屏東縣國小五年級學童在小數三種知識屬性表現之研究

全文

(1)國立屏東教育大學數理教育研究所碩士論文. 指導教授：劉曼麗博士. 屏東縣國小五年級學童在小數三種知識屬性表現之研究. 研究生：曹妙如中華民國. 一百零二. 撰年. 六. 月.

(2)

(3) 謝. 詞. 回首這三年在職進修的求學生涯，周旋於家庭、工作和學業三者之間，忙得不可開交。求學過程雖然辛苦，但是看到自己的論文從零到完成，內心卻是感到十分喜悅。論文得已完成，其中最感謝指導教授曼麗老師，還記得十五年前就讀師資班時，只修曼麗老師兩門課，當時對於曼麗老師對於數學教育的熱忱感到十分感動，因此修讀研究所時，受到老師的感召，再續師生緣。在論文撰寫期間，藉由與老師的一問一答中，讓我的研究聚焦，除此之外，老師還喜歡用啟發的方式，讓我自己去找解決的方法，教我釣魚的方法，在曼麗老師的指導下，真的是收穫滿滿，曼麗老師：我愛您！偉民老師在我最迷茫的時候，總是適時的伸出援手，拉我一把；在他最忙碌的時候，還是撥空幫忙我，那是我 2013 年最棒的新年禮物！偉民老師還介紹心輔所的佩真老師，幫我解決統計的疑難雜症。也謝謝蘇順德老師在口考期間，給我寶貴的意見，讓我的論文更臻完善。還有我的難兄難弟們，文邦、國家、寶葵和職鴻，在我家 N 次的 Meeting~那簡直是血與淚的交織。畢業後，還是歡迎你們來我家作客。還要謝謝學號是 NC0991 開頭的夜數碩同學們，在我灰心時，總是幫我打氣，讓我有往前的力量。也謝謝興華國小的同事們，對我的關心與幫忙！最後，要感謝的是我最親愛的家人，感謝公公伍和俊先生，鼓勵我進修，婆婆羅美枝女士，在我求學三年期間，除了張羅全家人的晚餐、幫我照顧那兩個可愛的女兒語偵和善溱，還肩負大女兒的學業指導！老公致瑋，常常幫我蒐集文獻，還要默默承受我在求學中發作的諸多「症頭」。感謝爸爸、媽媽時常打電話關心我論文的進度、還有妹妹們的慰問，謝謝你們！妙如. 謹誌. 2013 年 6 月. I.

(4) II.

(5) 屏東縣國小五年級學童在小數三種知識屬性表現之研究中文摘要本研究目的在探討屏東縣國小五年級學童在小數主題學習的表現，並進一步探討不同族群（漢族、新住民以及原住民）、不同地區（一般、偏遠以及特偏）、不同家庭社經地位（午餐費無補助與午餐費有補助）和不同性別（男與女）之學童在小數主題的學習是否有差異情形。本研究對象採分層叢集抽樣，從屏東縣一般、偏遠以及特偏等三個地區的國小共選取 390 位學童。本研究工具為自編的「小數主題測驗」試題。試題依數學問題的知識屬性分為概念性知識、程序性知識以及連結性知識等三部分。資料蒐集方式為筆試。本研究資料處理採用描述性統計及單因子多變量變異數分析。本研究主要發現如下：一、國小五年級學童在程序性知識表現最好，連結性知識表現次之，概念性知識表現最差。二、不同族群學童只在小數主題概念性知識達顯著差異。「漢族」學童的表現顯著優於「新住民」學童與「原住民」學童，而「新住民」學童與「原住民」學童的表現則無顯著差異。三、不同地區學童在小數主題之概念性知識、程序性知識和連結性知識達顯著差異。在概念性知識的向度上，「一般」學童的表現顯著優於「偏遠」學童與「特偏」學童，而「偏遠」學童與「特偏」學童的表現則無顯著差異。在程序性知識與連結性知識的向度上，皆是「一般」學童的表現顯著優於「偏遠」學童，而「一般」學童與「特偏」學童、「偏遠」學童與「特偏」學童的表現則無顯著差異。四、不同家庭社經地位學童在小數主題概念性知識、程序性知識以及連結性知識達顯著差異。在此三個向度皆是午餐費無補助之學童的表現優於午餐費有補助之學童。五、不同性別學童在小數學習三個知識屬性問題之答題表現未達顯著差異。關鍵詞：國小五年級學童、小數、三種數學知識屬性問題. III.

(6) IV.

(7) The Study on the Fifth-grade Students’ Performance in the Three Aspects of Decimal Fraction in Elementary School of Pingtung County Abstract The present study aimed at exploring the performance of the fifth grade students of elementary school in the subject of decimal fraction in Pingtung County. The study, moreover, aimed at exploring the differences of the performance in decimal fraction for students of different ethnic groups, different regions, different social status, and different sexes. The subjects of the study were chosen by the hierarchy cluster sampling method. The 390 subjects were from general schools, schools in suburban(or outlying ) areas, and schools in remote areas. The instruments of the study were self-written tests on the subject of decimal fraction. Based on the knowledge of mathematics, the tests were classified into three sections: stating concepts, using procedures, and making connections. The main data collecting method was written tests. The data analysis of the study was through descriptive statistics and one-way multivariate analysis of variance. The results of the study showed that firstly the fifth-grade students of elementary school performed significantly best in using procedures, relatively good in making connections, and worst in stating concepts. Secondly, different ethnic students were significantly different in stating concepts. The Han students performed significantly better than the new immigrant students and indigenous students There were no significant differences between the new immigrant students and indigenous students. Thirdly, students of different areas showed significantly different performance in stating concepts, using procedures, and making connections of decimal fraction. In the aspect of stating concepts, the students of general schools performed significantly better than the students of V.

(8) suburban areas and remote areas, whereas, there were no significant differences between the students of suburban areas and remote areas. In the aspects of using procedures and making connections, the students of general schools performed significantly better than the students of suburban areas while there were no significant differences in performance between the students of general schools and those of schools of remote areas , and between the students of schools of suburban areas and those of schools of remote areas. Fourthly, students of different social status showed significantly different performance in stating concepts, using procedures and making connections of decimal fraction. In the three aspects of decimal fraction, the students without lunch subsidies performed significantly better than the students with lunch subsidies. Fifthly, there were no significant differences between the students of different sexes in the three aspects of decimal fraction.. Keywords:. the fifth grade students of elementary school , decimal fraction , Three Aspects of Decimal Fraction. VI.

(9) 目. 次. 謝詞 .......................................................... I 中文摘要 ...................................................... III Abstract ........................................................ V 目次 ........................................................ VII 圖次 ......................................................... IX 表次 ......................................................... XI. 第一章緒論 ............................... 1. 第一節. 研究背景與動機 ............................................................................. 1. 第二節. 研究目的與問題 ............................................................................. 5. 第三節. 名詞解釋 ......................................................................................... 5. 第四節. 研究範圍與限制 ............................................................................. 7. 第二章文獻探討 ........................... 9. 第一節. 國小小數教材分析 ......................................................................... 9. 第二節. 多元文化教育的意涵及研究 ....................................................... 18. 第三節. 小數、學童背景因素和學業成就之相關研究 ........................... 21. 第三章研究方法 .......................... 29 第一節. 研究設計與架構 ........................................................................... 29. 第二節. 研究工具 ....................................................................................... 31. 第三節. 研究對象 ....................................................................................... 36. 第四節. 資料處理與分析 ........................................................................... 39. 第五節. 研究步驟 ....................................................................................... 40. VII.

(10) 第四章第一節. 研究結果與討論 .................... 41 國小五年級學童在小數主題之概念性知識解、程序性知識、連. 結性知識上的答題表現 ............................................................................... 41 第二節. 不同族群學童在小數主題之概念性知識、程序性知識及連結性. 知識答題表現的差異情形 ........................................................................... 43 第三節. 不同地區學童在小數主題之概念性知識、程序性知識及連結性. 知識答題表現的差異情形 ........................................................................... 48 第四節. 不同家庭社經地位學童在小數主題之 ....................................... 52. 概念性知識、程序性知識及連結性知識答題表 ....................................... 52 現的差異情形 ............................................................................................... 52 第五節. 不同性別學童在小數主題之概念性知識、程序性知識及解題性. 知識答題表現的差異情形 ........................................................................... 57 第六節. 第五章. 綜合討論 ....................................................................................... 60. 結論與建議 ........................ 63. 第一節. 結論 ............................................................................................... 63. 第二節. 建議 ............................................................................................... 64. 參考文獻 .................................. 66 一、中文書目 ............................................................................................... 66 二、英文書目 ............................................................................................... 71. 附錄 ...................................... 75 附錄一. 專家效度問卷說明 ....................................................................... 75. 附錄二. 專家效度問卷及審查結果 ........................................................... 78. 附錄三. 第一次預試試卷 ........................................................................... 80. 附錄四. 第二次預試試卷 ........................................................................... 83. 附錄五. 正式施測試卷 ............................................................................... 87. 附錄六. 學生身份別勾選表 ....................................................................... 91. VIII.

