二次項係數為 1 的十字交乘法 二次項係數為 1 的十字交乘法

二次項係數為 1 的十字交乘法 二次項係數為 1 的十字交乘法

自我評量

二次項係數不為 1 的十字交乘法

二次項係數不為 1 的十字交乘法

在第 1 章學過多項式乘法，例如 ：（ x

＋ 2 ）（ x ＋ 3 ）＝ x

＋ 5x ＋ 6 ； x ＋ 2

× ) x ＋ 3 x

＋ 2x ＋ 3x

＋ 6

x

＋ 5x ＋ 6 （ 2 ＋ 3 ） x

2×3

反之，要將 x

＋ 5x ＋ 6 分解為兩個 一次因式的乘積，可以假設：

x

＋ 5x ＋ 6 ＝（ x ＋ p ）（ x ＋ q ） ＝ x

＋（ p ＋ q ） x ＋ pq

則 p ＋ q ＝ 5 ， p • q ＝ 6 。

由於滿足 p ＋ q ＝ 5 的整數 p 、 q 太多，可以先找滿足 p • q ＝ 6 的整數 p 、 q ： p • q ＝ 6

＝ 1 × 6 ＝ 2 × 3

＝（－ 1 ） ×

（－ 6 ）

＝（－ 2 ） ×

（－ 3 ）

這幾種分解中，只有 p ＝ 2 、 q ＝ 3 才會滿足 p ＋ q ＝ 5 ，所以：

x

＋ 5x ＋ 6 ＝（ x ＋ 2 ）（ x ＋ 3 ）

也可以記錄成：

x ＋ 2

x

6 x ＋ 3

3x ＋ 2x ＝ 5x

這種因式分解的方法稱為十字交乘法。

一般來說，如果 x

＋ bx ＋ c 可以因 式分解為（ x ＋ p ）（ x ＋ q ）的形式，因為

（ x ＋ p ）（ x ＋ q ）＝ x

＋（ p ＋ q ） x ＋ p q ，比較 x

＋ bx ＋ c 與 x

＋（ p ＋ q ） x ＋ pq 兩式，我們可以發現 ：

b ＝ p ＋ q

c ＝ pq

x 的係數

常數項

所以在因式分解形如 x

＋ bx ＋ c 的 二次三項式時，我們只要考慮如何找到兩整 數 p 、 q ，使它們相加的和為 b ，相乘的積 為 c 。又因為兩數的和為 b 的可能性很多，

所以我們都由分解常數項開始進行，再檢查

和是否相符。

1 二次項係數為 1 ，常數項為正數

因式分解下列各式：

(1) x

＋ 4x ＋ 3 (2) x

－ 7x 解 ＋ 6

解 將 x

分解為 x‧x ，常數項 3 可分解為 3 ＝ 1

3 ＝ ( － 1) × ( － 3) 。利用十字交乘法 x ＋ 1 寫成

x ＋ 3 3x ＋ x ＝ 4x

所以 x

＋ 4x ＋ 3 ＝（ x ＋ 1 ）（ x ＋ 3 ）。

x － 1 x － 3

－ 3x － x ＝－ 4x ( 不合 )

配合習作 P36 基礎題 1(1)

(1)

 

解 解

x － 1 x － 6 － 6x － x ＝ 所以 x － 7x

－ 7x ＋ 6

＝（ x － 1 ）（ x － 6 ）。

常數項 6 可分解為 6 ＝ 1 × 6

＝ 2 × 3

＝ ( － 1) × （－

6 )

＝ ( － 2 ) × （－

3 )

其中 ( － 1) ＋ ( － 6) ＝－ 7

(2)

由上一頁的例子可知：

當常數項 為正數時

一次項的係數為正 一次項的係數為負

分解為兩個 正數相乘

分解為兩個 負數相乘 依照這樣的原則，先將錯誤的分解方法刪去，

可以減少嘗試的次數。

利用十字交乘法因式分解下列各式：

(1) x

－ 11x ＋ 18

x － 2 x － 9

－ 9x － 2x ＝－ 11x 所以 x

－ 11x ＋ 18 ＝ (x － 2)(x

－ 9)

(2) x

＋ 27x ＋ 72

x ＋ 3 x ＋ 24 24x ＋ 3x ＝ 27x

所以 x

＋ 27x ＋ 72 ＝ (x ＋ 3)(x ＋

24)

