1-2 級 數級數定義：將數列

1-2　級 數

級數

定義：將數列 a1﹐a2﹐…﹐an﹐…﹐的各項依序用加號連結起來，形如 a1＋a2＋…＋an

＋…﹐

稱為一個級數。

1. a1 稱為此級數的首項（或第一項）﹐ak 是第 k 項。

2.以 Sn 表示級數的前 n 項和 ，Sn＝a1＋a2＋…＋an。

隨堂練習---

試寫出數列〈n²〉所形成的級數﹐並求此級數的前 5 項和。

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※等差級數求和公式

首項為a1﹐公差為 d 的等差級數﹐前 n 項和為 (1) Sn＝( ¹ )

2 a an n

( 也類似梯形面積公式： ) (2) Sn＝a1＋（a1＋d）＋…＋（a1＋（n－1）d）

＝。

例題1--- 試求下列等差級數的和：

(1) 1＋3＋5＋…＋19。

(2) 100＋97＋94＋…＋31。

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隨堂練習--- 試求下列等差級數的和：

(1) 7＋11＋15＋…＋39。 (2) 17＋12＋7＋…＋（－18）。

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例題2--- 試求等差級數 1＋2＋3＋…＋n 的和。

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隨堂練習--- 試求等差級數 1＋3＋5＋…＋（2n－1）的和。

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例題3--- 某建築物外牆側面共有 40 層﹐最上面的 3 層如圖所示﹐每一小方塊代表面積為一平方公尺 的正方形；每往下一層時﹐左方多兩塊小方塊﹑右方多一塊小方塊。

建商要用每塊面積為一平方公尺的正方形大理石板覆蓋外牆。請問建商要準備多少塊大理石 板？

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隨堂練習--- 如圖 ﹐有多少個單位正方形？

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※等比級數求和公式

首項為 a1（a1 0）﹐公比為 r（r 0） 的等比級數之前 n 項和為 　　Sn＝a1＋a1r＋a1r²＋…＋a1r^n－1＝

例題4--- 試求下列等比級數的和：

(1) 3＋6＋12＋…＋3072。

(2) 54－36＋24＋…－。

(3) 1＋2＋2²＋…＋2^n－1。

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隨堂練習--- 試求下列等比級數的和：

(1) 1＋3＋9＋…＋729。

(2) 2¹⁰－2⁹＋2⁸＋…＋1。

(3) 5＋30＋180＋…＋5‧6^n－1。

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例題5--- 如圖 13﹐單位圓記為 O¹。作 O1 內接正方形的內切圓﹐記為 O2。作 O2 內接正方形的內切圓﹐

記為 O3﹐以此類推。試求：

(1) O2 的半徑。

(2) O1﹐O²﹐O³﹐…﹐O⁸ 的圓周長總和。

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隨堂練習---

如圖 15﹐從腰長為 4 的等腰直角三角形的直角頂出發﹐連續往底邊和一腰作垂線﹐得到一

個之字行折線。求出此折線的前十段線段長度和。

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由部分和反求數列

an＝Sn－Sn－1﹐（n2）。

可以利用前 n 項和的通式 Sn 求第 n 項的通式 an。

例題6--- 已知數列〈an〉的前 n 項和 Sn＝ n（n＋1）（2n＋7）﹐試求第 n 項 an。

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隨堂練習--- 已知數列〈an〉的前 n 項和 Sn＝﹐試求第 n 項 an。

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∑ 的意義

級數可以用符號 ∑（讀作 sigma﹐是相加的意思）

符號



k＝m ak 的意義是將 k＝m 變動到 k＝n（m﹐n 是整數﹐且 mn）﹐逐漸代入 ak

後﹐全部加起來。

(1)



＝1 k

k²＝1²＋2²＋3²＋4²＋5²＋6²。

(2)



＝3 k

＝＋＋＋。

隨堂練習--- 試展開下列各式：

(1)



＝1 k

ak。　　　　　　(2)



＝1 k

k。　　　　　　(3)



＝2 k

k³。

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例題7---

展開下列級數﹐並求其值：

(1)



＝1 k

（2k－1）。　　　　　(2)



＝1 k

7。　　　　　(3)



＝2 k

k²。

---

隨堂練習--- 展開下列級數﹐並求其值：

(1)



＝1 k

2k。　　　　　(2)



＝2 k

（k²＋2k）。　　　　　(3)



＝1 k

4。

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例題8--- (1) 一等差級數首項為 2﹐公差為 3。已知共有十項﹐試將其表為 ∑ 的 型式。

(2) 一等比級數首項為 5﹐第二項為 10﹐最後一項為 320﹐試將其表為 ∑ 的型式。

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隨堂練習--- (1) 將等差級數 4＋9＋14＋…＋64 表為 ∑ 的型式。