(11) 圖. 次. 圖 2-1-1. 小數概念關係圖 ................................................................................. 14. 圖 4-1-1. 屏東縣五年級學童在小數學習的三個向度之平均答對率分析 ..... 43. 圖 4-2-1. 屏東縣不同族群學童在小數學習的三個向度之平均答對率分析 . 45. 圖 4-3-1. 屏東縣不同地區學童在小數學習的三個向度之平均答對率分析 . 49. 圖 4-4-1. 屏東縣不同家庭社經地位學童在小數學習的三個向度之平均答對率分析 ............................................................................................. 54. 圖 4-5-1. 屏東縣不同性別學童在小數學習的三個向度之平均答對率分析 . 58. IX.

(12) X.

(13) 表表 2-1-1. 次. 臺灣九年一貫正式綱要數學領域國小有關「小數」階段能力指標表 ....................................................................................................... 11. 表 2-1-2. 數學問題的知識屬性對應教學內容與分年細目說明 ..................... 17. 表 3-2-1. 五年級「小數主題測驗」筆試試題雙向細目表 ............................. 32. 表 3-3-1. 預試人數統計表 ................................................................................. 36. 表 3-3-2. 屏東縣三個族群四年級學童正式施測抽樣人數一覽表 ................. 37. 表 3-3-3. 研究樣本基本資料之分佈情形 ......................................................... 38. 表 4-1-1. 國小五年級學童在小數主題三個向度的平均數、標準差及答對率 ....................................................................................................... 42. 表 4-2-1. 不同族群學童在小數學習三個向度的平均數、標準差及答對率 . 44. 表 4-2-2. 不同族群在小數學習之多變項變異數分析摘要表 ......................... 46. 表 4-2-3. 不同族群在小數學習之單變項變異數分析及事後比較摘要表 ..... 47. 表 4-3-1. 不同地區學童在小數學習三個向度的平均數、標準差及答對率 . 48. 表 4-3-2. 不同地區在小數學習之多變項變異數分析摘要表 ......................... 50. 表 4-3-3. 不同地區在小數學習之單變項變異數分析及事後比較摘要表 ..... 51. 表 4-4-1. 不同家庭社經地位學童在小數主題三個向度的平均數、標準差及答對率 ............................................................................................... 53. 表 4-4-2. 不同家庭社經地位在小數學習之多變項變異數分析摘要表 ......... 55. 表 4-4-3. 不同家庭社經地位在小數學習之單變項變異數分析及事後比較摘要表 ............................................................................................... 56. 表 4-5-1. 不同性別學童在小數學習三個向度的平均數、標準差及答對率 . 57. 表 4-5-2. 不同性別在小數學習之多變項變異數分析摘要表 ......................... 59. XI.

(14)

(15) 第一章. 緒論. 本研究旨在探討國小五年級學童在小數主題的概念性知識、程序性知識與連結性知識三個向度的學習表現，並且探討不同族群、不同地區、不同家庭社經地位和不同性別之五年級學童在小數主題學習是否有差異情形。本章緒論部份分為四節：第一節為研究背景與動機，第二節為研究目的與問題，第三節為名詞解釋，第四節為研究範圍與限制。兹分節說明如下：. 第一節研究背景與動機一、小數的重要數學被公認為科學、技術及思想發展的基石，文明演進的指標與推手，所以被納入我國國民教育的基礎課程。有理數是小學的核心課程之一，也是小學數學教育中最有挑戰性的教學主題（教育部，2008）。而美國數學教師協會所擬定《學校數學的原則和標準》也指出當學生擁有分數與小數的瞭解概念時，學生便能使用分數與小數去描述真實的世界並且應用於測量、機率和統計（NTCM, 1989）。曾聳動一時的新聞頭條標題“嬰兒死於小數的錯誤” (BBC, 2005)，也提醒著我們小數是我們日常生活的重要能力之一（Steinle , V., & Pierce, R, 2006）。我國在小學階段的小數教學是先引入整數和分數的教材，等學童能掌握整數的位值和分數的意義概念後，再透過分數等分割的概念引入小數概念，並以類比整數的記法來學習小數的記法，因此學生在學習小數非常容易受到整數和分數概念的影響而產生一些迷失概念（教育部，2008；呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）。除了國內外的文獻指出，學生在小數的學習上並不理想（艾如昀，1994；劉曼麗，1998，2001，2005，2006；D’Entremont, 1991； Hiebert & Wearne, 1983；Kouba, Brown, Carpenter, Lindquist, Sliver & Swafford, 1988 ； Markovits & Sowder, 1991； Resnick, Nesher, Leonard,. 1.

(16) Magone, Omanson & Peled, 1989），而且研究者在教學的現場中，也發現學生在小數的學習上是有困難，需要特別去注意，可見小數的學習是十分重要而又複雜。然而小學哪一個階段的小數學習最為關鍵呢？首先從我國在數學小數的分年細目來看，三年級所學的小數是一位小數，小數的內容與概念並不多。但四年級開始是二位數的引入，與三年級比較起來，內容增加許多，就小數知識結構而言，僅僅少了「小數乘法與除法的計算與應用」，整體的小數知識在四年級算是很完備了 (陳文利，2001) 。又從國際測驗 TIMSS，其測驗的學生為九歲及十三歲，對照我國的學制即為國小四年級及國中二年級，也可看出四年級是一個學習檢定的重要時刻。學生若能在四年級把小數學好，進入高年級後除了能順利的學習小數乘法及除法，對於日後的數學或其他學科也有莫大的幫助。劉曼麗（2005）指出「小數」在國小數學的領域中具有不可或缺的重要地位。而我國九年一貫課程綱要在小數方面的教學目標可看出要求學生從小數概念的理解到小數的加減計算，再到小數的乘除計算，解決在日常生活中所提出的問題。對小數的能力要求在於對小數的理解與小數的運算能力，因此小數的學習不應背離這些基本要求。所以學生學習小數應達成這些目標，以培養學生能力，符合未來生活之所需。徐偉民和陳美鈴（2009）也指出要成功解決應用問題需要有理解能力與運算能力，才能成功解題。所以數學的學習可說是需要概念理解、計算流暢以及解決問題這三個面向。再參考林英秀（2011）分析小數教材時，依照數學問題的知識屬性分為概念性知識、程序性知識與連結性知識等三個向度，研究者將小數主題依數學問題的知識屬性，分成概念性知識、程序性知識與連結性知識三個向度來編制試題，進行施測以探討五年級學童在小數主題這三個向度上的答題表現與差異情形。. 二、教育公平性與多元文化教育教育公平性的議題是近年來各國所關注的焦點，聯合國《2010千禧年發. 2.

(17) 展目標報告書》（The millennium development goals report 2010）目標二所宣示之「確保在2015年之前，世界各地的學童，不分性別，均能夠完成足夠的基礎教育（United Nations 2010）」；英國前首相布萊爾曾說「教育是社會正義，是一種權力，也是一種機會。」；美國政府提出「No Child Left Behind」政策，企圖消弭不同背景學生學業成就的落差（Rodriguez, 2005）；我國九年一貫課程的理念也強調要把每一位學生都帶上來（教育部，2008），均強調保障「每一位」孩童接受基礎教育的公平機會。「多元文化教育」的目標是維護教育機會均等的精神、提升弱勢族群學童的學業成就、瞭解與支持文化多樣性、培養群際關係、培養增能與社會行動能力（譚光鼎、劉美慧、游美惠，2012），而「多元文化教育」（Multicultural education）主張透過教育，來消弭性別、族群、宗教、階級差異所產生的偏見與歧視（周惠民，2009；李詩雲，2012）。「多元」是台灣社會的特質。從歷史的脈絡來看，原住民族最早在台灣落地生根，中國第一次移民、荷蘭人、西班牙人、英國人、日本人、中國第二次移民至近代東南亞外籍勞工及跨國婚姻女子依序為台灣增添多元的文化元素。然而「多元」意即彼此間存在著「差異」，雖然這「差異」造就了文化多元之美，但在主流社會中的少數民族，常因文化差異、經濟條件弱勢，加上教育資源相對匱乏等因素，使得其在教育成就與機會上處於不利地位（陳枝烈、歐秀梅，2010）。. 三、政府在教育公平上的努力因應全球化的趨勢，世界各國普遍出現貧富與城鄉差距逐漸加大的現象。根據101年度的教育部推動教育優先區計畫，我國政府從1994年開始試辦「教育優先區計畫」，並投入大量的經費（陳淑麗，2008），至1996年開始審慎規劃，擴大辦理「教育優先區計畫」，期間也做多次的檢討與修正，期望能讓計畫的執行更完善，計畫的對象包含原住民學生、低收入戶學生、偏遠交通不便的學生、隔代教養的學生及外籍、大陸配偶子女等，照顧文化資源不足地區及學習弱勢族群學生，致力追求卓越、公平及正義之原則，達成. 3.

