第四章向量组的线性相关性第四章向量组的线性相关性§

向量组的线性相关性 第四章

§1 向量组及其线性组合

定义： n 个有次序的数 a1, a₂, …, a_n 所组成的数组称为 n 维 向

量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为 第 i

个分量．

 分量全为实数的向量称为实向量．

 分量全为复数的向量称为复向量．

备注：

 本书一般只讨论实向量（特别说明的除外） ．

 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．

 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作 列向量．

 本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, ,  等表示，行向 量则用 a^T, b^T, ^T, ^T _表示．

定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组．

 当 R(A)  n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解组成的 向量组含有无穷多个向量．

11 12 13 14

34 21 22 23 24

31 32 33 34

a a a a

A a a a a

a a a a

 

 

  

 

 







1 2 3 T T T







 

 

  

 

 

结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．

有限向量组

定义：给定向量组 A ： a₁, a₂, …, a_m ， 对于任何一组实数 k₁, k₂, …, k_m ，表达式

k₁a₁ + k₂a₂ + … + k_ma_m 称为向量组 A 的一个线性组合．

k₁, k₂, …, k_m 称为这个线性组合的系数．

定义：给定向量组 A ： a₁, a₂, …, a_m 和向量 b ，如果存在一 组

实数  ₁, ₂, …, _{m ，使得}

b = ₁a₁ + ₂a₂ + … + _ma_m

则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向 量组

A 线性表示．

例：设





1 0 0

, , 0 1 0

0 0 1 E e e e

 

 

   

 

 

1 0 0

2 0 3 1 7 0

0 0 1

     

     

        

     

     

1 2 3

2e 3e 7e

   2

3 7 b

  

  

   那么

线性组合的系数

e₁, e₂, e₃ 的 线性组合

一般地，对于任意的 n 维向量 b ，必有

1 2 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

b b b bn

       

       

       

       

   

       

       

       

       



   

1 2 3

n

b b b b

b

  

  

  

  

 



n 阶单位矩阵 E_n 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．

1 2 3

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

b b b bn

       

       

       

       

   

       

       

       

       



   

1 2 3

n

b b b b

b

  

  

  

  

 



1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

En

 

 

 

 

  

 

 

 







   



回顾：线性方程组的表达式

1. 一般形式

3. 向量方程的形式

2. 增广矩阵的形式

4. 向量组线性组合的形式

1 2 3

1 2 3

3 4 5

2 1

x x x

x x x

  

    



3 4 1 5

1 1 2 1

  

   

 

1 2 3

3 4 1 5

1 1 2 1

x x x

 

      

      

    

1 2 3

3 4 1 5

1 1 2 1

x   x   x     

  

         

       

方程组有解？ 向量 是否能用 线性表示？3 4 1

, ,

1 1 2

      

      

      5

1

 

  

 

结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．

 

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 1 2 2 1 2

1 2

, , ,

m

m

m m m

m n n nm m

x a a a x

x a a a x

x a x a x a a a a

x a a a x

    

    

    

    

    

    

    



  

    



1 1 2 2 m m

b   a   a    a

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

m m

n n nm m

a a a

a a a

b

a a a







  

  

   

  

  

  





   



( ) ( , ) R A  R A b 向量 b 能由

向量组 A 线性表示

线性方程组

Ax = b 有解

P.83 定理 1 的结论：

定义：设有向量组 A ： a₁, a₂, …, a_m 及 B ： b₁, b₂, …, b_l ， 若

向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示．

若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价．

设有向量组 A ： a₁, a₂, …, a_m 及 B ： b₁, b₂, …, b_l ， 若向量 组

B 能由向量组 A 线性表示，即

1 1 2

1 1 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1

2 2 2 2

m

l

m

l m

m

l m

l

m

b k a k a k a

b k a k a k a

b k a k a k a

   

   

   









   

1 1 1

2 2 2

1

1 2

2

1 2

1 2

1 2

, , , , , , _m

m m m

l l

m l

l l

k k k

k k k

b b b a a a

k k k _

 

 

 

  

 

 



  

  



线性表示的 系数矩阵

若 C_m×n = A_m×l B_l×n ，即

则

   

11 12 1

21 22 2

1 2 1 2

1 2

, , , , , ,

n

n

n l

l l ln

b b b

b b b

c c c a a a

b b b

 

 

 

  

 

 



  

  



