5.4 实对称矩阵的相似对角化

5.4 实对称矩阵的相似对角化

一、共扼矩阵 一、共扼矩阵

二、实对称矩阵的特征值 二、实对称矩阵的特征值

与特征向量 与特征向量

三、实对称矩阵的相似对角化 三、实对称矩阵的相似对角化

四、综合例题

四、综合例题

一．共轭矩阵

 





设 A a a_ij C C

n

ij m 

 _

 

共轭矩阵具有以下性质：　　

 

 

 

二 . 实对称矩阵的特征值与特征向量 . 定理 1 实对称矩阵的特征值都是实数 .

,

, A A

R

A ^{nn T}  设

： 证





 a a  a_n ^T



 ,







  A   则 A

T ,

T

T A 

 



 ,







^T A  ^T

 ,









 ^T  ^T





,

2 0

2 1

1    

 _{n n}

T a a a a  a a



 .

 ^



 ,

  A

推论 实对称矩阵 A 的特征向量都是实向量 .

 

. 0

是实数 的特征值

而

， 的非零解向量

的特征向量都是 这是因为

i i

A X A I

A



  

定理 2 实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交 .





, ,

2 1

2 1

2 2 2

1 1 1





























 A

设 A

： 证





2 1

1    

 ^T  ^{T }





2 2 1  

 ^T

  ₂₁^T₂ ,





    ^T





,

0 _{1 2 1 2}

2

1          

 ^T



三 . 实对称矩阵的相似对角化 .

使 都存在正交矩阵

对任一实对称矩阵

定理3 A , C ,























 ^

n

T AC C AC

C









2 1

1

. ,

, ,

, _{1 2} 是矩阵 的特征值

其中   _ _n A

用数学归纳法可以证明定理 3 .

,

, 是 的 重特征值

是实对称矩阵 设

推论 A  A k

. 向量的个数恰为 k

所对应的线性无关特征 则

： 的步骤

与对角矩阵

求正交矩阵 C 

 

 

   

; ,

, ,

0 2

2

1 i ir_i

i

i I A X











： 的基础解系

求  

 

; ,

, ,

, ,

, 3

2 1

2 1

i i

ir i

i

ir i

i















 正交化后再单位化得 ： 将

   

为正交矩阵且 则

令

C

C r k krk ,

4 _{11 1 1}

1  



 _{  }







1

n

T AC C AC diag

C  ^      _ 

例 1



























5 4

2

4 5

2

2 2

2 A

使

， 对角矩阵

与

求正交矩阵 C 

1   .

 C ^ AC AC

C^T



 



5 4

2

4 5

2

2 2

2

2 

















  







I A 解

 

1 ₂

1   

 _二重

： 的特征向量 求 ₁  1















 

 





























0 0

0

0 0

0

2 2

1 4

4 2

4 4

2

2 2

1

1I A



, 2

2 _{2 3}

1 x x

x   









1

T

T 



 







1 1

2 1

 T



 





 _{， 正交化 ：} 将

 

     





5 1

0 , 1 , 5 2

1 4 , 0 , , 2

,

1 1

1

1 2 2

2

T

T T



 







 







 



： 单位化

， 再将 ₁ ₂





5 1 1

1 1

1

 T



 

 





45 1 1

2 2

2

 T

 

 

： 的特征向量 求 ₂  10





















 























0 0

0

1 1

0 2

0 1 1

5 4

2

4 5

2

2 2

8

2I A



, 2 ,

1

3 2

3

1 x x x

x     ₃ ^









5 1 1

3 3

3 3

 T



 ，，

： 单位化

将 

 



 

3 2 5

3 0 5

3 2 5

3 4 5

1 3

1 5

3 2 5

2

3 2

1



























    令 C

. 10 1

1

1



















 C^ AC AC

C C

T

： 为正交矩阵且

则

例 2 求 a , b 的值与正交矩阵 C , 使

1   为对角矩阵 ,

 AC C

. 4 1

0 1

1 1

1 1 1

















 















 b a 

b A

,

~ 

 A 解

1 1

1

1 1 1































 b a

b A

I









3        

  a  a b  b b









3        



 A a a b b b

I   



, 4 5 ²

3  





    

 I

, 0 1

2 5 2

2   





b b

{

. 4 ,

1 ,

0 ,

1 1

1

1 3

1

1 1

1

3 2

1   

















   