(18) 「教育機會均等」與「社會公平正義」的理想。. 四、小結 Ernest指出數學本身扮演「關鍵過濾器」（critical filter）的角色，用來決定未來是否成功的重要指標（引自徐偉民、林潔慧, 2010），而小數主題為小學數學的核心課程之一。陳美玲（2009）在其電腦化準備度測驗系統之應用: 分析國小四年級學生之數學準備度的建議提出能再將主題細分，可就分數或小數再自闢主題編制測驗。學者陳淑麗的研究結論之一指出：近年來我國政府投入大量的時間與金錢致力於教育公平，但缺乏可計量的成效評估指標（陳淑麗，2008）。根據教育部國民及學前教育署102年度補助各直轄市、縣（市）政府辦理補救教學經費一覽表，屏東縣所獲得的核定總金額就達六千二百多萬元，在全省縣市補助金額排名為第五名，說明屏東縣是需要補救教學的重點縣市。又屏東縣地理位置的特殊，都市化程度較低，且族裔較多元的代表縣市之一（陳淑麗，2008），是台灣多元族群的微縮版，在教育優先區計畫中指出計畫的對象，包括族群、地區、社經地位及家庭結構等背景因素的學生，而國外學者也指出影響學童學習公平的因素很多，如不被重視的族群、種族、社會階級、家庭收入、語言、地理區位等（Gillborn & Youdell, 2000; Grant & Sleeter, 2011），再者林碧珍、蔡文煥（2005）在TIMSS 2003 國小四年級學生的數學成就及其相關因素之探討和林碧珍（2012）TIMSS 2007 臺灣國小四年級學生的數學成就及其相關因素之探討，也都特別就性別這個因素來探討學生的成就是否會因性別不同而不同，可見性別對數學成就的重要性。所以研究者根據多元文化的主張、教育優先區的對象、屏東縣特殊的地理位置，提出可能影響屏東縣五年級學童在小數主題表現的因素：族群、性別、地區和家庭社經地位。本研究施測的時間為下學期初的二月～三月，考量四年級下學期部分版本教材將小數安排在學期末五、六月，故研究對象選擇屏東縣國小五年級學童，並以國小四年級的數學小數課程內容編制研究工具，來探討屏東縣國小. 4.

(19) 五年學童在小數主題學習的表現，並進一步探討不同族群、地區、家庭社經地位、性別之國小五年級學童在小數主題答題表現的差異情形。以作為教師未來進行小數補救教學與研究的參考。. 第二節. 研究目的與問題. 基於上述研究動機，本研究目的有下列二點：一、了解國小五年級學童在小數主題學習的答題表現。二、探討國小五年級學童在族群、地區、家庭社經地位及性別的因素下，其小數主題學習的答題表現是否有差異情形。根據上述的研究目的，將本研究問題依小數主題概念性知識、程序性知識與連結性知識三種問題之知識屬性分述如下：一、國小五年級學童在小數主題之概念性知識、程序性知識及連結性知識的答題表現為何？二、不同族群之國小五年級學童在小數主題之概念性知識、程序性知識及連結性知識的答題表現是否有顯著差異？三、不同地區之國小五年級學童在小數主題之概念性知識、程序性知識及連結性知識的答題表現是否有顯著差異？四、不同家庭社經地位之國小五年級學童在小數主題之概念性知識、程序性知識及連結性知識的答題表現是否有顯著差異？五、不同性別之國小五年級學童在小數主題之概念性知識、程序性知識及連結性知識的答題表現是否有顯著差異？. 第三節名詞解釋一、小數主題學習指學習完九年一貫數學學習領域課程綱要（教育部，2008）有關小數四年級三條分年細目的內容，條列如下： 4-n-09. 能認識等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與. 5.

(20) 小數的互換。 4-n-11. 能認識二位小數與百分位的位名，並作比較。. 4-n-12. 能用直式處理二位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。. 小數主題的學習又將依數學問題的知識屬性分為概念性知識、程序性知識和連結性知識。. 二、國小五年級學童本研究所稱的「國小五年級數學童」，即為民國102年學年度五年級的學童。. 三、族群屏東縣是台灣多元族群的典型代表，有原住民、閩南人、客家人、外省人新住民。而閩南、客家及外省三群為主流文化，故將閩南、客家及外省三群歸類為漢族。所以本研究所指的不同族群是指漢族子女、原住民子女及新住民子女。. 四、地區依據屏東縣政府所屬各級學校類型區分原則，將所屬各級學校及其分校、分班，依交通狀況、所處地理環境等情形，區分為一般地區學校、特殊偏遠地區學校及偏遠地區學校等三種類型；其區分原則如下：（一）一般地區類型學校：校址位於屏東市、潮州鎮、東港鎮、麟洛鄉、九如鄉、長治鄉、鹽埔鄉及萬丹鄉之各級學校及其分校、分班。（二）符合下列條件之一者，為特殊偏遠地區類型學校：１、本縣琉球鄉各級學校。２、校址距離本府六十公里以上。３、校址位處海拔五百公尺以上。４、連續山路十公里以上。. 6.

(21) （三）偏遠地區類型學校：前二款以外之學校。. 五、家庭社經地位對於家長社經地位資料的取得有困難，而目前小學的午餐補助條件為低收入戶、中低收入戶、家庭突遭變故無力繳交午餐費等經濟弱勢族群。因此將設計一份表格，請班級導師做勾選。故在本研究將家庭社經地位區分為兩種：一為午餐費無補助學童，二為午餐費有補助學童。. 第四節研究範圍與限制本研究主要是探討國小五年級學童在四年級小數學習的表現，所以並未將版本、教學等變項之影響納入本研究的範圍。本研究經由自編的「小數主題測驗」，對國小五年級學童在小數主題的表現進行分析，但是基於人力、時間、經費上的考量，對於抽樣方法採分層叢集立意取樣，所以不宜過度推論到其他地區的學童。. 7.

(22) 8.

(23) 第二章. 文獻探討. 本研究目的在發展一份「小數主題測驗」，用來檢測五年級學生在小數主題的數學基本能力，並探討不同族群、不同地區、不同家庭社經地位和不同性別的學生在小數主題的學習表現是否有差異情形。為能讓本測驗能真正符合教學現場需求，本研究參考國內課程綱要、課程內容及相關研究以編製本測驗。以國小四年級的小數分年細目為基礎，並依此探討學生所需具備之基礎能力，列出所要的單元主題及雙向細目表，並探討過去學習的小數數學課程中學生的數學表現，期望學生、老師與家長能透過本研究所編製之測驗，了解學生熟練或尚未準備充分的數學能力為何，學生數學基礎能力問題在什麼地方，以作為後續輔導或教學的依據。本章第一節為國小小數教材分析；第二節為多元文化教育的意涵及研究；第三節為小數、學童背景因素和學業成就之相關研究。. 第一節. 國小小數教材分析. 數學的學習注重循序累進的邏輯結構，因此，過去國內外數學教材的演進，概遵循此邏輯結構，以保證數學教育的穩定性。而教科書的編寫，應配合課程綱要之基本理念、課程目標與能力指標，以協助教師教學、家長輔導與學生自學為目標；教學上，課程綱要能力指標的訂定，以該階段或分年結束時，學生應具備的數學能力為考量。教師應依據能力指標及其詮釋，規劃課程、教案或依照教科書進行教學。教材選取應配合地方生活環境和學生實際生活，選擇適當而有趣的題材，並布置適當的學習環境，以利於教學（教育部，2008）。. 9.