结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示

，

B 为这一线性表示的系数矩阵．

11 12 1 11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2 21 22 2

1 2 1 2 1 2

n l n

n l n

m m mn m m ml l l ln

c c c a a a b b b

c c c a a a b b b

c c c a a a b b b

    

    

    

    

    

    

  

  

        

  

若 C_m×n = A_m×l B_l×n ，即

11 12 1 11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2 21 22 2

1 2 1 2 1 2

n l n

n l n

m m mn m m ml l l ln

c c c a a a b b b

c c c a a a b b b

c c c a a a b b b

    

    

    

    

    

    

  

  

        

  

则

11 12 1

1 1

21 22 2

2 2

1 2

T T

l

T T

l

T T

m m ml

m l

a a a

r b

a a a

r b

a a a

r b

    

    

     

    

    

    

   





  

 



结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示

，

A 为这一线性表示的系数矩阵．

口诀：左行右列

定理：设 A 是一个 m×n 矩阵，

 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相 应的 m 阶初等矩阵；

 对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相 应的 n 阶初等矩阵 .

结论：若 C = AB ，那么

 矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表 示， A 为这一线性表示的系数矩阵．（ A 在左边）

 矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表 示， B 为这一线性表示的系数矩阵．（ B 在右边）

~^c

A B A 经过有限次初等列变换变成 B

存在有限个初等矩阵 P₁, P₂, …, P_l ，使 AP₁ P₂ …, P_l = B

存在 m 阶可逆矩阵 P ，使得 AP = B

矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价

~^r

A B 矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 同理可得

口诀：左行右列 .

把 P 看成 线性表示的是

系数矩阵

向量组 B ： b₁, b₂, …, b_l 能由向量组 A ： a₁, a₂, …, a_m 线性 表示

存在矩阵 K ，使得 AK = B 矩阵方程 AX = B 有解

R(A) = R(A, B) （ P.84 定理 2 ） R(B) ≤ R(A) （ P.85 定理 3 ）

推论：向量组 A ： a₁, a₂, …, a_m 及 B ： b₁, b₂, …, b_l 等价的 充分

必要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B) ． 证明：向量组 A 和 B 等价

向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示 从而有 R(A) = R(B) = R(A, B) ．

因为 R(B) ≤ R(A, B)

R(A) = R(A, B) R(B) = R(A, B)

例：设

证明向量 b 能由向量组 a₁, a₂, a₃ 线性表示，并求出表示式

．

1 2 3

1 1 1 1

1 2 1 0

, , ,

2 1 4 3

2 3 0 1

a a a b

       

        

       

   

       

       

       

解：向量 b 能由 a₁, a₂, a₃ 线性表示当且仅当 R(A) = R(A, b)

． 1 1 1 1 1 0 3 2

1 2 1 0 0 1 2 1

( , ) ~

2 1 4 3 0 0 0 0

2 3 0 1 0 0 0 0

A b r

   

      

   

    

   

   

因为 R(A) = R(A, b) = 2 ， 所以向量 b 能由 a₁, a₂, a₃ 线性表 示．

1 1 1 1 1 0 3 2

1 2 1 0 0 1 2 1

( , ) ~

2 1 4 3 0 0 0 0

2 3 0 1 0 0 0 0

A b r

   

      

   

    

   

   

行最简形矩阵对应的方程组为

通解为

所以 b = ( － 3c + 2) a₁ + (2c － 1) a₂ + c a₃ ．

1 3

2 3

3 2

2 1

x x

x x

 

   



3 2 3 2

2 1 2 1

1 0

c

x c c

c

  

     

     

        

     

     

n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量．

设有 n×m 矩阵 A = (a₁, a₂, …, a_m) ，试证： n 维单位坐标向 量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是

R(A) = n ． 分析：

n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示 R(A) = R(A, E)

R(A) = n ．（注意到： R(A, E) = n 一定成立）

小结

( ) ( , ) R A  R A b 向量 b 能由

向量组 A 线性表示

线性方程组

Ax = b 有解

( ) ( , ) R A  R A B 向量组 B

能

由向量组 A 线性表示

矩阵方程组 AX = B

有解 R B( )  R A( ) ( ) ( ) ( , )

R A  R B  R A B 向量组 A

与 向量组 B

等价

知识结构图

n 维向量

向量组 向量组与矩阵的对应

向量组的线性组合 向量组的线性表示

向量组的等价

判定定理及必要条件

判定定理