第十一章狭义相对论第十一章狭义相对论

第十一章 狭义相对论

爱因斯坦(Einstein):现代时空的创始人,二十世纪的哥白尼

描述物体的运动需要选择参考系，并在参考系中建立坐标系。

O O x x

y y

z z

( , , , ) ( , , , )

x y z t x y z t   

事件的时空坐标: ^{( , , , )}

( , , , ) x y z t x y z t   

u

选择不同的参考系，对同 一事件的描述是不同的。

§11.1 狭义相对论基本原理

1.事件

事件:任意一个具有确定的发生时间和确定的发生地点的物理现象。

一个事件发生的时间和地点，

称为该事件的时空坐标。

在讨论时空的性质时，我们总是用事件的时空坐标，或用事件 的时空点来代表事件，而不去关心事件的具体物理内容，即不去 关心到底发生了什么事情。

O O x x

y y

z z

) , , , (

) , , , (

t z y x

t z y

x   

伽利略变换:

2.伽利略变换(回顾)

t t u

r r ut

  

   



v v u

a a

  

   



x x ut y y

z z t t

  

   

   

   



或者

伽里略变换的实质就是牛顿力学所持的经典时空观，认为存在与 物质的运动无关的绝对时间和绝对空间。

伽利略变换蕴含的时空观

同时性的绝对性： t₁  t₂  t₁  t₂ 时间间隔的绝对性： _t _{ t}

长度间隔的绝对性： ^{l  x}₂ ^{ x}₁^{  l  x}₂ ^{ x}₁

①电子加速的速率不能无限增加。

3.牛顿力学的困难

②麦克斯韦波动方程不服从伽里略变换

2 0

2 2

2   



 c E

t

E 

2 0

2 2

2   



 c B t

B 

1865年麦克斯韦建立了描述电磁现象的麦克斯韦方程组，它的一 个重要推论是存在电磁波。真空中电磁波满足的波动方程为：

式中 ^{1 3.0 108m/s} 是真空中的电磁波传播速度。

0 0





   c

以一维为例，电势满足麦克斯韦方程

2 2

2 2 2

1 0

x c t

 

 

 

 

进行伽利略变换：

x x ut t t

  

   



'

' '

x

x x x x

  

   

 

   

于是有： ^{2 2}

2 2

'

x x

 

 

 

 

x t

t x t t t

 



    

 

 

    

2 2 2

2 u

t t x t t

  

  

   

 

    

u x t

 

 

  

 

 

2 2 2 2

2 2

x t x t

u x t t x t x t t t t









         

                    

2 2 2 2

2 2

u u u

x t x x t t

   

     

                

2 2 2

2

2 2 2

u u

x x t t

  

  

  

   

   

所以麦克斯韦方程在S′参考系中变为

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2

u u 0

x c t c x c x t

   

   

   

    

    

此式表明：在不同的惯性 系中，波动方程呈现不同 的形式，即光速在不同的 惯性系中有差异，力学相 对性原理在电磁学中不再 成立，可以利用电磁学实 验来区分不同的惯性系。

③光的“以太”理论及其困难

十九世纪上半叶，光具有波动性被大多数物理学家承认，设想光 波象机械波一样，需要在介质中传播,这种介质称为以太(ether)，

光波就是以太中振动的传播的。以太学说认为有一种到处存在的、

能穿透一切的介质，并充满所有物质的内部和它们之间的空间，

它的作用是作为传播光波的基础。

a)无法解释光为什么没有纵波；

“以太”理论的困难

/ u  G 

b)波速 , 因为光的传播速度很大，因此要求切变模量 很大，即介质刚性很强（很硬）。如果这样的介质（宇宙以太）

充满了我们周围整个空间的话，我们怎么能在地上跑来走去，

行星又怎能千百万年地绕太阳转动而丝毫不受阻力呢？

③迈克尔孙－莫雷实验

实验原理如图，光源发出的光束 被分成两束后，被镜片反射，其 往返时间分别为



















 

 



