙𝑎

_𝑗

∙sin(𝜃

_𝑖+1

+⋯+𝜃

_𝑗

)]}

(4) 當 0< 𝑟 < 1時，與r > 1有相同結果。

7、透過 Excel 及 Gsp 繪圖軟體驗證

(1)以五邊形 ABCDE 為例，依序將各邊縮放 r 倍，連接各端點形成五邊形𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁。

利用 Excel 找出當 r=1.8 時的面積比值 。繪出縮放倍率 r 與面積比值的關係圖。

各邊 AB ^{BC CD DE EA 縮放倍率 r = 1.80}

邊長 4 3 3 4 3.4 五邊形ABCDE面積= 20.46

內角 ∠EAB ∠ABC ∠BCD ∠CDE ∠DEA 五邊形 面積= 61.39 度數 103.44 114.15 106.9 118.46 97.05

3.00

③透過 Gsp 繪圖，如圖(十八)，可看出五邊形 ABCDE 與五邊形

𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁不相似。當縮放倍率 r 不變，改變邊長、角度，面積比值會跟著改變。

(2)找出五邊形 ABCDE 與𝐴₁𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁的重心位置及其座標

∆ABC 重心𝐺1，𝐷𝐸̅̅̅̅中點𝐺₂，在𝐺̅̅̅̅̅̅上取一點𝐺， ₁𝐺₂ 使得𝐺𝐺̅̅̅̅̅: 𝐺𝐺₁ ̅̅̅̅̅ = 2 ∶ 3。點𝐺為五邊形 ABCDE 的重心。 ₂

∆𝐴₁𝐵₁𝐶₁重心𝐺₃，𝐷̅̅̅̅̅̅中點𝐺₁𝐸_{1 4}，在𝐺̅̅̅̅̅̅上取一點𝐺₃𝐺₄ ^′， 使得𝐺′𝐺̅̅̅̅̅̅: 𝐺′𝐺₁ ̅̅̅̅̅̅ = 2 ∶ 3。點𝐺′為五邊形𝐴_{2 1}𝐵₁𝐶₁𝐷₁𝐸₁的 重心。點𝐺與𝐺′為同一點，且座標為(1.92,2.18)。

E1A1 = 7.08 cm D1E1 = 6.55 cm C1D1 = 6.42 cm B1C1 = 5.24 cm A1B1 = 5.02 cm

r = ^{Area A}_{Area ABCDE}^{1B1C1D1E1 = 3.00}

mEAB = 103.44°

mDEA = 97.05°

mCDE = 118.46°

mBCD = 106.90°

mABC = 114.15°

AA1

AB = 1.80

EA = 3.40 cm DE = 4.00 cm CD = 3.00 cm BC = 3.00 cm AB = 4.00 cm

E1

D1

C1

B1

A B

C D E

A1

r =

Area A1B1C1D1E1

Area ABCDE = 3.12 mEAB = 131.94°

mDEA = 126.11°

mCDE = 82.19°

mBCD = 84.48°

mABC = 115.27°

AA1

AB = 1.80

EA = 1.98 cm DE = 3.19 cm CD = 4.58 cm BC = 3.37 cm AB = 2.21 cm

E1

D1

C1

B1

A B D C

E

A1

圖(十八) 表(一)

圖(十九)

10

Q1

P3

Q3

P2

Q2

B3 B2

A3

A1

A2

B1 P1

圖(二十)

1 1

1 1 1

1

x°

2sinx°

2 120°

x°

x°

→

^x°-120°

B

3

B

2

A

3

A

1

A

2

B

1

(三)、邊長相等的正 n 角星形以各頂點為縮放中心，將各邊做 r 倍縮放 1、邊長相等的正三角星形

如圖（二十）， 𝐴̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐵₁𝐵₁ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴₁𝐴₂ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐵₂𝐵₂ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴₂𝐴₃ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐵₃𝐵₃ ̅̅̅̅̅̅̅ = 1， ₃𝐴₁ ∠𝐴₁𝐵₁𝐴₂=∠𝐴₂𝐵₂𝐴₃ = ∠𝐴₃𝐵₃𝐴₁ = 𝑥°，120 < 𝑥 ≤ 180，