(2) 將等比級數 11＋22＋44＋…＋11264 表為 ∑ 的型式。

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∑ 的運算性質

※∑ 的運算性質

(1) 若 c 為常數﹐則



k＝1

c＝nc。

(2)



k＝1

（ak＋bk）＝



k＝1

ak＋



k＝1

bk；



k＝1

（ak－bk）＝



k＝1

ak－



k＝1

bk。

(3) 若 c 為常數﹐則



k＝1

cak＝c



k＝1

ak。

例題9--- 已知



＝1 k

ak＝55﹐



＝1 k

bk＝66﹐試求下列各值：

(1)



＝1 k

2ak。

(2)



＝1 k

（2ak－3bk＋4）。

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隨堂練習--- 已知



＝1 k

ak＝10﹐



＝1 k

bk＝－4﹐試求



＝1 k

（－ak＋4bk－2）之值。

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※求和公式

(1)1＋2＋3＋…＋n＝



k＝1

k＝。

(2) 1²＋2²＋3²＋…＋n²＝



k＝1

k²＝。

(3) 1³＋2³＋3³＋…＋n³＝



k＝1 k³＝



 



_2。

例題10--- 試求下列各級數的和：

(1)



＝1 k

k。　　　　　(2)



＝1 k

k²。　　　　　(3)



＝1 k

k³。

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隨堂練習--- 試求下列各級數的和：

(1)



＝27 k

k。

(2) 30²＋29²＋28²＋…＋20²。

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試求下列各級數的和：

(1) 1×2＋2×3＋3×4＋…＋99×100。

(2) 1×3＋3×5＋5×7＋…＋（2n－1）（2n＋1）。

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隨堂練習--- 試求下列各級數的和：

(1) ¹⁰⁰



＝1 k

2k（k＋1）。

(2) 1×3＋2×4＋3×5＋…＋n（n＋2）。

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例題12--- 試求級數 ＋＋＋…＋ 的和。 ( 分項對消法 )

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隨堂練習--- 試求級數 ＋＋＋…＋ 的和。

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例題13--- 黑板上散布著以白色粉筆所寫的 20 個連續的平方數 1 4 9﹐ ﹐ ﹐… 400﹐ 。小璿任選一數﹐將

其減去 1 後﹐用紅色粉筆寫下結果﹐然後擦掉這個白色的數。重覆作 20 次後﹐黑板上剩下 20 個紅色的數。試求除了 0 以外的 19 個數的倒數和。

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隨堂練習---

承例題 13﹐若小璿每一步是減去 4 後才寫下紅色的數﹐則紅數中有 18 個正數。求這些正數

的倒數和。（不需通分﹐寫出算式即可）

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習　題　1-2

一﹑基本題

1. 將下列級數用 ∑ 符號表示：

(1) 3＋6＋9＋…＋30。

(2) 1‧1＋2‧4＋3‧9＋4‧16＋…＋10‧100。

(3) 2‧4＋3‧5＋4‧6＋5‧7＋…＋16‧18。

2. 試求下列各級數的和：

(1) 等差級數 2＋5＋8＋…＋602。

(2) 等比級數 8＋40＋200＋…＋8‧5^n－1。

3.(1) 已知〈an〉是等差數列﹐a10＝10﹐其前 10 項和 S¹⁰＝70﹐求其公差。

(2) 已知〈an〉是等比數列﹐a3＝12﹐a⁴＝24﹐求此數列的前 10 項和。

4. 試求下列各級數的和：

(1)



k＝1 （5k－4）。 (2)



k＝1 （2‧3^k－1）。

5. 試求下列各級數的和：

(1)



＝1 k

k（2k＋3）。 (2) 11³＋12³＋13³＋…＋20³。

二﹑進階題

6. 已知數列〈an〉的前 n 項和 Sn＝n²－9n﹐第 k 項滿足 5＜a^k＜8﹐試求 k 之值。

7. 若一等差數列的前 3 項的和為 34﹐最後 3 項的和為 146﹐且所有項的和為 390﹐則此數列 共有幾項？

8. 試求級數



＝1 k

的和。

9. 下圖表示長方形垛的疊法：

某水果販將橘子堆成長方形垛。若最底層長邊有 10 個橘子﹐短邊有 5 個﹐則此長方形垛有幾個橘子？

三﹑挑戰題

10. 將自然數按照下列方式排列：

對角線所成的數列〈an〉為 1 3 7 13﹐ ﹐ ﹐ ﹐…﹐試求：

(1) an 的一般項。

(2) 數列〈an〉的前 n 項和。