(24) 一、九年一貫數學基本理念與課程目標九年一貫課程綱要中，數學領域主要內涵包含數、量、形基本概念之認知、運算能力、組織能力，並能應用於日常生活中，了解推理、解題思考過程，以及與他人溝通數學內涵的能力，並能做與其他學習領域適當題材相關之連結。數學領域在國民小學階段的目標為（教育部，2008）：（一）在第一階段（一至二年級）：能初步掌握數、量、形的概念，其重點在自然數及其運算、長度與簡單圖形之認識。（二）在第二階段（三至四年級）：在數分面要能熟練自然數的四則與混合計算，培養流暢的數字感；另外，應初步學習分數與小數概念。在量上則以長度的學習為基礎，學習各種量的常用單位及其計算。幾何上則慢慢發展以角、邊要素認識幾何圖形的能力，並能以操作認識幾何圖形的性質。（三）在第三階段（五至六年級）：在小學畢業前，應能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活之問題；能認識簡單平面與立體形體的幾何性質，並理解其面積或體積之計算；能製作簡單的統計圖形。同時希望課程目標達成，可以培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力；學習應用問題的解題方法；奠定高中階段的數學基礎，並希望能培養學生欣賞數學的態度及能力。. 二、在國小階段的小數教材教學目標及學習內容根據「國民中小學課程綱要審議委員會」所做的課綱微調（教育部， 2008）。數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為 1~2 年級，階段二為 3~4 年級，階段三為 5~6 年級，階段四為 7~9 年級。數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。數學內部的連結可貫穿數與量、幾何、代數、統計與機率四個主題，來強調解題能力的培養；數學外部的連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通、評析諸能力的培養。具備這些能力，一方面增進學生的數學素養，能適切地應用數學，來提高生活品質，另一方面也能加強其數學的思維，有助於個人. 10.

(25) 在生涯中求進一步的發展。九年一貫課程綱要依階段與年級條列能力指標及其細目，小數學習是屬於在數與量的主題之一，從第二階段的三年級引入。本節探討國小小數教材，因此，將小學有關於小數學習的能力指標及其分年細目整理如表2-1-1（教育部，2008）。. 表 2-1-1. 臺灣九年一貫正式綱要數學領域國小有關「小數」階段能力指標表. 階段別第二階段. 代碼 N-2-13. 能力指標能認識一位與二位小數，並做比較、直式加減及整數倍的計算。 3-n-12 a 能認識一位小數，並做比較與加減計算。（N-2-13） 4-n-11. 能認識二位小數與百分位的位名，並做比. 較。（N-2-13） 4-n-12. 能用直式處理二位小數加、減與整數倍的計. 算，並解決生活中的問題。（N-2-13） N-2-15. 能在數線上做整數與小數之比較與加、減的操作。 3-n-09 能由長度測量的經驗來認識數線，標記整數值與一位小數，並在數線上做大小比較、加、減的操作。（N-2-13、N-2-15、N-2-16）. N-2-16. 能在數線上標記小數，並透過等值分數，標記簡單的分數。 4-n-09. 能認識等值分數，進行簡單異分母分數的比. 較，並用來做簡單分數與小數的互換。（N-2-16）第三階段. N-3-08. 能認識多位小數，並做比較、直式加減及整數倍的計算。. 11.

(26) 5-n-10 能認識多位小數，並做比較與加、減與整數倍的計算，以及解決生活中的問題。（N-3-08） N-3-09. 能理解分數（含小數）乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 5-n-11 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。(N-3-09、N-3-11). N-3-10. 能理解分數（含小數）除法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 6-n-06. 能用直式處理小數除法的計算，並解決生活. 中的問題。(N-3-10、N-3-11). N-3-11. 能用直式處理小數的乘除計算（不含循環小數）。 5-n-12 能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。(N-3-11) 6-n-07 能在具體情境中，對整數及小數在指定位數取概數（含四捨五入法），並做加、減、乘、除之估算。 (N-3-09、N-3-10、N-3-11) 6-n-08 能在具體情境中，解決小數的兩步驟問題，並能並式計算。(N-3-09、N-3-10、N-3-11). N-3-13. 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 5-n-13. 能將分數、小數標記在數線上。(N-3-13). 註：代碼欄中的第一碼N 代表數與量單元；第二碼代表階段；第三碼代表指標的流水號。能力指標欄中數字（a）表示分年細目，其中的第一碼代表年級；第二碼n 代表數與量單元；第三碼代表指標的流水號。. 12.

(27) 由表 2-1-1 可知，學童從三年級開始認識一位小數，四年級認識二位小數，五年級增加多位小數的認識；三年級作一位小數比較，四年級作二位小數比較，五年級完成多位小數的比較；一位小數的加減安排在三年級，四年級除了二位小數的加減，還有小數的整數倍引入；而在五年級則先進行小數除法，到六年級則教授小數的除法。教師課程設計或教科書編撰，應遵循分年細目的內容，但不需要完全遵照細目的順序。細目所規範的內容是至少要包括在教學與教科書中的題材。因此在編製測驗時亦遵循此原則（陳美玲，2009）。劉曼麗（2006）在我國學童小數概念發展之調查研究中，認為國小學童學習的小數概念應包括小數圖像表徵、小數記數系統、小數與分數互換、單複名數轉換、估測、小數比大小、小數稠密性、小數計算、小數文字題和小數估算等十部分，並整理成小數概念關係圖，如圖2-1-1，以此十部分設計試題為學童小數概念調查工具。研究發現學童是否能掌握小數符號的意義和小數符號的結構，關鍵在於學童是否能理解小數的十等分割意涵和小數的十進制記號系統；並提出建議作為小數教材和教學的參考。. 13.

(28) 資料來源：“我國學童小數概念發展之調查研究”，劉曼麗，2006，科學教育學刊，14（6）， 669。圖 2-1-1 小數概念關係圖. 從小數的學習目標和及小數教材相關研究（劉曼麗，2006），可將小數的學習內容分類為小數的認識、小數的數線、小數與分數的互換和應用小數的加減乘除法解決生活問題為主。不僅重視小數概念的獲得，也加強小數基本運算的能力，與解決生活問題的能力。. 三、數學問題的知識屬性及數學能力策略類目（device category）是用來分析教材呈現之數學內容，傾向以何種形式呈現引導學生學習數學知識。Hiebert 等人（2003）對七個國家的數學. 14.

(29) 課程進行研究，將數學問題描述方式概分為三種類型：使用程序（Usingprocedures）之知識、描述概念（Stating concepts）之知識和進行連結（Makingconnections）之知識，而美國NAEP(NAGB, 2002)認為數學能力可以看成是學生在特定的數學知識內展現出的能力。數學能力包含概念性瞭解 (Conceptual Understanding)、程序性知識(Procedural Knowledge)和解題 (Problem Solving)三個因子(呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009)。而我國大學入學考試中心在進行學生試題分析時也採用此一數學能力做為分析的向度(林福來，1994)。將數學問題的知識屬性和數學能力詳細說明如下：（一）數學問題的知識屬性 1.概念性知識問題陳述目的在於讓學生能辨識以及透過操作、表徵等不同方式，運用模型、圖形、符號等進行知識間的相互連結，而表達某一概念，或是舉出此概念的相關例子或反例作為說明，並能夠理解數學原理，並能在原理間做相互連結、比較、以及整合應用者。 2.程序性知識問題陳述目的在於讓學生能在計算過程中，適當的選擇運用概念進行程序計算、解題，同時能用模式或符號來檢驗所使用的程序是否正確者。 3.連結性知識同時涵蓋了概念性知識與程序性知識或同時兼用概念性知識與程序性知識來進行問題解決時，則將該問題知識視為連結性知識問題。在教育領域中，策略類目是指教材內容使用何種方式引導學生學習數學知識。（二）數學能力 1.概念性知識是指學童能辨識以及利用模型、圖形或符號等不同方式來表達出某一數學概念，或是舉出此概念的相關例子或是反例做為說明；此外，學童應能知道一些數學原理(如：加法原理、乘法原理)，並將原理間做相互連結、比較以及整合應用。. 15.