2 1 2

1 1 2

c u c

l u

c l u

c t l





















2 2 2

1 1 2

c c u

t l 其中u设定为地球相对“以太”速度 t₁

t₂

S c+u

E M₁ M₂

M M₁

cu u u

c

2

2 u

c 

90^o

实验目的：用电磁学或光学的实验 方法找出这一绝对惯性系，或测出 我们的地球参考系相对绝对参考系

（以太系）的速度有多大。

仪器转动90度所引起的两光束的时间差的变化为





2 2

t t t lu c

   

2 2

2

N c t  lu  c

   

根据干涉原理，由此引起的干涉条纹的移动数目为

实验中采用的数据大致如下：

1.2m, 5.9 10 m,

30km/s 0.04 l

u N



  

  

这是1881年迈克耳孙干涉仪的实 验精度。1887年迈克耳孙和莫雷 合作改进了干涉仪，光路多次反 射达到

实验结果：没有观测到条纹的移动

11m 0.4

l     N

修改电磁学定律，还是修改伽利略变换？

电磁学定律： 实验验证是正确的

伽利略变换洛仑兹(Lorentz)变换 绝对时空观  相对论时空观

低速  高速

伽利略变换： 适用于低速情况。高速情况？

爱因斯坦： 修改伽利略变换

 爱因斯坦的选择

§11.2 洛伦兹变换

(2)相对性原理：

(1)光速不变假设：在所有的惯性系中测量到的真空光速恒为c, 与光源或观察者的运动无关。

1.狭义相对论的基本假设

伽里略变换与光速不变性假设不相符。

狭义相对论的基本假设否定了绝对空间的存在。

1 8

m s 10

99792458 .

2  

 c

或：物理定律在所有惯性系中具有数学形式不变性，即协变性。

物理规律 （包括力学规律） 在一切惯性参考系中都具

有相同的形式，即对物理规律来说，一切惯性系都是

平等的。 不存在任何一个特殊的惯性系，例如绝对静

止的惯性系。

 0

 t  t

 ^{x y z t} 

P , , ,

 ^{x y z t} 

P  ,  ,  , 

目标

o

两个参考系相应的坐 标值之间的关系

O _{O }

y

x ^x

y ^S u ^S

同时发出闪光，经一段时间光传 到 P点

2.洛伦兹变换

时， 和

o

P

: S

: S

 ^{x, t} 

^{ x , t  }

（1）时空是均匀的，因此惯性系间的时空变换应该是线性的。

（2）新变换在低速下应能退化成伽利略变换。

,

y   y z   z

有

) ( x u t k

x    

设

S   S

根据Einstein相对性原理:

S

S  

x   k ( x  ut )

原点重合时，从原点发出一个光脉冲，其空间坐标为：

对 S 系：

x  ct

^{x   c t }

) ( x u t k

x     x   k ( x  ut )

2

1

1 ( ) k

u c

 



t u c

k

ct  (  )  c t   k (  c u ) t

相乘

t u c

t u c

k t

t

c

 

(  )  (  )

) ( x u t k

x     x   k ( x  ut )

)

( 1

1

c u k  

)

(

1 u c t u x x



 

 

)

(

1 u c ut x x



 



2 2

) (

1 u c c x

t u

t 

 

 

2 2

) (

1 u c c x

t u

t 

 



' ( ) x   x  c  t

y y  '

z z  '

' ( / )

t   t   x c

正 变 换

( )

x   x ^  c  t ^

' y y 

' z z 

( / )

t   t ^   x c ^

逆 变 换

c ,

 _u

1 2 1

 

 

综上可知，两惯性系 S 与S′ 之间的时空坐标变换关系:

S

S  

几点说明:

①在洛伦兹变换中时间和空间密切相关，它们不再是相互独立的。

② u>c 变换无意义

速度有极限

③伽利略变换是洛仑兹变换的低速近似：

伽利略变换

（绝对时空）

u  c

洛仑兹变换

（相对论时空 ）

2 2

2

2 2

( )

1 /

( / )

1 /

x x ut x ct

u c

y y

z z

t u x

t c t x c

u c

 

 

     

 

 

 

 

 

 

    

 



x x ut y y

z z t t

  

  

  

  



3.洛仑兹速度变换

逆变换：

x z

z

x y

y

x x

x

c v u v

dt v dz

c v u v

dt v dy

c v u

u v

dt v dx

 