A

： 的特征向量 求₁  0

















 





































0 0

0

0 1

0

1 0

1 1

1 1

1 3

1

1 1

1

1I A







1

 T

 





1 ₂

2    

 _{的特征向量为 ：} 同样可得





4 ₃

3

 T

 

 _{的特征向量为 ：}

 

 





6 1 1

, 1 , 1 ,

3 1 1 1

, 1 ,

0 , 2 1 1 1

, ,

3 3

3

2 2

2

1 1

1 3 2

1

T T T

















 



 



 







 _{单位化 ：}

将

 





,

1

3 2

1

diag AC

C

C C







为正交矩阵且 则

令   

例 3 实对称矩阵 A 与 B 相似 有相同的特征值 .

与 B

 A

. : 相似矩阵有相同的特征值 证 

则 的特征值

与 是

设 , , , ,

: ₁ _{2 } _n A B



,

~

~ ²

1

B A

n 



























 

： 得

由矩阵相似的传递性可 .

~ B A

四 、第 五 章 综 合 例 题

例 1 设 n 阶矩阵 A 的任何一行元素的和都是 a , 求 A 的一个特征值与特征向量 .

2 1

2 22

21

1 12

11























nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A













 设

： 解

a a

a

a_i1  _i2  _in  则

 











































1 1 1

2 1

2 22

21

1 12

11

















nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

, 1 1 1

2 1

2 22

21

1 12

11



















































































  















a a

a a

a a

a

a a

a

a a

a

nn n

n

n n

的一个特征值 , 是 A

 a

 





 

例 2

. 4 4

1 7

4

1 4

7

,

1 12

的其余特征值 求

的特征值 矩阵

是 设

A

a A

A

























 

8 4

1 5

4

1 4

5

1 12

a A

I A

I













  解

. 4 0

36

9     

 a a



























4 4

4

1 7

4

1 4

7 A

, 18 4

7

33 7

22 11

3 2

1      a  a  a    



, 108 4

4 4

1 7

4

1 4

7

3 2

1 











  A





, 108

18 12

3 2 1

3 2

1 1























 _代入

将

{

.

3 3

2    得 

例 3 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3I － ^{A ,I}

－ ^3A 均不可逆 . 证明 ：

 

 

 

证 

 

 I A I A

.

1  1 是 A特征值

 





 0 3I A

由 ₂  3是 A的特征值 . , 3 0

0 1 3

3 1

3  ³     

 A I A I A

I

3 . 1

3  是 A的特征值

 

.

, 故 可逆

的特征值均不为零 A A

 

. 3 1 3

1

~

, 2



















 



 A 

A的特征值都是单特征值



例 4 设 A 是 3 阶矩阵 , A ^－１的特征值是 1, 2, 3 ,

的特征值 . 求 A^

1 ,

: ^1  A^ A A

解





, 1 ,

1   ^{ }  

   A  A   A 

A A 则

设

, 3 , 2 ,

1的特征值是 ：1

A







,

1

1A P diag

P

P









使 存在可逆矩阵

6 , 6 1

6 ¹

1

1 ^   ^   

 A P A A

P

2 . , 1 3 , 1 6

：1 的特征值是

 A

例 5 设矩阵

,

~ 0

0 1

1

1 0

0

为对角矩阵

 















 x y A

应满足的条件 . 与

求 x y



 



0 1

1

1 0

2 

















  







I A x y

： 解

 

1 ₂

1    

 _二重

,

~ 对角矩阵   ₁ 有两个线性无关的特征 向量 A ^{ R}



























 



























0 0

0

0 0

1 0

1 1

0 1

0

1 0

1

1I A x y x y







R 

.

 0

 y x

即

例 6 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3, A 对应于特征值 1, 2 的特征向量分别是 ：









1

T

T   





 



 

求 A

 

 

：

解 1 A 3

 

 





0 ,

, ,

,

3 2

1 3

2

3 2

1 3

1

3 2

1 3





















x x

x

x x

x x x

x ^T









 _则





3

 T



 

设 ,

1 1

1

0 2

1

1 1

1

3 2

1 























    P





1AP diag

P^    A  PP^1 .

, 3

0 3

1 2

1

2 2

2 6

1 1



























  P

. 13 2

5

2 10

2

5 2

13 6

1 1

























 P P^ 

A 