(30) 2.程序性知識是指學童能在計算的過程中，選擇適當的程序並正確解題；同時，能用模式或符號來檢驗所使用的程序是否正確。 3.解題是指學童能從資料中逐漸辨識並形成問題；學童能瞭解這些資料的充分性與一致性，並能運用相關知識、推理能力，以及採用適合的策略來找出答案。綜上所述，比較數學問題的知識屬性和數學能力，數學問題是從教材的觀點來看，數學教材內容可分類為數學問題的三個知識屬性，概念性知識、程序性知識及連結性知識的數學問題，而數學能力是從學童的解決數學問題的觀點來看，學童要解這三類的問題則需要概念性理解、程序性知識和解題的數學能力，因此使用數學問題的知識屬性分類可以檢測學童是否具備數學能力的最好方法。而徐偉民和陳美鈴（2009）也指出要成功解決應用問題需要有理解能力與運算能力，才能成功解題。所以這三種數學能力之間具備了某種程度的相關，因此學童在數學問題的三個知識屬性的得分，也應具有某種程度的相關。. 四、小結根據九年一貫的數學課程目標，課程目標為發展學童的基本能力，注重學童的演算、培養觀念、創造、思考、合理判斷、以及理性溝通等能力的發展。同時強調數學學習更加生活化、意義化，輔導學生從實際生活經驗中主動去建構、理解數學概念，並引導學童去探究其中的關連性，進一步將課堂中所學的數學知識應用於日常生活情境，讓數學成為生活的一部份。在小數教材的教學目標可以看出要求學生從小數概念的理解到小數的加減、再到小數的乘除計算，解決日常生活中的問題。再者從分年細目來看，國小學童學完四年級的小數教材，除了小數較複雜的乘法和除法外，小數的學習大致已完備（陳文利，2001）。. 16.

(31) 研究者基於人力、時間與物力上的考量無法完成國小階段所有關於小數的檢測，所以將四年級已大致完備的小數學習列為首要檢測的範圍，依據分年細目、數學問題的知識屬性和小數教材分析（劉曼麗，2006），將小學四年級的小數學習對應於數學問題的知識屬性、教學內容和分年細目的分類整理如表2-1-2:. 表 2-1-2. 數學問題的知識屬性對應教學內容與分年細目說明. 知識屬性概念性知識. 教學內容. 分年細目. 一、小數的認識. 4-n-11. 1.符號的讀寫. 能認識二位小數與百. 分位的位名，並作比較。. 2.位名 3.序數 4.位值 5.化聚二、圖像←→小數符號三、小數的比大小 4-n-09 能認識等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。. 三、小數符號←→ 分數符號程序性知識. 一、小數的加法. 4-n-11. 二、小數的減法. 分位的位名，並作比較。. 三、小數的乘法. 4-n-12 能用直式處理二小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。. 四、小數×整數倍連結性知識. 能認識二位小數與百. 一、小數的加、減、乘文字 4-n-12 能用直式處理二小數加、減與整數倍的計算，並解決應用題生活中的問題。. 17.

(32) 第二節多元文化教育的意涵及研究一、多元文化教育的定義與目標多元文化教育辭典（Dictionary of Multicultural Education）（Grant & Ladson-Billings, 1997）將多元文化教育界定為：多元文化教育起源於1960年代的族群研究（ethnic studies）運動，它是一種哲學概念，也是一種教育過程。多元文化教育植基於哲學上的平等、自由、正義、尊嚴等概念，希望透過學校及其他教育機構，提供學生不同文化團體的歷史、文化及貢獻等方面的知識，使學生瞭解與認同自己的文化，並能欣賞及尊重他人的文化。另一方面，多元文化教育對文化不利地位的學生亦提供適性及補救教學的機會，以協助學生發展積極的自我概念。它牽涉族群、階級、性別、宗教、語言、特殊性等層面的議題。台灣多元文化教育的起源可追溯自1980年代解嚴後，許多學者與教育人員都體認到多元文化教育的重要性，乃提倡多元文化教育的實施與研究。多元文化教育在多民族國家，例如美國、英國、澳洲及加拿大等開始發展，並已逐漸推展至其他國家。關於多元文化教育的定義與目標，多位學者提出他們的看法： Banks (1993)對多元文化教育的性質做了以下的解釋，他認為多元文化教育至少包括三方面： (一)多元文化教育是一個理想或觀念，所有學生不論其文化背景為何，皆享有受教育機會均等的權益。 (二)多元文化教育是一個教育的改革運動，其目的在改革整體教育環境，而非只是課程的改變。 (三)多元文化教育是一個持續不斷的歷程，正因為多元文化教育的目標(追求教育機會均等)無法完全實現，所以要不斷地為學生的平等受教權而努力。 Nieto（1996）認為多元教育是學校整體改革的過程，是針對所有學生的基本教育，但更強調多元教育就是挑戰種族主義及各種歧視的教育。多元文. 18.

(33) 化教育以批判教育學為基礎，強調知識、反省與行動為社會改革的基礎，最終目標在達到社會正義。陳枝烈（1999）歸納學者們的看法:多元文化教育是一種教與學的取向，這種取向是企圖教導兒童免於受種族中心、男性中心、主流文化等單一文化的限制，能在其學習的過程中，瞭解其他文化、社會、生活與思考方式，希望兒童能免除各種偏見和歧視，而能以更寬廣的心胸，去認識、接受、欣賞與尊重其他異文化的族群。 Banks (1993)認為多元文化教育的目標有下列四點： (一)多元文化教育是在改變學校結構與教學，使來自不同文化背景的學生有均等的學習機會，以提升所有學生的學業成就。 (二)多元文化教育應幫助所有學生對不同文化、種族、民族與宗教團體發展出正向的態度。 (三)弱勢團體經常會有一種對環境無法控制的感覺，這屬於外空性格，也缺乏政治和社會效能感（a sense of political and social efficacy），因此，多元文化教育應協助弱勢團體學生建立自信。 (四)多元文化教育應協助學生發展取替的能力，並能考慮不同族群的觀點。吳清山、林天祐(1996)在定義多元文化教育時，曾提及多元文化教育應達到以下目標： (一)建立對其他族群文化的容忍。 (二)消除種族的偏見與歧視。 (三)教導不同族群文化的內涵。 (四)教導學生從各種不同族群文化觀點看世界。 (五)幫助弱勢族群學生發展其學習及對社會貢獻的信心。劉美慧則認為，多元文化教育的目標包括（譚光鼎、劉美慧、游美惠， 2012）： (一)維護教育機會均等的精神。 (二)提升弱勢族群學童的學業成就。. 19.

(34) (三)瞭解與支持文化多樣性。 (四)培養群際關係。 (五)培養增能與社會行動能力。綜合上面國內外學者所述，多元文化教育是一種教育改革理念和教育改革運動，它透過持續不斷的課程改革與整體教育環境改革等途徑，教導學生熟悉本族的文化，能夠自尊自信，也教導學生去瞭解並欣賞其他族群團體、文化團體與國家的文化，養成積極對待其他文化的民主態度，消除性別、種族、族群、宗教、社會階級、年齡、特殊性等方面存在的偏見與歧視，使每位學生都具有平等的學習機會，提升學習成就，都能體驗成功的學習經驗，並且使得族群之間的關係和諧，以促進人類之共存共榮。. 二、多元文化教育的相關議題多元文化教育牽涉族群、階級、性別、宗教、語言、特殊性等層面的議題。性別、階級、族群等議題與多元文化教育具有高度的關聯性，學者在論極多元文化教育時，一定會提及這些面向。Banks（1993）曾主張，多元文化教育是一種觀念，應認知到所有的學生，不論性別、社會階級、族群、種族或文化特質，在學校均享有相等的學習機會。Irwin（1997）也主張推展多元教育文化，教師應教導學生認知、接受欣賞文化、族群、性別、社會階級、宗教的差異，且運用各種教學法與評量方式，促進不同文化、族群、性別和社會階級學生的學習成就。楊德清（2008）也指出弱勢族群的孩子處於不利的家庭環境、社會經濟、文化差異，將導致學習困難或無法適應學校生活、學習落後。國外學者指出影響學童學習公平的因素很多，如不被重視的族群、種族、社會階級、家庭收入、語言、地理區位等（Gillborn & Youdell, 2000; Grant & Sleeter, 2011）。學者陳麗珠（1993）研究發現，造成教育機會的不均等的原因，大約可從幾個方面來探討：1.學校本身的因素，如學校的經費、設備、師資、課程設計、教學實施及班級大小等；2.地理的因素，如學校所在地的環境、地區條件、社區特點等；3.學生的家庭背景因素，如經濟、社會地位、. 20.