則 𝐴̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴₁𝐴₂ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴₂𝐴₃ ̅̅̅̅̅̅̅ = 2 sin₃𝐴₁ ^𝑥°

2 ，

∠𝐵₃𝐴₁𝐵₁=∠𝐵₁𝐴₂𝐵₂ = ∠𝐵₂𝐴₃𝐵₃ = 𝑥° − 120°

以各頂點為縮放中心，將各邊做 r 倍縮放，如圖(二十一) 使得𝐴̅̅̅̅̅̅ = r𝐴₁𝑃₁ ̅̅̅̅̅̅̅、𝐴₁𝐵₁ ̅̅̅̅̅̅ = r𝐴₂𝑃₂ ̅̅̅̅̅̅̅、 𝐴₂𝐵₂ ̅̅̅̅̅̅ = r𝐴₃𝑃₃ ̅̅̅̅̅̅̅， ₃𝐵₃ 𝐵̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐵₁𝑄₂ ̅̅̅̅̅̅̅、𝐵₁𝐴₂ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐵₂𝑄₃ ̅̅̅̅̅̅̅、𝐵₂𝐴₃ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑟𝐵₃𝑄₁ ̅̅̅̅̅̅̅ ₃𝐴₁

(1)此時𝑃̅̅̅̅̅̅ = 𝑃₁𝑄₂ ̅̅̅̅̅̅ = 𝑃₂𝑄₃ ̅̅̅̅̅̅ = √(𝑟 − 1)₃𝑄₁ ²+ 𝑟²− 2𝑟(𝑟 − 1) cos(180° − 𝑥°) 𝑄₁𝑃₁

̅̅̅̅̅̅ =𝑄̅̅̅̅̅̅ = 𝑄₂𝑃₂ ̅̅̅̅̅̅ = √(𝑟 − 1)₃𝑃₃ ²+ 𝑟²− 2𝑟(𝑟 − 1) cos(180° − (𝑥° − 120°)) 𝑃̅̅̅̅̅̅ ≠ 𝑃₁𝑄₂ ̅̅̅̅̅̅，可知新圖形與原圖形不相似。 ₁𝑄₂