2 二次項係數為 1 ，常數項為負數

因式分解下列各式：

(1) x

－ x － 6 (2) x

＋ x － 解 12

解

x ＋ 2 x － 3

－ 3x ＋ 2x ＝ 所以 x － x

－ x － 6

＝（ x ＋ 2 ）（ x － 3 ）

常數項－ 6 可分解為

－ 6 ＝ 1 × （－ 6 ） ＝ 2 × （－

3 ）

＝ 3 × （－

2 ）

＝ 6 × （－

1 ）

其中 2 ＋ ( － 3) ＝－

1 。

配合習作 P36 基礎題 1(2)(3)(4)

(1)

解 解

x ＋ 4 x － 3

－ 3x ＋ 4x ＝ 所以 x x

＋ x － 12

＝（ x ＋ 4 ）（ x － 3 ）

常數項－ 12 可分解 為

－ 12 ＝ 1‧ （－ 1 2 ）

＝ 2‧ （－

6 ）

＝ 3‧ （－

4 ）

＝ 4‧ （－

3 ）

＝ 6‧ （－

2 ）

＝ 12‧

（－ 1 ）

其中 4 ＋（－ 3 ）＝

1 。

(2)

在例題 2 的第 (1) 題的解題過程中，如 果將 x

項分解為（－ x ）•（－ x ），常數項－

6 分解為（－ 2 ） ×3 ，可以得到 ：

x

－ x － 6 ＝（－ x － 2 ）（－ x ＋ 3 ） － x

－ 2

－ x

＋ 3

－ 3x ＋ 2x ＝

－ x

但－ x － 2 ＝－（ x ＋ 2 ） － x ＋ 3 ＝－（ x

－ 3 ）

所以（－ x － 2 ）（－ x ＋ 3 ）＝（ x ＋ 2 ）（ x

－ 3 ）

因此當 x

項係數為正數時，只要考慮其正因數即

可

由例題 2 可知：

當常數項 為負數時

一次項的係數為正 一次項的係數為負

分解的兩異號 數中，正數的 絕對值較大

分解的兩異號 數中，負數的 絕對值較大

因式分解下列各式：

(1) x

＋ x － 30

x ＋ 6 x － 5

－ 5x ＋ 6x ＝ x

所以 x

＋ x － 30 ＝（ x ＋ 6 ）（

x － 5 ）

(2) x

－ x － 2

x － 2 x ＋ 1 x － 2x ＝－ x

所以 x

－ x － 2 ＝（ x － 2 ）（

x ＋ 1 ）

3 含有兩種文字符號的十字交乘法

因式分解 x

－ 7xy ＋ 12y

。

解 解 x

分解為 x‧x ，而 12y

分解為 ( － 3y) ( ‧ － 4y) 。

交叉相乘，檢查中間 xy 項剛好為－ 7xy 。

x － 3y x － 4y

－ 4xy － 3xy ＝－ 7

所以 x

－ 7xy ＋ 12y xy

＝（ x － 3y ）（ x － 4y ）。

配合習作 P37 基礎題 2(1)

利用十字交乘法因式分解下列各式：

(1) x

－ 9xy ＋ 18y

x － 3y x － 6y － 6xy － 3xy ＝－

9xy 所以 x

－ 9xy ＋ 18y

＝（ x － 3y ）（ x － 6

y ）

(2) x

y

＋ 11xy ＋ 24

xy ＋ 3 xy ＋ 8 8xy ＋ 3xy ＝ 11xy 所以 x

y

＋ 11xy ＋ 24

＝（ xy ＋ 3 ）（ xy ＋

8 ）

因式分解 3x

＋ 8x ＋ 5 時， 3x

可分解 為 3x‧x ，常數項 5 可分解為 1×5 ，共有兩種交 叉相乘的組合方式：

3x ＋ 1 x ＋ 5

15x ＋ x ＝ 16x （不合）

所以 3x

＋ 8x ＋ 5 ＝（ 3x ＋ 5 ）（ x ＋ 1 ）。

3x ＋ 5 x ＋ 1 3x ＋ 5x ＝ 8x

 