 





 

 





 

 





2 2 2

2 2

1 1 1

1 1



 正变换：

x z

z

x y

y

x x

x

c v u v

t d

z v d

c v u v

t d

y v d

c v u

u v

t d

x v d

2 2 2

2 2

1 1 1

1 1



 



 





 



 





 



 







( )

x    x  u t y   y

z   z

(

)

t t x

 c

   u

( )

dx    dx ud t dy   dy

dz   dz

(

)

dt dt dx

 c

   u

例题1：一短跑选手，在地球上以10s的时间跑完100m，在飞 行速率为0.98c的飞船中观测者看来，这个选手跑了多长时间 和多长距离（设飞船沿跑道的竞跑方向航行）？

解：设地面为S系，飞船为S'系。

2 1 2 1

2 1 2 2

2

2 1 2 1

2 1 2 2

( ) ( )

1

( ) ( )

1

x x u t t

x x

u c

t t u x x c

t t

u c

  

   

 



  

   

 

 ^{2 2}

2

2 2

1 1

c u

c x t u

t

c u

ut x x



 





 



2 1

100 ,

10 , 0.98

x x x m t t t s u c

        

10

2 1 2

100 0.98 10

1.47 10 1 0.98

x x   m

     



c s t c

t 50.25

98 . 0 1

100 98

. 0 10

2

2 1

2 





 

 



例题2：飞船A中宇航员观察到飞船B正以0.4c的速度尾随而来。

已知地面测得飞船A的速度为0.5c。

求：① 地面测得飞船B的速度；②飞船B中测得飞船A 的速度。

c c c

c

c c

c v u

u v v

x x

x 0.75

40 . 0.50 0

1

50 . 0 40

. 0

1 _{2 2}







 



 





即地面参考系测得飞船B的速度为0.75c。

解：①设地面为S系，飞船A为S系。则已知量为u=0.50c，

v_x=0.40c；求v_x；根据速度变换公式有

分析：求解这类题的关键是要分清各个已知量之间与未知量之间 的关系，不要把坐标系搞混；只要掌握住这一点，就显得容易了。

即飞船B测得飞船A的速度为-0.40c。由解题过程可以看出：若 求在B中测得飞船A的速度，就必须先求出地面测得的飞船B的 速度。

2 2

0 50 0 75

1 1 0 75 0 5

0 40

x x

x

v u . c . c

v u . c

v . c

c c

. c

 

  

  

 

②设地面为参照系S，飞船B为S系。则已知量为：u=0.75c，

v_x=0.50c。需要求解的是v _x。根据速度变换公式可得

例题3: 从S系坐标原点沿轴正向发出一光波，而S系相对于S系以 0.5c的速率沿x轴负向运动。求K系测得的光速。

解法一：用速度变换公式求解

c c c c

c c c

c v u

u v v

x x

x  

 



 

 

 

 0.5

5 . 0 5

. 1 0

5 . 0

1 _{2 2}

§11.3狭义相对论的时空观

1.同时的相对性

事件1 事件2

S S

) ,

( x

t

)

, ( x

 t



) ,

( x

t

)

, ( x

 t



两事件

同时发生

t

  t



1

0

2

   

 

 t t t  t  t

 t

？

S

S' u c c

M'

A' B'

以一个假想火车为例

通过特例说明同时性的相对性

假想火车 地面参考系

A'、B' 处分别放置一光信号接收器

中点 M′ 处放置一光信号发生器 t = t' = 0 时, M′ 发出一光信号

A' 、B' 同时接收到光信号

1^、2 两事件同时发生

事件1：A' 接收到光信号 事件2：B' 接收到光信号

S

S

(车上放置一套装置)

A M   B M 

u

S'

S' u

c c

c c

S

S

A M B

M

闪光发生在M 处 光速仍为 c

而这时， A' 、B' 处的 接收器随 S' 运动。

M A'

AM   M B

BM   

A' 比 B' 早接收到光信号 1事件先于2 事件发生

事件1发生

S

事件2 发生

S' u

c S c

A M

A' B'