(2)要使新圖形仍為星形時，縮放倍率 r 不能無限制放大，要有所限制。

當𝑃̅̅̅̅̅̅落在𝑃₁𝑄₂ ̅̅̅̅̅̅上時即停止。 ₂𝑄₂ 設𝐴₁(0‚0)， 𝐴₂(2 sin^𝑥°

2 , 0) 𝐴₃(2 sin^𝑥°

2 + 2 sin^𝑥°

2 cos 120°‚2 sin^𝑥°

2 sin 120°) 𝐵₁(sin𝑥°

2 ‚ cos𝑥°

2) ‚𝐵₂(2 sin𝑥°

2 + sin (𝑥°

2 − 120°) ‚ cos (𝑥°

2 − 120°)) 𝐵₃(2 sin𝑥°

2 + 2 sin𝑥°

2 cos 120° + sin (𝑥°

2 − 240°) ‚2 sin𝑥°

2 sin 120° + cos (𝑥°

2 − 240°)) 𝑃₁(𝑟 sin𝑥°

2 ‚𝑟 cos𝑥°

2) ‚𝑃₂(2 sin𝑥°

2 + 𝑟 sin (𝑥°

2 − 120°) ‚𝑟 cos (𝑥°

2 − 120°)) 𝑃₃(2 sin𝑥°

2 + 2 sin𝑥°

2 cos 120° + 𝑟 sin (𝑥°

2 − 240°) ‚2 sin𝑥°

2 sin 120° + 𝑟 cos (𝑥°

2 − 240°)) 𝑄₂(sin^𝑥°

2 + 𝑟 sin^𝑥°

2 ‚ cos^𝑥°

2 − 𝑟cos^𝑥°

2) ，當 𝑃̅̅̅̅̅̅斜率= 𝑃1𝑄₂ ̅̅̅̅̅̅斜率 ₂𝑄₂ cos𝑥°

2 − 𝑟 cos 𝑥°

2 − 𝑟 cos 𝑥°

2 sin𝑥°

2 + 𝑟 sin 𝑥°

2 − 𝑟 sin 𝑥°

2

= cos𝑥°

2 − 𝑟 cos 𝑥°

2 − 𝑟 cos ( 𝑥°

2 − 120°) sin𝑥°

2 + 𝑟 sin 𝑥°

2 − 2 sin 𝑥°

2 − 𝑟 sin ( 𝑥°

2 − 120°)

圖(二十一)

11 Q

1

P

3

Q

3

P

2

Q

2 B3B2

A

3

A

₁

A

₂

B1

P

1

Q

1

P

3

Q

3

P

2

Q

2

B3 B2

A

3

A

2

A

1

B₁

P

1

Q

1

P

3

Q

3

P

2

Q

2

B₃B₂

A

3

A

1

A

2

B1

P

1

Q

₁

P

₃

Q

₃

P

2

Q

₂

B3B2

A

3

A

1

A

2 B1

P

₁

Q

1

P

3

Q

3

P

2

Q

2

B3B2

A

3

A

1

A

2

B1

P

1

𝑟²[2 cos𝑥°

2 sin (𝑥°

2 − 120°) − 2 cos𝑥°

2 sin𝑥°

2] +𝑟 [4 sin𝑥°

2 cos𝑥°

2 + sin𝑥°

2 cos (𝑥°

2 − 120°) − sin (𝑥°

2 − 120°) cos𝑥°

2] − 2 sin𝑥°

2 cos𝑥°

2 = 0 𝑟²(√3 cos 𝑥 + 3 sin 𝑥 + √3) − 𝑟(4 sin 𝑥 + √3) + 2 sin 𝑥 = 0

𝑟 = 4 sin 𝑥+√3±√−8𝑠𝑖𝑛 ² 𝑥−8√3 sin 𝑥 cos 𝑥+3

6 sin 𝑥+2√3 cos 𝑥+2√3 = ^𝐼±𝐽

𝐾

當

𝑟 > ^𝐼+𝐽

𝐾

時，圖形變形，如圖(二十二)。

當

𝑟 = ^𝐼+𝐽

𝐾

時，圖形變成正三角形∆P₁P₂P₃，如圖(二十三)。

當

1 < 𝑟 < ^𝐼+𝐽

𝐾

時，圖形為不等邊的三角星形，如圖(二十一)。

當

^𝐼−𝐽

𝐾 < 𝑟 < 1

時，圖形為不等邊的三角星形，如圖(二十四)。

當

𝑟 = ^𝐼−𝐽

𝐾

時，圖形為正三角形P₁P₂P₃，也是不等邊星形，如圖(二十五)。

當

0 < 𝑟 < ^𝐼−𝐽

𝐾

時，圖形為不等邊的三角星形，如圖(二十六)。

所以，在此我們只探討當

𝑟 < ^𝐼+𝐽

𝐾

時，新圖形三角星形面積是原等邊三角星形面積的幾倍

。

(3)說明∆P₁P₂P₃為正三角形 𝑃₁𝑃₂

̅̅̅̅̅̅² = [2 sin𝑥^°

2 + 𝑟 sin (𝑥^°

2 − 120°) − 𝑟 sin𝑥^° 2]

2

+ [𝑟 cos (𝑥^°

2 − 120°) − 𝑟 cos𝑥^° 2]

2

圖(二十三)

圖(二十五) 圖(二十六)

圖(二十四)

圖(二十二)