如果一個二次多項式 ax

＋ bx ＋ c 可以因 式分解為（ px ＋ q ）（ rx ＋ s ）的形式，利用十 字交乘法記錄如下：

ax

＝ prx

px ＋ q rx ＋ s

psx ＋ qrx ＝（ ps ＋ qr ） x

＝ bx

qs ＝ c

所以要分解形如 ax

＋ bx ＋ c 的多項

式 時 ， 我 們 先 將 二 次 項 係 數 a 及 常數 項 c 分

解，再檢查交叉相乘的結果，是否和一次項的

係數相符。如果不相符，就需要再嘗試別種分

解方式。

4 二次項係數不為 1 ，常數項為負數

因式分解 5x

＋ 3x － 2 。 解 解

x ＋ 1 5x － 2 － 2x ＋ 5x ＝ 3 x

x － 1 5x ＋ 2 2x － 5x ＝－ 3x （不 合）

配合習作 P36 、 3 7

基礎題 1(5) 、 2(2) (3)

 

共有四種交叉相乘的組合方式 ：

解解

x ＋ 2 5x － 1

－ x ＋ 10x ＝ 9x （不 合）

x － 2 5x ＋ 1

x － 10x ＝－ 9x （不 合）

所以 5x

＋ 3x － 2 ＝（ x ＋ 1 ）（ 5x － 2 ）

 

因式分解下列各式：

(1) 2x

－ 17x － 9

2x ＋ 1 x － 9

－ 18x ＋ x ＝－ 17x

所以 2x

－ 17x － 9 ＝（ 2x ＋ 1 ）（

x － 9 ）

(2) 14x

＋ 19x － 3

2x ＋ 3 7x － 1 － 2x ＋ 21x ＝ 19

所以 14x

＋ 19x － 3 ＝（ 2x ＋ 3 ）（ 7x x

－ 1 ）

5 二次項係數不為 1 ，常數項為正數

解 解

因式分解 5x

－ 17x ＋ 6 。

x ＋ 1 5x ＋ 6 6x ＋ 5x ＝ 11x （不 合）

 

x － 1 5x － 6

－ 6x － 5x ＝－ 1 1x

（

不合）

 解 

解 x ＋ 6 5x ＋ 1

x ＋ 30x ＝ 31x （不 合）

x － 6 5x － 1

－ x － 30x ＝－ 31x ( 不合 )



x ＋ 2  5x ＋ 3 3x ＋ 10x ＝ 13 x

（不合）

x － 2 5x － 3

－ 3x － 10x ＝－ 1 3x

（不合）





解 解

x ＋ 3 5x ＋ 2 2x ＋ 15x ＝ 17x

（不合）

x － 3 5x － 2

－ 2x － 15x ＝－ 1 7x

所以 5x

－ 17x ＋ 6 ＝（ x － 3 ）（ 5x － 2 ）

因式分解 2x

－ 11x ＋ 12 。

x － 4 2x － 3 － 3x － 8x ＝－

所以 2x

11x － 11x ＋ 12 ＝（ x － 4 ）（ 2x

－ 3 ）

6

各項係數皆為正數 因式分解 6x

＋ 13x ＋ 6 。

解 解 3x ＋ 2 2x ＋ 3 9x ＋ 4x ＝ 13x

所以 6x

＋ 13x ＋ 6 ＝（ 3x ＋ 2 ）（ 2x ＋ 3 ）

配合習作 P36 、 37 基礎題 1(6) 、 2(4)

因式分解下列各式：

(1)2x

＋ 11x ＋ 5 x ＋ 5 2x ＋ 1 x ＋ 10x ＝ 11x

所以 2x

＋ 11x ＋ 5 ＝（ x ＋ 5 ）（ 2x ＋

1 ）。

在多項式四則運算時，我們曾經學過分 離係數法。以十字交乘法進行因式分解時，同樣可 以使用分離係數法。

7

分離係數法

因式分解 6x

－ x － 15 。 解 解 2 ＋ 3

3 － 5 － 10 ＋ 9 ＝－

1

所以 6x

－ x － 15

＝（ 2x ＋ 3 ）（ 3x － 5 ）

二次多項式進行十字交乘法時，可 以先固定二次項的分解方式，調整常數項的 分解方式，再檢查一次項的係數是否相符。

如果不相符，則改變二次項的分解方法再試

。

8 首項係數為負的十字交乘法

因式分解－ 3x

＋ 4x － 1 。

解 解 先將負號提出，得到－ 3x

＋ 4x － 1 ＝－（ 3 x

－ 4x ＋ 1 ），再以十字交乘法因式分解 3x

－ 4x ＋ 1 。 3x － 1 x － 1 － 3x － x ＝

－ 3x

－ 4x ＋ 4x － 1 ＝－（ 3x

－ 4x ＋ 1 ）

＝－（ 3x

－ 1 ）（ x － 1 ）

配合習作 P37 基礎題 2(5)(6)