(35) 家長的教育程度、家長對教育的認識、家長對學生的支持等；4.學生本身的因素，如天賦、輔助性教育機會、種族、宗教、性別等。綜上所述，多元文化教育的目標之一為提升弱勢族群學童的學業成就、追求社會結構平等、提升文化多元性及學校教育機會均等。多元文化教育的相關議題也多涉及族群、階級、性別等特殊性等的重要議題。研究者根據屏東縣地理位置及族群組成結構的特殊性（陳淑麗，2008），將探討在不同族群、地區、家庭社經地位、性別的背景因素下，學童在小數學業成就的表現是否有所差異，以檢視是否達到平等。. 第三節. 小數、學童背景因素和學業成就之相關研究. 一、小數迷思概念的相關研究從現行的教材分析中，與小數相關的內容皆分布在三至六年級。學生學習小數極易產生的迷思概念大都集中在四、五年級，而六年級則偏向小數乘除的問題（劉曼麗, 2002）。四、五年級有關小數的教材是以發展學生二位及三位小數概念為主。如將這些教材內容以Hiebert 的三種小數知識分類（1992）來看，記數系統知識可包括小數符號的寫法、讀法、位值、位名和單位小數之間的化聚；運算規則知識可括小數與分數的互換、小數的比大小和小數的加減運算；數量表示知識可包含小數圖像表徵和單複名數轉換須涉及小數的。針對這些細部內容，再參考相關研究和文獻，探討學生可能產生的迷思概念，並將其整理如下表1（劉曼麗，2005）。表 2-3- 1. 小數迷思概念之相關文獻一覽表. 小數知識. 迷思概念. 寫法. •將0.8、0.9 的下一位寫成0.10. 相關研究或文獻 •劉曼麗（2001; 2002）;. 21.

(36) 讀法. •將0.08、0.09 的下一位寫成0.010. Frobisher, Monaghan, A. Orton,. •省略小數點後數字中的零. J. Orton, Roper & Therlfall（2002）. •將小數點後面的數讀成整數. •陳永峰（1998）; 劉曼麗（2001, 2002）; Frobisher, et al.（2002）. 位值. 位名. •0.1 和0.10 不一樣多. •杜建台（1996）. •0.8 和8 一樣大. •Bell, Swan, & Taylor（1981）. •受到整數位值的影響. •劉曼麗（2002）. •受到整數位名的影響. •杜建台（1996）; 吳昭容（1996）; 陳文利（2001）; 陳永峰（1998）; 劉曼麗（2002）; Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, & Reys（1981）. 化聚. •直接移動小數點來決定化聚結果，如：0.9是9 個0.01、. 郭孟儒（2002）;. 36 個0.1 是0.36. 劉曼麗（2001, 2002）. 小數與分數的互換. •0.a 和. •陳文利（2001）;. •Irwin（2001）; Resnick, et al.（1989）;. 1 相等 a. Markovits & Sowder（1991）;. Moskal & Magone（2000）. ‧ ab 和. b a 或相等 a b. •梁惠珍（2003）; 劉曼麗（2002）;. D’Entremont（1991）; Hiebert & Wearne（1986）; Markovits & Sowder（1991）;. ‧. a 100. 和 0.a 相等. Resnick, et al.（1989）. 22.

(37) 比大小. •小數是比 0 還小的數. •劉曼麗（2001）. •整數法則，. •艾如昀（1994）; 吳昭容（1996）;. （小數點後的位數愈多其值愈大如3.21 > 3.8）. Irwin（2001）; Resnick, et al.（1989）; Greer（1987）; Moskal & Magone（2000）; Sackur-Grisvard& Le’onard（1985）; Steinle & Stacey（1998）. 比大小. •分數法則. •艾如昀（1994）; 吳昭容（1996）;. （小數點後的位數愈多其值愈小. Irwin（2001）; Resnick, et al.（1989）;. ，如3.45 < 3.2）. Sackur-Grisvard & Le'onard（1985）; Steinle & Stacey（1998）. •忽略小數點，如12.7 < 4.28. •吳昭容（1996）;. （認為127 小於428）. Hiebert & Wearne（1986）; Irwin（2001）; Sackur-Grisvard & Le'onard（1985）. 加減. •將兩數向右對齊後計算，如. •簡茂發等（1993）; 艾如昀（1994）; 周筱亭（1990）; 陳文利（2001）; 郭孟儒（2002）; 劉曼麗（2002）; Hiebert & Wearne（1986）. 圖像表徵. •將被十等分的單位視為1. •梁惠珍（2003）; 劉曼麗（2002）. •將單位小數的內容物個數皆視為1 •梁惠珍（2003）; 劉曼麗（2002）單複名數轉換 •將小數點做為大單位與小單位的區隔， •陳永峰（1998）; 郭孟儒（2002）; 如5.9 公斤是5 公斤9 公克、. 劉曼麗（2002）; 戴政吉（1999）. 2 公尺7 公分是2.7 公尺資料來源：“小數診斷教學研究”，劉曼麗，2005，科學教育學刊，13(1)，32。. 23.

(38) 二、族群因素與學業成就之相關研究族群的差異出現在40、50年代，外省族群具有語言及職業上的優勢，因此教育成就相對較高（陳奕奇、劉子銘，2008）。在現實中，不同族群有不同的價值觀，對於教育的態度與看法也有所差異，台灣除了原住民族群、漢族群之外，目前新住民子女所佔的人數也超過原住民人數。Fejgin（1995）的研究發現，在美國的猶太與亞洲學生優異成績的原因，發現相較其他族群學生的父母，猶太學生的父母不只提供了較多的教育資源，在子女表現良好時會給予獎勵，如此會對子女形成努力用功唸書的動機。譚光鼎（1998）的研究也發現，許多原住民家長對教育的態度為：低成就動機和功力性價值觀，認為孩子多讀書沒好處，不願意在教育上投資，只注重物質環境的改善，因此，對子女的學校課業採取放任的態度，而學業成績的表現則不盡理想。由此可知，不同族群的父母對於教育的支持與態度有助於學生的學業成就。國內研究方面：王天佑（2002）比較原住民與漢人國中生家庭背景對學業成就的影響，結果發現原住民家庭社經地位人比不上漢人。一些研究指出台東縣原住民成績低落的原因在於家庭社經地位低，以致父母教育期望與教育參與不如漢人（巫有鎰，1999；陳建志，1998；楊肅棟，2001）。而在柯淑慧（2004）的研究指出本籍母親的學童在語文成就及數學成就表現皆顯著高於外籍母親的學童。而在賈樂平（2012）的研究結論也是一般學生的學業成就顯著優於新住民子女學生。目前國內關於多元族群學童背景對學業成就影響的研究，侷限於原、漢比較，或新住民子女與漢族子女的學業成就比較，缺乏比較新住民子女與原、漢學生學業成就差異及其影響因素的探討，根據屏東縣教育處101學年度上學期學生人數統計資料，屏東縣五年級原住民學童、新住民子女學童及漢族學童的人數大約為421人、1208人、6739人，因此本研究欲暸解在屏東縣新住民子女、原住民與漢族學童在學業成就之差異。. 24.

(39) 三、地區因素與學業成就的關係在教育資源有限而民眾需求無限之下，政府應公平的分配教育資源，使得地區間的差異減至最低，以平衡各地區的教育水準（蔡文山，2004）。而彭森明（2006）指出城鄉差距主要是由於學生的補習機會及經能力所造成的，因為一般認為補習教育可以加強學科理解力及熟悉度，進而提升學業成績（陳順利，2001；楊肅棟，2001；林大森、陳憶芬，2006；巫有鎰，2007），其中又以都會區學學生補習比率最高。有些研究的結果指出城鄉地區的學生學業成就有明顯差異，且市區學生的整體測驗表現顯著優於一般地區和偏遠地區的學生（饒育宗，2008；徐偉民、陳美玲，2009）。. 四、家庭社經地位因素與學業成就之相關研究法國社會學者布迪爾（P. Bourdieu）從文化的角度來探討教育的機會問題，他認為不同社經階級的父母對其子女的期望水準、自信的訓練以及學習的協助程度都會有所差異，其結果會影響學生的學習成就與升學機會（引自蔡文山，2004）。黃毅志、陳怡靖（2005）認為，高社經地位的學生擁有較高的文化資本，可以得到教師較多的關照及評分的優勢，而低社經地位的學生，因文化資本的不足，易導致學習及升學處於不利得情形。陳淑麗（2008）指出弱勢家庭常出現貧窮伴隨孩子成就低落的問題。林碧珍（2012）對 TIMSS 2007 臺灣四年級學生的數學成就及其相關因素之探討中指出，家中學習環境較豐富的學童，學習成就較佳。而甘鳳琴（2007）也指出出身於經濟文化弱勢背景的學童，他們是學習困難的高危險群，特別容易遭遇學業低成就的困境，而這樣的困境，又有「貧者愈貧，富者愈富」的特質。. 五、性別因素與學業成就之相關研究男生是不是天生數學就比女生好，這是一個爭論不休的話題。美國西北大學一項專門探討男女數學能力差異的研究計畫，他們以十五歲的學生為對象，採用世界經濟論壇性別平等指數，作為這項研究的評比標準。每隔三年. 25.