12

= 4 sin²𝑥^°

2 + 𝑟²sin²(𝑥^°

2 − 120°) + 𝑟²sin²𝑥^°

2 + 𝑟²cos²(𝑥^°

2 − 120°) + 𝑟²cos²𝑥^° 2 +4𝑟 sin𝑥^°

2 sin (𝑥^°

2 − 120°) − 2𝑟²sin (𝑥^°

2 − 120°) sin𝑥^°

2 − 4𝑟𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2

−2𝑟²cos (𝑥°

2 − 120°) cos𝑥°

2

= 4𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 + 2𝑟² + 4𝑟sin𝑥°

2 [sin𝑥°

2 ∙ cos 120° − cos𝑥°

2 ∙ sin 120°]

−2𝑟²cos [(𝑥°

2 − 120°) −𝑥°

2] − 4𝑟𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2

= 3𝑟²− 6𝑟𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 − √3r sin 𝑥° + 4𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 𝑃₂𝑃₃

̅̅̅̅̅̅² = [2 𝑠𝑖𝑛𝑥°

2 𝑐𝑜𝑠 120° + 𝑟 𝑠𝑖𝑛 (𝑥°

2 − 240°) − 𝑟 𝑠𝑖𝑛 (𝑥°

2 − 120°)]

2

+ [2 sin𝑥°

2 sin 120° + 𝑟 cos (𝑥°

2 − 240°) − 𝑟 cos (𝑥°

2 − 120°)]

2

= 4𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 𝑐𝑜𝑠²120° + 𝑟²𝑠𝑖𝑛²(𝑥°

2 − 240°) + 𝑟²𝑠𝑖𝑛²(𝑥°

2 − 120°) +4𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 sin 120° + 𝑟²𝑐𝑜𝑠²(𝑥°

2 − 240°) + 𝑟²𝑐𝑜𝑠²(𝑥°

2 − 120°) +4𝑟 sin𝑥°

2 sin (𝑥°

2 − 240°) cos 120° + 4𝑟 sin𝑥°

2 sin 120° cos (𝑥°

2 − 240°)

−2𝑟²sin (𝑥°

2 − 240°) sin (𝑥°

2 − 120°) − 2𝑟²cos (𝑥°

2 − 240°) cos (𝑥°

2 − 120°)

−4𝑟 sin𝑥°

2 sin (𝑥°

2 − 120°) cos 120° − 4𝑟 sin𝑥°

2 cos (𝑥°

2 − 120°) sin 120°

= 4𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 + 2𝑟² + 4𝑟 sin𝑥°

2 sin (𝑥°

2 − 120°) − 2𝑟²cos 120° − 4𝑟 sin𝑥°

2 sin𝑥°

2

= 3𝑟²− 6𝑟𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 − √3r sin 𝑥° + 4𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 𝑃₃𝑃₁

̅̅̅̅̅̅² = [2 sin𝑥°

2 + 2 sin𝑥°

2 cos 120° + 𝑟 sin (𝑥°

2 − 240°) − 𝑟 sin𝑥°

2]

2

+ [2 sin𝑥°

2 sin 120° + 𝑟 cos (𝑥°

2 − 240°) − 𝑟 cos𝑥°

2]

2

= [𝑠𝑖𝑛𝑥°

2 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛 (𝑥°

2 + 120°) − 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝑥°

2]

2

+ [√3 sin𝑥°

2 + 𝑟 cos (𝑥°

2 + 120°) − 𝑟 cos𝑥°

2]

= 𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 + 𝑟²𝑠𝑖𝑛²(𝑥°

2 + 120°) + 𝑟²sin𝑥°

2 + 3𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 + 𝑟²𝑐𝑜𝑠²(𝑥°

2 + 120°)