解 解 或者直接分解得到

－ 3x ＋ 1

x － 1 3x ＋ x ＝ 4x

－ 3x

＋ 4x － 1

＝（－ 3x ＋ 1 ）（ x －

1 ）

因式分解下列各式：

(1) － 2x

＋ 11x － 5

x － 5 2x － 1

－ x － 10x ＝－ 1 1x

－ 2x

＋ 11x － 5 ＝－（ 2x

－ 11x ＋ 5 ）

－ 2x

＋ 11x － 5 ＝－（ 2x

－ 11x ＋ 5 ）

＝－（ x

－ 5 ）（ 2x － 1 ）

(2) － 6x

＋ 4x ＋ 2

x － 1 3x ＋ 1 x － 3x ＝－ 2x

－ 6x

＋ 4x ＋ 2 ＝－ 2 （ 3x

－ 2x

－ 1 ）

－ 6x

＋ 4x ＋ 2 ＝－ 2 （ 3x

－ 2x － 1 ）

＝－ 2 （ x

－ 1 ）（ 3x ＋ 1 ）

9

缺一次項的十字交乘法 解一 解一

因式分解 x

－ 9 。

x ＋ 3 x － 3 _{－ 3x ＋ 3x}

所以 x ＝ 0

－ 9 ＝（ x ＋ 3 ）（ x － 3 ）。

解二 解二 我們也可以利用平方差公式 a

－ b

＝（ a

＋ b ）（ a － b ），所以 x

－ 9 ＝（ x ＋

3 ）（ x － 3 ）。

利用十字交乘法因式分解 9x

－ 16 。 3x ＋ 4

3x － 4 － 12x ＋ 12x

所以 9x

－ 16 ＝（ 3x ＋ 4 ）（ 3x － 4 ）。 ＝ 0

10 代換型

因式分解（ x ＋ 1 ）

＋ 9 （ x ＋ 1 ）＋ 8 。 解 解

設 x ＋ 1 ＝ A ，則原多項式可以寫成 A

＋ 9A

＋ 8 。

A

＋ 9A ＋ 8 ＝（ A ＋ 1 ）（ A ＋ 8 ）

＝〔（ x ＋ 1 ）＋ 1 〕

〔（ x ＋ 1 ）＋ 8 〕

＝（ x ＋ 2 ）（ x ＋

9 ）

因式分解（ x － 3 ）

－ 5 （ x － 3 ）－ 24 。

設 x － 3 ＝ A ，則此多項式可以寫成 A

－ 5A － 24 。 A ＋ 3

A － 8 － 8A ＋ 3A ＝－

A

－ 5A － 24 可因式分解為（ A ＋ 3 ）（ A 5A

－ 8 ），所以（ x － 3 ）

－ 5 （ x － 3 ）－ 2 4

＝〔（ x － 3 ）＋ 3 〕〔（ x － 3 ）－ 8 〕

＝ x （ x － 11 ）

11 先提公因式再用十字交乘法

因式分解 x

＋ 2x

－ 8x 。 解 解 x

＋ 2x

－ 8x

＝ x （ x

＋ 2x － 8 ）

＝ x （ x ＋ 4 ）（ x

－ 2 ）

先提出公因式 x

x ＋ 4 x － 2 － 2 x ＋ 4x

＝ 2x

因式分解 2x

y － x

y － 6xy 。 2x

y － x

y － 6xy

＝ xy （ 2x

－ x － 6 ）

＝ xy （ x － 2 ）（ 2x

＋ 3 ）

x － 2

2x ＋ 3

3x － 4x ＝－ x

十字交乘法是因式分解最常用的方法

，尤其是在分解形如 ax

＋ bx ＋ c 的二次三 項式時，我們通常會先使用十字交乘法因式分 解。

在下一章中，我們將會使用本章所學

的因式分解方法解一元二次方程式。

1.x

＋（ a ＋ b ） x ＋ ab 可用十字交乘法因式 分解為（ x ＋ a ）（ x ＋ b ）。

x

x ＋ a x ＋ b bx ＋ ax ＝（ a ＋ b ） x

ab

prx

px ＋ q

rx ＋ s

psx ＋ qrx ＝（ ps ＋ q r ） x

qs

2.prx