(40) 進行一次全球調查，被調查的四十個國家當中，只有冰島是女生數學比男生強。另外十二個國家，男女數學能力幾乎是不分軒輊，這些國家相對來說，兩性平等也較為彰顯。換言之，性別愈平等的社會，這種差異愈小（引自宋曜廷、陳惠娟、黃瓅瑩，2009）。張善楠、黃毅志（1999）探討原漢族群、社區、家庭對學童教育的影響時，則發現性別與教育期望間無顯著差異。 TIMSS在2003和2007最近兩次的調查，不管是國小四年級或國中八年級學生，其國際平均之數學成就對於性別並無顯著差異。盧雪梅、毛國楠（2008）在性別DIF分析部分，分析結果顯示：基測數學科性別DIF 出現率為2.5%，DIF 題數量雖不多，但性別DIF 與試題特徵似有關聯，具體而言，代數DIF 題傾向對女生有利，幾何和問題解決DIF 題傾向對男生有利。學習成就是否因性別而有所差異，在諸多文獻中並無一致性的結果，故本研究將針對性別這項背景因素，比較不同性別的學童在小數主題的學習成就上是否有顯著的差異。. 六、小結從文獻發現，不論過去或現在，國內外學生學習小數均有許多的迷思概念產生。而這些迷思概念大都是學生受過去所學的整數知識（如寫法、讀法、位值、位名、比大小與加減）與分數知識（如比大小）的影響，可見當學生學習小數時，對於無法掌握的問題，往往將其所知的整數知識或分數知識過度類推，而產生迷思概念。在多元文化教育目標下，國內外學者也探討學童的不同背景因素如族群、地區、家庭社經地位與性別在學業成就是否有差異存在，及早對其落後的學童進行補救，使來自不同文化背景的學生有均等的學習機會，並提升所有學生的學業成就。從文獻也發現，在族群的因素下，主流文化的漢族學童在學業成就上表現的新住民子女學童好，或漢族學童的表現比原住民學童好，但較少文獻是同時比較此三族學童在學業成就的表現。在地區的因素下，都市化愈高地區之學童的表現會比都市化不高地區之學童好。在家庭社經地位的因素下，發現高社經地位其學習成就高於中、低社經的學生。在性別的因素下，性別愈. 26.

(41) 平等的社會，這種差異愈小，但在國際測驗中，性別這個因素卻是經常被拿來檢視的項目，因此研究者將探討不同的族群、地區、家庭社經地位、性別之學童在小數主題的表現是否有所差異。綜上所述，本研究的研究工具是根據九年一貫能力指標、小數的教學目標析出小數的主題和內容，再依據數學問題的知識屬性：概念性知識、程序性知識、連結性知識來測學童的數學能力，如概念的理解、程序性知識及解題，最後參酌學童易產生迷思概念，來設計題目。並利用此份試卷來看國小五年級學童在小數主題的概念性知識、程序性知識及連結性知識的表現，並進一步探討不同族群、地區、家庭社經地位、性別的學童在小數主題的三個知識屬性上的表現是否有差異情形。. 27.

(42) 28.

(43) 第三章. 研究方法. 本研究擬設計一份「小數主題測驗」，對屏東縣國小五年級學童進行施測。透過學童在小數主題學習測驗的答題結果，了解國小五年級學童在小數學習的表現，並探討不同族群、不同的地區、不同家庭社經地位及不同性別的學童在小數主題之概念性知識、程序性知識、連結性知識上答題表現的差異情形。最後，根據研究結果，提出具體建議，提供教師作為教學及未來研究之參考。本章共分為五節。第一節為研究設計與架構，第二節為研究工具，第三節為研究對象，第四節為資料處理與分析，第五節為研究步驟。茲詳述如下。. 第一節研究設計與架構本研究採調查研究法，藉由紙筆測驗以了解五年級學童在小數主題學習的答題表現，探討不同族群、不同地區、不同家庭社經地位和不同性別之學童在小數主題之概念性知識、程序性知識、連結性知識上的答題表現的差異情形。小數主題的學習可分為概念性、程序性及連結性三個知識向度，所以研究工具則依概念性、程序性及連結性三個知識向度來設計試題，其中概念性知識向度有 1. 小數和圖像符號二者互換、2.小數的認識、3.小數比大小與 4. 小數符號和分數符號互換等四大類的填充題；程序性知識向度有小數的加、減、乘法三種純粹數字的計算題；連結性知識向度則有小數的加、減、乘三種主題的應用題。依據學童筆試測驗的結果，探討三個族群之學童在小數學習的答題表現。根據研究的目的，本研究的研究架構如圖 3-1-1 所示。. 29.

(44) 透過小數的研究工具概. 研究對象的背景：. 一、小數←→圖像符號二、小數的認識. 1. 族群小. 2. 地區. 三、小數的比大小. 數. 3. 家庭社經地位. 主. 4. 性別. 念. 四、小數符號←→分數符號. 程. 一、小數的加法. 題. 二、小數的減法. 學. 序. 三、小數的乘法. 連. 一、小數的加法. 習. 二、小數的減法結. 目. 三、小數的乘法. 的. 1.了解國小五年級學生在「小數主題學習」上的表現。 2. 探討不同族群、不同地區、不同家庭社經地位及不同性別的學生在小數主題之概念性知識、程序性知識、連結性知識上答題表現的差異情形。. 應. 用. 作為教師教學之建議與未來研究的參考。圖 3-1-1 研究架構圖. 30.

(45) 第二節研究工具本研究透過紙筆測驗工具來收集所需要的資料，茲針對其內容分別說明如下：. 一、試題的編製與內容本研究根據數學問題的知識屬性分成的概念性知識、程序性知識與連結性知識三個向度作為題試架構的依據。以九年一貫課程綱要數學學習領域，第二階段四年級分年細目能力指標，將升上五年級前必須學會的小數課程分成：小數和圖像符號二者互換、小數的認識、小數的比大小與小數符號和分數符號互換以及小數的加、減、乘法計算題和應用題等主題來設計試題。其中筆試試題內容參考自《國小分數與小數的教學、學習與評量》（呂玉琴、李源順、劉曼麗、吳毓瑩，2009）一書中所編製之試題，經過修改並透過預試來調整試題內容，最後針對每個主題重新選題組卷，期用來調查學童在小數單元的學習情形。詳見下表3-2-1。. 31.

(46) 表3-2-1. 五年級「小數主題測驗」筆試試題雙向細目表連結. 知識屬性. 概念性. 程序性. 題數性. 試題、題號. 知識. 知識. 合計知識. 分年細目和小數主題 1 題（圖→符）、一、圖像←→小數符號. 1-1. 2. 1 題（符→圖） 1-2 4 題（符號的讀寫）、 1-3-1，1-3-2，1-3-3， 1-3-4 4 題（序數）、 1-4-1-1，1-4-1-2 1-4-2-1，1-4-2-2. 4-n-11. 3 題（位名）、二、小數的認識. 21. 1-5-1，1-5-2，1-5-3 6 題（位值）、 1-6-1-1 ， 1-6-1-2 ， 1-6-1-3 ， 1-6-2-1 ， 1-6-2-2 ， 1-6-2-3 4 題（化聚）、 1-7-1，1-7-2，1-7-3， 1-7-4. 三、小數的比大小. 3 題（化聚）. 3. 1-8-1，1-8-2，1-8-3 2 題（小數→分數）、 4-n-09. 四、小數符號←→分數符號. 1-9-1，1-9-2. 4. 2 題（分數→小數） 1-9-3，1-9-4. 4-n-12. 小數的加法. 3題 2-1，2-2，2-3. 2題 3-1，3-2. 5. 小數的減法. 3題 2-4，2-5，2-6. 2題 3-3，3-4. 5. 小數的乘法. 3題 2-7，2-8，2-9. 2題 3-5，3-6. 5. 9. 6. 45. 合計. 30. 32.