由洛仑兹变换看同时性的相对性

考虑两个物理事件1和2，它们在两个惯性系S和S′中的时空坐标分 别为 、 与 、 ，根据洛伦兹变换：

2 1 2 2 1

2 1 2

2

( ) ( )

1

t t u x x

t t c

u c

  

  



2 1 2 2 1

2 1 2

2

( ) ( )

1

t t u x x

t t c

u c

      

 



若两个事件在S系中同时发生，即t₁=t₂ ,则在S′中

2 1

2

2 1 2 2 1

2

( )

0, 1

u x x

t t c x x

u c

 

    



如果 _{2 1} ^{2 2 1} _{2 1}

2 2

( )

0, 1

u x x

t t c x x

u c

 

    



如果

若两个事件在S′系中同时发生，即 ，则在S中

2 1

2

2 1 2 2 1

2

( )

0, 1

u x x

t t c x x

u c

  

 

   



如果 ^{2 2 1}

2 1 2 1

2 2

( )

0, 1

u x x

t t c x x

u c

  

 

   



如果

1 1

( , ) x t   ( , ) x t

 

1 2

t  t

1 1

( , ) x t ( , ) x t

(1) 同时性的相对性是光速不变原理的直接结果。

沿两个惯性系相对运动方向上发生的两个事件，在其中一个惯 性系中表现为同时的，在另一个惯性系中观察，则总是在前一 个惯性系运动的后方的那一事件先发生。只有在同一地点，

同一时刻发生的两个事件，才是在所有惯性系中同时发生。

结论

讨论

(2)相互运动的惯性系不再有统一时间，不同惯性系的各时钟 只能在各自惯性系作同步操作。即否定了牛顿的绝对时空观。

在S′系不同空间点同时发生的两事件，在S系测量则不是同时；

反之亦然，这就是同时的相对性。

2.时序的相对性与因果性

两个物理事件 A和B，对S系来说,发生的地点和时间分别是

和 ，假定事件A是事件B发生的原因，因发生在果前，

即 。则对于S系，事件A与B发生的时间为

1 2 1

1 2

1 2

t u x t c

u c

  



2 2 2

2 2

1 2

t u x t c

u c

  



2 1 2 2 1

2 1 2 1

2 1 2 2 2

2 1

2 2

( )

1

1 1

t t u x x

t t u x x

t t c

c t t

u u

c c

      

         

一切物质或者信息的传递速度不能超过c，所以 ^{2 1}

2 1

x x

t t c

 



2 1

2 1 2

2

1 0

1

t t u

t t

u c c

  

      



有因果联系的事件不 会发生时序的颠倒。

1 1

( , ) x t

2 2

( , ) x t

2 1

t  t

子弹

 ^

设S′ 系中同一地点先后发生两个物理事件：

3.时间间隔的相对性（时间延缓）

在S系中，这两个事件发生的时刻为

1 2

1 2

1 2

t u x t c

u c

  





2 2

2 2

1 2

t u x t c

u c

  

 故有 

2 1

2 1 2 2 1 2 1 2

2 2

( ) , 1 1

1 1

t t

t t t t t t

u u

c c

 

      

       

 

因为

: ( , , , )2

B x y z t    : ( , , , )1

A x y z t   

固有时间: 一个物理过程用相对于它静止的惯性系上的标准时钟测 量到的时间（原时）,通常用 来表示。即 为固有时 运动时间: 一个物理过程用相对于它运动的惯性系上的标准时钟测 量到的时间（两地时）。

2 1 0

t^ t^ t^ 

   

0

①从惯性系S中的观测者来看，运动着的物体中发生的过程所费 的时间变长了，变为固有时间的 ^倍。

②对事件发生地点（同一地点）相对静止的惯性系中测得的固有 时间最短（即时钟变慢），称该现象为钟慢效应。

d M

C

S (  钟静止 ) :

c

t 2 d

0



  



S( 钟以速度 运动 u ) :

如何理解时间膨胀的概念

d

/ 2 u t / 2 c t

C

M

u

2 2 2

1 1

2 c t   d  4 u  t

0

2 2

1 / t

u c

  



S

时间膨胀或相对观测者运动的钟变慢的效应与钟的具体结构天 关。

因为任何过程都是由一系列相继发生的事件构成的，所以时间 延缓效应表明在一个惯性系中观测，运动惯性系中的任何过程

（包括物理、化学和生命过程）的节奏变慢。

孪生子佯谬：一对孪生兄弟，哥哥告别弟弟，登上访问牛郎 织女的旋程.归来时阿哥仍是风度翩翩一少年，而胞弟却是白发 苍苍一老翁。

a f e 0

弟.