＋（ ps ＋ qr ） x ＋ qs 可用十字交乘法

因式分解為（ px ＋ q ）（ rx ＋ s ）。

一次項係數為正 一次項係數為負 常數項為正數 分 解 為 兩 個 正 數

相乘 分 解 為 兩 個 負 數 相乘

常數項為負數

分 解 的 兩 異 號 數 中 ， 正 數 的 絕 對 值較大。

分 解 的 兩 異 號 數 中 ， 負 數 的 絕 對 值較大。

3. 十字交乘法的常數項分解原則：

3-3 自我評量

因式分解下列各式：

(1) x

＋ 7x ＋ 12

x ＋ 3 x ＋ 4 3x ＋ 4x ＝ 7x

x

＋ 7x ＋ 12 ＝ (x ＋ 3)(x

＋ 4)

x － 3 x － 3

－ 3x － 3x ＝－ 6 x

x

－ 6x ＋ 9 ＝ (x － 3)

(2) x

－ 6x ＋ 9

x － 3 x － 12

－ 12x － 3x ＝－ 15x x

－ 15x ＋ 36 ＝ (x － 3) (x

－ 12)

(3) x

－ 15x ＋ 36

x ＋ 4 x － 9 － 9x ＋ 4x ＝

－ 5x

x

－ 5x － 36 ＝ (x ＋ 4)(x

－ 9)

(4) x

－ 5x － 36

(5) － 2x

－ 13x ＋ 24

x ＋ 8 2x － 3

－ 3x ＋ 16x ＝ 13x

－ 2x

－ 13x ＋ 24 ＝－（ 2x

＋ 13x － 24 ）

－ 2x

－ 13x ＋ 24

＝－（ x ＋ 8 ）（ 2x －

3 ）

(6) 3x

－ 19x ＋ 28

x － 4 3x － 7

－ 7x － 12x ＝－ 19x

3x

－ 19x ＋ 28 ＝ (x － 4) (3x

－ 7)

(7) 5x

＋ 17x － 12

x ＋ 4 5x － 3

－ 3x ＋ 20x ＝ 17x

5x

＋ 17x － 12 ＝ (x ＋ 4) (5

x － 3)

(8) 4x

－ 3x － 10

x － 2 4x ＋ 5 5x － 8x ＝－ 3x

4x

－ 3x － 10 ＝（ x － 2 ）（ 4x

＋ 5 ）

(9) 5x

－ 6xy － 8y

x － 2y 5x ＋ 4y 4xy － 10xy ＝－ 6xy

5x

－ 6xy － 8y

＝ ( x － 2y ) ( 5x ＋

4y )

(10) 3 （ x － 1 ）

＋ 7 （ x － 1 ）＋ 4

設 x － 1 ＝ A ，則此多項式可以寫成 3A

＋ 7A

＋ 4 。 A ＋ 1 3A ＋ 4 4A ＋ 3A ＝ 7A

3 （ x － 1 ）

＋ 7 （ x － 1 ）＋ 4

＝〔（ x － 1 ）＋ 1 〕〔 3 （ x － 1 ）

＋ 4 〕

＝ x （ 3x ＋ 1 ）

因式分解的幾何作法

本章我們學了三種因式分解的作法

：提公因式、利用乘法公式、十字交乘法，古 希臘人則是使用平面圖形的面積來作因式分解。

我國古書《 海島算經 》 的第一題，根據考 證，也是使用面積推得公式。因此，如果能更 積極地運用圖形操作來作為二次式變換的啟蒙

，也不失為一種較具體的因式分解方法。

下列三圖的面積分別為 x

、 x 和 1 ：

則 x

＋ 4x ＋ 3 就可以表示成

如果 x

＋ 4x ＋ 3 可以因式分解，

就表示上面八個圖形可以合併成一個較大的矩

形，如下圖，此矩形的長和寬就是 x

＋ 4x ＋

3 的因式。

所以 x

＋ 4x ＋ 3 ＝（ x ＋ 3 ）（ x ＋ 1 ）。

這種使用面積作因式分解的方法，

是不是讓因式分解變得更具體了呢？試試看，

如果要因式分解 2x

＋ 7x ＋ 6 ，該怎麼排呢？