3-2 指數函數 重點一 指數函數的圖形與性質

3-2 指數函數

重點一 指數函數的圖形與性質 例題 1

利用描點法描繪 y＝3^x的圖形。（4 分）

解 先將一些滿足 y＝3^x的數對（x﹐y）列表如下：

x －2 －1 0 1 2 y＝3^x 1

9 1

3 1 3 9

我們得到 y＝3^x圖形上的一些點，

並將這些點用勻滑曲線連接起來 就可以得到函數 y＝3^x的圖形

例題 2

利用描點法描繪 y＝ 1 3

 x

   的圖形。（4 分）

x －2 －1 0 1 2 解

由 y＝ 1 3

 x

   9 3 1 1 3

1 9 得 y＝ 1

3

 x

   的圖形如左

例題 3

試利用 y＝2^x的圖形，描繪下列各函數的圖形：

(1) y＝－2^x。（4 分） (2) y＝2^－x。（4 分）

(3) y＝－2^－x。（4 分） (4) y＝2^∣x∣。（4 分）

(5) y＝2^x－1。（4 分） (6) y＝2^x＋1。（4 分）

解 (1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

例題 4

試問方程式 2^x＋x－1＝0 有 個實根。（4 分）

解 2^x＋x－1＝0 之實根個數 即為 ²

1 y x

y x





＝

＝ － 之交點數 由下圖知有 1 個交點

亦即方程式 2^x＋x－1＝0 恰有 1 個實根

重點二 指數方程式與指數不等式 例題 5

試解下列各方程式：

(1) （2^x）²＝64。（4 分） (2) 2^x2＝64。（4 分）

(3) （ 0 1. ）^3x－2＝10^－2x＋3。（4 分） (4) 2^5x＋3．

4 8

1 2

  x

  

＋

＝

3 2

1 4

  x

   。（4 分）

解 (1)（2^x）²＝64  2^2x＝2⁶  2x＝6  x＝3 (2)2^x2＝64  2^x2＝2⁶  x²＝6  x＝± 6 (3)（ 0 1. ）^3x－2＝10^－2x＋3 

3 2 1 2

10

x－

（ －） ＝10^－2x＋3



3 2

10 2

－ ＋x

＝10^－2x＋3  3 2 2

－ ＋x

＝－2x＋3

－3x＋2＝－4x＋6  x＝4 (4)2^5x＋3．

4 8

1 2

  x

  

＋

＝

3 2

1 4

  x

    2^5x＋3．2^－4x－8＝2^－6x2

 2^x－5＝2^－6x2  x－5＝－6x²

 6x²＋x－5＝0 （6x－5）（x＋1）＝0

 x＝5

6或 x＝－1 例題 6

試解下列各方程式：

(1) 6^x－2^x－4×3^x＋4＝0。（4 分）

(2) 3^2x－6×3^x－27＝0。（4 分）

解 (1)6^x－2^x－4×3^x＋4＝0  2^x×3^x－2^x－4×3^x＋4＝0

（2^x－4）（3^x－1）＝0  2^x＝4 或 3^x＝1

 x＝2 或 x＝0

(2)3^2x－6×3^x－27＝0 （3^x）²－6×（3^x）－27＝0

（3^x＋3）（3^x－9）＝0

∵3^x＋3 恆正

∴3^x＝9  x＝2 例題 7

(1) 試比較 A＝

5

42×8^－1，B＝

2 9 9

2^－

（ ），C＝

4

1 3

2

  

 

－

之大小。（4 分）

(2) 試比較 A＝

1

22，B＝

1

3 ，C＝3 1

10 之大小。6 （4 分）

解 (1)A＝

5

42×8^－1＝

5 2 2

（ ）2 ×（2³）^－1＝2⁵×2^－3＝2² B＝

2 9 9

2^－

（ ）＝2^－2 C＝

4

1 3

2

  

 

－

＝

4 1 3

2^{－ －}

（ ） ＝

4

23

∵底數 2＞1 且 2＞4

3＞－2

∴2²＞

4

23＞2^－2 故 A＞C＞B

(2)把三數化成指數都是1

6的有理指數 A＝

1

22＝

1

23 6

（ ）＝

1

8 6

B＝

1

3 ＝3 1 2 6

（ ）3 ＝

1

9 6

C＝

1

10 6

∵8＜9＜10 ∴

1

8 ＜6 1

9 ＜6 1

10 6

故 A＜B＜C 例題 8

試解下列各不等式：

(1) 10^x2－2x＞1000。（4 分） (2) （ ）0 1. ^x2－2x＞0.001。（4 分）

(3) 1 1

2

 x

  

＋

 16  1 4

 x

   。（4 分）

解 (1)10^x2－2x＞1000  10^x2－2x＞10³

∵底數 10＞1

∴x²－2x＞3  x²－2x－3＞0

（x－3）（x＋1）＞0  x＞3 或 x＜－1 (2)（ ）0 1. ^x2－2x＞0.001 （ ）0 1. ^x2－2x＞（0.1）³

∵底數 0＜0.1＜1

∴x²－2x＜3  x²－2x－3＜0

（x－3）（x＋1）＜0 －1＜x＜3 (3)

1 1

2

 x

  

＋

 16  1 4

 x

    2^－x－1  2⁴  2^－2x

－x－1  4 －2x

 1 4 4 2

x x

 

 

－ －

－  5 2 x x

 

 

－

－

－5  x －2 例題 9

試解下列各不等式：

(1) 9^x＋3^x－2  0。（4 分） (2) 1 2

2

  x

   －5

4×2^－x＋1

4＜0。（4 分）

解 (1)9^x＋3^x－2  0 （3^x）²＋（3^x）－2  0

（3^x＋2）（3^x－1） 0

∵3^x＋2＞0 恆成立

∴3^x  1＝3⁰  x  0 (2)

1 2

2

  x

   －5

4×2^－x＋1 4＜0



2

1 2

 x

   

 

  －5 4× 1

2

 x

   ＋1 4＜0 令 t＝ 1

2

 x

   ，得 t²－5 4t＋1

4＜0

 4t²－5t＋1＜0 （4t－1）（t－1）＜0

 1

4＜t＜1  1 4＜ 1

2

 x

   ＜1

 1 2

2

  

  ＜ 1 2

 x

   ＜ 1 0

2

  

 

∵0＜1

2＜1 ∴0＜x＜2 例題 10

設－3  x  2，則 f（x）＝4^x＋1－2^x＋1之最大值為 ，最小值為 。（每格 4 分，

共 8 分）

解 f（x）＝4^x＋1－2^x＋1

＝4×4^x－2×2^x

＝4×（2^x）²－2×（2^x）

＝4×

1 2

2 4

 x 

 

 －  －1 4

∵－3  x  2  2^－3  2^x  2²  1

8 2^x  4

∴當 2^x＝4，亦即 x＝2 時，f（x）有最大值 4×4²－2×4＝56 當 2^x＝1

4，亦即 x＝－2 時，f（x）有最小值－1 4 例題 11

某地價的房屋折舊價格為第一年折舊 10％，往後每年折舊 5％。若一棟全新房屋以 1000 萬元 售出，則 10 年後該屋的價格為 萬元。（0.95⁹  0.630）（4 分）

解 設 f（t）為 t 年後的折舊價格

則 f（t）＝1000×0.9×（0.95）^t－1，t  2 f（10）＝1000×0.9×（0.95）⁹

 1000×0.9×0.630

＝567

故 10 年後此屋的折舊價格是 567 萬元