(47) 1.第一次預試第一次預試施測時發現三點須作修改，第一點：大部分學童約 25 分鐘內可以完成試題，所以將正式測驗時間訂為 40 分鐘。第二點：發現學生在寫計算題及應用題的式子較擁擠且題目的字體太小，所以將作答的空格加大並將字體放大。第三點：在第一次預試時，研究工具尚未建立專家效度，在第一次預試後，根據學生的作答情形，發現在程序性知識向度的題目較為簡單，且題型所包含的位值不夠周延，與研究所的四位同學討論後，將原來六題計算題增加為九題。增加的題目為：一題為二位帶小數＋二位帶小數，一題為整數－二位純小數，最後一題為一位帶小數×二位整數。增加的題目與說明如下：二、算算看. 1. 3.49＋7.51＝(. ). 6.. 11－0.07＝(. ). 9.. 1.6×19＝(. ). 說明：第一題為: 二位帶小數＋二位帶小數第六題為: 第九題為:. 整數－二位純小數一位帶小數×二位整數. 2.第二次預試第二次預試樣本採方便取樣，分別從屏東縣的學校選取 110 位國小五年級學童，抽取兩個地區的學童，分別選取一般地區 4 班 98 位學童、偏遠地區 1 班 12 位學童，共計 5 個班級，合計 110 名學童進行紙筆預試，目的為確立本研究施測試題的可行性。因人力、物力、時間的限制，只有抽取一般地區與偏遠地區的學生，但三個族群的學生都有包含。第二次預試結束後，統計學童答題結果、進行信度評估並刪修試題。在第二次預試中，共對 2 題做修改，說明如下：. 33.

(48) 第1題一、畫畫看/填填看 4.. 依序填入適當的數字： (1). 0.08 ， 0.09 ，（. (2). 40.92 ， 40.94 ，（. ）， 0.11 ，（. ），（. ）， 40.98 ，（. ），（. ））. 修正為：一、畫畫看/填填看 4.. 依序填入適當的數字： (1). 0.08 ， 0.09 ，（. (2). 40.92 ， 40.94 ，（. ）， 0.11 ，（. ）. ）， 40.98 ，（. ）. 說明： 1. 1-4-1-2 和 1-4-1-3、1-4-2-2 和 1-4-2-3 題型雷同，故刪除 1-4-1-3 及 1-4-2-3。. 第2題一、畫畫看/填填看 5. 阿毛將 66.66 在定位板上，將正確的位名填入 (. )位. 6. ( 6. )位. (. )位. 6. (. )位. 6. 修正為： 5. 阿毛將 66.66 在定位板上，將正確的位名填入 ( 6. )位. 個位. (. 6. 6. )位. (. )位. 6. 說明：在閱卷時，發現為數不少的學童，會直接填數字，6666 在四個格子內，還有為數不少的學童在題號 1-5-3、1-5-4 的答案為小數後第一位（正確答案為十分位）和小數後第二位（正確答案為百分位）。研究者詢問班級導師，. 34.

(49) 班級導師回答目前正在教授「小數的除法」，求商到小數點以下第一位等的內容。所以為了避免學生受目前教材的影響，因此將個位的位名標示出來。. 二、試題的信度本筆試測驗工具的信度是從屏東縣一般地區的學校選取 4 班與偏遠地區的學校選取 1 班之國小五年級學童，共計 5 個班級，合計 110 名學童進行紙筆預試來作為信度之研究樣本。本研究採對錯做二元化計分，因此將採 Cronbach's α 值檢驗本研究工具之信度是否具內部一致性，經統計分析其測驗結果 Cronbach's α 值為 0.869，顯示試題有良好的信度。. 三、試題的效度 1.內容效度根據表 3-2-1「小數」試題內容分析表，可以檢查到測驗內容涵蓋所欲測量的教學目標與教材內容，所以本測驗試題具有適當的內容效度。. 2.專家效度在完成筆試測驗試題的編製及第一次預試施測後，研究者委請屏東教育大學數理教育研究所的教授和研究生、以及數位現職國小中、高年級的數學老師，共六位專家依據筆試試題的類型與內容來檢核筆試試題的合適性。再根據專家的看法與建議加以修改，成為筆試測驗試題的初稿，再進行預試，然後依施測的結果進行試題修正，而成為正式的筆試測驗工具，故本測驗試題具有良好的專家效度。. 四、試題的難度與鑑別度本研究之測驗工具：. 1.根據97課綱之分年細目所編製，欲測驗五年級學童是否具備四年級小數數的基礎能力，題目大多是基本概念之題型，不論題目難易程度都屬於學童必須學會的範圍(杜雅鳳，2012)。. 35.

(50) 2.余民寧（2011）指出只要試題仍具有教學內容的代表性，仍然可以作為組成測驗的基本元素，並非一定要具有高鑑別度指標指標的試題才行。基於上述兩點，故研究者未作難度與鑑別度之分析。. 第三節. 研究對象. 本研究旨在探討國小五年級學童在小數學習的答題表現。以下分別依預試樣本、正式施測樣本等兩部分做更詳細的說明：. 一、預試樣本本研究筆試測驗工具共進行兩次預試，第一次的預試對象為屏東縣某國小某一班五年級學童共 6 位(數學程度為 2 高、2 中、2 低)進行預試。目的在了解學童作答所需時間與筆試實際施測的情形。第二次預試人數統計的情形見表 3-3-1。目的為進行研究工具的信度並據以作為測驗工具調整、修改之依據。. 表 3-3-1. 預試人數統計表. 學校分類. 抽樣班級數(班). 抽樣數(人). 一般地區. 4. 98. 偏遠地區. 1. 12. 合計. 5. 110. 二、正式施測樣本本研究基於研究目的及時間、人力、物力的考量下，採用分層叢集抽樣。郭生玉（1998）指出研究樣本愈大，誤差愈小；研究樣本愈小，誤差愈大，而 Anderson 提出當母群體人數在 5000~10000 人時，在 5%可接受的誤差範圍內，最少的樣本數需為 356 人（Verma, 1999）。Creswell 提出調查研究取. 36.

(51) 樣至少要 350 人；Lodico、Spaulding 和 Voegtle（2006）認為調查樣本人數 5000 人或以上的大母群體時，樣本數在 350~500 人即可（引自王文科、王智弘，2008）。本研究的研究目的之一為探討不同族群、不同地區、不同家庭社經地位和不同性別的學童在小數主題的三種知識屬性問題表現是否有差異情形。因此在抽樣上應顧及到族群、地區、家庭社經地位和性別這四個因素內的學童人數比例。但在屏東縣政府教育處，有關新住民子女學童和需要補助午餐費的學童只有人數統計，但卻沒有這些身份學童分佈在哪些學校的資料，因此若要按照四個因素的學童人數比例去抽樣，是有困難的。所以研究者從地區這個自變項來分層抽樣是可行的。根據屏東縣教育處 101 學年度的公告，101 學年度五年級的學生總數為 8386 人，本研究對屏東縣的五年級學童抽樣為正式施測樣本，分別依各學校屬性：一般地區、偏遠地區、特殊偏遠地區等三個地區的學校，大約選取 400 人。由於原住民族群的人數較少且一般地區並無原住民學校，因此原住民族群則從偏遠地區與特偏地區抽樣。本研究分別選取屏東縣一般地區學童人數為 155 人、偏遠地區學童人數為 131 人以及特偏地區學童人數為 106 人，總計選取屏東縣五年級學童共 392 位，作為本次正式施測之研究對象，整理三個地區所抽樣之五年級學童人數如表 3-3-2：. 表 3-3- 2. 屏東縣三個族群四年級學童正式施測抽樣人數一覽表地區. 一般. 偏遠. 特偏. 學校(所). 3. 4. 4. 班級數. 6. 6. 6. 學童數. 155. 131. 106. 總計. 392. 37.

(52) 三、研究樣本之基本資料描述作為研究工具的試卷在民國一０二年二月底寄出，共 400 份。到三月中回收完畢，共 392 份，剔除資源班學生之無效試卷 2 份後，共計有效試卷為 390 份。依據研究問題，本研究的個人背景變項為四項，分別為族群、地區、家庭社經地位、性別。整理如表 3-3-3。. （一）族群漢族學童為 290 人；新住民子女學童為 52 人；原住民學童為 48 人。. （二）地區一般地區為 155 人；偏遠地區為 131 人；特偏地區為 104 人。. （三）家庭社經地位午餐無補助學童為 308 人；午餐有補助學童為 82 人。. （四）性別男性學童為 206 人；女性學童為 184 人。表 3-3- 3. 研究樣本基本資料之分佈情形. 類別. 項目. 人數. 族群. 漢族子女. 290. 新住民子女. 52. 原住民子女. 48. 一般. 155. 偏遠. 131. 特偏. 104. 午餐無補助. 308. 午餐有補助. 82. 男. 206. 女. 184. 地區. 家庭社經地位. 性別. 38.