弟

.

S

x X 

X

u

S

对于自己运动的 系的 钟较自己的钟走得慢。

S

解释：从逻辑上看，这种佯谬并不存在，因为天、地两个参考 系 是不对称的。原则上讲，“地”可以是一个惯性参考系，而

“天”却不能，否则它将一去不复返，兄弟永别了。这一问题 的严格求解要用到广义相对论，计算结果是，兄弟相见时哥哥 比弟弟年轻。这种现象，被称为孪生子效应。

4.长度的相对性

假定有一直尺相对于 系是静止的，并且放置在沿 x 方向。如 果直尺两端的坐标分别是 及 ，则对于 系中的观察者，直 尺的长度是 （称为固有长度）。如果在 S系中有一个 观察者，在时刻 t，同时测量直杆两端坐标的坐标为 x₁ 及 x_2。根据 洛伦兹变换可得，

1 2

1 2 2 , 2 2 2

1 / 1 /

x ut x ut

x x

u c u c

 

   

 

所以对于S系，直尺的长度为：

2 2

2 1 1 u2 ( 2 1) 0 1 u2 0 / 0

L x x x x L L L

c ^{ } c



        

物体沿运动方向的长度比其固有长度短。这种效应叫做洛仑兹收 缩，或尺缩效应。注意：与运动垂直方向上的长度不变。

x1 x₂ S

S

0 2 1

L  x  x

u

S系

O S u

u O S

x1

O' S'

A B

x1

O' S'

A B

事件1

0

Δ

L  u t' Δ t'   Δ t

L  L



由

两事件同地发生, t 为原时

L  u t Δ

得

: S

: S

L

L

u u

 

通过特例说明空间间隔的相对性

长度收缩效应是同时性相对性的直接结果。

测量形象（观测者）和视觉形象（观看者）

测量形象：测量运动杆长度必须同时测量其两端点坐标，才能由 坐标差得出长度的测量值。

视觉形象：是由物体上各点发出后“同时到达”眼睛或“照相机”

的光线所组成，这些光线不是同时从物体发出的。

尺缩效应的形象是人们观测物体上各 点对观察者参考系同一时刻的位置构 成的“测量形象”,而不是物体产生 的“视觉形象”，相对论中的“观测 者”指的就是这种“测量者”。而作 为“观看者”看到的高速运动的物体，

除了应考虑由相对论效应引起的畸变 外，还应考虑到由光学效应引起的畸 变,故看到的物体仍是原有的形状，

不过转过了一个角度。

设



 



2 2 1

2 2 1

2 2 1

2 2 1

2(t t ) (x x ) (y y ) (z z )

c

s        



2 2 1

2 2 1

2 2 1

2 2 1

2(t t ) (x x ) ( y y ) (z z )

c

s                



则在S系看到的事件A和B为



 



5.时空间隔的绝对性

由洛伦兹变换可得：

2 1 2 2 1

2 1 2

2

2 1 2 1

2 1 2

2

2 1 2 1

2 1 2 1

( ) ( )

1

( ) ( )

1

t t u x x

t t c

u c

x x u t t

x x

u c

y y y y

z z z z

   

   

 

   

   

 



     

    



2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

(s) c t(  t) (x x) (y  y) (z z)

 

2

2 2 1 2 2 1 2

2 1 2 1 2 2

2 1 2 1

2 2

2 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

c t t u x x

x x u t t

c y y z z

u u

c c

    

    

 

     

 

2

2 2 2 2

2 1 2 2 1

2 2

2 1 2 1

2 2

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

( )( ) (1 )( )

( ) ( )

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c u t t u x x

c y y z z

u c

c t t x x y y z z s

    

    