13

+𝑟²𝑐𝑜𝑠²𝑥°

2 + 2𝑟 𝑠𝑖𝑛𝑥°

2 sin (𝑥°

2 + 120°) + 2√3𝑟 𝑠𝑖𝑛𝑥°

2 cos (𝑥°

2 + 120°) − 2𝑟𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2

−2𝑟²𝑠𝑖𝑛𝑥°

2 sin (𝑥°

2 + 120°) − 2𝑟²cos𝑥°

2 cos (𝑥°

2 + 120°) − 2√3𝑟 𝑠𝑖𝑛𝑥°

2 cos𝑥°

2

= 4𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 + 2𝑟²− 4𝑟𝑠𝑖𝑛²𝑥

2− 2𝑟²cos 120° − 2𝑟𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 − √3𝑟 sin 𝑥°

= 3𝑟²− 6𝑟𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 − √3𝑟 sin 𝑥° + 4𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 故𝑃̅̅̅̅̅̅ = 𝑃 ₁𝑃₂ ̅̅̅̅̅̅ = 𝑃₂𝑃₃ ̅̅̅̅̅̅，∆P₃𝑃_{1 1}P₂P₃為正三角形。

(4)三角星形面積

=

³

2

∙ 2 sin

^𝑥°

2

∙ sin

^𝑥°

2

(cot 60° − cot

^𝑥°

2

) = 3𝑠𝑖𝑛

^{2 𝑥°}

2

(cot 60° − cot

^𝑥°

2

)

因為∆𝐴₁𝑃₁𝑄₁ ≅ ∆𝐴₂𝑃₂𝑄₂ ≅ ∆𝐴₃𝑃₃𝑄₃， △ 𝐵₁𝑃₁𝑄₂ ≅△ 𝐵₂𝑃₂𝑄₃ ≅△ 𝐵₃𝑃₃𝑄₁（SAS 全等），

新三角星形面積=三角星形面積+3(△ 𝐴₁𝑃₁𝑄₁面積 −△ 𝐵₁𝑃₁𝑄₂面積)

=

三角星形面積

+ 3 ∙

^𝑟

2

(𝑟 − 1)[sin(𝑥° − 120°) − sin 𝑥°]

=

三角星形面積

− 3𝑟(𝑟 − 1) cos(𝑥° − 60°) sin 60°

新三角星形面積

三角星形面積 = 1 −√3

2 ∙ cos(𝑥° − 60°) 𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 (cot 60° − cot 𝑥°

2 )

(𝑟²− 𝑟)

= −√3

2 ∙ cos(𝑥° − 60°) 𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 (cot 60° − cot𝑥°

2)

(𝑟 −1 2)

2

+ 1 +√3 8

𝑐𝑜𝑠(𝑥° − 60°) 𝑠𝑖𝑛²𝑥°

2 (𝑐𝑜𝑡 60° − 𝑐𝑜𝑡𝑥°

2)

當120 < 𝑥 < 150時，cos(𝑥° − 60°) > 0且cot 60° > cot^𝑥°

2， 面積比值在

𝑟 = ¹

2

時，有最大值 1+

^√3 8

cos(𝑥°−60°) 𝑠𝑖𝑛 ^2𝑥°

2 (cot 60°−cot ^𝑥°

2 )

當𝑥 = 150 時，cos 90° = 0，面積比值皆為 1，面積比值不受縮放倍率的影響

當150 < 𝑥 ≤ 180時，cos(𝑥° − 60°) < 0且cot 60° > cot^𝑥°

2， 面積比值在

𝑟 = ¹

2

時，有最小值 1+

^√3 8

𝑐𝑜𝑠(𝑥°−60°) 𝑠𝑖𝑛 ^2𝑥°

2 (𝑐𝑜𝑡 60°−𝑐𝑜𝑡 ^𝑥°

2 )

(5)透過 Excel 來互相驗證

以邊長相等的三角星形為例。

利用 Excel 找出縮放倍率 r 值的範圍。

因為

𝑟 < 4 sin 𝑥+√3+√−8𝑠𝑖𝑛

²

𝑥−8√3 sin 𝑥 cos 𝑥+3

6 sin 𝑥+2√3 cos 𝑥+2√3 ，

所以