         

s s   



即时空间隔⊿s是不依赖于参考系的选择的，是一个绝对量。

例题4：相对于 ^{静止的坐标系中测得}的自发衰减的平均寿命为 2.1510^-6 s。在离地面6000m高空所产生的子相对于地面0.995c的 速率垂直向地面飞来。试问它能否在衰变之前到达地面？

解：

所以子在衰减之前，地面已经碰上^子了。

μ子在时间τ内运动的距离为

10 0 6418 s  u





解法1： 设地面参考系为惯性系S， μ子参考系为S′。按题意, S′系相对于S系的运动速率为u=0.995c。^子在S′系中的寿命 为

根据相对论时间延缓效应，对于S系来说, μ子的寿命为:

5s

0

0 10  2.1510^



 



τ

=2.15

10

s

解法2：在相对子静止的惯性系S ^中，^{子衰减之前地球朝} ^子 运动的距离为

6 0

0.995 2.15 10

641.8m

s   u   c  

s



2

0

1 u

599

l l m

  c 

所以子在衰减之前，地面同样会碰上^子。

然而，对S′ 系来说，地面与子之间的距离存在长度收缩效应。

也就是说，S′ 系中的观测者所测得的地面与  ^{子的距离为}

在相对论中，动力学的一系列物理概念和规律都面临着重新定义 的问题。重新定义新物理量的原则是：

①满足爱因斯坦相对性原理：粒子或粒子系统的动力学方程 必须在洛伦兹变换下形式不变。

§11.5 狭义相对论力学

②对应原则的限制：即 时，新定义的物理量必须趋于 经典物理学中对应的物理量；

③尽量保持基本守恒定律继续成立。

u c

1.相对论的质量和动量

t m t

F p

d ( d d

d  v  )

  

a F

 m

若质量与运动无关，力为恒力，则 由牛顿第二定律

( )

v t v at

  

t

v

C

v 0

o

牛顿定律与光速极限的矛盾！

在相对论中，质量与时间、长度一样，与惯性系的选择有关。由 动量守恒和洛仑兹变换可推导出（参见教材）：

0

2 2

1 m m

v c

 

物体对观察者有相对 速度v^{时测出的质量,}

称为相对论质量

物体在相对静止的惯性系 中测出的质量，或称静止 质量

以上质速关系早在1905年考夫曼从放射性镭放出的高速电子的实验 中发现。相对论问世以后再次由考夫曼、1909年由彼歇勒、1915年 由盖伊拉范采由实验证实。

1 2 3 4

0.2 0.4 1.0

0 0.6 0.8

0

2 2

1 m m

v c

 

m

m

v c

在相对论中，定义动量 为：

0

2 2 0

1

p mv m v m v v c



  



p

2.相对论质点动力学方程 质点的相对论动量：

p  mv

相对论动力学方程：

0 2

1

m v

v c





F dp

 dt

②低速时质量可视为恒量，则动力学方程过渡至牛顿第二定律。

①作用力不仅改变速度，同时还改变质量，恒力作用下，不会 有恒定的加速度。

( )

d mv dv dm

F m v

dt dt dt

   

讨论：

3.相对论动能以及质能关系

F dr   dE

2 2 2 2 2 2 0

2 2 0

1

m m m c m v m c

v c

   



由

k

d

E   F  r

上式两边求导得

d( ) d d d

d

v  mv  mv  v   v v m  mv v  v m

而

2 0

2

d ( )

0

c m

m m

c

E

k

 

 

于是可得

质量变化和能量 变化相联系，质 量大小决定了能 量大小。质量与 能量相关，这是 极其重要的结论。

d( ) d d

mv r

  t  ^ 

^{v  d( mv )}

m c

m v

v

mv d 

d ＝

d

2 2 2

2 2

2

2

1 1 2

1 1 1

1

c v c

v c

v c

v     

 时，  

2 0 2 2

2 0

2 1 1

1

c m v c

v

m m 



 



 

 





2 0

1

k

2

E m v

 

故相对论动能等于因运动而引起质量增加量乘以光速的平方。

非相对论极限：

牛顿力学中定义的动能

,说明将一个静质量不等于零的粒子加速到光速需 做无穷大的功。或者说实物粒子速度有一极限速度c。

, _k

v  c E  